WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского А.И. Малышев Избранные главы теории нелинейных колебаний: резонансная теория возмущений Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией физического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по направлению 011200 «Физика» Нижний Новгород 2012 УДК 530.182 ББК В 22.213+22.311 М 20 М 20 Малышев А.И. ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ: РЕЗОНАНСНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ: учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. – 21 с.

Рецензент:

доцент кафедры теории колебаний и автоматического регулирования ННГУ, к.ф.-м.н. Канаков О.И.

В настоящем пособии представлен материал по теме «Резонансная теория возмущений», входящей в учебный курс «Нелинейные колебания и волны», читаемый на физическом факультете ННГУ. Кроме необходимых теоретических выкладок, связанных с понятием нелинейного резонанса и перекрытием резонансов, представлен материал практического характера, содержащий, в частности, сопоставление с результатами численного моделирования.

УДК 530.182 ББК В 22.213+22.311 © Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, 2012 Резонансная теория возмущений Введение Как известно, каноническая теория возмущений в случае числа степеней свободы, большего единицы, не работает вблизи резонансов, т.е. в областях, где mI 0, где I – вектор невозмущенных частот системы, являющихся, как правило, функ циями вектора действия I, а m – вектор с целочисленными компонентами. Неработоспособность теории оказывается связанной с тем, что ввиду малости скалярного произведения mI ряды последовательных приближений теории начинают расходиться. Это означает, что адекватное описание поведения системы вблизи резонанса требует отдельного рассмотрения и построения резонансной теории возмущений. Этому вопросу и посвящено настоящее пособие.

- 3 - Малышев А.И.

I. Резонанс связи двух степеней свободы Выполним пример построения резонансной теории возмущений для системы с двумя степенями свободы, чей гамильтониан в переменных действие-угол имеет следующий вид:

HI1,I2,1,2 H0I1,I2 VI1,I2,1,2. (1) Здесь H0(I1, I2) – гамильтониан невозмущенной системы, а второе слагаемое описывает возмущение, малость которого определяется параметром. Невозмущенные частоты колебаний определяются известным образом:

H1,2. (2) I1,Рассмотрим подробнее резонанс n1 – m2 = 0, (3) где n и m – положительные целые числа. Поскольку речь идет о резонансе между колебаниями по двум разным степеням свободы в замкнутой системе, такой резонанс еще называют внутренним резонансом или резонансом связи. Заметим также, что последнее равенство может быть записано в виде скалярного произведения векторов 1,2 и m n, m.

Поскольку на резонансе разность n1 – m2 равна нулю, то вблизи резонанса разность n1 – m2 является медленной функцией времени по сравнению, например, с 1(t) и 2(t). Используем это – совершим каноническое преобразование посредством производящей функции m1 n2 n1 mF2 J1 J2, (4) n2 m2 n2 mоткуда I1 nJ2 n2 m2 1 n2 n2 m mJ1 mи (5) nJ1 mJ2 n2 m2 n1 m2 n2 mI2 Легко заметить, что такое каноническое преобразование соответствует повороту системы координат в плоскостях частот (1, 2) и действий (I1, I2) (см. рис. 1). Таким образом, новыми угловыми переменными становятся быстрая фаза m1 n1 (6) n2 mи медленная фаза n1 m2. (7) n2 m- 4 - Резонансная теория возмущений Рис. 1. Иллюстрация к каноническому преобразованию (5) Прежде, чем перейти в гамильтониане к новым переменным, заметим следующее. Функция возмущения, вообще говоря, является периодической функцией переменных 1 и 2, поэтому может быть разложена в двойной ряд Фурье:

VI1,I2,1,2 I1,I2ein m2. (8) Vn,m n,m При этом для простоты положили, что среднее значение возмущения равно нулю. Если это не так, то возможны два варианта – либо среднее значение является функцией только переменных действия, либо оно является константой. В первом случае слагаемое V0,0I1,I2 может быть включено в невозмущенную часть гамильтониана, что приведет к небольшому изменению невозмущенных частот (2), которое может быть описано в рамках канонической теории возмущений. Во втором случае, постоянная составляющая гамильтониана может быть вовсе исключена.

