WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика.

Учебно-методическое пособие по специальности 010501 (010200) Прикладная математика и информатика.

ВОРОНЕЖ 2005 2 Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ ( 07.06.2005, протокол № 10 ) Допущено учебно-методическим советом по прикладной математике и информатике для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 010200 «Прикладная математика и информатика» и по направлению 510200«Прикладная математика и информатика» Составители: Чеботарев А.С.

Щеглова Ю.Д.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре Теоретической и прикладной механики факультета ПММ Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов 2 курса дневного отделения и 3 курса вечернего отделения специальности 010501 (010200) «Прикладная математика и информатика», по дисциплине ЕН.Ф.03.1. «Теоретическая механика».

3 Содержание Введение 4 §1. Координатный и векторный способы задания движения точки. 5 Уравнения движения точки. Траектория §2. Скорость и ускорение точки 8 §3. Определение радиуса кривизны траектории 10 §4. Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение 12 тела. Равномерное и равнопеременное вращение тела §5. Скорости и ускорение точек тела, вращающегося вокруг 14 неподвижной оси §6. Уравнения движения и скорости точек плоской фигуры 15 §7. Ускорение точек плоской фигуры 18 §8. Сложное движение точки 33 §9. Контрольные вопросы для самопроверки остаточных знаний 40 §10. Задания зачетной контрольной работы 41 §11. Список задач для самостоятельногорешения 59 §12. Основные формулы кинематики 60 Литература 62 4 Введение Учебно-методическое пособие предназначено для студентов специальности 010501 (010200) “Прикладная математика и информатика”, обучающихся на втором курсе дневного отделения третьем курсе вечернего отделения, по дисциплине ЕН.Ф.03.1. “Теоретическая механика”.

Согласно учебному плану аудиторные занятия по данной дисциплине включают 2 часа лекций и 2 часа практических занятий в неделю, в течение одного семестра. В то же время, объем самостоятельной работы отводимой на освоение предмета составляет 68 часов (72 часа в/о). Предлагаемый учебнометодический материал призван помочь студентам изучить один из разделов теоретической механики – кинематику. Определения, положения и постулаты, вводящиеся в кинематике, затем активно используются в динамике – основном разделе теоретической механики. Пособие включает теоретические основы:

определения; и практические примеры в виде решения наиболее типичных задач кинематики.

Так же в пособии содержится список вопросов для самоконтроля и переченьзадач для самостоятельного решения.

Итогом изучения кинематики для студентов факультета ПММ является решение зачетной работы, варианты которой приводятся в пособии, наряду с разбором типичных задач подобного рода.

Список основных формул кинематики и литературные источники по данной дисциплине должны нацелить читателей на продуктивную самостоятельную работу.

§1. Координатный и векторный способы задания движения точки.

Уравнения движения точки. Траектория При координатном способе задания движения положение точки в t пространстве в любой момент времени определяется декартовыми координатами:

= xx )(t = yy )(t = zz )(t ; ; (1.1) Уравнения (1.1) называют уравнениями движения точки. При векторном способе задания движения положение точки в любой момент времени определяется ее радиус-вектором:

= rr )(t (1.2) t Исключив из уравнений (1.1) параметр, получим непараметрические уравнения кривой, по которой движется точка. Траекторией точки может быть вся полученная кривая или ее часть. Для определения траектории следует y x z установить области изменения координат,, по заданным уравнениям t движения, считая время движения существенно положительной величиной.

При известном уравнении кривой, по которой движется точка, траектория во многих случаях может быть выделена заданием области изменения только одной координаты. При исследовании траектории точек механизмов следует учитывать также конструктивные особенности данного механизма, ограничивающие его движение.

Задача 1. (рис 1.). Движение точки в плоскости XOY задано уравнениями:

ax = sin t (a) ay = cos2 2t a a > 0 t где - постоянная ( ); - время.

