WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Часть 2 Учебно-методическое пособие длястудентов по специальности 010101 (010100) Математика Воронеж 2005 2 Утверждено научно- методическим советом математического факультета 14 июня 2005 года Протокол № 11 Составители: Михайлова И.В.

Баркова Л.Н.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется длястудентов 3 курса дневного и 5 курса вечернего отделений математического факультета Учебно-методическое пособие написано в соответствии спрограммой курса « Теорияслучайных процессов». Оно содержит краткие теоретические сведенияи задачи длясамостоятельного решения.

3 1. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ СОСТОЯНИЙ И НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ Определение 1. Случайный процесс, t T со значениями в { ( ) } t, фазовом пространстве называется марковским, если длялюбого ( ) t T и любых событий At, B t справедливо равенство P A B =t =P A =t P B =t п. н. (1) { } { } { }, - основное вероятностное пространство, X, - измеримое, ( ) пространство, в котором все одноточечные множества измеримы, t =, s T, s t, t =, s T, s t, =t =,t T - -алгебры, { } { } { } s s t порожденные соответствующими семействами случайных величин.

Прежде чем сужать класс рассматриваемых процессов, дадим Определение 2.Функция s,t, x,, определеннаядля ( ) s,t T, s t, x,, называется переходной функцией марковского процесса,t T, если:

{ ( ) } t 4 5 4. Рассмотрим бросанияправильной игральной кости и условимся говорить, что в момент n система находится в состоянии Ej, если j наибольшее из числа очков, выпавших при первых n бросаниях. Найти матрицу Pn.

5. Проверить, что равенство (1) эквивалентно любому из двух:

t = =t, t T, t п.н. или A t = A =t, t T, At { } { } { } { } п.н.

где 0, 0, =0 ; t, t, t = 0, t - бесконечно ма( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( i i 0 iii лые более высокого порядка, чем t при t + Определение 2. Числа и в определении 1 будем называть соотi i ветственно параметрами рождения и гибели соответствующего процесса,t 0.

{ ( ) } t Если значение процесса рождения и гибели,t 0 ин( ) { ( ) } t t терпретировать какчисло особей некоторой популяции в момент времени t, то постулаты 100 и 200 означают, что вероятности "рождения" и "гибели" одной особи за время t с точностью до O t есть линейные функции ( ) длины интервала при t + 0.

Заметим, что постулаты 100-300 задают условные вероятности перехода в соседние состоянияи условную вероятность остаться в данном состоянии за малый промежуток времени t. Поэтому естественными будут следующие два вопроса:

первый - чему же равны условные вероятности "рождения" и "гибели" более чем одной особи за время t при t + 0 ;

второй - что можно сказать о вероятностях перехода ij t за проме( ) жутоквремени t>0 дляданного процесса рожденияи гибели.

Ответ на первый вопросвы получите, решив задачу 1 этого пункта.

Ответ на второй вопрос дают решения систем дифференциальных уравнений, которые можно вывести, используяпостулаты 100-300 и уравнение Колмогорова - Чепмена 20.

Дляэтого рассмотрим вероятности ij t +t, t,t >0.

( ) Деление интервала 0;t +t на два ( этого требует 20 ) можно осуще( ) ствить двумя способами:

1) 0; t и t; t +t ;

( ) ( ) 2) 0;t и t;t +t дляt > 0.

( ) ( ) Первый способ деления интервала 0; t +t приводит к обратной ( ) системе дифференциальных уравнений:

d0 j t ( ) = - 0 j t + 1 j t, t >0, ( )( ) 0 dt (3) ( ) ij d t = i-1 t + ij t + i,t >0, i ( )-( ) ( ) i j i i i +1 j dt ij 0 = - начальное условие, - символ Кронекера, где j – фикси( ) ij ij рованное из 0.

