WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Пособие по уравнениям в частных производных.

Теорияи методы решения задач Учебно-методическое пособие по специальности 010101 (010100) - Математика Воронеж 2005 2 Утверждено научно-методическим советом математического факультета 14 июня 2005 года, протокол №10 Составитель Малютина О.П.

Пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского госуниверситета Предлагаемое учебно-методическое пособие представляет собой интегрированное изложение лекционно-практических занятий курса «Уравнения в частных производных», предназначенного для студентов вечернего отделения математического факультета. Здесь содержится вывод уравнения колебаний струны, классификация уравнений второго порядка, приведение их к каноническому виду и один из основных методов решений уравнений математической физики – метод характеристик Даламбера.

На конкретных примерах приводится подробное изложение приведения уравнений каждого из трех типов к каноническому виду и решение методом характеристик. После каждого примера дается список рекомендуемых упражнений с прилагаемыми ответами для самостоятельного решения Рекомендуется для студентов 4 курса вечернего отделения математического факультета 3 1. Основные уравнения математической физики Уравнение, связывающее неизвестную функцию u,( xx,..., xn ), 21 независимые переменные xx,...,, xn и частные производные от неизвестной 21 функции, называется дифференциальным уравнением с частными производными.

Общий вид этого уравнения:

u u ku xF,( x21,..., xn, u,,...,,..., = 0), kk kn 21 x1 xn xx...xn 21 где F – заданная функция.

Наивысший порядок частной производной, входящей в уравнение, называется порядком этого уравнения.

Общее уравнение с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными x и y может быть записано в виде u u xF,( y,u, = 0), x y Общее уравнение с частными производными второго порядка имеет вид u u 2u u 22 u xF,( y,u,,,,, ) = x y x2 yx yУравнение с частными производными называется квазилинейными, если оно линейно зависит от старших производных неизвестной функций.

Например, 2u u 22 u xA,( y) + (xB, y) + (xC, y) (, yxf,u,u,uyx ) =+ x2 yx yесть квазилинейное уравнение второго порядка.

Уравнение с частными производными называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех ее частных производных.

Общий вид линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными следующий:

2u u 22 u u u xA,( y) + 2 (xB, y) + (xC, y) + (xD, y) + (xE, y) (xG, y)u =+ F(x, y) (1.1) x2 yx y2 x y Решением уравнения с частными производными называется функция = uu x,( x21,...xn ), которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество.

К дифференциальным уравнениям с частными производными второго порядка приводят многие задачи физики и механики.

1. К волновому уравнению приводит изучение колебательных явлений.

2u 2u 2u 2u - a2 + + )( = (tf, x, y z),, (1.2) t x2 y2 zгде а – скорость распространения волны в данной среде.

2. Процессы распространения тепла в однородном изотропном теле и явления диффузии описываются уравнением теплопроводности.

u 2u 2u 2u - a2 + + )( = (tf, x, y z), (1.3) t x2 y2 z 3. Изучение установившегося теплового состояния в однородном изотопном теле приводит к уравнению Пуассона:

2u 2u 2u + + =,( yxf z), (1.4) x2 y2 zПри отсутствии источников тепла внутри тела уравнение (1.4) переходит в уравнение Лапласа 2u 2u 2u + + = 0 (1.5) 2 x2 y z Уравнения (1.2)-(1.5) называют основными уравнениями математической физики.Их решение дает возможность исследовать ряд физических и технических задач.

Уравнения (1.2)-(1.5) имеют, вообще говоря, не единственное решение.

При решении конкретной физической задачи из всех этих решений необходимо выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, вытекающим из физического смысла задачи. Такими дополнительными условиями являются начальные условия, относящиеся к моменту времени, с которого начинается изучение явления, и граничные условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, где протекает данный физический процесс.

Задача математической физики корректно поставлена, если решение:

1) существует;

2) единственно;

3) устойчиво, т.е. малые изменения данных задачи вызывают малые изменения решения, эти требования на постановку задачи с практической точки зрения объясняется тем, что 1) уравнение лишь приближенно отражает рассматриваемый физический процесс;

2) начальные и граничные условия не могут быть определены с абсолютной точностью.

