WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Прямая на плоскости Учебно-методическое пособие по специальности «Химия» 011000.

ВОРОНЕЖ 2005 2 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 28 февраля 2005 года Протокол № 6 Составитель Петрова Е.В.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского госуниверситета Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения химического факультета 3 1. Уравнение линии 1.1. Уравнение линии как множество точек Равенство вида F x, y = 0 (1) ( ) называется уравнением с двумя переменными x, y, если это равенство справедливо недля всех пар чисел х, у. Примеры уравнений: 2x + 3y = 0, x2 + y2 - 25 = 0, sin x + sin y -1 = 0.

Если (1) справедливо для всех пар чисел х, у, то оно называется тож2 деством. Примеры тождеств: x + y ( ) - x2 - 2xy - y2 = 0, x + y x ( )( - y - x2 + y2 = 0.

) Пусть некоторой линии на плоскости хОу, рассматриваемой как множество точек, соответствует уравнение, связывающее координаты любой точки М (х;у) («текущей точки»), лежащей на этой линии. Такое уравнение называется уравнением данной линии.

Определение. Уравнение (1) называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и неудовлетворяют координаты никакой точки, нележащей на этой линии.

Из определения следует, что линия L представляет собой множество всех тех точекплоскости (х;у), координаты которых удовлетворяют уравнению (1).

Если (1) является уравнением линии L, то говорят, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Если вуравнение данной линии подставить координаты любой точки, лежащей на этой линии, то уравнение обращается в тождество. Если же в уравнение линии подставить координаты любой точки, непринадлежащей этой линии, то уравнение неудовлетворяется.

Линия L может определяться и уравнением вида F, = 0, (2) ( ) содержащим полярные координаты.

Пример 1. Один конец отрезка перемещается по оси абсцисс, а другой – по оси ординат. Найти уравнение линии, описываемой серединой этого отрезка, если длина отрезка равна с.

Решение.

Пусть М(х,у) – середина отрезка. Длина отрезка ОМ (длин медианы) c равна половине гипотенузы, т.е. OM =. С другой стороны, OM = x2 + y2 (расстояние точки М от начала координат).

Таким образом, приходим к уравнению c c x2 + y2 =, или x2 + y2 =.

2 Это и есть уравнение искомой линии. Геометрически очевидно, что c этой линией является окружность радиуса с центром вначалекоординат.

Пример 2. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки ко торой от точки F 0; равно расстоянию этой же точки от прямой y =-.

Решение.

Возьмем на искомой линии произвольную точку М(х;у). Расстояние точки М от точки F определяется по формуле расстояния между двумя точками:

2 MF = x - 0 + y -.

( ) y F Расстояние точки М от прямой y =M найдется из простых геометрических соображений (см. рис.):

K O x y =N MN = MK + KN = y +.

Так как по условию равенство MF = MN выполняется для любой точки М, лежащей на искомой линии, то уравнение этой линии можно записать в виде x2 + y - = y +, или 1 11 x2 + y2 - y + = y2 + y +, 2 162 т.е. y = x2.

Линия, определяемая уравнение y = x2, называется параболой.

Пример 3. Составить уравнение множества точек, произведение расстояний которых от точекF1 a;0 и F( ) (-a;0 есть постоянная величина, ) равная a2.

Решение.

Возьмем на искомой кривой произвольную точку М(х;у). Ее расстояния от точек F1 a;0 и F( ) (-a;0 составляют r1 = x - a + y2, ) ( ) r2 = x + a + y2. Из условия задачи следует, что rr2 = a2. Таки образом, ( ) искомая кривая имеет уравнение x ( - a + y2 x + a + y2 = a2.

) ( ) Приведем это уравнение к рациональному виду:

x2 + a2 + y2 - 2ax x2 + a2 + y2 + 2ax = a4, ( )( ) т.е.

x2 + a2 + y2 - 4a2x2 = a4, ( ) или, наконец, x2 + y2 = 2a2 x2 - y2.

() ) ( Найденная кривая называется лемнискатой.

Пример 4. Составить уравнение лемнискаты в полярных координатах.

Решение.

В уравнении x2 + y2 = 2a2 x2 - y2 (см. предыдущий пример) пе() ) ( реходим к полярным координатам по формулам x = cos, y = sin. Тогда получим 2 2 2 2 2 2 2 cos + sin = 2a2 2cos - sin, или = 2a2 cos2.

