WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Физический факультет Кафедра математической физики РЯДЫ ФУРЬЕ.

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Методические указания по решению задач математического анализа для студентов 2 курса физического факультета Составители: А.А.Косарев Е.А.Вервейко Воронеж –2002 2 АННОТАЦИЯ Работа содержит изложение теории, подробное решение наиболее типичных задач, а также задачи для самостоятельного решения. Задачи снабжены ответами и указаниями по их решению.

Внимательное изучение данной работыи выполнение всех упражнений в ней дает студентам возможность подготовиться к сдаче зачета по разделам математического анализа «Ряды Фурье. Преобразования Фурье. Интеграл Фурье» СОДЕРЖАНИЕ Ряды Фурье 3 Примеры задач с решениями 6 Задачи для самостоятельного решения 14 Интеграл Фурье 16 Примеры задач с решениями 16 Задачи для самостоятельного решения 19 Преобразование Фурье 20 Примеры задач с решениями 21 Задачи для самостоятельного решения 23 Спектральная характеристика (спектр) функции 24 Примеры задач с решениями 24 Задачи для самостоятельного решения 27 3 Ряд Фурье 1. Тригонометрическим рядом называют ряд вида a0 k k ak cos( ++ bX sin X ), (1.1) k 2 l l k =1 где ba -числовые коэффициенты.

, kk Следует отметить, что все тригонометрические функции, входящие в (1.1) имеют * * общий период 2l,и если ряд (1.1) сходится и xf )( его сумма, то xf )( определена на (-,+) и также является периодической функцией с тем же периодом 2l.

Такое определение тригонометрического ряда достаточно формально. Более естественным является другой “ физический “ подход.

Рассмотрим последовательность простейших гармонических функций (гармоник) вида 2 A sin( ); kX =+ 1,2,...; - <Х > + (1.2) kk T Они называются гармониками с кратными частотами. У всех у них Т-общий период.

Рассмотрим суперпозицию этих гармоник 2 2 2 AA sin( ++ = AX + Ak sin sin X ) (1.3) cos + Ak cos k () kk 00 k T T T k =1 k =aПолагая aA == Akk sin,, bk = Ak cos k, 2l = T, получим 0 k 2 a AA sin( X ++ ) = + cos + bX sin X, a l 0 kk k k T 2 l k =1 k =приходим к ряду (1.1).

* 2. Пусть теперь имеется функция xf ),( определенная на (-,+) и периодическая с периодом 2l. Построим ряд (1.1), в котором коэффициенты ba вычислены специальным образом по формулам, kk l * ak xf )( cos Xdx (k == 0,,1 2,...);

l l -l l * bk xf )( sin Xdx (k == 0,,1 2,...).. (1 4. ) l l -l * Эти коэффициентыназываются коэффициентами Фурье функции xf ),( а сам * ряд (1.1) в этом случае называется рядом Фурье функции xf ).( Записывают это так:

a* xf )( ~ bX sin X ( 5.1 ) a cos l ++ kk 2 l k =Если ряд (1.5) сходится (об условиях его сходимости ниже), то его сумма S(x) равна:

xf ),( если Х точка непрерывности a0 xf 0( ) ++ f (x - 0) xS )( += если Х точка разрыва (, 1 6. ) a cos l + bX sin l X = kk 2 k= первого рода.

3. На практике приходится раскладывать в ряд Фурье функцию f (x), заданную на промежутке [- ll ] [(, 0,2l) ] ти.д. ( в физике ее называют “сигналом”) Для этого сначала приходится делать ее периодическое продолжение на всю числовую осью (см.рис.1) и раскладывать в ряд Фурье функцию (xf ).

* Поэтому на всей оси (-,+) суммой ряда будет xf )( (с учетом (1.6)), а на промежутке[-,ll ]- f (x) (опять таки с учетом (1.6)) Если f (x) задана на промежутке [,0 ] (al,a + l, ти.д), то ее возможно разложить в ряд Фурье, вообще говоря, бесчисленным количеством способов. На практике,однако, используются два:

а) Продолжим f (x) на промежуток [- l 0, ] четным образом (см. рис2).

l ak xf )( cos dxX ( k == 0,,1...) Тогда, согласно (1.4) l l bk = aи ряд Фурье принимает вид xf )( ~ + cos X, (1 7. ) a l k k =где он представляет f (x) на [,0 l ].

