WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |

В рассматриваемой задаче на роль переменных управления и состояния может претендовать как величина энергии E, так и темп ее расходования V. При этом ясно, что именно темп расходования энергии является тем параметром, который мы можем выбирать из экономических или каких-то иных соображений. Следовательно, V будем считать переменной управления, тогда как E – переменной состояния (фазовой переменной).

Для того чтобы сформулировать задачу оптимального управления необходимо иметь критерий оптимальности. В данном случаем критерием оптимальности (функционалом), который следует максимизировать, будет интегГлава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач ральная общественная полезность за рассматриваемый период от начального момента времени t = 0 до конечного t = T, т.е.

T U(C(V(t)),P(V (t)))dt. (5.4) Итак, задача оптимального управления, к решению которой сведена задача наилучшего использования энергии, заключается в максимизации интегрального функционала (5.4) при условиях dE =-V, E(0) = E0, E(T )0, dt (5.5) V(t) > 0, 0t T.

где числа E0 и E(T ) считаются заданными.

5.1.3. Применение принципа максимума и анализ полученных результатов Составляем функцию Гамильтона, ограничив рассмотрение случаем y* = 1:

H(V,y) =U(C(V ),P(V )) - yV.

Предполагая функцию H дифференцируемой по положительной переменной V, запишем для этой функции необходимое условие экстремума, приравняв нулю ее частную производную по V :

H dU U U = -y= C(V ) + P(V ) -y= 0. (5.6) V dV C P С учетом (5.2) – (5.3) для производной второго порядка функции H получаем место неравенство 2H 2U U 2U U = C2 + C + P2 + P < 0, V C2 C P2 P которое в соответствии с известным результатам из курса математического анализа свидетельствует о том, что решение уравнения (5.6) (оно является «подозрительным» на экстремальное) будет максимизировать функцию Гамильтона по переменной V.

Сопряженное уравнение в данном случае принимает вид d y H =- = 0.

dt E Из равенства (5.6), в частности, следует, что сопряженная переменная в данной задаче выражает собой скорость UV изменения общественной функции полезности U в зависимости от темпа расходования энергии V.

Введение в оптимальное управление Из этого уравнения находим оптимальное значение сопряженной переменной y*(t) = c, где c - const, для всех t [0,T]. Для того чтобы определить константу c, следует воспользоваться условием трансверсальности на правом конце. В данном случае (см. разд. 4.5) оно имеет вид неравенства y*(T )0 и равенства y*(T )E(T ) =0. Из неравенства в силу y*(t) c следует y*(t) =c0 для всех t [0,T].

Учитывая установленный результат, уравнение (5.6) теперь можно переписать так:

U U C (V ) + P(V ) = c.

C P В это уравнение переменная t не входит. Поэтому его решение, т.е.

величина V, так же не должна зависеть от времени t. Следовательно, для * оптимального значения темпа расходования энергии получаем V(t) =V при * всех t [0,T], где V – некоторая положительная константа.

Полученное означает, что в рассматриваемой задаче оптимальный режим характеризуется постоянным темпом расходования энергии.

* При постоянном оптимальном значении V(t) V нетрудно решить дифференциальное уравнение из (5.5) и найти соответствующее оптимальное * значение фазовой переменной E*(t) = E0 -V t, описывающей имеющееся количество энергии в момент времени t.

Поскольку участвующие в постановке задачи функции U(C,P), C(V ) и * P(V ) конкретно не заданы, то определить оптимальное значение V не представляется возможным. Остается лишь провести общий качественный анализ, используя условие неотрицательности запаса энергии E*(T )0 в конеч* ный момент времени T. Из установленного ранее равенства E*(t) = E0 -V t при t = T легко вывести, что в случае E*(T ) = 0 (это соответствует полному расходу имеющейся энергии до заданного конечного момента времени T * или в точности в этот момент) величина оптимального значения V темпа расходования энергии имеет вид E* V =.

