WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
Министерство образования Российской Федерации Воронежский государственный университет Физический факультет Кафедра радиофизики Алгоритмы обнаружения сигналов с неизвестными параметрами Методические указания по курсам “Оптимальные методы различения сигналов”, “Статистическая теория различения сигналов и оценки их параметров” для студентов 5 курса специальности 013800 “Радиофизика и электроника” и магистров 6 курса направления 511500 “Радиофизика” Составил: доц. Беспалова М.Б.

Воронеж 2002 г.

2 Введение В настоящее время считается общепризнанным, что в статистической теории связи сложились и интенсивно развиваются два относительно самостоятельных направления: различение сигналов на фоне помех, включающее как частные случаи задачи обнаружения сигналов, а также фильтрация сигналов из помех, включающая оценивание не изменяющихся во времени параметров этих сигналов. В каждом из этих направлений разработаны методы как синтеза соответствующих правил выбора решений (алгоритмов), так и анализа качества получаемых с их помощью статистических решений. В последние 10 - 15 лет появилось много работ в основном в периодических изданиях, в которых рассматриваются задачи, не укладывающиеся в рамки указанных двух направлений. Особенностьих состоит в том, что на основе одних и тех же результатов наблюдений необходимо совместно вынести два решения указать один из возможных сигналов наблюдения и оценить его параметры.

Можно считать что совокупность результатов решения таких задач, составляет содержание нового направления статистической теории связи, получившего название совместное различение сигналов и оценивание их параметров.

Это направление включает методы как синтеза алгоритма совместного различения – оценивания, так и анализа качества получаемых совместных решений. Конечно, имеется глубокая аналогия между методами решения задач, относящихся к трем указанным научным направлениям; однако есть и существенные особенности, которые привели к тому, что до сих пор задачи различения сигналов на фоне помех и оценивания параметров решались раздельно.

В лекционных курсах в систематизированном виде излагаются методы решения задач совместного различения сигналов и оценивания их параметров на фоне помех. Рассматриваются как статистический синтез алгоритмов различения – оценивания, так и анализ качества статистических решений, формируемых такими алгоритмами. Основное внимание уделено приему квазидетерминированных сигналов c постоянными на конечном интервале времени значениями параметров на фоне гауссовской помехи.

1. Оптимальные алгоритмы обнаружения 1.1. Постановка задачи. Пустьна интервале времени [,0 T] доступна наблюдению реализация случайного процесса (tx ), которая может быть только шумом (помехой) (tn ) или комбинацией стохастического сигнала (ts ) и шума (tn ). По наблюдаемой реализации (tx ) необходимо вынести решение о наличии или отсутствии реализации стохастического сигнала (ts ) в наблюдаемых данных. Решение о наличии или отсутствии сигнала выносится в результате обработки реализации наблюдаемых данных в соответствии с некоторым алгоритмом обнаружения. Естественно, желательно синтезироватьалгоритм обнаружения, оптимальный в смысле некоторого критерия. Задачу обнаружения сигнала на фоне шума удобно сформулировать в терминах проверки статистических гипотез в силу случайного характера наблюдаемых данных, сигнала и шума. Так, подлежит проверке гипотеза : xH (t) = n(t) (1.1) против альтернативы xH (t) = n(t) s(t).: (1.2) Символ означает произвольную комбинацию сигнала и шума.

Теперь синтез алгоритма обнаружения сводится к отысканию правила выбора решения по наблюдаемым данным (tx ) в пользу одной из гипотез H0 или H1.

Воспользуемся в начале дискретным представлением наблюдаемого процесса (tx ), обозначив = xx (t1)...x(tn ) - n - мерная выборка в моменты времени Tt, где =,1 nk, а T - интервал наблюдения. Полагаем, что k выборка x X, X - n - мерное выборочное пространство наблюдаемых данных. Любой нерандомезированный алгоритм обнаружения при фиксированном интервале наблюдения выносит одно из двух возможных решений – верна гипотеза H0 (1.1) или альтернатива H1 (1.2).