б) Продолжим f (x) на [- l 0, ] нечетным образом (см.рис.3). Тогда = (ka =10,2,... ) ( a0 может быть отличным от нуля), а k l bk = xf )( sin dxX и ряд Фурье в этом случае будет иметь вид l l xf )( ~ sin X (1 8. ) b l k k =4. Часто, особенно в радиофизике, ряд Фурье записывают в комплексной форме:

+ i X al bX sin = e,где a cos l ++ cX kk k 2 l k =1 k -= l l l -i X i X 1 1 l l c0 xf )( dx, ck == xf )( e dx, c-k = xf )( e dx. (1 9. ) 2l 2l 2l -l -l -l 5. Условия сходимости ряда Фурье Существует довольно много достаточных признаков сходимости ряда Фурье.

На практике,обычно, применяются два:

а) Теорема 1. Если f (x) является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на [-,ll ] то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка, причем для суммы S(x) этого ряда выполняются равенства:

1). S(x) = f (x), если - l l и Х точка непрерывности f (x), xf + 0( ) + f (x - 0) 2). xS )( =, если - l <Х>l и Х - точка разрыва первого рода, -lf + 0( ) + f (l - 0) 3). lS )( =- S(l) = 1(.10) б) Теорема 2. (Условия Дирихле).

Если f (x) кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на [-,ll ], тогда ее ряд Фурье сходится в каждой точке X Є [-,ll ] (с учетом(1.10)).

Примеры задач с решениями Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на сегменте [-, ] уравнением f (x) = + X.

Решение. Графиком этой функции является отрезок, соединяющий точки(- 0; ) и( ;2 ).На рисунке 4 показан график функции у = S(x), где S(x) -сумма ряда Фурье функции f (x).

Эта cумма является периодической функцией с периодом 2 и совпадает с функцией f (x) на сегменте [- ]., Определяем коэффициентыряда Фурье. Сначала находим 1 1 fa x)( dx == + X )( dx = dx + Xdx -- -- Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом, ==.0 dxa - Далее находим коэффициентыam. Имеем 1 fa x)( cosmX dx == + X )( cosmX dx = m -cosmX dx += X cosmXdx.



-Нетрудно видеть,что оба интеграла равны нулю(подынтегральная функция второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на нечетную).

Итак, am =,0.ет. = aa = a3 =... = 0.Определяем теперь коэффициенты bm :

1 1 fb x)( sin mX dx == + X )( sin mX dx = mX dx + X sin mX dx.

m sin -- - - Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интеграла – четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом, = Xb sin mX dx.

m интегрируя по частям, получим Xu dv == sin, mX dx, du = dx, v = -( cos) mX,.ет.

m 2X 2 2 2 bm -= cosmX + cos Xdxm = - cosm + sin mX = - -1( )m = m m m m m00 -= 1( )m+1.

m Следовательно, разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид -1( )m+1 sin 2 sin3XX sin 4X xf )( += 2 sin mX - +...).

+= 2(sin X - + m 2 3 m= Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию тока, график которой выражает телеграфные сигналы в случае периодической передачи точек (рис.5).

Решение. Функция i( t) в пределах периода [,0 2 ] имеет вид I2 при t <, ti )( = I при t < Функция i( t) терпит разрыв первого рода при t =. Так как условия Дирихле удовлетворяются, то применимы формулы atf )( += cosna (.1 11) t + bn sin n t, n n=2 1 fa t)( d( n == t), a f t)( cos n td( t), 0 = fb t)( sin n t d( t).

n Придется лишь интервал интегрирования разбить на две части (от 0 до и от до 2 ),так как в каждой из них функция выражается по- разному:

1 1 + II Ia d t)( += I1d t)( = += II,` 1 1 I sin tn I1 sin tn Ia cos n t d( I1 cos n t d( 2 + =,t) += t) = n n n 0 0 1 1 I2 cos tn I1 cos tn Ib sin n t d( I1 sin n t d( t) = - - = t) += n n n 0 I I12 - II - II - II -2 1 1 2 2 -= (cos n -1) - (cos2 - cos nn + ( 1) =- 1 (-+ 1)nn ][.