Второй способ при более жестких условиях приводит к прямой системе дифференциальных уравнений:

di0 t ( ) = - i0 t + i1 t, t >0, ( )( ) 0 dt (4) ( ) ij d t = i t + ij t + i t,t >0, j, ( )( ) ( )( ) j-1 j-1 j j j+1 j+ dt ij 0 = - начальное условие, - символ Кронекера, где i – фикси( ) ij ij рованное из 0.

Полезно помнить, что системе, аналогичной (4), удовлетворяют и безусловные вероятности дляt>0.

Обратим свое внимание на систему (4). При выполнении определенных условий, регулирующих степень роста параметров рожденияпо отношению к параметрам гибели, система (4) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию:

(t) = 1.

ij j= Но, к сожалению, решение системы (4) - процесс трудоемкий даже для такого, на первый взгляд, простого процесса рожденияи гибели, как процесс с постоянными параметрами рождения и гибели = ; =, i.

( ) i i Но, к счастью, систему (4), помимо непосредственного решения в, результате чего получаем вероятности перехода за t>0 (в переходном режиме), можно использовать еще по двум направлениям (пункты 3,4).

Задачи и упражнения 1. Для процесса рождения и гибели,t 0 найти :

{ ( ) } t 2 =i при t + ( )- ( ) ( ) { } t +t tt 2. Вывести прямую систему дифференциальных уравнений дляправых и левых производных и убедиться, что они совпадают с (3). Аналогичное сделать длясистемы (4). Вывести систему дифференциальных уравнений (для правых и левых производных) для безусловного распределения вероятностей состояний в произвольный момент времени t>0, т.е. для t, j 0.



( ) j 3.Случайный двоичный сигнал. Такпринято называть процесс рождения и гибели,t 0 с фазовым пространством X = {-1,1} и { ( ) } t вероятностями перехода за t при t +0 -11 t = t + O t и ( ) ( ) 1-1 t = t + O t, где, > 0.

( ) ( ) Дляданного процесса найти:

1) вероятности перехода ij t ;

( ) 2)безусловные вероятности при t данном начальном распреде( ) j лении:

0 =-1 == 0 =1 ;

{ ( ) } { ( ) } 3) tlim ij t ;

( ) + 4) среднее значение процесса m t =t ;

( ) ( ) 5) ковариационную функцию процесса s,t = cov s,t, где ( ) ( ( ) ( ) ) s,t 0 ;

6) m(t) и K(s,t) дляслучая, когда начальное распределение совпадает с распределением, полученным в 3). Будет ли процесс с таким распределением стационарным в широком смысле 4. Процесс Юла является примером процесса чистого рождения, т.е. = 0, (t) 0 и =i для i 0, 0.

i i i Указанный процесс широко применяется в физике и биологии для описанияэволюции следующей системы.

Рассмотрим совокупность элементов, которые могут независимо друг от друга порождать новые элементы, но не могут исчезать. Предположим, что каждый элемент с вероятностью t +O t производит новый ( ) элемент в интервале (t;t+ t).

Здесь естественно интерпретировать какчисло рождений в ин( ) t тервале (0,t).

1) Найти безусловное распределение случайного процесса, t 0 t = = j, { ( ) } ( ) ( ) } { t jt в предположении, что в начальный момент времени в совокупности был один элемент ("родоначальник" или стартовый элемент).

2) Предположим, что родоначальник, и только он, может погибнуть, причем его время жизни не зависит от поведенияего потомков и имеет показательное распределение спараметром. Найти распределение общего числа потомков всех поколений этой стартовой особи в момент ее гибели.

3) Найти безусловное распределение процесса при наличии в данt ной популяции п стартовых особей.

5. Пуассоновский процесс - процесс чистого рождения с = i для i0 и также, каки в 1, число рождений в (0,t).

( ) t 1) Найти безусловное распределение вероятностей случайного процесса,t 0.

{ ( ) } t 2) Введем следующую операцию "просеивания":

Каждую из родившихся особей независимо от других свероятностью Р объявим "синей", а с вероятностью 1 -Р - "красной".

