WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |

Задача управляющего органа экономической системы – так управлять системой с помощью налогово-кредитной политики или директив, меняя c(t), чтобы за длительный интервал времени дисконтированная полезность от потребления была бы наибольшей, т.е.

+• e-dtu(c(t))d t max, (5.15) где d – положительный параметр дисконтирования, с помощью которого будущие полезности приводятся к настоящему времени (исходя из того, что ближайшее во времени потребление важнее отдаленного); u = u(c) – функция полезности потребления. Относительно функции полезности обычно считается, что она является положительной, строго возрастающей функцией Введение в оптимальное управление и удовлетворяющей условию u(0) = 0. В целях упрощения последующего изложения примем, что полезность прямо пропорциональна удельному потреблению, т.е.

u(c) =ac, a> 0, a- const.

С математической точки зрения задача об оптимальном росте для односекторной замкнутой экономической системы с бесконечным горизонтом управления и положительной нормой дисконтирования заключается в максимизации интегрального функционала +• I(c) =a e-dtc(t)d t (5.16) при условиях dk = f(k) - lk - c(t), k(0) = k0, (5.17) dt 0 < c* c(t) f(k(t)), k(t)0 для всех t 0, где l=m+n.

В этой задаче оптимального управления единственной фазовой переменной является фондовооруженность k = k(t), единственной управляющей функцией – удельное потребление c = c(t), а целевым функционалом служит интеграл благосостояния (5.16). Правый конец траектории k = k(t) (при t +•) не фиксирован, но подчиняется требованию lim k(t)0. Решением t +• задачи является оптимальный процесс k*(t), c*(t), при котором благосостояние принимает наибольшее возможное значение.

5.3.3. Применение принципа максимума Вместо исходной сопряженной переменной y1(t) введем новую y(t) = ed ty1 и запишем для нее гамильтониан (в предположении y* = 1):

H = e-dt ac + y [f(k) - lk - c]. (5.18) {} Исходя из (5.18), новую сопряженную переменную y можно интерпретировать как теневую цену (приростных) фондов. Выражение в фигурных скобках (5.18) представляет собой полезность конечного удельного выпуска, поскольку ac – полезность части, которая идет на непроизводственное потребление, а y [f(k) - lk - c] – полезность части, используемой на расширение фондов. Умножением на дисконтирующий множитель указанная e-dt полезность приведена к настоящему моменту времени.

Запишем дифференциальное уравнение для сопряженной переменной:

Глава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач d y1 d H = e-dty = -.

( )k dt dt После почленного дифференцирования и последующего упрощения оно примет вид d y = [(l + d) - f (k)]y.

dt Перепишем это уравнение вместе с исходным дифференциальным уравнением в виде системы dk = f(k) - lk - c, k(0) = k0, dt (5.19) d y = [(l + d) - f (k)]y.

dt Напомним, что функция f аргумента k подчинена условиям f > 0, f < 0, означающим, что она сама строго возрастает, а ее производная строго убывает для всех неотрицательных k. Согласно равенству f(0) = график функции f начинается в начале координат. Дополнительно предположим, что lim f (k) =+• и lim f (k) = 0.

k+0 k+• Обратимся к системе дифференциальных уравнений (5.19). У нее существует стационарное решение k(t) k* - const, c(t) c* - const (для него dk* dc* = 0 ). Оно находится приравниванием нулю правых частей dt dt этих уравнений:

f (k*) =l+d, c* = f(k*) -l k*. (5.20) Установим существование и единственность констант c* и k* (а тем самым, и стационарного режима), удовлетворяющих (5.20). Согласно равенству f(0) = 0 график функции f начинается в начале координат. Кроме того, выше было предположено, что f < 0, lim f (k) =+• и lim f (k) = k+k+• Поэтому производная f при изменении k от нуля до бесконечности непрерывно уменьшается от +• до нуля. Следовательно, найдется (и притом единственное) положительное число k = k*, при котором эта производная в точности примет положительное значение l+d, причем (l+d) - f (k) > 0 при k < k* ;

(l+d) - f (k) < 0 при k > k*. (5.21) Введение в оптимальное управление Таким образом, первое равенство в (5.20) (для заданного фиксированного ) выполняется. После этого число c* на основании указанного k* d> можно однозначно найти в соответствии со вторым равенством в (5.20). При этом благодаря неравенству f (k*) =l+d>l= (lk) между угловыми k=k* коэффициентами касательной к графику функции y = f(k) в точке k = k* и прямой y =lk будет выполнено f(k*) >lk*. Поэтому число c* будет удовлетворять неравенству 0 < c* < f(k*).