) = n n n n n Так как выражение в квадратных скобках равно 2 при n нечетном и 0 при n четном, то подставляя значения a0 и bn в формулу (1.11) получим + II (2 I2 - I1) sin n t ti )( = + или 2 n n=,1 3,5,...

+ II (2 I2 - I1) sin3 sin5 tt ti )( = + (sin t ++ +...).

2 3 Полученный ряд дает заданную функцию во всех точках, кроме точек разрыва (т.е. t = 0, t =, t = 2, t = 3,...).В точках разрыва сумма ряда равна + II средне арифметическому предельных значений функции, т.е..

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию напряжения на сетке лампы, график которой изображен на рисунке 6.

Решение. Рассматриваемая функция на отрезке [,0 ] определяется уравнением U tu )( = t. Продолжив функцию четным образом на отрезок [-,o] (см.

пунктир на рис. 6),мы можем разложить ее в ряд Фурье по формулам a0 2 xf )( += cosnXa, = fa0 x)( dx, fa x)( cos nXdx n == 1,2,..., n n n=0 которые для аргумента t принимают вид:

a0 tf )( += cos na t), t, = fa0 t)( d( n n=fa t)( cos n n == t d ( t) 1,2,...

n Имеем :

2 U 2U a0 dt = aU = U,;

t)( == 2 U 2U 2 XU sin nX an cos nt t d( t) == cos nXdxX = ( + cos nX ) = n n0 0 2U 1 2U 0 += (cos n -1)] [ -= 1( )n -1], или n22 nпри n четном, an = - 4U при n нечетном.

n UU cos4 n t Следовательно, tu )( -= - или nn=,1 3,5,...

4UU cos 3 cos 5 tt tu )( -= - (cos t + + +...) 322 Поскольку точек разрыва нет, полученный ряд дает значение заданной функции при любых t.

Сумма первых трех членов ряда изображена на рис.7.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на полупериоде в сегменте X [,0 2]уравнением xf )( X -= Решение. Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количеством способов.

Мы здесь приведем два наиболее важных варианта разложения.

1). Доопределим функцию f (x) на сегменте [-,2 0]четным образом (рис.8).

Имеем l = 2.

22 3 1 XX -= X )dx = - =, 0 (Xa 2 62 0 1 Xm -= X cos) dx. Интегрируя по частям, получим:

m (Xa 2 1 Xm 2 Xm. Xu -= X dv = cos, dx du = (, 1 - X )dx, v = sin ;

2 2 m 2 2 2 1 Xm 2 Xm 2 Xm am ( -= XX sin) - 1( - X )sin dx = - 1( - X )sin dx.

m 2 2 m 2 m 0 0 Еще раз интегрируем по частям :

Xm 2 Xm -= Xu,1 dv = cos dx du = dx,, v = - cos ;

2 m 2 4 Xm 4 Xm am 1( -= X )cos + cos 2 dx = 22 m m 0 4 m -= cosm - = - + (1 -1) ][, bm = 0.

22 2 m m2 mИтак, 1 14 (-+ 1)m Xm 1 8 1 1 xf )( -= cos -= ( cos + cos2 X +...).