T Необходимо отметить, что полученный выше вывод о постоянстве оптимального значения темпа расходования энергии имеет место благодаря тому, что в целевом функционале под знаком интеграла (5.4) отсутствует дисконтирующий множитель (полезно сравнить полученный здесь результат с решением задачи из упр. 1, приведенного в конце данной главы).

Глава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач 5.2. Оптимальное использование энергии с учетом качества окружающей среды (двумерная модель) 5.2.1. Формирование основных зависимостей Как и ранее, пусть E = E(t) означает количество энергии определенного вида, V =V(t) – темп (скорость) расходования этой энергии, а P = P(t) – величина загрязнения в момент времени t, 0t T.

Использование энергии приводит к загрязнению окружающей среды.

Будем считать, что скорость загрязнения прямо пропорциональна темпу расходования энергии:

dP =aV, a> 0.

dt Через A обозначим уровень деятельности, направленной на охрану окружающей среды и будем считать, что этот уровень может прямо пропорционально снижать темп загрязнения, т.е.

dP =-bA, b> 0.

dt Примем, что в силу процессов самоочищения уровень загрязнения падает экспоненциально. Этот факт можно выразить в виде дифференциального уравнения dP =-dP, d> 0.

dt Теперь, учитывая одновременно все три перечисленные выше фактора (т.е. суммируя выписанные выше три дифференциальные уравнения10), влияющие на скорость загрязнения, приходим к следующему дифференциальному уравнению относительно функции P :

dP =aV -bA -dP, a> 0, b> 0, d> 0.

dt Перейдем к формированию второго уравнения для скорости изменения количества используемой энергии. Имеется равенство (5.1). Кроме того, ясно, что осуществление мер по охране окружающей среды, в свою очередь, также требует использования энергии. Предположим, что зависимость между величинами E и A является прямо пропорциональной, т.е. E =-A.

Складывая это равенство с (5.1), при сохранении старых обозначений придем к дифференциальному уравнению Следует иметь в виду, что при этом на постоянный множитель 1/3 изменятся константы,,. Тем не менее, далее за новыми константами сохранены прежние обозначения.

Введение в оптимальное управление dE =-A -V, dt относительно функции E.

5.2.2. Задача оптимального управления В качестве управляющих переменных здесь естественно выбрать V и A. Тогда P и E будут переменными состояния.

Как и в предыдущем разделе, введем общественную функцию полезности U =U(C(V ),P), обладающую свойствами UC > 0, UP < 0, UC < 0, UPP < 0, C > 0, C < 0, C где величина C(V ) характеризует положительный фактор, связанный с использованием энергии. Качество управления будем оценивать величиной интегральной полезности T U(C(V(t)),P(t))d t. (5.7) В итоге приходим к задаче оптимального управления с двумя фазовыми переменными P, E и двумя управляющими функциями V и A. Эта задача состоит в максимизации функционала (5.7) при условиях dP =aV -bA -dP, dt dE =-A -V, dt P(0) = P0 > 0, P(T )0, (5.8) E(0) = E0 > 0, E(T )0, V(t)>0, 0 A(t) ; 0t T, причем начальный и конечный моменты времени считаются фиксированными, а конечные значения P(T ) и E(T ) фазовых переменных – свободными.

Последняя строка в (5.8) задает ограничения на изменение управляющих переменных. В соответствии с ней скорость V расходования энергии должна быть положительной, тогда как уровень деятельности, направленной на Глава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач охрану окружающей среды, т.е. величина A, вместе с условием неотрицательности дополнительно не может превышать некоторого «порогового» фиксированного значения, которое диктуется имеющимися реальными возможностями.

5.2.3. Максимизация гамильтониана Составим функцию Гамильтона (полагая y* = 1):

H =U(C(V ),P) + yP (aV - bA - dP) - yE (A +V ).

Здесь через yP и yE обозначены сопряженные переменные, отвечающие дифференциальным уравнениям для величин P и E соответственно.

Необходимое условие экстремума для функции Гамильтона записывается в виде уравнения H =UCC(V ) + ay* - y* = 0. (5.9) P E V 2H А так как =UCCC 2 +UCC < 0, то решение уравнения (5.9) соот V ветствует максимальному возможному значению функции Гамильтона по переменной V.