2. Канонический вид линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными Рассмотрим уравнение (1.1). Будем предполагать, что коэффициенты A(x,y), B(x,y), C(x,y) не обращаются одновременно в нуль. Если вместо (x,y) ввести новые независимые переменные =,( yx ) =,( yx ), где, - дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем Якобиан не обращается в нуль:

yx D,( ) =,xD,( y) yx то уравнение можно упростить и привести его к одному из трех типов 2u uu =,(,uF,, ) (2.1) (или, положив = +, = -, получим 2 2uu uu - =,(, ) (2.1`),u, 2 2u uu =,(, ) (2.2),u, или 2u uu =,(, ) (2.2`),u, 2 2uu uu + =,(, ). (2.3),u, 2 Если уравнение (1.5) приводится к виду (2.1) или (2.1’), то это уравнение гиперболического типа, а уравнения (2.1), (2.1’) называются каноническими уравнениями гиперболического типа. Если после замены получим (2.2) или (2.2’), то уравнение (1.5) – параболического типа. Если после замены получим (2.3), то уравнение (1.5) – эллиптического типа.



Тип уравнения может быть также определен без приведения к каноническому виду, а непосредственно по коэффициентам уравнения (1) по знаку выражения - ACB.

Если в точке,( yx ) ACB >-,0 то уравнение (1.5) гиперболического 2 типа в этой точке, при ACB =- 0 - параболического, а при ACB <- 0 - эллиптического типа.

3. Приведение к каноническому виду уравнении второго порядка в частных производных с двумя независимыми переменными Рассмотрим уравнение (1.1). Дифференциальное уравнение dyA )( 2Bdxdy +- C(dx22 ) = 0 (3.1) называется уравнением характеристик уравнения (1.1).

Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два интеграла:

,( yx ) = c1,,( yx ) = c2, (3.2) т.е. существует два семейства действительных характеристик. С помощью замены переменных =,( yx ) и =,( yx ) (3.3) дифференциальное уравнение (1.1) приводится к каноническому виду.

Рассмотрим более подробно конкретный пример.

Пример 1.

2u 2u Привести к каноническому виду уравнение x2 - y2 = 0.

x2 yРешение:

2 Здесь = xA, B =,0 -= yC, ACB =- x22 y2 > 0 (исключение составляет случай xy = 0, но тогда исходное уравнение обращается в тождество = 00 ), следовательно, это уравнение гиперболического типа.

Составляем уравнение характеристик:

dyx )( y2 (dx)2 =- 0 или xdy + ydx)(( xdy - ydx) = 0.

Получаем два дифференциальных уравнения xdy + ydx = 0 и xdy - ydx = 0.

Разделяя переменные и интегрируя, имеем dy dx =+ 0, т.е. ln + ln xy = ln Cy x dy dx =- 0, т.е. ln - ln xy = ln Cy x После потенцирования находим x xy = C1 и = C2 - уравнения двух семейств характеристик.

y y Введем новые переменные = xy, =.

x Выразим частные производные по старым переменным через частные производные по новым переменным u u u u yu = + = y x x x xu u u u u = + = x + y y y x 2u 2u u u 22 2u u u = )( + + + ( )2 + + = 2 x2 x xx x2 x xx x2u u u u 2 u 2 2u 2 yu -y)( = )( + 2 + ( )2 + + = y2 + 2 + 2 2 x xx x x2 x x2 yu uu 2y 2u y2 22 uu y2 2yu + )( +- 0 + = y2 - 2 + + 2 x22 x2 x xxАналогично находим 2u 2u u u u 2 u = )( + 2 + ( )2 + + = 2 y2 y yy y y2 y2u u 22 u 11 uu 2u 22 uu x2 + 2 x + + + 00 = x2 + 2 + x x22 2 x Подставив в данное дифференциальное уравнение найденные для вторых производных выражения, получим 22 2u yu 2 yu yu 2u 2u 1 2u x2 2 y2 - 2( + + 2 ) - y2 ( x2 + 2 + = 0) 2 x x34 xx2 2u yu - y2 + 24 = x 2 1 uu - = 2 xy 2 1 uu - = т.е. уравнение приведено к каноническому виду.

Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик совпадают, то есть уравнение характеристик дает лишь один интеграл,( yx ) = C. В этом случае нужно произвести замену переменных =,( yx ), =,( yx ), где,( yx ) - какая-либо функция, для которой - 0. После такой замены уравнение приводится к yx y x каноническому виду.

Пример 2.

Привести к каноническому виду уравнение:

2 z 2 z 2 z sin - 2yx sin x + y2 = x2 yx y2 Решение: Здесь = sin xA, = - yB sin x, = yC.

Так как ACB =- y22 sin x - sin2 xy2 = 0, то данное уравнение – параболического типа.

Уравнение характеристик имеет вид sin (dyx )22 2y sin xdxdy ++ y2 (dx)2 = 0 или (sin xdy ydy)2 =+ 0.

