WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА Часть 3 Практикум по специальностям:

физика 010701 (010400) микроэлектроника и полупроводниковые приборы 010803 (014100) радиофизика и электроника 010801 (013800) ВОРОНЕЖ 2005 2 Утверждено научно-методическим советом физического факультета 26 мая 2005 г. протокол № 5 Составители: Ларионов А.Н., Бутусов И.Ю., Носова В.И., Ларионова Н.Н.

Практикум подготовлен на кафедреобщей физики физического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов физического факультета специальностей:

013800 (радиофизика и электроника), 014100 (микроэлектроника и физика полупроводников), 010400 (физика) 1 курса дневной формы обучения, специальности 013800 (радиофизика и электроника) 2 курса вечерней формы обучения.

3 РАБОТА 27. ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО (ГАУССОВА) РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН НА МЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГАЛЬТОНА Цель работы – изучениезакона нормального распределения случайных величин, анализ статистических распределений.

Теория метода В природе и повседневной жизни приходится часто встречаться с явлениями, результат которых с достоверностью заранее предсказать нельзя, так как на них оказывает влияние большое число нерегулярных, носящих случайный характер факторов. Примерами могут служить движениемолекул газа, измерениефизических величин, стрельба в цель, бросаниеигральной кости и т.д. Такиеявления называются случайными. Случайные явления описываются методами теории вероятностей. Рассматривая единичное случайное событие мы не, можем установить никаких закономерностей, характеризующих данное явление Однако большая совокупность случайных событий подчиняется некото.

рым законам, которые называются статистическими законами. При помощи таких законов можно определять вероятность, с которой осуществляется данное событиевсерии однотипных случайных событий, вычислять средниезначения всерии измерений и т.п.

Для случайных величин, изменяющихся непрерывно, наиболее распространенным статистическим законом является закон нормального, или гауссова распределения. Гауссово распределение имеет место в том случае, когда при большом числе наблюдений с равной вероятностью осуществляются положительные и отрицательные отклонения случайной величины от некоторого (наиболее вероятного) ее значения, причем малые отклонения более вероятны, чем большие. Примером нормального распределения может служить распределение случайных погрешностей при измерении физических величин, распределение молекул видеальном газе по компонентам скоростей и т.д.

Пусть производится серия n измерений некоторой физической величины.

Случайные погрешности результатов этих измерений обозначим a1, a2, an.

Число dn случайных погрешностей, величина которых лежит внекотором малом интервале [a, a+da], должно быть пропорционально полному числу измерений n и длинеинтервала da. Кроме того, оно зависит по некоторому закону f(a) от самой величины погрешности:

dn = nf (a)da (1) Зависимость f(a), заданная в явном виде, называется законом распределения случайных погрешностей.

dn Отношение имеет смысл вероятности того, что величина погрешности n отдельного измерения из этой серии лежит в некотором малом интервале [a, a+da] около заданного значения.

Из (I) следует, что f(а) = dn ndа, следовательно, функция f(a) численно равна вероятности, с которой можно получить погрешность, заключенную вединичном интервалеda = 1 около заданного значения. Поэтому ее называют плотностью вероятности.

В соответствии со сказанным выше функция f(a) для гауссова распределения должна быть четной, а следовательно, зависеть от модуля погрешности, или от квадрата ее величины. Она должна убывать при возрастании a. В теории вероятностей показано, что для гауссова распределения f(a) имеет вид:

1 af (a) = exp(- ) (2) Величина 2, входящая в формулу (2), постоянна для данной серии измерений и называется дисперсией отдельного измерения. Как показывает теория, дисперсия равна:

n = lim a (3) i n n i=На рис. 1 изображены график функции Гаусса (2) при различных значениях.

Рис. 1. Гауссово распределениевероятностей случайных погрешностей.

Из рис. 1 и формулы (3) видно, что дисперсия характеризует случайный разброс данного ряда измерений относительно истинного значения. При ограниченном численаблюдений приближенной оценкой дисперсии может служить так называемая выборочная дисперсия, вычисленная по некоторому "выбранному" конечному числу измерений:

n = (4) a i n i=Экспериментальная установка Приборы и принадлежности: установка, набор шариков.