Найденным значениям констант c* и k* соответствует единственная так называемая траектория сбалансированного роста (стационарный режим). Эта траектория с экономической точки зрения является очень привлекательной;

она отвечает ситуации, когда осуществляется воспроизводство, позволяющее при постоянном удельном потреблении поддерживать фондовооруженность на стационарном уровне k = k*. Далее число c* будем считать настолько малым, что c* < c*.

Перепишем гамильтониан (5.18) в форме H = e-d t (a-y)c +y[f(k) -lk].

{} Поскольку он линейно зависит от c, то его максимум по c определяется знаком выражения (a-y) и в силу неравенств (5.14) достигается при следующем релейном законе изменении удельного потребления c, y*(t) > a, * c*(t) = (5.22) f(k(t)), y*(t) < a.

Условие трансверсальности на правом конце траектории в данном случае * имеет вид lim y1(t)k*(t) = 0.

t +• 5.3.4. Построение интегральных кривых уравнения (5.17) Изучим характер интегральных кривых исходного дифференциального уравнения (5.17) в зависимости от начального условия k(0) в двух случаях:

при c(t) c* и c(t) = f(k(t)). Напомним, что используемое ниже значение фондовооруженности k* было введено выше и определяется первым равенством (5.20).

1) Пусть c(t) c*. В этом случае уравнение (5.17) перепишется следующим образом dk = f(k) - lk - c*, k(0) = k0. (5.23) dt dk Положение равновесия k(t) const (для него = 0 ) этого уравнения dt находится приравниванием нулю правой части указанного дифференциального уравнения, т.е. из условия Глава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач f(k) -l k = c*. (5.24) Будем считать, что уравнение (5.24) имеет ровно два положительных корня k1 = kmin и k2 = kmax (а значит, и две стационарные траектории k(t) kmin и k(t) kmax )11. Нетрудно видеть (см. рис. 5.1), что до первого корня kmin выражение f(k) -lk - c* отрицательно, после первого до второго корня kmax – положительно и далее, после второго корня, – вновь отрицательно. Кроме того, очевидно, выполняется kmin < k* < kmax.

Рис.5.1. Два корня уравнения f(k) -lk - c* = Решения дифференциального уравнения (5.23) имеют различный вид в случаях 0 < k0 < kmin, kmin < k < kmax и.

k > kmax Так, если выполнено неравенство 0 < k0 < kmin, то правая часть уравнения (5.23) отрицательна. Отрицательность левой части этого уравнения, т.е. проdk изводной, влечет строгое убывание фондовооруженности k = k(t) со dt временем. Продифференцируем уравнение (5.17) k = f (k)k - lk = (f (k) - l)k Тем самым, случаи, когда корней нет, либо он единственный, исключены из дальнейшего рассмотрения. Подобные случаи могут возникнуть тогда, когда число c* не является достаточно малым; они не представляют особого интереса.

Введение в оптимальное управление и, воспользовавшись тем же уравнением (5.17), получим следующее представление для производной второго порядка k = (f (k) - l)(f(k) - lk - c*). (5.25) В данном случае k0 < kmin, а значит f (k) -l> 0 и f(k) -lk - c* < 0.

Отсюда на основании (5.25) следует k < 0, что свидетельствует о строгой вогнутости интегральной кривой k(t).

Если kmin < k0 < kmax, то благодаря положительности правой части уравнения (5.23) его решение k(t) строго возрастает, асимптотически приближаясь к значению k = kmax. При этом анализ знака производной второго порядка (5.25) на основе рис. 5.1 показывает, что при увеличении t эта производная сначала положительна, затем в некоторой точке обращается в нуль, после чего становится отрицательной и далее знака не меняет. Отсюда можно сделать вывод о том, что при увеличении t в определенный момент (при f (k) =l ) строгая выпуклость функции k(t) сменяется на строгую вогнутость.