Разделяя в уравнении sin xdy + ydx = 0 переменные и интегрируя, имеем dy dx =+ y sin x x ln ln tgy =+ ln C x ytg = C x Произведем замену переменной: = ytg, = y (произвольная функция) Тогда получим (проведя предварительно операции дифференцирования, аналогичные приведенным в примере 1).

z 1 sec zx z y sec22 x z = y + 0 =, x 2 2 1 x т.к. = y cos, x 2 = ;x z zx x = tg +, т. к. = tg y 2 y = y 2 z 1 2 zx 2 z 2 z z 1 x x = ( y sec 2) + 0 + 02 2 + y sec2 tg = x2 2 2 2 xy 2 z y x zx = sec4 2 + sec2 tg 4 22 2 z 2 zx zx 22 z z z x zx 22 z 2 = tg + 2tg + 11 + 0 + 0 tg += 2tg + 2 2 y2 2 2 2 Остановимся более подробно на вычислении смешанной производной z 22 z z z 22 2z z 22 z = + + + + + = 2 yx yx yx yx yx yx yx 2 z 22 zz z z = + + )( + + + = 2 yx x y x y yx yx yx 2 z 1 x 2zx 1 x 2 zx z 1 x z = y sec2 tg + ( y sec2 tg + 10 ) + 0 1+ sec2 + 0 = 2 2 22 2 22 2 1 2 z 2 zx 1 zx x = ( tg + y sec) + sec2 2 2 2 Подставляя в данное дифференциальное уравнение выражение для вторых производных, имеем Разделяя в уравнении sin xdy + ydx = 0 переменные и интегрируя, имеем dy dx =+ y sin x x ln ln tgy =+ ln C x ytg = C x Произведем замену переменной: = ytg, = y (произвольная функция) Тогда получим, проведя операции дифференцирования, аналогичные приведенным в примере 1.

z 1 sec zx z y sec22 x z = y + 0 =, x 2 2 1 x т.к. = y cos, x 2 = ;x z zx x = tg +, т. к. = tg y 2 y = y 2 z 1 2 zx 2 z 2z z 1 x x = ( y sec 2) + 0 + 02 2 + y sec2 tg = x2 2 2 2 xy 2 z y x zx = sec4 2 + sec2 tg 4 22 2 z 2 zx zx 22 z z z x zx 22 z 2 = tg + 2tg + 11 + 0 + 0 tg += 2tg + 2 2 y2 2 2 2 Остановимся более подробно на вычислении смешанной производной z 22 z z z 22 2z z 22 z = + + + + + = 2 yx yx yx yx yx yx yx 2 z 22 zz z z = + + )( + + + = 2 yx x y x y yx yx yx 2 z 1 x 2 zx 1 x 2zx z 1 x z = y sec2 tg + ( y sec2 tg + 10 ) + 0 1+ sec2 + 0 = 2 2 22 2 22 2 1 2 z 2 zx 1 zx x = ( tg + y sec) + sec2 2 2 2 Подставляя в данное дифференциальное уравнение выражение для вторых производных, имеем 1 2z x 1 z x x 2 z 2zx x 2 y sec42 sin2 x + y sec2 tg sin x - ( tg + y sec) sin x 2 4 2 2 22 2 z x 2 z zx 22 zx 22 - y sec sin + yx ( tg + 2 tg + = 0) 2 2 2 2z В процессе простейших арифметических действий члены, содержащие и 2 z, взаимно уничтожаются, и уравнение принимает вид 1 z x x 2 zz x 22 y sec tg sin + yx - y sec2 sin x = 0, 2 22 или 2 zz y = sin x.





x 2tg x Так как sin x =, tg =, то sin x =.

x 2 + 1+ tg Окончательно получаем 2 2 zz = 22 + Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик имеют вид,( yx ) ± i (x, y) = C1, где,( yx ) и,( yx ) - действительные функции.

С помощью подстановки =,( yx ), =,( yx ) уравнение приводится к каноническому виду. (1) Пример 3.

Привести к каноническому виду уравнение 2z z 22 z - + 22 = x2 yx yРешение. Здесь A = 1 B = -1 C = 2 ACB =- - 21 = -1 < 0 - уравнение эллиптического типа.

Уравнение характеристик имеет вид dy)( 2dxdy ++ 2(dx)22 = 0 или 2' yy '++ 2 = Отсюда = -1' ± iy, получаем два семейства мнимых характеристик:

+ xy - ix = C1 и + xy + ix = C2.