Следовательно, синтез алгоритма обнаружения сводится к разбиению выборочного пространства X на две непересекающиеся подобласти X и X1, такие, что XX = X. (1.3) Затем, если Xx, то принимается решение в пользу гипотезы H0 (1.1), а если Xx - то решение в пользу альтернативы H1 (1.2). При синтезе оптимального алгоритма обнаружения разбиение выборочного пространства X на подобласти X и X1 производится в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

1.2. Проверка простых гипотез. Пусть имеется полная априорная информация о сигнале и шуме, т.е. задано полное в статистическом смысле описание наблюдаемых данных при обеих гипотезах и известны априорные вероятности Pi каждой из гипотез iH = 0,,1. В этом случае i можно использовать критерий минимума среднего риска (байесовский критерий) оптимальности обнаружения. Оптимальное байесовское правило обнаружения основывается на минимизации среднего риска [1] = Пik (xW Hi)dx. (1.4) PR i ki =0, X k Здесь Пik, ( ki = 0,,1 ) - матрица потерь, а (xW Hi) - условная плотность вероятности (функция правдоподобия) выборки наблюдаемых данных в предположении, что верна гипотеза Hi.

Положим, как это обычно делается, что потери неотрицательны Пik 0 (1.5) и что неправильным решениям соответствуют потери большие, чем правильным < ПП П11 < П10., (1.6) 00 Учитывая, что в силу условия нормировки (xW Hi )dx = X и, используя (1.3), можем записать (xW Hi )dx -= W(x Hi)dx,1 (1.7) X Xi =,0 1. Подставляя (1.7) в (1.4), перепишем средний риск в виде PR П010 += P1П11 + [P1( - ПП ) (xW H1)- P0( - ПП01 00) (xW H0)]dx. (1.8) 10 XОтметим, что в силу (1.5) и (1.6) первые два слагаемые в правой части (1.8) и множители при условных плотностях вероятности под знаком интеграла * неотрицательны. Обозначим X - подобласть выборочного пространства X, для которой P ( ПП ) (xW H1)-- P0( -ПП ) (xW H0)<,0 (1.9) 101 11 01 * а X1 - подобласть выборочного пространства X, для которой P ( ПП ) (xW H1)-- P0( -ПП ) (xW H0)>.0 (1.10) 101 11 01 * Таким образом, к X0 отнесены все точки x X, для которых подынтегральное выражение в (1.8) отрицательно. В результате разбиение * * выборочного пространства на подобласти X и X1, согласно (1.9) и (1.10), обеспечивает минимум среднего риска (1.4). Байесовский алгоритм обнаружения можно переписать в более удобной для дальнейшего использования форме, вводя в рассмотрение отношение правдоподобия [1,2] [xl ]= W(x H ) W(x H01 )./ (1.11) Тогда решение о наличии сигнала будет приниматься, если [xl ]> c*, (1.12) где * Pc ( -= ПП ) P( - ПП )./ 010 00 10 Очевидно, что найти структуру байесовского обнаружителя (1.12) посредством минимизации (1.4) можно лишь при наличии довольно большого числа априорных сведений. Должны быть заданы матрица потерь, априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала и шума и способ их комбинации, определяющие функцию или отношение правдоподобия. Поэтому в задачах обнаружения находят применение критерии оптимальности, отличные от байесовского.



Так, при неизвестных априорных вероятностях наличия и отсутствия сигнала может быть использован минимаксный критерий. Минимаксный алгоритм обнаружения представляет собой частный случай байесовского алгоритма для наименее предпочтительных значений априорных вероятностей P0* и P1*, при которых байесовский (минимальный) средний * риск (PR P1*) R(P,, P10 ) при любых + PP = 1. Отметим, что минимаксный 0 подход может быть использован и при других формах априорной неопределенности. Когда известны априорные вероятности P0 и P1, но неизвестна матрица потерь, может бытьиспользован критерий максимума апостериорной вероятности. В соответствии с этим критерием решение выносится в пользу гипотезы которая обладает максимальной, апостериорной вероятностью -[HP x] Pii W(x Hi )[P W(x H00 )+= P1W(x H1)] i = 0,,1.

Кроме перечисленных критериев обнаружения широкое применение находит критерий Неймана - Пирсона [1,2]. Для этого критерия фиксируется вероятность ложной тревоги = (xW H0)dx (1.13) Xи минимизируется вероятностьпропуска сигнала = (xW H1)dx. (1.14) X Критерий Неймана - Пирсона не требует знания априорных вероятностей наличия и отсутствия сигнала, а также матрицы потерь.