Таким образом, гамильтониан (1) приобретает следующий вид:

n m1n2 m n1mi n2mH H0J1, J2 J1, J2 e. (9) Vn,m n,m Усредним его по быстрой фазе 1, в результате получим:

n i n2 m2 n H H0J1, J2 J1, J2 e, (10) V m n,n n n а также оставим в сумме по n самые медленные слагаемые – с n = ±n:

H H0J1, J2 Vn,mJ1, J2ei n2 m2 2 Vn,mJ1, J2ei n2 m2 2. (11) Обе оставшиеся гармоники обычно примерно равны друг другу, поэтому положим далее для простотыV0J1, J2. (12) Vn,mJ1, J2 Vn,mJ1, J Замечание, касающееся этого равенства, будет сделано в заключение настоящего раздела.

- 5 - Малышев А.И.

В результате гамильтониан (11) примет вид:

H H0J1, J2 V0J1, J2cos n2 m2 2. (13) Из канонических уравнений, J1 0, (14) V0J1, J2 n2 m2 sin n2 m2 2, Jследует, что J1(t) = J10 = const, а J2(t) меняется мало, на величину порядка. Это позво~ ляет сделать в гамильтониан подстановку J10 вместо J1, и J20 Jt вместо J2, а также произвести разложение его слагаемых в ряд Тейлора с точностью до первого неисче~ зающего порядка по J :

H0 ~ 2H0 ~H H0J10, J20 J J V0J10, J20 cos n2 m2 2. (15) J2 JЗдесь необходимо заметить, что значения J10 и J20 отвечают области резонанса и определяются в соответствии с (5) резонансными значениями действий I1R и I2R. В результате второе слагаемое в правой части последнего соотношения оказывается равным нулю:



H 2 0. (16) J1J10, JJ2 JПервое же слагаемое может быть исключено из гамильтониана как постоянная. Обозначая далее вторую производную 2H0 J2 J1J10,J2J20 за K, получим резонансный гамильтониан (гамильтониан эффективно одномерной системы):

K ~ Hres J V0 cos n2 m2 (17) Легко видеть, что это есть гамильтониан математического маятника, что открывает возможность найти основные параметры резонанса, такие как ширина и частота малых колебаний.

Для расчета ширины резонанса необходимо получить уравнение его сепаратрисы – кривой, отделяющей траектории, попавшие в резонанс, от траекторий возмущенных, но не попавших в резонанс. Применительно к математическому маятнику сепаратрисой является кривая, разделяющая в фазовой плоскости области с колебательным и вращательным режимами движения; на рис. 2 она показана красным цветом. Итак, положим энергию системы равной максимальной потенциальной энергии, т.е. V0, тогда Vn2 mK 2 ~ ~ J 2 cos V0 J V0 cos n2 m2 2 (18) K Тогда ширина резонанса:

V~ J (19) K - 6 - Резонансная теория возмущений Рис. 2. Сверху: зависимость потенциальной энергии в резонансном U2 V0 cos n2 m2 гамильтониане от угла. Снизу: фазовый портрет математического маятника – фазовый портрет нелинейного резонанса. На обоих рисунках сепаратриса показана красным цветом Что касается частоты малых колебаний вблизи центра резонанса, она может быть определена на основе уравнений движения. Так из канонических уравнений для гамильтониана (17) следует, что:

2 KV0 n2 m2 sin n2 m2 2 0 (20) Считая отклонения от центра резонанса малыми, разложим второе слагаемое в ряд Тейлора до членов первого порядка по 2, получим уравнение гармонического осциллятора, откуда найдется и искомая частота:

~ KV0n2 m2 KV0n2 m22 0 (21) Итоговые замечания:

1. Как следует из (19), ширина резонанса пропорциональна, что при малых значениях много больше, чем 1 и, конечно, 2. Отчасти по этой причине резонанс принципиально не мог быть описан в рамках канонической теории возмущений, где разложение ведется именно по целочисленным степеням малого параметра.

2. Если бы вместо равенства (12) выбрали Vn,mJ1, J2 Vn,mJ1, J2ei, где – некоторая фаза, то получили бы качественно ту же картину резонанса, лишь сдвинутую вдоль горизонтальной оси 2.

- 7 - Малышев А.И.

II. Резонанс в системе с полутора степенями свободы В предыдущем разделе обсуждалось построение резонансной теории возмущений на примере консервативной системы с двумя степенями свободы – был описан так называемый внутренний резонанс между степенями свободы или резонанс связи. Рассмотрим теперь резонанс другой природы – резонанс между колебаниями одномерной нелинейной системы и внешним периодическим по времени полем.

