WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |

0 < k < k k < k < k* k > k* ++– k +–+ k возрастающая, возрастающая, убывающая, k(t) строго выпуклая строго вогнутая строго выпуклая Прежде чем перейти к построению графика фондоворуженности k = k(t) в зависимости от начального состояния, отметим еще одно (предельное) свойство переходного процесса:

. (2.9) lim k(t) = k* t +• Именно это свойство дает возможность заключить, что любой переходный процесс независимо от начального состояния по прошествии достаточно длительного времени станет незначительно отличаться от стационарного.

Проверку предельного равенства (2.9) проведем в предположении, что производственная функция является функцией Кобба-Дугласа F(K,L) = AKaL1-a Введение в оптимальное управление A с некоторыми положительными параметрами и a(0,1). Нетрудно убедиться, что в этом случае выполняются равенства f(k) = F(k,1) = A ka, f (k) = a Aka-1, 1-a ar r 1-a, k =, k* = ll а уравнение (2.7) принимает вид dk =-lk + rAka, k(0) = k0.

dt Выполнив здесь замену k = e-ltu, для новой переменной u после несложных преобразований получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными du =rAe(1-a)l td t.

ua В результате его интегрирования находится решение 1-a rA r u(t) = e(1-a)l t + k01-a, ll rA которое с использованием равенства = (k*)1-a может быть записано в l виде * u(t) = )1-a e(1-a)lt + k01-a - (k*)1-a 1-.

(k После возврата к старой переменной, т.е. в результате умножения выражения, стоящего в квадратных скобках, на, получаем e-(1-a)l t (k*)1-a + k01-a (k*)1-a e-(1-a)l t 1k(t) = -.

() После осуществления предельного перехода при t +• в обеих частях последнего равенства придем к требуемому равенству (2.9) Подведем итоги проведенного исследования. В результате установлено существование трех типов переходного процесса:

1. при k0 < k сначала происходит ускоренный рост фондовооруженнос ти, который по достижении значения k = k сменяется замедленным ростом;

Глава 2. Модель Солоу 2. при имеет место замедленный рост фондовооруженности;

k < k0 < k* 3. при k0 > k* получаем замедляющееся падение фондовооруженности («проедание» фондов).

Рис. 2.2. Сходимость к стационарному значению На рис. 2.2 изображены все указанные три типа сходимости фондовооруженности к стационарному значению k = k* (соответственно кривые 1–3) в зависимости от выбора начального значения k0 = k(0) на вертикальной оси.

Сходным образом происходит изменение и остальных относительных показателей x, i, c, поскольку все они в силу (2.3) непосредственно связаны с величиной k.

2.4. «Золотое» правило накопления Суть этого правила состоит в том, что надлежащим выбором нормы накопления можно максимизировать среднедушевое потребление в стационарном режиме, а значит, благодаря (2.9), и в переходном режиме по прошествии некоторого времени получить среднедушевое потребление близкое к максимальному возможному.

Вновь примем, что производственная функция является функцией Кобба-Дугласа. Тогда для величины c* имеет место представление Введение в оптимальное управление rA 1-a c*(r) = (1- r)A(k*)a = (1- r)A 1-a = B g(r), [ ] l где A 1 =, g(r) = ra (1- r)1-a.

l a Как видим, среднедушевое потребление целиком определяется функцией g(r). Нетрудно найти производную этой функции:

a dg r a - r =.

dr 1- r r dc* Знак этой производной (равно как и производной ) полностью dr определяется соотношением между величинами a и r. А именно, при r 0, тогда как при r>a выполняется противоdr dc* положное неравенство < 0. Из этого следует, что при r=a достигается dr наибольшее возможное значения среднедушевого потребления. В этом случае норма накопления r равна эластичности выпуска по фондам a. На практике норма накопления обычно меньше своего оптимального значения ( r

Рис. 2.3. Два типа накопления Замечание 2.2. Если вместо нормы накопления r (при r 0 ), то текущее среднедушевое Глава 2. Модель Солоу a a потребление возрастет с величины c0 = (1- r)Ak0 до c0 = (1- r + Dr)AkОднако этот выигрыш через достаточно короткий промежуток времени сначала сойдет на нет, а потом превратится в проигрыш, поскольку при dc* r 0 стационарное среднедушевое потребление составляет dr c* = c*(r) > c*(r - Dr) = c*. Отсюда делаем вывод, что выигрыш в текущем потреблении неизбежно влечет проигрыш в ближайшей перспективе.

Общая сравнительная картина изменения среднедушевого потребления в этих двух случаях изображена на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Сравнительная картина изменения среднедушевого потребления Выводы Для изучения экономического роста оказывается удобным использования математической модели Р. Солоу в форме определенного дифференциального уравнения первого порядка. Его исследование дает возможность получить ряд важных экономических выводов. Среди них – «золотое» правило накопления.