При k0 > kmax правая часть уравнения (5.23) отрицательна. Отрицательность левой части этого уравнения влечет убывание фондовооруженности со временем и ее стремление ко второму стационарному значению kmax. Заметим, что в данном случае k > 0, что свидетельствует о строгой выпуклости рассматриваемого семейства интегральных кривых.

Глава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач Рис. 5.2. Вид интегральных кривых при c(t) c*.

2) Теперь пусть c(t) = f(k(t)). В этом случае на потребление работают все фонды (нет ни расширения, ни даже восстановления фондов). Уравнение (5.17) тогда принимает вид dk =-l k, k(0) = kdt и его решение легко находится интегрированием: k(t) = k0e-l t. В этом случае независимо от начальной точки k0 фондовооруженность k(t) со временем снижается экспоненциально, асимптотически приближаясь к нулевому уровню (см. рис. 5.3).

Рис. 5.3. Вид интегральных кривых при c(t) = f(k(t)).

5.3.5. Изучение экстремалей Понтрягина Выше было отмечено, что с экономической точки зрения наибольший интерес представляет траектория сбалансированного роста, соответствующая k(t) k*, c(t) c*. Если в начальный момент времени выполнено k0 = k(0) = k*, то, применяя управление c*(t) c*, получим при всех tстационарный режим, отвечающий траектории сбалансированного роста.

Если же k0 k*, то стационарный режим в результате осуществления процесса управления может быть достигнут лишь по прошествии какого времени, Введение в оптимальное управление либо вообще никогда не осуществится. Чтобы не усложнять последующее рассмотрение, ограничим его классом только таких экстремалей Понтрягина, которые в какой-то конечный момент времени выводят систему на траекторию сбалансированного роста.

1) Пусть k0 < kmin. В этом случае, как видно из рис. 5.2 и 5.3, применение как управления c(t) c*, так и управления c(t) = f(k(t)) ведет к уменьшению фондовооруженности, что исключает достижение траектории сбалансированного роста в какой-либо последующий момент времени.

2) Пусть kmin < k0 < k*. При таком начальном условии повысить значение фондовооруженности с k0 до k* можно лишь в результате использования управления c*(t) c*. Так как kmin < k* < kmax, то найдется такой момент времени t1 > 0, при котором окажется выполненным равенство k(t1) = k*, т.е. в этот момент система выйдет на траекторию сбалансированного роста.

Далее чтобы остаться на указанной траектории для всех последующих t > tследует применять управление c*(t) c* - const, отвечающее стационарному режиму.

Отметим здесь также следующее. Если в момент t = t1 не сделать переключение с управления c*(t) c* на c*(t) c*, то далее фондовооруженность будет принимать значения в промежутке между k* и kmax и последующее переключение в какой-то момент времени t > t1 на управление c(t) = f(k(t)) уже не в состоянии вывести систему на траекторию сбалансированного роста. В самом деле, если в момент t было бы осуществлено переключение управления, то непрерывная сопряженная переменная y*(t) в момент t = t перешла бы значение, равное a. При k* < k < kmax в силу (5.21) и второго уравнения (5.19) сопряженная переменная строго убывает, поэтому ее значение в тот момент, когда траектория приблизится к уровню k = k* будет строго меньше a, а значит благодаря (5.22) переключения управления при t = t быть не должно. Оно возможно лишь по прошествии некоторого времени после пересечения интегральной кривой стационарного уровня k = k*, когда kmin < k < k* и сопряженная переменная строго возрастает. Аналогично рассуждая и далее, можно прийти к выводу о невозможности перехода на стационарный уровень ни в какой другой последующий момент времени t > t1.