Уравнение (5.9) можно переписать в форме UCC(V ) =y* -ay*. (5.10) E P Это равенство допускает следующую экономическую интерпретацию.

U Производную =UCC (V ), записанную в левой части (5.10), можно V рассматривать как величину прироста полезности, отвечающей увеличению темпа расходования энергии на одну единицу. Сопряженная переменная y* E характеризует теневую цену использования энергетического ресурса, а член -ay* связан с теневой ценой загрязнения окружающей среды. Тем самым, P равенство (5.10) показывает, что величина прироста полезности складывается из двух указанных показателей теневых цен.

Из-за невозможности исследовать здесь все мыслимые варианты, ограничим последующее рассмотрение лишь интересным с точки зрения практики случаем, когда теневая цена загрязнения окружающей среды строго возрастает, т.е. примем d y* P > 0, 0t T. (5.11) dt Введение в оптимальное управление Запишем условие максимума функции Гамильтона H по переменной A. Так как эта функция линейна относительно A, а сама эта переменная заключена в пределах от 0 до, то точка максимума A* функции H по A будет зависеть от значения сопряженных переменных следующим образом:

+ y* > 0, P 0, если by* E (5.12) A* = + y* <, если by* 0.

P E В (5.12) отсутствует возможность выполнения равенства by* + y* = P E Как будет показано в следующем разделе, это равенство действительно не может иметь места ни на каком временн ом промежутке [t,t] вида [t,t] [0,T].

5.2.4. Исследование возможных значений оптимального уровня A* Согласно ограничениям из (5.8) значения переменной A должны быть заключены в пределах отрезка [0, ]. Оптимальное значение A* тоже должно принадлежать ему. В формуле (5.12), задающей A*, фигурируют лишь граничные значения указанного отрезка. Убедимся в невозможности выполнения неравенств 0 < A* < на произвольном временн ом промежутке [t,t] [0,T]. С этой целью запишем систему уравнений для сопряженных переменных:

d y* H P =- =-UP +dy*, P dt P (5.13) d y* H E =- = 0.

dt E Для доказательства предположим противное: неравенства 0 < A* < справедливы при t t t. Согласно (5.12) это возможно лишь при условии равенства by* + y* = 0 для всех t [t,t]. Отсюда вместе с равенством P E y* = const, вытекающим из второго уравнения (5.13), следует равенство E d y* P y* (t) = const для всех t [t,t ]. Следовательно, = 0 для всех P dt t [t,t], что противоречит неравенству из (5.11). Полученное противоречие завершает доказательство невозможности выполнения неравенства 0 < A* < для всех t [t,t].

Таким образом, на любом временн ом промежутке [t,t] могут оказаться выполненными лишь две возможности A* = 0 или A* =. Следовательно, промежуточные между ними значения величина A* может принимать только в отдельные фиксированные моменты времени. А так как значение управляГлава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач ющей переменной A в отдельно взятый момент времени по существу никак не влияет на качество процесса управления, то всегда можно считать, что величина A* ни в какой момент времени не принимает значения, промежуточные между граничными значениями 0 и.

5.2.5. Выводы на основе принципа максимума В соответствии с полученным результатом существуют только два (крайних) значения, которые может принимать оптимальное значение переменной A, указывающей уровень деятельности, направленной на охрану окружающий среды. Нулевое значение A* = 0 соответствует ситуации, когда не осуществляется никаких мер по охране окружающей среды, тогда как в случае A* = принимаемые меры таковы, что загрязнение снижается с наибольшей возможной скоростью.

Перепишем равенство (5.12) следующим образом:

> -by*, 0, если y* P E A* = <, если y* -by*.

E P Согласно первой строке этого равенства, если являющейся постоянной теневая цена использования энергетического ресурса превышает выражение -by*, характеризующее величину цены загрязнения (т.е. цена y* является P E достаточно высокой), то нет смысла дорогостоящий источник энергии тратить на охрану окружающей среды (т.е. следует принять A* = 0 ), поскольку проигрыш в использовании энергии будет больше, чем выигрыш от охраны среды. В противном случае (этому положению отвечает вторая строка последнего равенства) следует использовать максимум энергетических возможностей для охраны окружающей среды, что соответствует выполнению равенства A* =.