Если обозначить число "синих" особей, родившихся в (0,t), тогда t - - число "красных" особей, появившихся в -(0,t). Доказать, что t t,t 0 пyaccoновский процесс с параметром Р, a - пуассонов{ ( ) } t t t ский спараметром 1- P.

( ) Замечание Процесс рождения и гибели,t 0 с множеством состояний { ( ) } t X={0,1} описывает эволюцию системы массового обслуживания(СМО) с одним обслуживающим прибором, в которой отсутствуют места дляожидания Если считать, что длины интервалов между двумя последователь.

ными моментами прихода требований ui i=1 и их времена обслуживания { } суть независимые последовательности независимых, показательно { } i i=распределенных случайных величин для первой - с параметром, а для второй - с параметром, то,t 0, где означает число требо{ ( ) } ( ) t t ваний в системе в момент времени t есть процесс рожденияи гибели спараметрами и.

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОМЕНТОВ ПРОЦЕССОВ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ Во многих случаях получение решениясистемы (3) не только технически трудно, но и не всегда обязательно длярешенияинтересующей нас задачи. Иногда достаточно знать лишь некоторые из моментов случайного процесса,t 0.

{ ( ) } t Так, например, если нас интересует математическое ожидание m(t)=M в предположении его существования то поступим следую, ( ) t щим образом :

Умножим j - ое уравнение в (3) на j и просуммируем по j. Получим обыкновенное дифференциальное уравнение для :

mi t = j ij t ( )( ) j=с начальным условием mi 0 =i, i 0, тогда, очевидно:

( ) m t = t =i.

( ) ( ) ( ) {} m i i Задачи и упражнения 1. Линейные процессы рождения и гибели. Это процессы, длякоторых =i + a, =i + b для i 0, = a, =0 где, > 0, a 0, b 0. Докаii 0 зать, что условное среднее линейного процесса при b = 0 удовлетворяет дифференциальному уравнению :

dmi t ( ) = a + - ) ( ) mi t с начальным условием тi(0) = i, найти :

( dt mi t и lim mi t.

( ) ( ) t+ 2. Рассмотрим СМО с одним обслуживающим прибором, неограниченной очередью и естественным порядком обслуживания требований.

Последовательности ui i=1 и - те же, что и в замечании. Тогда { } { } i i=,t { ( ) - процесс рожденияи гибели с =, =.Найти mi t и } ( ) t i i lim mi t.

( ) t+ 3. Для СМО с бесконечным числом обслуживающих приборов, т.е.

дляпроцесса с =, =i, i 0, i i найти mi t и lim mi t ( ) ( ) t+ 4. Найти дифференциальные уравненияпроцесса типа Юла спереходами только из n в n-1. Найти распределение n t, его ма( ) тематическое ожидание и дисперсию, предполагая исходным, что состоянием является состояние i.





5. В автопарк, рассчитанный на N мест, прибывает пуассоновский потокмашин синтенсивностью до тех пор, пока имеются свободные места. Найти дифференциальные уравнения для вероятностей n t того, что ровно n мест заняты.

( ) 4. СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕССОВ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ Определение 1 Будем говорить, что процесс рождения и гибели,t 0 имеет стационарное распределение, если пределы:

{ ( ) } { } t j j=lim ij t = ( ) j t+ существуют, не зависят от i и удовлетворяют условиям :

1. 0, j 0;

j 2. = 1.

j j= Имеет место следующее утверждение, оправдывающее название "стационарное распределение":

Теорема Пусть процесс,t 0 имеет стационарное распреде{ ( ) } t ление. Если это распределение вероятностей взять в качестве на{ } j j=чального распределения = = j, j 0, то безусловное распреде{ ( ) } j ление вероятностей значений процесса не зависит от времени и = j = = = j, j 0, t 0.

{ ( ) } { ( ) } tj Стационарное распределение в предположении, что оно существует, можно найти, переходяв (4) к пределу при t +. Получим систему линейных уравнений :

0 =- 0 + 0..... (5) 0= - + +, j ( ) j-1 j-1 j j j j+1 j+...