3) Пусть k0 > k*. В этом случае как при k* < k0 < kmax, так и при k0 > kmax для выхода на траекторию сбалансированного роста необходимо применить управление c*(t) = f(k(t)). Это следует из того, что управление c(t) c* без последующего переключения не способно привести к достижению стационарного уровня k = k*, а при последующем использовании переключения значение целевого функционала (5.6), очевидно, будет меньше, нежели тогда, когда сразу «включается» максимально возможное управление Глава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач c*(t) = f(k(t)) Далее, после того система достигнет уровня k = k*, до конца периода управления используется стационарное управление c*(t) c*.

Нетрудно понять, что благодаря постоянству с некоторого момента времени указанных функций y*(t) и k*(t), отвечающих экстремали Понтрягина, условие трансверсальности lim e-d t y*(t)k*(t) = 0 выполняется.

t +• На рис. 5.4 изображены экстремальные траектории фондовооруженности для тех двух случаев, в которых установлена возможность выхода системы на траекторию сбалансированного роста.

Рис. 5.4. Экстремальные траектории фондовооруженности.

5.3.5. Характер оптимального процесса управления При kmin < k0 < k* сначала используется управление c*(t) = c* и фондовооруженность непрерывно растет за счет того, что удельное потребление удерживается на предельно низком уровне c*. Как только в некоторый момент времени фондовооруженность достигает стационарного значения k*, определяемого равенством f (k*) =l+d, система переключается на траекторию сбалансированного роста (переходит в стационарный режим) и остается на ней на протяжении всего остального периода времени. В стационарном режиме благодаря применению управления c*(t) c* - const имеет место воспроизводство, позволяющее поддерживать фондовооруженность на Введение в оптимальное управление постоянном уровне k* ; при этом удельное потребление неизменно и составляет f(k*) -lk*.

Если k0 > k*, то на первом этапе закон управления имеет вид c*(t) = f(k(t)) т.е. в фонды не поступает никаких вложений и фондовооруженность экспоненциально сокращается (за счет износа и увеличения числа занятых) по закону k*(t) = k0e-l t, l = m + n. Потребление также сокращается по закону c*(t) = f(k0e-l t ) пока фондовооруженность не достигнет в какойто момент времени стационарного значения k*, после чего на втором этапе система входит в стационарный режим и остается в нем неограниченно долго.

Во всех остальных случаях стационарный режим не достигается.

Выводы Принцип максимума может быть успешно использован при решении различных экономических задач, в которых участвуют переменные, зависящие от времени. В частности, это задача об оптимальном использовании энергии с учетом качества окружающей среды и задача оптимального экономического роста.

Следует отметить, что в некоторых случаях для получения нетривиальных результатов могут потребоваться определенные математические усилия.

Основные понятия Оптимальное использование энергии с учетом качества окружающей среды, односекторная модель оптимального экономического роста, траектория сбалансированного роста.

Контрольные вопросы 1. Объясните, что такое общественная функция полезности. Какими свойствами она обладает 2. Сформулируйте одномерную задачу наилучшего использования энергии в виде задачи оптимального управления. Сколько в этой задаче фазовых и сколько управляющих переменных Назовите эти переменные.

3. Какие экономические выводы можно сделать в результате анализа задачи наилучшего использования энергии 4. Сформулируйте двумерную задачу наилучшего использования энергии в виде задачи оптимального управления.

5. Как выглядит функция Гамильтона для двумерной задачи оптимального управления Глава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач 6. Запишите сопряженную систему для двумерной задачи оптимального управления.

7. Опишите характер оптимального процесса в двумерной задаче оптимального управления.

8. Сформулируйте задачу оптимального экономического роста односекторной модели экономики. Назовите управляющие и фазовые переменные.

9. Как выглядит функционал Гамильтона для сформулированной задачи оптимального экономического роста односекторной модели экономики 10. Запишите дифференциальное уравнение для сопряженной переменной.

11. Какой вид имеет управление, соответствующее экстремали Понтрягина 12. Как выглядит при различных начальных условиях экстремаль Понтрягина, когда имеет место сходимость к стационарному режиму Прокомментируйте характер изменения этой траектории.

Упражнения 1. Рассмотрите новый целевой функционал в одномерной задаче наилучшего использования энергии (с дисконтирующим множителем):

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.