( ( ) ) Это – уравнение лемнискаты в полярных координатах.

Пример 5. Составить уравнение множества точек равноудаленных, от точек А(1;1) и В(3;3).

Решение.

Пусть точка М принадлежит искомому множеству; тогда MA = MB.

По формулерасстояния между двумя точками находим 22 MA = x -1 + y -1, MB = x - 3 + y - ( ) ( ) ( ) ( ) и уравнение линии может быть записано ввиде x ( -1 + y -1 = x - 3 + y - 3.

) ( ) ( ) ( ) Возведя обечасти последнего равенства в квадрат, получим x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = x2 - 6x + 9 + y2 - 6y + 9, откуда после приведения подобных членов окончательно приходим к уравнению x + y - 4 = 0. Итак, искомым множеством является прямая, которая, как известно, служит серединным перпендикуляром к отрезку АВ.

Задания для самостоятельного решения 1. Даны точки М1 (2;-2), М2 (2;2), М3 (2;-1), М4 (3;-3), М5 (5;-5), М6 (3;-2). Установить, какие из данных точеклежат на линии, определенной уравнением x + y = 0, и какие нележат на ней.

2. Установить, какие линии определяются уравнениями (построить их):

а) x - y = 0 ; б) x2 - y2 = 0 ;



в) x2 + y2 = 0; г) x2 + y2 + 1 = 0 ;

д) = a, где и - полярные координаты;

е) y = x ; ж) x = y ;

з) x = y ; и) x + x = y + y ;

к) x + y =1; л) x - y =1.

3. Показать, что уравнение x2 + 2x + y2 = 0 задаетна плоскости некоторую окружность.

4. Составить уравнение множества точек, сумма квадратоврасстояний которых от точекА (2;0) и В (0;2) равна квадрату расстояния между точками А и В.

5. Составить уравнение множества точек, сумма расстояний которых от точек А (1;0) и В (0;1) равна 2.

6. Написать уравнение линии, по которой движется точка М (х;у), равноудаленная от точек А (0;2) и В (4;-2).

7. Написать уравнение линии, по которой движется точка М (х;у), оставаясь вдвое дальше оси Ох, чем от оси Оу.

8. Написать уравнение множества точек, равноудаленных от оси Оу и точки F (4;0).

9. В полярной системе координат составить уравнение окружности с центром вполюсе.

10. В полярной системе координат составить уравнение полупрямой, проходящей через полюс и образующей с полярной осью угол.

11. В полярной системе координат составить уравнение окружности диаметра, если полюс лежит на окружности, а полярная ось проходит через центр окружности.

1.2. Параметрические уравнения линии При отыскании уравнения множества точекиногда оказывается более удобным выразить координаты х и у произвольной точки этого множества через некоторую вспомогательную величину t (е называют параметром), т.е. рассматривать систему уравнений x = t, y = t. Такое пред( ) ( ) ставление искомой линии называется параметрическим, а уравнения системы – параметрическими уравнениями данной линии.

Исключение параметра t из системы (если оно возможно) приводит к уравнению, связывающему х и у, т.е. к обычному уравнению вида f x, y = 0.

( ) Пример 1. Составить параметрические уравнения окружности.

Решение.

Рассмотрим окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок). Возьмем на ней произвольную точку М (х;у). Примем за параметр t угол, образованный с осью абсцисс y радиусом ОМ. Из треугольника ОМN следует, что x = acost, в y = asint.Таким образом, M уравнения y x = acost, y = asint (1) t x N O x являются параметрическими уравнениями окружности.

Исключив из этих уравнений параметр t, получим обычное уравнение окружности. В данном случае для исключения параметра достаточно каждое из уравнений вознести в квадрат и полученные уравнения сложить: x2 + y2 = a2 cos2 t + a2 sin2 t, т.е. x2 + y2 = a2. Последнее уравнение является уравнением окружности радиуса а с центром вначалекоординат.

Пример 2. Какая линия определяется параметрическими уравнениями x = t2, y = t2 Решение.

Исключая параметр t, приходим к уравнению y = x. В силу параметрических уравнений x 0, y 0. Следовательно, данные параметрические уравнении определяют луч-биссектрису I координатного угла.