Определить траекторию точки и исследовать её движение.

a)( Решение. Заданные уравнения движения точки являются уравнениями траектории в параметрической форме. Для получения уравнения кривой, по которой движется точка, в непараметрической форме следует из этих t уравнений исключить параметр. Имеем ay = cos2 2t = 2a(1- 2sin t) Из первого уравнения (a) найдём x sin t =, a 2xay (2 1-= ) тогда (b) a0(,2a) Это уравнение параболы, вершина которой находится в точке, а ветви, направлены вниз. Однако не вся полученная парабола является ax 2ay траекторией точки. Действительно, из (a) следует, что,, т. е.

траекторией точки является часть параболы, заключенная внутри 2a 4a прямоугольника со сторонами и. Таким образом, уравнением траектории 2xay (2 1-= ) точки является при - a x a.

ax = 0 = 2ay t = Найдём начальное положение точки. При имеем,, т.

t=0 t=е. точка в начальный момент находиласьв вершине параболы. При возрастании сек t 0 x y от до абсцисса увеличивается, а ордината уменьшается, т. е.



tt == сек точка движется по параболе вправо. При имеем = ax -= 2ay t=0 t= сек t сек В промежутке точка движется по параболе влево, проходя 2 tt == сек = tt = сек её вершину в момент. Начиная с момента, точка tt == 2 сек снова движется вправо, проходя начальное положение в момент, и т.д. Таким образом, точка совершает с течением времени колебательное движение вдоль параболы.

Задача 2. (рис 2.). Зубчатое колесо I радиусом, обкатывается, внутри неподвижного зубчатого колеса II радиусом R = 2r, с помощью, OO кривошипа, угол поворота которого задан как функция = kt времени: (k-постоянная).

Определить уравнения движения и траекторию конца A отрезка AB l длиной, неизменно связанного с колесом I и расположенного вдоль t = его радиуса. При колесо I занимало нижнее положение B (показанное на рисунке пунктиром) и точка совпадала с центром колеса II.

Решение. Рассмотрим положение механизма в некоторый текущий момент t времени. Колесо I займет при этом положение, показанное на рисунке.

Пусть c - точка колеса I, которая в начальный момент находилась в t = C0 - месте зацепления колес. Из условия отсутствия скольжения (благодаря CD = C0D = rR = CO1D наличию зубцов) имеем или, где.

= Имея в виду, что R = 2r. Обозначим через острый угол, получим yO составленный диаметром СВ с вертикальной осью. По теореме о внешнем = = + = угле треугольника имеем откуда.

Отсюда, легко заключить, что точка C в процессе всего движения будет yO перемещаться вдоль оси.

x y Обозначим координаты точки А через и. Введём радиус-вектор = AO2 AO += O12 A. Из рисунка ясно, что Проектируя это векторное равенство на оси, получим Ox O12 sin += O1Asin = (2r + l)sin (с) -= Oy O12 cos + O1Acos = l cos Отсюда следует, что точка B в процессе движения перемещается вдоль оси yy -= l cos = xO так как.

2 AB = kt Подставляя в (с) получим уравнения движения точки A :

= ly cos kt = 2( rx + l)sin kt, которые одновременно являются и уравнениями траектории точки в t параметрической форме. Исключая время, получим уравнение кривой, по которой движется точка, в непараметрической форме.

t Для исключения перепишем уравнения движения в виде x y = sin kt; = cos kt 2r + l l Пользуясь тождеством sin kt cos22 kt =+ получим x2 y=+ (d) 2( + lr )2 l = 2ra + l = lb Это эллипс с полуосями, и центром в начале координат. При t 0 x изменении от до абсцисса изменяется в пределах - a x a, а y ордината в пределах - yb b, и, следовательно, точка в своем движении обходит весьэллипс. Таким образом, в данной точке вся кривая, определяемая уравнением (d), является траекторией точки.

§2.Скорость и ускорение точки При заданном движении точки в прямоугольных декартовых координатах скорость точки определяются по их проекциям на неподвижные оси:

dx dy dz == x == y z == z ; ; (2.1) x y dt dt dt d d d wx x == x z wy y == y wz z == ; ; ; (2.2) dt dt dt 22 + z += ; (2.3) yx ww += wyx 22 + wz ; (2.4) wx x cos(, x) = cos(, xw ) = w wy y cos(, y) = cos(, yw ) = (2.5) (2.6) w wz z cos(, z) = cos(, zw ) = w Уравнениями годографа скорости в параметрическом виде являются:

= = xx == yy = = zz ; ; ; (2.7) 1 x 1 y 1 z x1 y1 zгде,, - текущие координаты точки, вычерчивающей годограф, а оси xO yO zO Ox Oy Oz,, соответственно параллельны осям,,.

