WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Учебно – методическое пособие по специальностям :

010501 (010200) «Прикладная математика и информатика» 010901 (010500) «Механика» 010503 (351500) «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» ВОРОНЕЖ 2005 2 Утверждено научно-методической комиссией факультета прикладной математики, информатики и механики 20 сентября 2005 г., протокол № 10 Составители : Ларин А. А., Виноградова Г.А.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре дифференциальных уравнений факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 1 курса д/о и в/о, обучающихся по специальностям 010501 (010200) «Прикладная математика и информатика» 010901 (010500) «Механика» 010503 (351500) «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» 3 1. Методом математической индукции докажите справедливость равенств для каждого натурального значения n:

а) 12 + 22 + 32 +... + (2 n - 1)2 = n (4n2 - 1)/ 3;

б) 12 - 22 + 32 - 42 +... + (-1)n-1 n2 = (-1)n-1 n (n +1)/ 2;

1 11 n в) + +... +=.

15 59(4n - 3)(4n +1) 4n + 1 2. Методом математической индукции докажите справедливость следующих неравенств для всех натуральных n > 1:

1 3 5 2n -11 а)... < ;

2 4 62n 3n + 1 1 11 13 б) + +... + > ;

n +1 n + 22n 24 11 в) n < 1 + +... + < 2 n ;

2 n n 1 1 11 г) < 1 + + + +... +< n.

22 3 42n -1 3. Доказать, что 111 n arctg + arctg +... + arctg = arctg, n N.

282n2 n + 1 4. Доказать, что для любых n положительных чисел x1,..., xn, удовлетворяющих условию x1... xn = 1, имеет место соотношение x1 + x2 +... + xn n.

5. Справедлива следующая теорема, принадлежащая Гурвицу :

Если - иррациональное число, и c 5 - любое положительное дейстh вительное число, то существует бесконечно много рациональных чисел таk ких, что h | - | <.

k ck Если же c > 5, то существует иррациональное число, для которых указанное неравенство выполняется только для конечного множества рациональных h чисел.

k Покажите, что для любых натуральных p и q выполняется неравенство p | 2 - |.

q 4q6. Равносторонние треугольники со сторонами 1,3,5,..., выстроены в ряд так, что их основания расположены на одной прямой и вплотную примыкают друг к другу. Доказать, что вершины треугольников, противолежащие основаниям, расположены на параболе.

7. Установить взаимно-однозначное соответствие между точками интервала (0; 1) и точками отрезка [0; 1].

8. Последовательность {xn} определяется следующим образом:

1 xn = + +... +.

12 23 n (n +1) Найти lim xn.

n 9. Доказать, что если k (0;1), то lim[(n +1)k - nk ] = 0.

n 10. Найти пределы последовательностей nnxn =, yn =, zn =+... +.

n2 + nn2 + 1 n2 + 1 n2 + n an 11. Пусть a > 1. Исследовать поведение отношения, k > 0, при n.

nk 1 12. Доказать, что lim nn. Установить справедливость оценки 0 < nn - 1 < n <.

n cn 13. Доказать, что lim = 0.

n n! 14. Пусть даны два числа a и b. Положим x0 = a, x1 = b, а последующие значения xn определим равенством xn = (xn -2 + xn -1)/ 2, n 2. Доказать, что предел последовательности {xn} существует и равен (a + 2b)/3.

15. Доказать сходимость и найти предел последовательности а) an +1 = (an + A)/ 4, a1 = 0 ;

б) an +1 = (2an + M / an )/3, a1 = M > 0.

16. Пусть c > 0. Определим последовательность {xn} так: x1 = c, x2 = = c + c, и, вообще, xn = c + c +... + c. Доказать, что предел {xn} существует, и вычислить его.

17. Показать, что если последовательность {xn} имеет предел, конечный или бесконечный, то тот же предел имеет и последовательность bn = (x1 +... + xn )/ n.

18. Пусть даны m положительных чисел a1,...,am. Обозначая через A наибольшее из них, доказать, что n nn n lim a1 + a2 +... + an = A.

n 19. Пусть p1,..., pl, a1,...,al - произвольные положительные числа. Тогда nn n lim p1 a1 + p2 a2 +... + pl aln n существует и равен наибольшему из чисел a1,a2,...,al. Доказать.

20. В обозначениях прежней задачи имеем nn p1 a1 +1 + p2 a2 +1 +... + pl aln +lim = max{ai}.

nn n p1 a1 + p2 a2 +... + pl aln 1 i l Доказать.