0 1 j-Решение (5) имеет вид = 0, где =1, = для j j j 0 j...

1 2 j и - 0 = -из условия нормировки. А так как мы предположили k k =существование стационарного распределения то необходимым условием, существованиястационарного распределенияявляется сходимость ряда.

k k =Длясоставлениясистемы уравнений (5) можно воспользоваться следующим мнемоническим правилом.

Сначала построим граф системы, изменение состояний которой во времени описывается процессом рожденияи гибели,t 0.

{ ( ) } t 0 j+1 j-1j...

j-1 jj+1 2 j-1 j j+В уравнении системы (5), соответствующем состоянию j, слева - "0", а справа - алгебраическаясумма ( со знаком "+" слагаемые, соответствующие входящим в состояние j стрелкам - произведение параметра на вероятность того состояния, из которого стрелка выходит, со знаком "-" - аналогично строящиеся слагаемые, соответствующие выходящим стрелкам).

Задачи и упражнения 1. Доказать, что стационарное распределение СМО, описанной в задаче 2 пункта 3, есть геометрическое распределение с параметром, < () Предполагая система работает в стационарном режиме, т.е.:

, что t = = j =, для j 0, ( ) ( ) } { jtj найти следующие характеристики занятости (дляпроизвольного момента времени) :

1) среднее число требований в системе;

2) среднее число требований в очереди;

3) вероятность занятости прибора.

2. Рассмотрим СМО с бесконечным числом обслуживающих приборов, граф которой...

j-1 jj+ (j-1) (j+1) j Составить систему длястационарного распределенияи решить ее.

3. Доказать, что длялинейных процессов рожденияи гибели, длякоторых a > 0, b = 0 при < стационарное распределение имеет вид :

a j 1 a aa = +1... + j -11-, j 0.

j j! 4. Рассмотрим систему, которую условно назовем "п автоматов, к ремонтных площадок (наладчиков)". Это пример замкнутой СМО. Граф такой системы имеет вид:

n (n-1) (n-j) (n-k) (n-i)... j....

j-0 1 j+1.. i-1 i+kn i j (j+1) k k k k Составить систему для стационарного распределения и решить ее.

Найти среднее число поломанных автоматов, среднее число простаивающих наладчиков в стационарном режиме.

5.Задача отелефонных линиях. Предположим, что имеется бесконечное число телефонных линий и что вероятность окончанияразговора в течение времени t,t +t равна t плюс слагаемые, которыми при t ( ) можно пренебречь. Поступающие вызовы образуют нагрузку пуассоновского типа спараметром. Система находится в состоянии n, если заня то n линий. Выбираяв качестве параметров системы =, = n, состаn n вить дифференциальные уравнениясистемы, найти стационарное распределение, а также найти математическое ожидание, используя систему дифференциальных уравнений и его предел при t.

6. Решить предыдущую задачу, если число линий конечно и равно m.

Если все линии заняты, то каждый новый вызов становится в очередь и ожидает, пока освободится какаянибудь линия. Это значит, что все линии имеют общую очередь. Система находится в состоянии n, если n - общее количество лиц, которые обслуживаются или ожидают обслуживания.

Найти предельное распределение.

ЛИТЕРАТУРА 1. Булинский А.В. Теория случайных процессов / А.В. Булинский, А.Н. Ширяев. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 400 с.

2. Ширяев А.Н. Вероятность - 2 / А.Н. Ширяев. - М. : МЦНМО, 2004.

- 408 с.

3. ВентцельА.Д. Курс теории случайных процессов / А.Д. Вентцель.

- М. : Наука, 1975. - 320 с.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Марковские процессы с дискретным множеством состояний и непрерывным временем 2. Процессы рожденияи гибели 3. Дифференциальные уравнениядлямоментов процессов рождения и гибели 4. Стационарное распределение процессов рожденияи гибели Составители: Михайлова Ирина Витальевна Баркова Лариса николаевна Редактор Тихомирова О.А.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.