Произведя замену переменных = + xy, = x, имеем 2 = ;1 = ;0 = ;= ;1 = ;y yx x x2 y 2 2 = ;1 = ;= ;0 = ;0 = ;x y x2 y yx z zz z z = + 11 = + ;

x z zz z = + 01 = ;

y 2 z 2z z 22 z 2 z 22 zz 2z = + )( + ( + ) = + 2 + ;

2 2 x x x2 x x z 22 z z 22 2 zz = + = + ;

2 yx x x 2z 2 z z 22 z = + = 2 y y2 y Подставив найденные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем 2 zz 22 z 2z z 22 z + + - 22 - 2 + 2 = 2 2 2 или 2 2 zz + =.2 Рекомендуемые упражнения:

Привести к каноническому виду уравнения:

2 z 2 z 2 z 1. x2 + xy + y2 = x2 zx y2 z z 22 z z z 2. - - 34 - 2 + 6 = x2 yx y2 x y 2 z 11 2z 3. + = x2 yx y2u 2u 2u 4. x2 + xy + y2 = x2 yx y2u u 22 u 5. + + = x2 yx y2u 11 2u 6. + = x2 yx y4. Уравнение колебаний струны Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться, т.е. не оказывает никакого сопротивления изменению ее формы, не связанного с изменением ее длины.

Пусть в положении равновесия струна совпадает с осью Ox. Мы предполагаем, что струна имеет длину l и натянута с силой T, x=0 - левый конец струны (тогда x=l правый). Обозначим u(x,t) смещение точки x струны в момент времени t. Возьмем ось Ou Ox и будем рассматривать лишь поперечные колебания, когда всякая точка x смещается только перпендикулярно Ox. При каждом фиксированном значении t график функции u(x,t), очевидно, дает форму струны в этот момент времени ( рис. 1):

Рассматривая далее только малые колебания струны, будем считать, что смещение u(x,t), а также производная u столь малы, что их квадратами и t произведениями можно пренебречь по сравнению с самими этими величинами. Выделим произвольный участок [, xx ] струны, и пусть при колебании этот отрезок деформируется в некоторый отрезок MM (рис. 2). Вычислим длину дуги MM 21 x2 x2 u dSS == + (1 )2 dx = x - x12 (в силу того, что u 0 ) dx x x MM x1 xu M T( x2 ) 2 M T( x1) x1 x2 x Рис.т.е. в процессе малых колебаний удлинения струны не происходит, следовательно, в силу закона Гука величина натяжения струны не меняется со временем. Покажем, что величину натяжения T можно считать независящей от x, т.е. TT. С этой целью рассмотрим участок MM струны.

0 xT );( T (x21 ) - силы натяжения. Кроме сил натяжения на участок MM действуют и силы инерции. По принципу Даламбера сумма проекции всех сил на ось Ox и на ось Ou должна равняться нулю. Так как мы рассматриваем только поперечные колебания, то силы инерции и внешние силы направлены параллельно Ou, тогда xT )( cos (x11 ) - T (x2 ) cos (x2 ) = 0, где x)( - угол между касательной в точке с абсциссой x к струне в момент времени t с положительным направлением оси Ox.

В силу малости колебаний 1 cos (x) = = + tg (1 x) 1+U x и, следовательно, xT )( T (x21 ).

Отсюда в силу произвольности x1 и x2 следует, что T не зависит от x, т.е.

можно считать, что TT для всех x и t.

Проекции на ось Ou сил натяжения, действующих в точках M1 и M равняется = TY [sin (x20 ) - sin (x1)], tg x)( Ux u однако sin (x) = = +, x + tg (1 x) 1+ Uxи, следовательно, u u = TY - x x xx x x== Замечая, что xu u 2u = dx, - x x x xx x== x12 xокончательно получим x2u = TY dx (4.1) xxОбозначим через p(x,t) внешнюю силу, действующую на струну параллельно оси Ou и рассчитанную на единицу длины. Тогда проекция на ось Ou внешней силы, действующей на участок MM струны, будет равна xxp,( t)dx (4.2) xПусть x)( - линейная плотность струны, тогда сила инерции участка MM струны будет равна x2u - x)( dx (4.3) t xЗапишем условие равенства нулю суммы проекций всех сил, действующих на участок MM : сил натяжения, внешней силы и силы инерции, т.е.

x 2u 2u - (xp,t)dx = T x2 - x)( t xОтсюда, в силу непрерывности подынтегральной функции и произвольности x1 и x2, следует, что подынтегральная функция должна равняться нулю для каждой точки струны в любой момент времени t, т.е.

2u 2u x)( = T0 + (xp,t) (4.4) t xЭто есть уравнение колебаний струны.

Если = const ( случай однородной струны) уравнение (4.4) примет вид 2u 2u = a2 + xf,( t), (4.5) t xгде T0 xp,( t) a =, xf,( t) =. (4.6) Если внешняя сила отсутствует, то p(x,t)=0, и получаем уравнение свободных колебаний струны:

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.