Закон нормального распределения хорошо подтверждается экспериментом. В данной работеизучениеэтого закона проводится на механической модели, воспроизводящей картину случайных отклонений от среднего положения маленьких металлических шариков, рассеиваемых с равной вероятностью вправо и влево большим числом металлических призм. Прибор (рис. 2) состоит из воронки 1, рассеивающих призм 2, ящика 3 с узкими ячейками, имеющими прозрачные стенки из плексигласа, и выдвижным дном 4 и коробки 5, расположенной в основании прибора. Через отверстие воронки высыпается большое чиcло n мелких шариков. В результате рассеяния на Рис. призмах 2 они случайным образом распределяются по ячейкам установки. Ширину ячейки x примем за интервал, равный единице измерений: x = 1. Тогда величина отклоне- ния шарика от центральной стенки (x = 0) до ячейки, в которую попал шарик, будет равна номеру ячейки. Выдвигая дно 4 ящика так, чтобы в коробку 5 каждый раз высыпались шарики только из одной ячейки, можно подсчитать числа nk шариков в каждой ячейки, здесь k = 1, 2, …, 8 в положительном направлении оси X и k = -1, -2, …, -8 в отрицательном направлении оси X. Так как x =1, отношение yk = nk/n равно плотности вероятности попадания шарика вk-ю ячейку, другими словами, оно совпадает со значением функции Гаусса для этой ячейки.



Порядок выполнения работы ЗАДАНИЕ 1. Построение экспериментальной кривой распределения случайных отклонений рассеянных шариков.

1. Через отверстиеворонки высыпать шарики в установку, наблюдая картину их распределения.

2. Подсчитать число шариков nk в каждой ячейкеустановки. Для этого выдвинуть дно ящика (рис.2) установки на ширину одной ячейки, чтобы шарики высыпались в коробку. Снять ящик с коробки, подсчитать число шариков nk, высыпая их встакан. Результаты измерений записать втаблицу.

Таблица.

ЭКСПЕРИМЕНТ ТЕОРИЯ x, условных nk yk yk 100 y(x) y(x) единиц -------- 3. Найти общее число шариков n = nk.

nk yk = 4. Вычислить отношения для каждой ячейки, занести втаблицу.

n 5. На миллиметровой бумаге построить график распределения случайных отклонений шариков. По горизонтальной оси откладываются отклонения x в условных единицах, по вертикальной – значения yk 100. Линия графика должна представлять собой плавную кривую. Она проводится таким образом, чтобы примерно одинаковое число точек находилось по одну и другую сторону графика.

6. Вычислить выборочную дисперсию по формуле:

= nk xk n n k =-ЗАДАНИЕ 2. Построениетеоретической кривой распределения случайных отклонений шариков.

1. Пользуясь вычисленным значением дисперсии, для всех значений x от - до 8 рассчитать соответствующиезначения функции Гаусса 1 xy(x) = exp(- ).

Результаты вписать втаблицу.

2. На одном листе с экспериментальным графиком изобразить другим цветом теоретическую кривую, откладывая по осям координат значения x и yk 100.

3. Сравнить теоретическую и экспериментальную кривые, сделать выводы.

ВНИМАНИЕ! Шарики нерассыпать, работать с ними аккуратно.

III. ЛИТЕРАТУРА 1. Сквайрс Дж. Практическая физика / Дж. Сквайрс. - М. : Мир, 1971. - 246 с.

2. Кассандрова О.Н. Обработка результатов наблюдений / О.Н. Кассандрова, В.В. Лебедев. - М. : Наука, 1970. - 104 с.

IV. КОНТРОЛЬНЬЕ ВОПРОСЫ 1. Понятие случайного явления, вероятности случайного явления статистического закона.

2. Для каких случайных величин справедливнормальный закон распределения 3. Что такое плотность вероятности 4. Гауссов закон распределения вероятностей случайных погрешностей.

5. Понятиедисперсии, его смысл. Как практически оценивается дисперсия для конечного числа измерений 6. Экспериментальная проверка закона нормального распределения случайных погрешностей на механической модели Гальтона.