XX + cos 3 2 m22 222 42 m=2) Доопределим функцию f (x) на сегменте [-,2 0] нечетным образом (рис.9):

1 Xm 1 Xm 2 -= X sin) dx; Xu -= X dv = sin, dx, m (Xb 2 2 2 2 Xm du 1( -= X )dx, v = - cos ;

m 2 2 2 1 Xm 2 Xm 2 Xm bm -= ( - XX cos) + 1( - X )cos dx = 1( - X )cos dx;

m 2 2 m 2 m 0 0 Xm 2 Xm 1( -= Xu ), dv = cos dx du = -dx,, v = sin ;

2 m 4 Xm 4 Xm bm 1( -= X )sin + sin 2 dx = 22 m m 8 Xm 8 m -= cos = - cosm + = - (1 -1) ][ ;

33 33 3 3 3 m m mm (0 ma == 0,,1 2,...).

m Итак, 18 (-- 1)m Xm 16 X 1 3 X X 1 xf )( = sin (sin += sin + sin +...).

m 2 2 2 333 m=Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию двухполупериоднного выпрямленного тока, график которой изображен на рисунке 10.

Решение. Функция определяется уравнением ti )( = I sin t. Период T = 2l =.

Продолжим функцию четным образом на отрезок tn [-,0]. Как и в предыдущем примере = tn.l По формулам:

a0 tn tf )( += a cos l, n n=ll 2 2 tn a0 tf )( d( an == t), tf )( cos ( td ), (n =1,2,...) l l l получим :

2 2 2 4I 4I 4I Ia sin td( sin Xdx = - cos X =, t) == 2/ 0 0 2 2 4I Ia sin t cos2n sin2 cos2nXdxX = td( t) == n 2/ 0 cos(2 2nI +1)X cos(2 -1)Xn 2I 1 1 I + = ( - ) -=.





-= n +12 n -+12 nn - 4( n2 -1) Следовательно, 42 II cos2n t ti )( -= или n2 -n=4 1 cos2 tI cos4 t cos6 t cos8 t ti )( ( -= - - - -...).

2 3 3 5 5 7 7 Разложение справедливо при любом t.Постоянная составляющая, 2I выпрямленного тока равна.

- X Пример 6. Разложить функцию xf )( = в промежутке (0,2 ).

Решение. Вычисляем коэффициентыряда Фурье 2 2 1 1 - X 1 fa x)( dx == dx ( X -= X = 0), 2 0 0 2 2 1 1 - X 1 sin nX fa x)( cosnXdx == cosnXdx -= X )( n 2 n 0 0 0, (n =1,2 3,,...).

sin nXdx =2n 2 2 2 1 1 - X 1 cosnX 1 fb x)( sin nXdx == sin nXdx -= - X )( n cosnXdx = n.

2 2nn 0 0 0 Таким образом, мы приходим к замечательному по простоте разложению, содержащему одни лишь синусы :

- sin nXX = (0 < Х > 2 ).

2 n n=При Х =0 ( или 2 ) сумма ряда равна нулю, и равенство нарушается. Не будет равенства и вне указанного промежутка. График суммы ряда S(x) состоит из бесчисленного множества параллельных отрезков и ряда отдельных точек на оси Х. (Рис.11) Задачи для самостоятельного решения Пример 1. Разложить функцию xf )( = eax в промежутке (0, ) а) в ряд по косинусам и б) в ряд по синусам Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в сегменте [-, ] уравнением xf )( = X.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию напряжения, график которой изображен на рис.(12).

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию двухполупериодного выпрямленного тока, график которой изображен на рис.(13).

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в сегменте [-, ] так:

- X,2 если - X 0;

xf )( = X,3 если 0 X.

Пример Разложить в ряд Фурье по косинусам в сегменте [0, 2 ] функцию X если 0, < X 1;

xf )( = X,2 если 1<- X 2.

ea -ea - 21 a ax Ответы: 1) ) ea = -+ 1( )n cosnX (0 X ), a + na n= 2 n ax ) еб [ -= (1 -1)n ea ] sin nX (0 X << ).

+ na n= 12 2). xf )( (-= 1)m ( - sin) mX.

m mm= UU cos2 n U (-1)n-t 3). tu )( -= + sin tn 4 n nn=1,3,5,... n= Или 2UU cos3 cos5 tt tu )( -= (cos t + + +...) + 322 U sin 2 sin3 tt (sin t -+ + -...).