Для начала определимся с терминологией, ибо понятие полуцелого числа степеней свободы совсем не тривиально. Вообще, под числом степеней свободы в механике принято понимать количество обобщенных координат, необходимое для однозначного описания положения системы. При этом в случае N степеней свободы задача математически сводится к решению системы из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (или N уравнений второго порядка). При решении задач биомеханики, электромеханики и т.п. зачастую возникает ситуация, когда количество дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих систему, является нечетным. А поскольку привычной является ситуация, когда число степеней свободы вдвое меньше числа уравнений, то и появилось понятие полуцелого числа степеней свободы. Впоследствии оно расширило границы своей применимости. Скажем, в книге [6] система с N степенями свободы и периодической зависимостью от времени в гамильтониане называется системой с N 1 2 степенями свободы, поскольку «время является дополнительной канонической переменной», похожей на угловую переменную.

Итак, рассмотрим механическую систему с гамильтонианом:

HI,,t H0I VI,,t. (22) Здесь – малый параметр. Переменные действие-угол относятся к невозмущенной системе H0(I), ее частота:

dHI. (23) dI Как уже указывалось, внешнее поле периодично по времени: VI,,t TVI,,t.

Также как обычно есть и периодичность по переменной с периодом 2. Разложим слагаемое возмущения в двойной ряд Фурье с нулевым средним:

VI,,t V Ieinmt. (24) n,m n,m Здесь 2 T – характерная частота внешнего поля, а суммирование по обоим индексам идет в бесконечных пределах. Что касается среднего значения возмущения, опущенного в (24), относительно него можно сделать замечание, аналогичное сделанному ранее при записи ряда (8).

Рассмотрим далее резонанс IR – это равенство является уравнением для определения резонансного значения действия IR.

- 8 - Резонансная теория возмущений Как и в предыдущем разделе, заметим здесь, что вблизи резонанса, где I IR, разность частот (I) – стремится к нулю, поэтому разность – t является медленной функцией времени по сравнению с или t.

Совершим каноническое преобразование посредством производящей функции F2 tJ IR (25) и введем фазу = – t, а также сдвинем начало отсчета по действию в область резонанса: J = I – IR. Новый гамильтониан при этом приобретает вид:

F~ H H H0J IR J IR. (26) V J IR einnmt n,m t n,m Гамильтониан (26) все еще является точным. Далее сделаем ряд приближений.

Так, поскольку речь идет о поведении динамической системы вблизи резонанса, будем рассматривать значения переменной J – малые по сравнению с IR. Разложим слагаемые в гамильтониане в ряд Тейлора вблизи нуля по степеням J, оставляя лишь члены не выше второго порядка. Ввиду малости второго слагаемого, обеспечиваемой множителем, значение коэффициентов Vn,m(I) возьмем при резонансном значении действия. В итоге, получим K ~ H H0IR IR J J2 IR, (27) V IR einnmt n,m n,m где введено обозначение K d2H0 dI2. Исключим первое и последнее слагаемые IIR как постоянные, а также занулим второе, поскольку (IR) =. В результате получим:





K ~ H JV IR einnmt. (28) n,m n,m Далее усредним это выражение по быстрой фазе t – останутся лишь слагаемые с m = –n:

K ~ H JV IR ein. (29) n,n n Оставляя теперь самые медленные слагаемые в сумме по n, будем иметь:

K ~ H J2 V1,1IR ei V1,1IR ei. (30) Как правило, в реальных системах V1,1IR V1,1IR, поэтому положим далее VV1,1IR V1,1IR, (31) (см. также замечание 2 на стр. 7) тогда резонансный гамильтониан примет вид:

K Hres J2 V0 cos (32) - 9 - Малышев А.И.

Как и при обсуждении внутреннего резонанса, вновь получили гамильтониан математического маятника. Это позволяет легко найти уравнение сепаратрисы резонанса:

V K J 2 cos V0 J2 V0 cos (33) K и его ширину VJ (34) K Из уравнений движения, отвечающих гамильтониану (32), нетрудно рассчитать и частоту малых колебаний вблизи центра резонанса:

J V0 sin ~ KV KV0 sin 0 (35) KJ Нетрудно заметить, что ввиду универсальности резонансного гамильтониана – гамильтониана математического маятника – выражения (33)-(35) аналогичны (18), (19) и (21), несмотря на то, что речь идет о физически различных механических системах.