РАБОТА 28. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ И СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА Цель работы - измерениекоэффициента внутреннего трения и средней длины свободного пробега молекул воздуха капиллярным вискозиметром.

Теория метода Если истечениегаза совершается черездостаточно короткий капилляр, то разность давлений на его концах невелика, и тогда плотность газа вдоль оси капилляра остается практически неизменной. Поэтому газ можно считать несжимаемым, и, следовательно, можно применить закон Пуазейля для ламинарного течения жидкости по трубам (капиллярам):

RV =p t, (1) 8LV где V - объем газа, протекающий черезкапилляр длиной L, радиуса R за время t, p - разность давлений на концах капилляра, - коэффициент внутреннего трения газа. Из формулы Пуазейля (1) можно определить коэффициент внутреннего трения воздуха:

R = p t. (2) 8LV С другой стороны, в молекулярно-кинетической теории выражениедля коэффициента внутреннего трения газа имеет вид = < >< >, (3) где - плотность газа, <>- средняя скорость теплового движения молекул, <> - средняя длина свободного пробега молекул газа. Из (3) можно найти длину свободного пробега молекул газа (воздуха):

<> = 3 <>, (4) 8RT Имея в виду, что, согласно молекулярно-кинетической теории, <>=, а плотность, вычисленная из уравнения Менделеева-Клапейрона равна P =, получим выражениедля <>:

RT RT < >= 1,. (5) P Здесь - молярная масса воздуха, R - универсальная газовая постоянная, P - атмосферное давление, T - температура окружающего воздуха.

Экспериментальная установка Приборы и принадлежности: установка, воронка, сосуд для воды, секундомер, термометр, барометр.

Установка, изображенная на рисунке 3, состоит из капилляра (1), спиртового манометра (2), сосуда с краном (аспиратора) для воды (3), стеклянных трубок с расширениями (4), осушительной склянки (5) сосуда (3) при открытом кране (6) вытекает вода и в нем создается разрежение. За счет перепада давления на концах капилляра через него протекает поток воздуха из атмосферы черезосушительную склянку (5). При этом объем V воздуха, прошедший через капилляр за время t, равен объему вытекающей из аспиратора воды, если разность давлений p, измеренная по манометру, остается неизменной (стационарное течение). Длина капилляра L и его радиус R заданы. Объем V вытекающей воды измеряется по шкалена сосуде (3).

Из сосуда (3) при открытом кране (6) вытекает вода и в нем создается разрежение. За счет перепада давления на концах капилляра через него проте кает поток воздуха из атмосферы через осушительную склянку (5). При этом объем Рис. V воздуха, прошедший черезкапилляр за время t, равен объему вытекающей из аспиратора воды, если разность давлений p, измеренная по манометру, остается неизменной (стационарное течение). Длина капилляра L и его радиус R заданы. Объем V вытекающей воды измеряется по шкалена сосуде (3).





Порядок выполнения работы ЗАДАНИЕ 1. Измерениекоэффициента внутреннего трения 1. Наполнить сосуд (3) водой.

2. Открыть кран (6). Черезнекоторый промежуток времени установится стационарное истечениеводы (разность уровней жидкости в манометребудет неизменной).

3. Измерить секундомером время истечения заданного объема V воды.

4. Измерить разность высот H жидкости вколенах спиртового манометра.

5. Вычислить разность давлений p по формулеp = gH, где - плотность спирта вманометре ( = 800 кг/м3), g - ускорениесвободного падения.

6. Вычислить коэффициент внутреннего трения по формуле (2).

7. Опыт повторить 10 раз. Скорость истечения жидкости из аспиратора вразных опытах может быть различной. Результаты измерений и вычислений записать втаблицу.

Таблица V = … (по заданию).

№, Па · с t, c H, мм p, Па 6. Вычислить среднее значение и его погрешность. Представить результат совместно с погрешностью.

Примечания:

1. Скорость истечения воды следует устанавливать такой, чтобы разность высот H была неслишком мала (большиепогрешности измерений) и неочень велика (течение воздуха через капилляр перестает быть ламинарным). Оптимальные значения H - 35 см.