Пример 3. Какая линия определяется параметрическими уравнениями x = cost, y = cos2 t Решение.

Подставив х вместо cost во второе уравнение, получаем уравнение параболы y = x2. Из параметрических уравнений следует x 1, 0 y 1.

Таким образом, параметрические уравнения определяют дугу АОВ параболы y = x2, где А(-1;1), В(1;1).

y Пример 4. Какая линия определяется уравнениями x = sint, y = cosect Решение.

Так как y =, то, исключив, t, полу-O x sint чаем уравнение y =, выражающееобратную x пропорциональную зависимость величин х, у.

Учитывая, что x 1, y 1, заключаем, что линия, заданная параметриче скими уравнениями x = sin t, y = cosect, имеетвид, изображенный на рисунке.

Задания для самостоятельного решения 1. Какая линия определяется уравнениями x = 2t, y = 4t 2. Кривая задана параметрическими уравнениями x = acost, x = acost. Найти ее уравнение в прямоугольной системе координат.

Указание. Разделить первое уравнение на а, второе – на b, а затем исключить t.

3. Кривая задана параметрическими уравнениями x = acest, y = btgt. Найти ееуравнение в прямоугольной системе координат.

4. Какая линия определяется уравнениями x = cos2 t, y = sin2 t 5. Кривая, определяемая параметрическими уравнениями x = acos3 t, y = asin3 t, называется астроидой. Исключив t, найти уравнение астроиды в прямоугольной системе координат.

6. На круг, описанный из центра О радиусом а, навернута по часовой стрелкенить; пусть конец нити находится в точкеА(а;0). Станем развертывать нить (против часовой стрелки), сматывая ее с круга и все время натягивая за конец. Составить параметрические уравнения кривой, описываемой концом нити, если за параметр t взять угол между радиусом ОА и радиусом ОВ, проведенным в точку касания окружности с натянутой нитью впроизвольном положении последней.

2. Прямая 2.1. Общее уравнение прямой Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т.е. уравнение вида Ax + By + C = 0 (1) (где А, В, С – постоянные коэффициенты, причем A2 + B2 0 ) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Частные случаи.

1. C = 0 ; A 0 ; B 0. Прямая, определяемая уравнением Ax + By = 0, проходит через начало координат.

2. A = 0; B 0 ; C 0. Прямая, определяемая уравнением By + C = C (или y = b, где b =- ), параллельная оси Ох.

B 3. B = 0; A 0 ; C 0. Прямая, определяемая уравнением Ax + C = C (или x = a, где a =- ), параллельная оси Оу.

A 4. B = C = 0 ; A 0. Прямая, определяемая уравнением Ax = 0 (или x = 0, поскольку A 0 ), совпадаетсосью Оу.





5. A = C = 0. Прямая, определяемая уравнением By = 0 (или y = 0, поскольку B 0 ), совпадаетсосью Ох.

2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Если в общем уравнении прямой B 0, то, разрешив его относительно у, получим уравнение вида y = kx + b (2) A C (здесь k =-, b =- ). Его называют уравнением прямой с угловым коB B эффициентом поскольку k = tg, где - угол, образованный прямой с, положительным направлением оси Ох. Свободный член уравнения b равен ординате точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример 1. Составить уравнение прямой, отсекающий на оси Оу отрезок b=3 и образующей с осью Ох угол =.

Решение.

Находим угловой коэффициент k = tg = tg =. Подставляя k и :

b в уравнение (1), получаем искомое уравнение прямой:

y = x + 3 или 3y - x - 3 3 = 0.

2.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку M x1; y1 с ( ) данным угловым коэффициентом y - y1 = k x - x1 (3) ( ) Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2;1) и образующей с осью Ох угол =.

Решение.

Находим угловой коэффициент k = tg = tg =1. Подставляя дан:

ные координаты и значение k в уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой:

y -1 = x - 2 или y - x +1 = 0.

2.4. Уравнение прямой проходящей через две данные точки M1 x1; y1 и M2 x2; y( ) ( ) Уравнение прямой, проходящей через точки M1 x1; y1 и M2 x2; y2, ( ) ( ) записывается в виде y - y1 x - x=, (4) y2 - y1 x2 - xи угловой коэффициентэтой прямой находится по формуле y2 - yk =. (5) x2 - x Если x1 = x2, то уравнение прямой, проходящей через точки M1 и M2, имеет вид x = x1.