Все алгоритмыобнаружения, оптимальные в смысле перечисленных критериев, сводятся к вычислению отношения правдоподобия (1.11) по выборке наблюдаемых данных и по следующему сравнению его с порогом, аналогично (1.12). Для критерия максимума апостериорной вероятности порог равен отношению априорных вероятностей / PP, а для критерия Неймана - Пирсона порог c выбирается из условия обеспечения требуемого значения вероятности ложной тревоги (1.13).

Таким образом, синтез обнаружителя, оптимального в смысле любого из упомянутых критериев, требует, как минимум, наличия априорных данных, позволяющих построить функции правдоподобия (xW H1) и (xW H0) или отношение правдоподобия (1.11). Более подробный обзор приведенных здесь и других критериев оптимальности обнаружения можно найти в [1,2,4].

Ранее предполагалось, что обрабатывается дискретная выборка x из реализации аналогового случайного процесса (tx ). Это позволяет лишь приближенно представитьслучайный процесс. Если же для обнаружения используется реализация (tx ) (а не дискретная выборка x ), то с порогом сравнивается функционал отношения правдоподобия (ФОП) [1,2,4] = ll [x(t)]= lim l[x] n max tt - +1 ii Часто оказывается более удобным использовать логарифм ФОП =ln lL [x(t)], (1.15) сравнивая его с порогом =lnCc, где C определяется выбранным критерием оптимальности.

1.3. Проверка сложных гипотез. Задача обнаружения стохастического сигнала, все статистические характеристики которого априори известны, встречается весьма редко. Реальные условия приема сигнала на фоне шума, как правило, приводят к необходимости решения задачи обнаружения в условиях априорной неопределенности. Априорная неопределенностьотносительно сигнала и шума может иметьразличную форму. Соответственно, весьма разнообразным оказываются методы преодоления априорной неопределенности [1,2,4].

Рассмотрим случай параметрической априорной неопределенности относительно обнаруживаемого стохастического сигнала. Положим, что полное статистическое описание сигнала известно с точностью до = неизвестных параметров m, постоянных в течение интервала наблюдения [,0 T] и распределенных с плотностью вероятности ( HW ) в области. При известной априорной плотности вероятности ( HW ) неизвестных параметров стохастического сигнала используем классический байесовский подход. Тогда нетрудно найти алгоритм обнаружения, оптимальный в смысле какого либо из рассмотренных в пункте 1.2 критериев. Действительно, записав средний риск при неизвестных случайных параметрах стохастического сигнала, опять приходим к формуле (1.4), куда надо подставить функцию правдоподобия (xW H )= (1.16) W(x )WH ( H1)d., Здесь (xW, H1) - условная плотность вероятности выборки в предположении, что сигнал присутствует и его неизвестные параметры приняли значение. Таким образом, усреднение в (1.16) исключает случайные параметры и делает гипотезу H1 простой. Повторяя далее выкладки п.1.2, получаем, что оптимальный обнаружитель стохастического сигнала должен вместо (1.15) вырабатывать логарифм усредненного ФОП = ln ( )] ( HW )d (1.17) exp[LL и сравнивать его с порогом c. Здесь ( ) =lnlL ( ) (1.18) - логарифм, а (xW, H1) l( ) = lim n (xW H0) (1.19) max tt - +1 ii - ФОП стохастического сигнала с неизвестными параметрами.





