WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Характеризация нормы единичным шаром А.А.Новоселов Лекция для студентов Института математики СФУ Аннотация Рассматриваются некоторые свойства нормы в линейном нормированном пространстве L и двойственном (сопряженном) пространстве L, описана связь нормы и функционала Минковского, доказана теорема о представлении нормы единичным шаром, рассмотрены приложения в Rn. Базовые сведения можно найти также в классической литературе по функциональному анализу [1], [2].

Содержание 1 Понятие нормы 1 2 Функционал Минковского 2 3 Характеризация нормы шаром 4 4 Примеры 4 5 Упражнения 5 1 Понятие нормы Пусть L произвольное линейное (векторное) пространство. Напомним, что нормой · в этом пространстве называется функция · : L R+ с вещественными неотрицательными значениями, обладающая следующими тремя свойствами.

N1) x = 0 x = 0;

N2) ax = |a| x, x L, a R (положительная однородность);

N3) x + y x + y, x, y L (неравенство треугольника).

Линейное пространство L, снабженное нормой ·, называется нормированным пространством.

Арифметическим пространством Rn называется совокупность всевозможных наборов x = (x1,..., xn) из n вещественных чисел: x1,..., xn R. Примерами норм в Rn служат функции 1/p n x p = |xi|p, x Rn, i=1 Сибирский Федеральный Университет, Свободный пр. 79, 660041, Красноярск, e-mail:

arcady@novosyolov.ru 2 А.А. Новоселов здесь 1 p, а под · понимается поточечный предел x = lim x p = max{|x1|,..., |xn|}, x Rn.

p Единичным шаром в линейном нормированном пространстве L называется множество B = B · = {x L : x 1}, а единичной сферой S · граница B · :

S = S · = {x L : x = 1}.

На рис. 1 показаны единичные сферы для норм · 1, · 2 и ·, в R2.

x2 x1 Рис. 1: Единичные сферы в R2 в нормах · 1, · 2, · 2 Функционал Минковского В линейном пространстве определены операции Минковского: сложение множеств A, B L и умножение множества A на число :

A + B = {x + y : x A, y B}, A = {x : x A}.

Напомним, что множество A L в линейном пространстве называется выпуклым, если A + (1 -)A A при [0, 1]. Множество A называется центрально симметричным, если -A = A. Функционал Минковского множества A задается выражением fA(x) = inf{r > 0 : x/r A}, x L. (1) A A A Обозначим Rx = {r > 0 : x/r A}, так что fA(x) = inf Rx. Если Rx =, то A полагаем inf Rx =. Обозначим D(fA) = {x L : fA(x) < } область определения функционала Минковского и выясним свойства этого функционала.

Лемма 1 Пусть A выпуклое множество, а fA его функционал Минковского.

1). Область определения D(fA) функционала fA является выпуклым конусом.

2). Функционал fA является положительно однородным:

fA(x) = fA(x), > 0, x D(fA).

Характеризация нормы 3). Функционал fA является субаддитивным:

fA(x + y) fA(x) + fA(y), x, y D(fA).

4). Если множество A ограничено ( x M при некотором M и всех x A), то функционал fA положителен:

fA(x) > 0, x D(fA).

A 5). Если множество A замкнуто, то fA(x) Rx при всех x D(fA).

6). Если A центрально симметрично, то fA(-x) = fA(x), x D(fA).

7). Если начало координат является внутренней точкой множества A, то функционал Минковского fA определен при всех x L.

Доказательство. 1), 2), 3). Покажем, что x D(fA) влечет x D(fA) при всех A A A A A > 0. Действительно, Rx = Rx, так что inf Rx = inf(Rx ) = inf Rx, то есть fA(x) = fA(x), так что D(fA) является конусом. Отметим, что мы попутно доказали положительную однородность fA. Для доказательства выпуклости D(fA) достаточно проверить выполнение включения x + y D(fA) в случае, когда x, y A A A D(fA). Пусть fA(x) < и fA(y) <. Тогда Rx и Ry непусты и fA(x) = inf Rx, A A A fA(y) = inf Ry. Для произвольных rx Rx, ry Ry имеем x/rx A и y/ry A.