2 U В точках разрыва ( t =1, t = 3,...) сумма ряда равна.

cos2nI t 4). ti )( -1( )n-1 Разложение справедливо при 2 += n2 - n=любом t.

5 10 cos cos3XX cos5X 5). xf )( -= ( + + +...) + 1 322 sin sin 2XX sin3X ( -+ + -...).

1 2 1 cos4 (2 + 1) Xm ).

6. xf )( -= 2( m + 1)m= Интеграл Фурье Если f (x) задана изначально на всей оси (-, ) и не периодична на ней, то разложить ее в ряд Фурье нельзя. Однако, при некоторых предположениях ее можно представить в виде некоторого аналога ряда Фурье, а именно в виде интеграла Фурье.

Если f (x) удовлетворяет условиям теоремы 1 предыдущего раздела на любом конечном промежутке [-,ll ]и абсолютно интегрируема на всей оси, то для нее справедлива интегральная формула Фурье:

+ + xf )( d f u)( cos(u -= )du, (2 1. ) где 0 xf ),( если Х - точка непрерывности (xf ) xf )( = 2( 2. ) xf 0( ) ++ f (x - 0), если Х - точка разрыва первого рода Формула (2.1), вообще говоря, получается предельным переходом из ряда Фурье при l. В этом смысле интеграл Фурье понимают как предельную форму ряда Фурье.

Интеграл Фурье часто записывают в комплексной форме:

+ + ui - x )( xf )( = d f u)( e du (2 3. ) - Часто интеграл Фурье записывают в виде:

+ xf )( = X + b( (2 4. ) (a( )cos )sin X )d, + + 1 где )( fa u)( cos udu, b( sin udu (2 5. ) ) == f u)( - Примеры задач с решением Представить интегралом Фурье следующие функции.

Пример 1.

,1 если X <1;

xf )( =,0 если X >1.

Решение. Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы 1, и следовательно, ее можно представить интегралом Фурье. Легко видеть, что b( ) = 0 ( в силу четности функции f (x)), а + 2 2 sin )( fa x)( cos Xdx == cos Xdx =.

Таким образом, + sin xf )( cos Xdx, X = 1, что и требовалось доказать.

Следует заметить, что в точках X = ±1 разрыва функции f (x) интеграл Фурье, согласно теории, равен. Действительно, поскольку + + + sin2 cos 1 sin (1 + X ) sin (1 - X ) X d = ( d + d ), 00 то применение формул (2.2) дает + sin2 cos dX += (sgn(1 X ) + (sgn(1 - X )), откуда и следует указанный результат.

Пример 2. f (x) = sgn(X - a) - sgn(X - b) (b > a).

,0 если < aX ;

,1 если = aX ;

Решение. Замечая, что xf )( =,2 если Xa << b;

,1 если = bX ;

,0 если > bX, имеем :

+ b 1 2 )( fa x)( cos Xdx == cos Xdx = (sin b - sin a), - a + b 1 2 )( fb x)( sin Xdx == sin Xdx = (cos a - cos b).

- a Следовательно, интеграл Фурье имеет вид:

+ xf )( ((sin b -= sin + (cos a - cos b)sin X )d = a)cos X + sin2 ( Xb ) +- sin (X - a) d.

В данном примере функция f (x) совпадает с ее интегралом Фурье во всех точках числовой оси.

Пример 3. xf )( =.

a + X Решение. Функция f (x) при a 0 дифференцируема и абсолютно интегри- руема на интервале (-,+). Следовательно, она представима интегралом Фурье. Имеем: b( ) = 0 (в силу четности функции f (x)), + + cos( ta )dt cos2 Xdx 2 1 - a a )( = aX t)( == ae = 0,.

a a + Xa 1+ tЗапишем теперь интеграл Фурье данной функции:

+ 1 - a xf )( cos xde 0).

, если (a = a X Пример 4. xf )( = (a 0).

a + X Решение. Функция f (x) дифференцируема и не является абсолютно интегри- руемой на интервале (-,+), однако она интегрируема на нем в смысле главного значения Коши. Как показал Коши (см., например: Фихтенгольц Г.М.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.