Основные понятия Модель Солоу, равновесная траектория, переходный режим, «золотое» правило накопления.

Введение в оптимальное управление Контрольные вопросы 1. Какие параметры участвуют в модели Солоу 2. Запишите модель Солоу в удельных показателях.

3. Что такое стационарная (равновесная) траектория и при каких условиях она существует и единственна 4. Охарактеризуйте три типа переходных процессов.

5. В чем заключается предельное свойство всякого переходного процесса 6. Укажите экономический смысл «золотого» правила накопления.

7. Каким образом «золотое» правило накопления выражается в математических терминах Упражнения 1. Убедитесь, что производственная функция Кобба-Дугласа F(K,L) = AKaL1-a с некоторыми положительными параметрами A и a(0,1) удовлетворяет всем требованиям, сформулированным к ней в разд. 2.1.

2. Проанализируйте в переходных процессах изменение относительных показателей x = x(t), i = i(t), c = c(t), которые связаны с удельным потреблением k = k(t) посредством равенств (2.3).

3. Выпишите частный случай модели Солоу с постоянной численностью занятых. Как формулируется в этом случае «золотое» правило накопления 1 4. Пусть производственная функция имеет вид F = 5K L3e0,03t. Норма выбытия капитала составляет 0,08. Численность занятых растет на 2% в год.

Норма накопления составляет 25%. Каков равновесный уровень фондовооруженности единицы труда с постоянной эффективностью Каков равновесный уровень удельного дохода, инвестиций и потребления Соответствует ли имеющаяся норма накопления «золотому» правилу Если нет, то какой она должна для этого стать Каков равновесный уровень удельного дохода, инвестиций и потребления по «золотому» правилу Глава 3. Постановка задачи оптимального управления Здесь обсуждаются основные понятия теории управляемых систем и варианты различных постановок задачи оптимального управления.

3.1. Общие сведения об управляемых системах Важнейшими в теории оптимального управления являются понятия системы (объекта) и управления.

Слово «система» широко используется в обыденной речи, являясь частью таких словообразований, как финансово-кредитная система, система взаимозачета, система отопления и т.п. Этимологически «система» представляет собой греческий эквивалент латинского слова «композиция». Тем самым, понятие системы предполагает одновременное наличие нескольких компонентов (элементов или частей). В этом смысле система имеет общие черты с обычным множеством, т.е. совокупностью элементов. Однако, в отличие от множества термин «система» подразумевает определенное взаимодействие, взаимосвязь составляющих ее элементов. Эта взаимосвязь придает системе в целом такие свойства, которых нет в каждом из элементов данной системы.

Не вдаваясь в детализацию понятия системы (объекта), отметим, что наиболее общеупотребительным является представление о системе, как о совокупности взаимосвязанных элементов (частей, подсистем). Взаимосвязь элементов системы (т.е. внутреннее строение данной системы) описывается ее структурой. В качестве простого наглядного примера системы можно упомянуть, например, нашу солнечную систему. Элементами солнечной системы являются планеты, входящие в нее. Планеты при помощи своих гравитационных полей определенным образом взаимосвязаны друг с другом.

Эта взаимосвязь подчиняется физическим законам и может быть описана математическим языком.

Еще одним фундаментальным термином, непосредственно относящимся к любой системе, является состояние системы. Предполагается, что всякая система (точнее говоря, динамическая система, т.е. система, которая определенным образом развивается, эволюционирует во времени) в каждый момент времени может пребывать в одном из некоторого (конечного или бесконечного) числа возможных состояний. Именно смена состояний системы с течением времени дает возможность говорить о развитии или функционировании данной системы. Например, положение ракеты в пространстве (если ее отождествить с материальной точкой) может быть описано тремя пространсВведение в оптимальное управление твенными координатами – тройкой чисел. Эта тройка чисел (зависящая от времени) и определяет текущее пространственное положение (состояние) ракеты.

Далее будут рассматриваться только такие объекты, состояние которых в каждый момент времени может быть однозначно охарактеризовано определенным конечным набором n числовых параметров (т.е. n -мерным вектором) y = (y1, y2,..., yn) Rn. Такого рода системы широко распространены в технике и экономике.

Векторное пространство Rn, которому принадлежат возможные состояния системы, называют пространством состояний или фазовым пространством. Поскольку система развивается (эволюционирует) во времени, то указанные числовые параметры представляют собой функции времени, т.е.

y(t) = (y1(t), y2(t),..., yn(t)). При изменении времени от какого-то начального значения t = t0 до некоторого конечного t = T точка y(t) в фазовом пространстве описывает определенную кривую, которую называют траекторией системы. В случае n3 траектория может быть изображена в фазовом пространстве соответствующей размерности, и с ее помощью можно получить наглядное представление о функционировании данной системы.