- 10 - Резонансная теория возмущений III. Перекрытие резонансов. Критерий Чирикова Рассмотрим далее вопрос о взаимодействии нескольких резонансов. Какова будет структура фазового пространства, если резонансы окажутся достаточно близко друг от друга Представим себе, что внешнее периодическое поле VI,,t имеет не одну гармонику, а несколько, причем одного порядка. Пусть, например, в возмущении можно выделить слагаемые с двумя разными частотами – 1 и 2. Тогда можно говорить о двух нелинейных резонансах, существующих одновременно в фазовом пространстве системы, отличающихся резонансным значением действия:

IR1 1 и IR2 2. (36) Каждый из двух резонансов имеет свою ширину (34), между ними – фиксированное «расстояние» по действию, равное IR1 IR2. Известно, что с ростом амплитуды возмущения ширина резонансов растет, а значит, при некоторой критической амплитуде возмущения они могут перекрыться! Простейший критерий перекрытия был предложен советским ученым Б.В. Чириковым в 70-х годах XX века: считая резонансы независимыми друг от друга, за момент перекрытия можно принять касание их невозмущенных сепаратрис (см.

рис. 3). Кратко это выражается равенством:

1 J1 J2 IR1 IR2. (37) 2 Рис. 3. Перекрытие резонансов по Чирикову – касание невозмущенных сепаратрис (показаны красным цветом).

- 11 - Малышев А.И.

Последнее соотношение можно считать уравнением на критическую величину возмущения, при которой резонансы перекрываются.

Замечание. Реально перекрытие резонансов происходит при меньших значениях амплитуды возмущения, чем следует из уравнения (37). Критерий Чирикова позволяет лишь оценить его по порядку величины. Сильной стороной критерия являются его наглядность и простота.

Перекрытие происходит раньше, поскольку с ростом амплитуды возмущения резонансы начинают «чувствовать друг друга», взаимодействовать. Их рассмотрение как независимых становится некорректным. Как следствие взаимодействия, сепаратрисы резонансов разрушаются, и на их месте образуются тонкие стохастические слои – малые области с хаотической динамикой. При дальнейшем увеличении амплитуды стохастические слои уширяются, начинают проявляться резонансы более высоких порядков и вторичные резонансы. Структура фазового пространства становится заметно сложнее и интереснее! Следующий раздел призван это проиллюстрировать.

В заключение заметим, что в случае, когда центры резонансов расположены при разных значениях угла вдоль горизонтальной оси, возможны существенные отклонения от описанного выше сценария Чирикова. Даже в том случае, когда по вертикальной оси резонансы сближены на расстояние порядка полусуммы их ширин и даже менее, они все еще могут быть не перекрыты. Подобная ситуация была описана, например, в работе [9].

- 12 - Резонансная теория возмущений IV. Примеры Пример 1. Рассмотрим осциллятор с кубической нелинейностью, помещенный в слабое внешнее поле с двумя гармоническими составляющими2:

p2 xH f0xcos1t cos2t. (38) 2 Введем переменные действие-угол невозмущенной системы:

a 2 x I 2E dx E AI. (39) Здесь a 4E – амплитуда колебаний, величину которой можно выразить теперь через действие: aI 4A I. Константа A 0.8671.

Поскольку нелинейность осциллятора не высока, положим xI, aIcos, тогда гамильтониан (38) принимает вид:

aI H AI f0 cos 1t cos 2t cos 1t cos 2t. (40) Последние два слагаемых могут быть исключены как быстро осциллирующие, что соответствует усреднению по быстрой фазе при построении теории возмущений. Два оставшихся – отвечают за два резонанса на частотах 1 и 2. Рассматривая их независимо, для каждого найдем резонансное значение действия и ширину резонанса:

31 3 32 IR1 и IR2, (41) 4A 4A f0 IR1 f0 IRI1 6 и I2 6. (42) 24A34 24AПрименяя критерий Чирикова f0 IR1 f0 IR3 3 IR2 IR1, (43) 24A34 24Aнайдем критическое значение амплитуды f0, отвечающее моменту перекрытия резонансов:

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.