21. Показать, что если положительная последовательность {an} имеет предел (конечный или нет), то тот же предел имеет и последовательность n bn = a1 a2... an.

22. Последовательность {xn} называется последовательностью с ограниченным изменением если существует число C такое, что для любого n N вы, полняется условие n | xk - xk | C.

+k =Доказать, что любая последовательность с ограниченным изменениемсходится.

23. Существует ли предел limsin n Ответ обосновать.

n 24. Является ли точка 0 предельной точкой последовательности xn = n sin n Последовательности xn = n2 + 1 sin n Ответ обосновать.

25. Последовательность {xn} обладает свойством:

| xn - xm | > для любых n < m, n,m N.

n Доказать, что последовательность неограничена.

26. Последовательность {xn} задана следующим образом:

x1 =, xn +1 = xn - xn при n 1.

Доказать, что lim nxn = 1.

n n 27. Пусть a1 = 1, ak = k (ak -1 + 1), k > 1. Вычислить lim + ).

(1 ak n k = 28. Доказать неравенство n 1 e -<.

k! nn! k = 29. Используя неравенство из предыдущей задачи и учитывая тот факт, что n n! k! k = есть целое число, доказать, что число e - иррациональное.



30. Доказать неравенство nn nn а) < n! < e, n N ;

e n 11 б) < e - + <, n N.

4nn n 31. Доказать, что для любого счётного множества A = {xn} вещественных чисел существует такое число a, что множество {xn + a} A пусто.

32. Доказать, что последовательность n! e - [n! e], n N, имеет единственную предельную точку 0 (здесь и далее символом [s] обозначается целая часть числаs ).

33. Доказать, что любая точка единичной окружности | z | = 1 является предельной точкой последовательности 1 1 i (1+ + +...+ ) 2 3 n zn = e, n N.

34. Доказать следующие утверждения.

а) Пусть n - целое число, x - произвольное. Тогда [x+n] = [x] + n.

1 б) [2x] - 2[x] = 0 или 1, смотря по тому, будет ли x - [x] < или.

2 в) Если 0 < < 1, то [x] - [x - ] = 0 или 1, смотря по тому, будет ли x - [x] или <.

35. Пусть - иррациональное число, 0 < < 1, и an равно 0 или 1, смотря по тому, равны между собой или же различны числа[n ] или [(n-1) ]. Показать, что lim(a1 + a2 +... + an )/ n =.

n (Указание: получить явное выражение для an ).

36. Доказать, что если по крайней мере одна координата центра окружности иррациональна, то на самой окружности не более двух точек с рациональными координатами.

37. Функция f определена на симметричном промежутке (-l ; l). Доказать, что её можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций.

38. Доказать, что монотонная функция имеет не более чемсчётное множество точек разрыва.

39. Пусть f (x) и g(x) определены на всей числовой прямой и являются периодическими функциями. Известно, что lim ( f (x) - g(x)) = 0. Доказать, что x+ f (x) g(x).

40. Определим в промежутке (0;1) функцию R(x) следующим образом: если p x рационально и выражается несократимой дробью, то R(x) = ; для x ирq q рационального положим R(x) = 0. Доказать, что f (x0 + 0) = f (x0 - 0) = 0 для любого x0 (0;1). Исследовать функцию R(x) на непрерывность.

41. Пусть t = 0,t1 t2... tn... - десятичная запись числа t, 0 t < 1. Пусть, далее, n1 < n2 <... < nk <... - некоторая подпоследовательность последовательности натуральных чисел. Исследовать на непрерывность функцию x(t) = 0,tn tn... tn....

1 2 k 42. Найти все непрерывные в промежутке (-;) функции f (x), удовлетворяющие условию f (x + y) = f (x) + f ( y), каковы бы ни были значения x и y.

43. Доказать, что для любой непрерывной функции f : [0;1] [0;1] (отображение f сюръективно) существует x0 [0;1] такая, что f (x0) = x0 (неподвижная точка отображения f ).

44. Функция f (x) определена на полуоси [0; + ) и равномерно непрерывна на ней. Известно, что lim f (x + n) = 0 (n - целое) для любого x 0. Докаn зать, что lim f (x) = 0.

x + 45. Если ограниченная монотонная функция f (x) непрерывна на интервале (a ; b), конечном или бесконечном, то она равномерно непрерывна на (a ; b).

46. Пусть f (x) - непрерывная на (a; b) функция и x1, x2, x3 - любые точки из этого интервала. Тогдасуществует точка (a; b) такая, что f ( ) = ( f (x1) + f (x2 ) + f (x3)).