Перейдем к случаю, когда имеет место параметрическая априорная неопределенность не только относительно обнаруживаемого стохастического сигнала, но и относительно помехи. Пусть подлежит проверке сложная гипотеза : xH (t) = n(t)n1(t) (1.20) против сложной альтернативы xH (t) =n(t)n1(t)s(t).: (1.21) Здесь (tn ), как и в (1.1), (1.2) – шум, полное статистическое описание которого априори известно; (tn ) - помеха, статистическое описание которой известно с точностью до m1 параметров vv = vm11, (ts )стохастический сигнал, полное статистическое описание которого известно с точностью до параметров. Положим, что неизвестные параметры помехи v распределены с априорной плотностью вероятности (vW Hi1) в области vV, когда верна гипотеза iH = 0(,1). Будем считать, iчто неизвестные параметры помехи и стохастического сигнала статистически независимы причем последние распределены с априорной, плотностью вероятности ( HW ) в области. При известных априорных плотностях вероятности параметров сигнала и помехи опять используем классический байесовский подход. Тогда нетрудно найти алгоритм обнаружения, оптимальный в смысле какого - либо из критериев, рассмотренных в п.1.2. Действительно, записав средний риск при проверке гипотез (1.20 ) и (1.21), опятьприходим к выражению (1.4), куда следует подставить функции правдоподобия (xW H11)= W(x v,, H11)W( 11)d dv, (1.22) H11)W(v H V (xW H01)= v H01)W(v H01)dv., (1.23) W(x V Здесь (xW v,, H11) - условная плотность вероятности выборки в предложении, что верна гипотеза (1.21), а неизвестные параметры сигнала и помехи имеют значения и v соответственно; (xW v,H01) - условная плотность вероятности выборки в предложении, что верна гипотеза (1.20), а неизвестные параметры помехи приняли значение v. Очевидно, усреднение в (1.22), (1.23) исключает неизвестные параметры сигнала и помехи и делает проверяемые гипотезы простыми. Повторяя далее выкладки п.1.2, получаем, что оптимальный обнаружитель при неизвестных параметрах сигнала и помехи должен вместо (1.11) вырабатывать отношение правдоподобия вида (xW v,, H11)W( 11)d dv H11)W(v H V [xl ]=. (1.24) (xW v,H01)W(v H01)dv V Чтобы представить (1.24) в более удобной форме, обозначим [xl ]= W(x v,, H111 )/W(x H0), [xl ]= W(x v H010 )/, W(x H0).

Здесь (xW H0) - условная плотность вероятности выборки наблюдаемых данных в предложении, что верна гипотеза H0 (1.1). Теперь (1.24) перепишется как [xl ]W( H111 )W(v H11)d dv V [xl ]=. (1.25) [xl ]W(v H010 )dv V Переходя в (1.25) к пределу при n, max tt - 0, получаем, что для +1 ii обнаружения по непрерывной реализации (tx ) оптимальный обнаружительдолжен вырабатывать усредненный логарифм ФОП вида = LL - L0, (1.26) 10 где =ln exp[LL (,v)]W( v H11)d dv, H11)W( V =ln (v)]W(v H01)dv, (1.27) exp[LL V ( vL ) =ln, l11 (,v), L0(v) =lnl0 (v), ( vl ) =lim, l [x], l (v) =liml [x] 11 0 при n и max tt - 0. Решение о наличии сигнала принимается, +1 ii если усредненный логарифм ФОП (1.26) превышает порог c, определяемый выбранным критерием оптимальности.

Классический байесовский подход, примененный здесь для преодоления параметрической априорной неопределенности относительно стохастического сигнала и помехи, обладает известными недостатками.

Во-первых, далеко не всегда может быть обоснована концепция случайности неизвестных параметров, следовательно, не всегда существуют или могут быть обосновано предложены априорные распределения неизвестных параметров; во-вторых, даже если концепция случайности неизвестных параметров обоснована, их априорные распределения чаще всего неизвестны; в третьих, даже при известных априорных распределениях неизвестных параметров байесовский подход не всегда может быть применен, так как возникают трудности в выполнении интегрирования по неизвестны параметрам (как аналитически, так и аппаратурно); в-четвертых, существенные трудности вызывает анализ байесовских обнаружителей, т.е. определение их рабочих характеристик. Отметим, что в качестве рабочих характеристик алгоритма обнаружения (в зависимости от выбора критерия оптимальности) могут использоваться зависимости среднего риска (1.4) или вероятностей ложной тревоги (1.13) и пропуска сигнала (1.14) от исходных параметров сигнала и шума. Чаще всего качество обнаружения характеризуют вероятностями ошибочных решений (1.13) и (1.14). Действительно, средний риск всегда можно выразитьчерез эти вероятности [1,2]. Кроме того, для их расчета нет необходимости в знании априорных вероятностей наличия и отсутствия сигнала и в задании матрицы потерь, что необходимо для расчета среднего риска (1.4).

2. Обнаружение по методу максимального правдоподобия 2.1. В ряде задач преодоление параметрической априорной неопределенности на основе классического байесовского подхода нецелесообразно или не возможно. Тогда используют другие подходы, среди которых заметное место занимает адаптивный подход [1,2].

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.