Рассмотрим случай A* = 0 более подробно. С этой целью продифференцируем равенство (5.10) по переменной t :

dyP (UCCC 2 +UCC)V = -a.

dt Благодаря неравенству (5.11) и предположенным выше свойствам функции U отсюда следует неравенство V (t) > 0 при всех t [0,T], что соответствует постоянному росту темпа использования энергии. В свою очередь, постоянный рост темпа использования энергии ведет к истощению энергетического ресурса. Из второго уравнения (5.13) следует, что y* - const, E причем эта константа должна быть положительной, так как переменная y* E означает теневую цену используемых энергетических ресурсов. Неравенство Введение в оптимальное управление y* (T ) > 0 вместе с условием трансверсальности E(T ) y* (T ) = 0 приводит к E E равенству E(T ) = 0, показывающему, что в конечный момент времени запасы энергии должны полностью закончиться. Аналогично из второго соотношения условия трансверсальности P(T ) y* (T ) = 0 в силу P(T ) > 0 приходим к P равенству y* (T ) = 0, означающему, что в конечный момент времени теневая P цена загрязнения равна нулю.

Перейдем к анализу второй возможности, когда A* =. Благодаря (5.11) функция y* (t) является строго возрастающей. На основании этого и P условия y* - const из (5.12) получаем, что наступит определенный момент E времени, когда вместо неравенства by* + y* > 0 окажется выполненным P E неравенство by* + y* < 0. В этом случае уровень загрязнения P достигнет P E некоторой относительно небольшой величины и дальнейшее применение мер по охране среды станет невыгодным. Остальная часть процесса будет такой же, как и в случае A* = 0.

В итоге получаем следующую картину оптимального процесса. Если с самого начала уровень загрязнения относительно невелик, то никаких мер по охране окружающей среды применять не надо. При этом темп расходования энергии таков, что к концу периода управления энергия оказывается полностью израсходованной. В случае, когда уровень загрязнения значительный, необходимо сразу принимать самые действенные меры по охране окружающей среды до тех пор, пока уровень загрязнения не снизится значительно. После этого до конца периода управления никаких мер по охране окружающей среды не предусматривается.

5.3. Односекторная модель оптимального экономического роста 5.3.1. Описание модели Вернемся к изучению поведения односекторной экономической системы, описанной в главе 2 на основе модели Солоу:

dk K=-lk + rf(k), l=m+n, k(0) = k0 =, dt L0 (2.3) x = f(k), i = rf(k), c = (1- r)f(k), где K k = – фондовооруженность, K фонды, L – труд (число занятых);

L X x = – народнохозяйственная производительность труда, L Глава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач X - валовой внутренний продукт (ВВП);

I i = – удельные инвестиции (на одного занятого); I - инвестиции;

L C c = – среднедушевое (удельное) потребление (на одного занятого);

L C - фонд непроизводственного потребления;

n – годовой темп прироста числа занятых;

r – норма накопления;

m – доля выбывших за год основных производственных фондов.

Эта модель была рассмотрена при условии постоянства нормы накопления: r- const. Следуя [6], откажемся от этого условия и сформулируем задачу рационального ведения хозяйства, исследование которой проведем с помощью принципа максимума Понтрягина.

Итак, будем считать, что r const. Из последнего равенства в (2.3) выразим r f(k) = f(k) - c и первое из уравнений (2.3) перепишем в виде dk = f(k) - (m + n)k - c, k(0) = k0.

dt Полученное уравнение управляемой системы будет основой дальнейшего рассмотрения.

5.3.2. Постановка задачи оптимального управления В качестве управляющей функции выберем удельное потребление c.

Допустимым управлением будем считать произвольную кусочно-непрерывную функцию c = c(t), удовлетворяющую неравенствам 0 < c* c(t) f(k(t)) при всех t 0, (5.14) где c* – нижняя предельно допустимая граница удельного потребления.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.