Доказать.

47. Функция f (x) непрерывна на всей числовой прямой и периодична с периодом 2. Доказать, что существует точка такая, что f ( ) = f ( + ).

48. Исследовать на дифференцируемость функцию x2 sin, x 0, f (x) = x 0, x = 0.

49. Пусть g(x), x a f (x) = h(x), x < a.

Какому условию должны удовлетворять непрерывные функции g и h, чтобы функция f быладифференцируемой на всей числовой оси 50. Найти многочлен наименьшей степени p(x) такой, чтобы функция x2 e-2 x, | x | 1, f (x) = p(x), | x | > была 1) непрерывна на всей числовой прямой;

2) дифференцируема на всей числовой прямой.

51. Пусть функция f (x) определена на отрезке [a;b] и для любых x1 [a ;b], x2 [a;b] выполняется неравенство | f (x1) - f (x2 ) | K | x1 - x2 |, K = const, > 1.

Тогда f (x) = const на отрезке [a;b]. Доказать.

52. Пусть функция f (x) дважды дифференцируема на промежутке [0;), lim f (x) = 0, | f (x) | 1. Тогда lim f (x) = 0. Доказать.

x + x + 53. Доказать, что если для непрерывной в точке x0 функции f (x) существует lim+ f (x) = A, то существует и f+ (x0) = A (то есть производная справа в точx x0 ке x0 также существует и равна A ).

54. Известно, что функция f (x) непрерывна на отрезке [0;1], дифференци руема на интервале (0;1), f (0) = 4, f (1) = 2, f (x) - 2. Доказать, что f (x) - линейная функция.

55. С помощью методаматематической индукции доказать, что для любых значений n многочлен x2 xn Pn(x) = 1 + x + +... + 2! n! не может иметь более одного действительного корня (точнее, имеет место следующий факт : при n = 2m многочлен Pn (x) не имеет действительных корней, а при n = 2m + 1 имеет ровно один действительный корень).

56. Пусть f (x) - многочлен n - ой степени, имеющий n различных вещест венных корней, а f (x) - его производная. Составим разности между каждым из корней уравнения f (x) = 0 и каждым из корней уравнения f (x) = 0. Вычислить сумму величин, обратных полученным разностям.

57. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [0;1] и дифференцируема на интервале (0;1). Доказать, что если f (0) = f (1) = 0, то f (x) = f (x) в некоторой точке x (0;1).

58. Сколько действительных корней имеет многочлен x2 xn Pn (x) = 1 + x + +... + 2 n 59. Доказать, что функция r t k f (t) = pk (t) e 0, k =где pk (t) - многочлены, R (k = 1,...,r), имеет конечное число нулей на k действительной оси.





60. Доказать, что многочлен x2 xn Pn(x) = 1 + x + +... + 2! n! не имеет кратных корней.

61. Найти многочлен наименьшей степени, принимающий максимальное значение 6 при x = 1 и минимальное значение 2 при x = 3.

62. Пусть многочлен P(x) имеет только вещественные корни. Доказать, что если a - кратный корень P (x), то P(a) = 0.

63. Пусть cc 1 n c0 + +... += 0.

2 n + Доказать, что многочлен c0 + c1 x +... + cn xn имеет хотя бы один действительный корень.

64. Доказать, что для всякой совокупности действительных чисел a0, a1,..., an и любой точки x = x0 существует такой многочлен P(x) степени n, что P(k )(x0) = ak (k = 0,1,...,n). Выразить коэффициенты этого многочлена через числаak.

65. Пусть P(x) - многочлен степени n и P(a) 0, P (a) 0,..., P(n-1)(a) 0, P(n)(a) > 0. Доказать, что действительные корни уравнения P(x) = 0 (если они существуют) не превосходятa.

66. Найти все многочлены P(x), удовлетворяющие тождеству xP(x - 1) (x - 2) P(x), x R.

67. Найти все многочлены P(x), удовлетворяющие тождеству (x - 1) P(x + 1) - (x + 2) P(x) 0, x R.

68. Доказать, что ни для одного многочлена с целыми коэффициентами не могут выполняться равенства P(7) = 5, P(15) = 9.

69. Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём P(0) и P(1) - целые нечётные числа. Доказать, что P(x) не имеет целых корней.

70. Пусть P(x) - целочисленный многочлен, то есть многочлен, принимающий при целых x целые значения. Пусть P(x) принимает значение, равное 5, в пяти целых точках. Доказать, что многочлен P(x) не имеет целых корней.