Если y1 = y2, то уравнение прямой, проходящей через точки M1 и M2, имеет вид y = y1.

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M1 3;1 и M2 5;4.

( ) ( ) Решение.

Подставляя данные координаты точекM1 и M2 в (4), получаем исx - 3 y -комое уравнение прямой: = или 3x - 2y - 7 = 0.

2 Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M (-1;3 и N 2;5.

) ( ) Решение.

Полагая x1 =-1, y1 = 3, x2 = 2, y2 = 5 в уравнении (4), получаем y - 3 x +1 y - 3 x +=, или =.

5 - 3 2 +1 2 Итак, искомое уравнение имеет вид 2x - 3y +11 = 0.

Полезно проверить, что уравнение составлено верно. Для этого достаточно показать, что координаты точекM и N удовлетворяют уравнению прямой. Действительно, равенства 2 - 33 +11 = 0, 2 2 - 35 +11 = (-) выполняются тождественно.

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A (-2;4 и B ) (-2;-1.

) Решение.

Так как x1 = x2 =-2, то прямая имеет уравнение x =-2 (параллельная оси ординат).

2.5. Уравнение прямой в отрезках Если вобщем уравнении прямой C 0, то, разделив все его члены на –С, получим уравнение вида x y + =1 (6) a b C C (здесь a =-, b =- ). Его называют уравнением прямой в отрезках; в A B нем а является абсциссой точки пересечения с осью Ох, а b – ординатой точки пересечения прямой с осью Оу. Поэтому а и b называют отрезками прямой на осях координат.

Пример 1. Прямая задана уравнением 3x - 5y +15 = 0. Составить для этой прямой уравнение «вотрезках».

Решение.

Для данной прямой уравнение «вотрезках» имеет вид x y + =1.

-5 Пример 2. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях коор2 динат отрезки a =, b =-.

5 Решение.

Воспользовавшись уравнением (6) прямой вотрезках, имеем x y +=1.

(- 110) Это уравнение можно переписать в виде x -10y =1, или (5 2) 5x - 20y - 2 = 0 (общее уравнение прямой).

2.6. Нормальное уравнение прямой Пусть на плоскости Оху дана некоторая y прямая L. Проведем через начало координат прямую п, перпендикулярную данной, и назовем ее нормалью кпрямой L. Обозначим через n N точку пересечения нормали спрямой L. На нормали введем направление от точки О к точN p ке N. Обозначим через угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось O L Ох до совмещения ее с нормалью, через р – x длину отрезка ОN (см. рисунок). Тогда уравнение прямой может быть записано ввиде xcos + ysin - p = 0, (7) которое называется нормальным уравнением прямой L.

Чтобы привести общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель =±, (8) A2 + Bвзятый со знаком, противоположным знаку С. Если С = 0, то знак нормирующего множителя можно брать произвольно.

Пример 1. Привести уравнение 3x - 4y + 10 = 0 к нормальному виду.

Решение.

Здесь А = 3, В = -4, С = 10 > 0. Поэтому делим на - 32 + 42 =-5.

Получаем 3 - x + y - 2 = 0.

5 Это – уравнение вида xcos + ysin - p = 0. Именно p = 0, 3 cos =-, sin =+ (значит, 127 ).

5 Пример 2. Привести уравнение 3x - 4y = 0 к нормальному виду.

Решение.

Так как здесь С = 0, то можно разделить либо на 5, либо на – 5. В первом случае получаем 3 x - y = 5 (p = 0, 307 ), во втором случае имеем 3 - x + y = 5 (p = 0, 127 ). Двум значениям соответствует два способа положительного направления на луче ОК.

2.7. Построение прямой по ее уравнению Для построения прямой достаточно отметить две ее точки. Например, можно взять точки пересечения с осями (если прямая непараллельна ни одной оси и непроходит через начало; в случае, когда прямая параллельна одной из осей или проходит через начало, мы имеем только одну точку пересечения). Для большей точности лучше найти еще одну – две контрольные точки.

Пример 1. Построить прямую 4x + 3y =1.

Решение.

Положив у = 0, найдем (см. рисунок) А3 y точку пересечения с осью абсцисс: A1 ;0.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.