11 11 Задача 3. Даны уравнения движения точки:

2 = ty = tx ;

x y t (, - в сантиметрах; - в секундах).

t =1сек Определить: 1) траекторию точки; 2) скорость точки в момент ;

t = 2сек 3) годограф скорости; 4) ускорение тоски при.

t Решение: 1. Исключая из уравнений движения, получим уравнение кривой, по которой движется точка.

= xy (полукубическая парабола). Траекторией является часть этой x параболы, соответствующая.

2. Находим проекции скорости точки на оси координат по формулам (2.1):

= = 2tx == ty ;

x y откуда 4 += tt Следовательно, == 25,24см сек.

t=1сек Направление скорости определяется направляющими косинусами (2.5):

t 2 y x cos(, y) == cos(, x) == ; ;

2 4 + t 4 + t t = 1сек При имеем y x cos(, x) == cos(, y) == ;

5 t = 1сек Oy Таким образом, скорость в момент составляет с осями Ox, соответственно углы, равные 26034 и 63026.

3. Находим уравнения годографа скорости в параметрическом виде по формулам (2.7):

= = 2tx == ty ;

1 x 1 y Исключая t, получим xy1 = Годографом скорости является часть этой параболы, соответствующая 0 x4. Находим проекции ускорения точки на оси координат по формулам (2.2):

d d wx x == 2 wy y == 2t ;

dt dt 12 += tw Отсюда, следовательно, wt=2сек 52 == 4,47 см сек2.

Направление ускорения определяется направляющими косинусами по формулам (5.8):

1 t cos(, xw ) = cos(, yw ) = ;.

1+ t2 1+ tt = 2сек При получим cos(, xw ) = cos(, xw ) = ;.

5 w t = 2сек Oy Таким образом, вектор в момент образует с осями Ox, 63026 соответственно углы и.

§3. Определение радиуса кривизны траектории Радиус кривизны траектории движущейся точки определяют по формуле = (3.1) wn Если даны уравнения движения точки в координатной форме:

= xx )(t = yy )(t = zz )(t ; ;, то для определения находят:

22 = y = z += = x + z ;

1.,,, y x z yx d w = 2. ;

dt = xw = yw = zw ww += wyx + wz ;

3.,,, x y z ww -= w 4.

n = 5.

wn Задача 4. Движение точки задано уравнениями ax 3( cos t += cos 3t) ay 3( sin t += sin 3t) a ( - постоянная величина).





Определить радиус кривизны траектории как функцию времени в промежутке 0 t.

Решение. Определим проекции скорости точки на координатные оси:

= = - ax (sin3 t + sin 3t) x = = ay (cos3 t + cos3t), y следовательно, 18 (1 += cos 2ta ) = 36a2 cos2 t, = cos6 ta откуда.

Касательное ускорение d w == - sin6 ta.

dt Найдём проекции ускорения точки на координатные оси:

== - aw (cos3 t + 3cos 3t) xx = = - aw (sin3 t + 3sin 3t), yy отсюда 18aw (5 += 3cos 2t).

Определим нормальное ускорение точки:

ww -= w 2 = 144a2 cos2 t, n = 12aw cost откуда.

n Искомый радиус кривизны траектории будет == cos3 ta wn = 3a Наибольший радиус кривизны.

max §4.Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение тела.

Равномерное и равнопеременное вращение тела Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси имеет вид = )(t (4.1) где - угловая координата тела.

Угловая скорость и угловое ускорение соответственно равны d = рад сек (4.2) dt d d == рад сек(4.3) dt dt > Если в данный момент времени, то в этот момент тело вращается < ускоренно, если же, то вращение замедленное.

При вращении тела в одном и том же направлении угол поворота тела за промежуток времени - tt определяют по формуле -= (4.4) tt где и - значения угловой координаты в момент и.