71. Пусть P(x) - квадратный трёхчлен, 0 P(-1) 1, 0 P(0) 1, 0 P(1) 1.

Доказать, что P(x) 9/8 для любого x [0; 1].

72. Функция f (x) определена на всей оси и обладает следующим свойством :

при x R f (x + x) - f (x) = A(x) x + (x, x), где | (x, x) | C | x |3, C = const. Доказать, что f (x) = Ax + B, A = const, B = const.

73. Функция f (x) дифференцируема на отрезке [a;b]. При переходе через точку [a;b] производная f (x) меняет знак и f ( ) = 0. Доказать, что существуют такие числа, [a;b], <, что f ( ) - f ( ) = 0.

74. Функция (x) дифференцируема и удовлетворяет условию (x) = = F( (x)), где F(x) имеет производные всех порядков. Доказать, что функция (x) также имеет производные всех порядков.

75. Функция f (x), определенная на [0; ), продолжается на всю ось по формуле f (x), x 0, n f (x) = a f (- k x), x < 0.

k k = Доказать, что коэффициенты ak можно выбрать так, чтобы для любой функции f (x) Cn -1([0;)) функция f (x) была n -1 раз непрерывно дифференцируемой на всей оси.

76. Найти все определённые на действительной оси дважды дифференцируе мые функции f (x) такие, что f (x) f (x) = 0 для каждого x.

(k ) 77. Дана функция f (x) Cm ([0;1]). Известно, что ни одна из функций f (x) при k = 0,1,...,m -1 не принимает нулевого значения на отрезке [0;1], а (m) | f (x)| M при всех x [0;1]. Доказать, что max f (x) M / m!.

x[0;1] 78. Пусть многочлен P(x) не имеет действительных корней. Доказать, что многочлен P(2)(x) P(2n)(x) P(x) ++... ++...

2!(2n) ! также не имеет вещественных корней.

79. Пусть функция f (x) дифференцируемана отрезке [0;1], f (0) = 1, f (1) = = 0. Доказать, что f (c) = c в некоторой точке c (0;1).

80. Функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Известно, что f (a) f (b) и при некотором > 0 неравенство f (x) + f (x) < выполнено для всех x (a;b). Доказать, что f (x) < при x (a;b).

(k ) (k ) 81. Пусть f (x) C(R), f (0) = 0, f (0) = 0 и f (x) 0 для всех k N и x > 0. Доказать, что f (x) = 0 при x > 0.

82. Пусть функция f (x) трижды дифференцируема на R. При этом функции f (x), f (x), f (x), f (x) всюду положительны. Доказать, что существует такое положительное число a, что f (x) > ax2 при любом x > 0.

83. Доказать неравенства а) sin x > x при 0 < x < ;

x б) cos x > 1 - при x > 0;

x в) sin x > x - при x > 0;

x г) tg x > x + при 0 < x < ;

3 д) ln x x - 1 при x > 0.

84. Пусть x > 0, 0 < < 1. Доказать неравенство x - x 1 -.

85. Исследовать на экстремум в точке x = 0 функции :

x2 sin(1/ x), x 0, а) f (x) = 0, x = 0.

x2 (1 + sin(1/ x)), x 0, б) f (x) = 0, x = 0.

86. Опираясь на формулу Тейлора, показать, что для больших положительных корней уравнения x tgx = 1 справедлива формула x = n + + O(n-3), n N.

n 87. Доказать, что большие положительные корни уравнения tg x = x даются асимптотической формулой 1 2 -x = - -+ O( ), где = (n + ), n N.

88. Пусть x (0; ). Показать, что n - я итерация синуса sinn (x) = sin(sinn-1 (x)), sin1 (x) = sin x при возрастании n стремится к 0, причёмимеет место предельное соотношение n lim sinn (x) = 1.

n 89. Пусть hn (n) f (x + h) = f (x) + h f (x) +... + f (x + h), = (h) (0;1), n! (n +1) причём f (x) 0. Доказать, что lim =.

hn + 90. Установить интегрируемость функции R(x) из задачи № 40.

91. Доказать следующий критерий интегрируемости по Риману : для существования интегралаот функции f (x) необходимо и достаточно, чтобы по заданным числам > 0 и > 0 можно было найти такое > 0, что, лишь только все xi <, сумма xi длин тех промежутков, которым отвечают колеба i ния функции, сама былабы меньше.

i 92. Воспользовавшись установленным в предыдущей задаче критерием, доказать следующее предложение.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.