Ввиду выпуклости A при произвольном [0, 1] имеем x/rx + (1 - )y/ry A. При A = rx/(rx+ry) (0, 1) отсюда получаем (x+y)/(rx+ry) A, так что множество Rx+y непусто, то означает x + y D(fA), так что конус D(fA) является выпуклым. ОтмеA A A тим, что попутно установлена импликация rx Rx, ry Ry = rx + ry Rx+y, коA A A A A A торая означает Rx + Ry Rx+y. Отсюда имеем fA(x+ y) = inf Rx+y inf(Rx + Ry ) = A A inf Rx + inf Ry = fA(x) + fA(y), что означает субаддитивность функционала Минковского.

A 4). Для произвольного x L включение r Rx означает x/r A, откуда x/r A M, то есть, r x /M. Поэтому inf Rx x /M > 0.

5). Утверждение леммы по существу означает x/fA(x) A при всех x D(fA), что, очевидно, справедливо для замкнутого множества A.

A 6). Для центрально симметричного множества A имеем RA = Rx при любом -x x L, откуда и вытекает утверждение леммы.

7). Если начало координат является внутренней точкой A, то для произвольного A x L имеем x/r A при всех достаточно больших r, так что множество Rx непусто, и, следовательно, fA(x) <.

Лемма 2 Пусть B единичный шар в линейном нормированном пространстве L с нормой ·. Тогда B является выпуклым замкнутым ограниченным центрально симметричным множеством, а начало координат является внутренней точкой B.

Функционалом Минковского для B является норма пространства L: fB(·) = ·.

Доказательство. Выпуклость B вытекает из неравенства треугольника и положительной однородности нормы: x+(1-)y x + (1-)y = x +(1-) y + 1 - = 1. Центральная симметрия B является следствием положительной однородности нормы: - x = x. Ограниченность, замкнутость и свойство начала координат очевидны, а функционал Минковского вычисляется в упражнении 1.

4 А.А. Новоселов 3 Характеризация нормы шаром Пусть L линейное пространство. Покажем, что в нем можно ввести норму, задав подходящим образом единичный шар.

Теорема 1 Пусть B выпуклое центрально симметричное множество в линейном пространстве L, и пусть функционал Минковского fB множества B принимает конечные положительные значения при всяком x L, x = 0. Тогда функционал Минковского fB задает в L норму · = · B, в которой B является единичным шаром.

Замечание 1 Теорема 1 по существу означает, что для задания нормы в линейном пространстве достаточно задать единичный шар для этой нормы. В некоторых случай такой способ задания оказывается проще функционального.

Доказательство. Прежде всего отметим, что рассматриваемый функционал Минковского fB задан на всем L, то есть D(fB) = L, и fB(0) = 0. Для доказательства теоремы осталось проверить, что fB обладает свойствами нормы N1, N2, N3. Первое свойство непосредственно вытекает из условий теоремы. Второе свойство является следствием положительной однородности функционала Минковского и его симметричности для центрально симметричных множеств (свойства 2, 6 из леммы 1).

Неравенство треугольника для fB, по существу, субаддитивность функционала, которой fB обладает по лемме 1 (свойство 3). Теорема доказана.

4 Примеры Рассмотрим пример нормы в R2, порожденной единичным шаром по теореме 1, не принадлежащей классу норм · p, 1 p. Пусть B является прямоугольником с вершинами в точках (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), изображенным на рис.

2.а. Представление соответствующей нормы (то есть, функционала Минковского для x2 g1/1/x1 gа) единичный шар B б) единичный шар B Рис. 2: Нетрадиционная норма в R"единичного шара" B) предоставляется читателю, см. упражнение 2.

В двойственном (сопряженном) пространстве L линейных непрерывных функционалов норму функционала g, как обычно, можно задать посредством g = sup |g(x)|.

x =Характеризация нормы В нашем случае двойственное пространство изоморфно R2, а единичный шар B в этой норме показан на рис. 2.б; он представляет собой четырехугольник с вершинами 1 в точках (1, ), (-1, ), (-1, -1), (1, -1). Обоснование этого факта предоставляется 4 4 2 2 4 4 2 читателю, см. упражнение 3.

5 Упражнения Упражнение 1 Доказать, что норма является функционалом Минковского единичного шара линейного нормированного пространства (см. лемму 2).

Упражнение 2 Вывести формальное представление нормы (функционала Минковского) для единичного шара B, описанного в параграфе 4.

Упражнение 3 Построить единичный шар B в двойственном пространстве в примере параграфа 4.

Список литературы [1] Канторович Л.В., Акилов Г.П. (1977) Функциональный анализ. М.: Наука, 744 с.

[2] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. (1968) Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.