N Угол поворота тела связан с числом оборотов тела зависимостью = 2 N (4.5) В технике угловую скорость тела выражают числом оборотов в минуту.

n об мин)( рад сек)( Переход от к осуществляют по формуле n =. (4.6) = const = При равномерном вращении тела,. В этом случае уравнение вращения тела имеет вид = + t (4.7) = const При равнопеременном вращении тела. В этом случае = + t (4.8) t += t + и уравнение вращения принимает вид Задача 5. Угол поворота диска, вращающегося вокруг неподвижной оси, изменяется согласно уравнению kt += tk t ( - постоянная величина, - в радианах, - в секундах).

Определить угловую скорость и угловое ускорение диска через 4 сек после 2сек N = начала движения, если за первые он сделал оборотов.

Решение. Вращение диска согласно заданному уравнению происходит в одном и том де направлении. Поэтому можно считать == kt + t Согласно (4.5), имеем 16 = 8k +, отсюда найдем k = рад сек3, 3 t3 += t таким образом,.

Используя (4.2) и (4.3), получим 9 t += 2 t = t + ;.

t = 4сек В момент времени имеем = 80 рад сек = 38 рад сек, t=4сек t=4сек Задача 6. Гребной винт судна, имевший угловую скорость = 20 рад сек 20сек, останавливается через вследствие сопротивления воды и трения в подшипниках. Считая вращение винта равнопеременным, определить угловое ускорение и число оборотов винта до остановки.

Решение. Так как вращение винта является равнопеременным, то пользуемся t t += = + t = формулами (4.8) и (4.9). Приняв, имеем ;.

0 В соответствии с условиями задачи получим t T += 0 = + T, 0, T где - время вращения винта до остановки. Отсюда найдём t == 200 рад -= = - рад сек2 ;

.

T Так как в процессе вращения и имеют разные знаки, то вращение является равнозамедленным.

N == До остановки винт сделал оборотов.

§5.Скорости и ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Величину скорости точки тела, отстоящей от оси вращения на расстоянии h, определяют по формуле = h (5.1) Ускорение любой точки тела равно геометрической сумме центростремительного и вращательного ускорений:

ww += wврц, (5.2) где ц = hw вр (5.3) = hw wц Вектор всегда направлен по перпендикуляру к оси вращения (в сторону wвр оси), вектор направлен по касательной к траектории точки в ту же сторону, что и скорость, если вращение тела ускоренное, и в обратную, если оно замедленное.

Величину ускорения находят по формуле hw += (5.4) = arctg w wц Острый угол между и равен (5.5) Задача 7. Ротор турбины вращается равноускоренно из состояния покоя таким образом, что его точка M, отстоящая от оси вращения на расстояние 0,w 40 секм метра, имеет в некоторой момент ускорение, равное по величине и направленное под углом к радиусу. Определить уравнение вращение ротора, а также величины скорости и центростремительного ускорения точки в t = 5сек момент.

Решение. Зная величину и направление ускорения точки М в некоторый момент времени t, найдем вращательное и центростремительное ускорение по ц hw == wcos(30o ) формулам вр Выразим теперь угловую скорость и hw == wsin(30o ) wcos(30 ) wsin(30oo ) =,9 07 рад / с = = 50 рад / сугловое ускорение h h Поскольку вращение ротора равноускоренное из состояния покоя то закон t = движения таков:, а величина угловой скорости в любой момент = = t t = 5 = 250 рад / с времени выражается формулой. При, а h == 100 / см скорость точки М равна и центростремительное ц hw == 25000 / см ускорение 2 = 25t = 100 секм wц = 25000 секм Ответ:,,.

§6.Уравнения движения и скорости точек плоской фигуры.

Уравнениями движения плоской фигуры в неподвижной системе координат являются = xx t)( = yy t)( (6.1) = t)( x0 угде и - координаты произвольной точки O, принятой за полюс;

' xO Ox - угол между неподвижной осью и осью, неизменно связанной с фигурой (см. рис. 3) Уравнение движения любой точки плоской фигуры имеют вид xx += x cos' - y'sin yy += x sin' + y'cos (6.2) x' y' где, - координаты этой точки в системе, скрепленной с фигурой.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.