2. Во время вытекания достаточно большого объема жидкости первоначальная разность высот в коленах манометра закономерно уменьшается. Следует поддерживать ее постоянной в течениевсего опыта, регулируя скорость истечения при помощи крана (6).

ЗАДАНИЕ 2. Измерениесредней длины свободного пробега молекул воздуха.

1. Измерить атмосферное давлениеP по барометру и температуру T воздуха термометром.

2. Вычислить <> молекул воздуха по формуле (5).

3. Результат для средней длины свободного пробега молекул воздуха представить с указанием погрешности. Сформулировать выводы.

V. ЛИТЕРАТУРА 1. Кикоин А.К. Молекулярная физика / А.К. Кикоин, И.К. Кикоин - М. : Наука, 1976. - С. 135 - 139, С. 171 - 180.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики : в 5-ти т. / Д.В. Сивухин - М. : Наука, 1979. - Т. 2 : Молекулярная физика. - С. 326 - 329, С. 338 - 842.

VI. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Средняя длина свободного пробега молекул газа, основная формула, зависимость от параметров состояния газа.

2. Внутреннее трениевгазах, формула Ньютона.

3. Коэффициент внутреннего трения, его физический смысл, размерность, зависимость от параметров состояния газа.

4. Формула Пуазейля.

5. Устройство капиллярного вискозиметра, ход работы, особенности метода.

Обработка результатов измерений.

РАБОТА 31. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛИНЕЙНОГО РАСШИРЕНИЯ МЕТАЛЛОВ Цель работы - изучениетеплового расширения металлических стержней.

Теория метода Твердые тела при нагревании увеличивают свой объем. Это - тепловое расширение, то есть при повышении температуры увеличиваются средниерасстояния между атомами кристалла твердого тела. В чем причина этого увеличения При повышении температуры кристалла увеличивается энергия тепловых колебаний атомов в решетке а следовательно, и амплитуда этих колеба, ний. Вследствиетого, что колебания атомов в кристаллической решеткеявляются ангармоническими, при возрастании амплитуды колебаний рост сил отталкивания между атомами преобладает над ростом сил притяжения. Это приводит к увеличению среднего расстояния между атомами и, следовательно, к увеличению объема тела при его нагревании. Таким образом, причиной теплового расширения твердых тел является ангармоничность колебаний атомов в кристаллической решетке.

Количественно тепловое расширение характеризуется коэффициентами линейного и объемного расширения, которые определяются следующим образом. Пусть тело длиной L при изменении температуры на dT градусов изменяет свою длину на dL, тогда коэффициент линейного расширения определяется по формуле:

1 dL =, (1) LdT то есть коэффициент равен относительному изменению длины при изменении температуры на один градус.

Соответственно, коэффициент объемного расширения определяется так:

1 dV =, (2) V dT значит, коэффициент равен относительному изменению объема при изменении температуры на один градус.

Коэффициенты теплового расширения, вообще говоря, зависят от температуры: при низких температурах и уменьшаются с понижением температуры, стремясь к нулю при абсолютном нуле. При достаточно высоких температурах, однако, и практически можно считать постоянными, если рассматриваемый интервал температур неслишком велик. Тогда формулы (1) и (2) можно переписать, заменяя производные отношениями конечных приращений L и V длины и объема к изменению T температуры тела:

1 V 1 L = =,. (3) L T V T В данной работе определяются коэффициенты линейного расширения металлических стержней в интервалетемператур 0100°С. В этом случае L = L0 - длина стержня при 0°С.

I. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ Приборы и принадлежности: горизонтальный оптиметр, набор металлических стержней, штангенциркуль, электрическая плитка, парообразователь, резиновые трубки.

Горизонтальный оптиметр позволяет определить удлинениеобразца с точностью 0,001 им. Он показан на рис. 1.

На станинеоптиметра установлен подвижный столик 1. Винт 2 осуществляет горизонтальное перемещениестолика. Винт 3 перемещает столик ввертикальном направлении, если освободить винт 4. Винт 5 позволяет установить плоскость столика горизонтально.

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.