Существуют два типа (два класса) систем. Один из них составляют те объекты, на развитие которых человек не может оказать никакого воздействия. Пример такого рода дает Солнечная система. Другой класс систем составляют те, состояние которых может меняться по воле отдельного человека или же целой группы людей в зависимости от преследуемых ими целей (например, финансово-кредитная система, космический корабль и т.п.).

Управление – это и есть воздействие, способное изменить текущее состояние, а значит и все последующее развитие системы. В технических системах механизм управления реализуется посредством определенных технических устройств. В экономических системах управление происходит в основном благодаря изменению установленных ранее правил экономического поведения (например, путем изменения процентных ставок, введения ограничений на рост цен на природные ресурсы и т.п.). Здесь следует отметить, что на функционирование сложных систем, как правило, оказывают воздействия очень многие факторы. И управление является лишь одним из целого множества имеющихся воздействий. Поэтому на практике из-за сильных «внешних помех» человеку в результате управления часто не удается в полной мере достичь желаемого эффекта.

Дальнейшее рассмотрение будет ограничено классом управляемых систем, поведение (развитие) которых удается менять, оказывая то или иное воздействие, причем таким образом, что в результате изменения достигаются определенные, заранее поставленные цели.

Глава 3. Постановка задачи оптимального управления Будем считать, что управляющие воздействия можно описать некоторым конечным набором числовых параметров (управлений) u = (u1,u2,...,ur ), которые управляющий орган способен выбирать в пределах некоторой области управления (множества) U,U Rr. Разумеется, выбор того или иного управления зависит от текущего момента времени, а значит, управление u представляет собой некоторый набор функций (вектор-функцию) времени: u(t) = (u1(t),u2(t),...,ur (t)), где t [t0,T].

3.2. Математическое представление динамической системы Пара векторных функций y(t), u(t) образует процесс. Между векторными функциями y(t) и u(t) имеется определенная связь: как только выбран какой-то конкретный закон управления в форме вектор-функции u(t), последовательность ее состояний (т.е. траектория) y(t) определяется однозначно.

Будем считать, что компоненты векторной функции u(t) являются кусочно-непрерывными2 на промежутке [t0,T]. Всякое управление u = u(t) с кусочно-непрерывными компонентами, удовлетворяющее условию u(t) U при всех t [t0,T], называют допустимым управлением.

Дальнейшее рассмотрение посвящено таким динамическим системам, в которых связь между переменными управления и фазовыми переменными математически может быть выражена при помощи следующей системы дифференциальных уравнений dy = f1(t, y1,..., yn,u1,...,ur ), dt dy= f2(t, y1,..., yn,u1,...,ur ), dt t0 t T. (3.1) dyn = fn(t, y1,..., yn,u1,...,ur ).

dt Здесь в правых частях уравнений записаны функции f1, f2,..., fn от n + r +переменных, которые определяют закон изменения производных (т.е. скоростей изменения) фазовых переменных y1, y2,..., yn. Если в (3.1) функции fi Кусочно-непрерывной называется числовая функция, непрерывная в каждой точке данного промежутка, за исключением, возможно, некоторого не более чем конечного числа его внутренних точек, в которых она терпит разрывы первого рода. В частности, всякая непрерывная на промежутке функция кусочно-непрерывна на нем.

Введение в оптимальное управление не зависят явно от времени, т.е. fi = fi(y1, y2,..., yn,u1,u2,...,ur ), i = 1,2,...,n, то получаем автономную систему.

Более компактно рассматриваемую систему дифференциальных уравнений можно переписать в векторной форме dy = f(t,y,u), t0 t T. (3.1) dt где dy dt f1(t, y,u) dy f2(t, y,u) dy = dt, f(t, y,u) =.

dt fn(t, y,u) dyn dt Частный случай системы (3.1) – автономная система – имеет вид dy = f(y,u), t0 t T. (3.2) dt f1(y,u) где f2(y,u).

f(y,u) = fn(y,u) Выясним, каким образом происходит функционирование (развитие во времени) системы (3.1) (а значит, и ее частного случая – автономной системы (3.2)). С этой целью выберем произвольное допустимое управление u = u(t) и зафиксируем начальное состояние системы y(0) Rn. На языке теории дифференциальных уравнений это означает, что задано начальное условие (0) (0) (0) y(t0) = y(0), где y(0) = (y1, y2,..., yn ), которое более подробно в координатной форме записывается в виде (0) yi(t0) = yi, i = 1,2,...,n. (3.3) После того, как управляющая векторная функция u = u(t) выбрана, подставив ее в правую часть системы дифференциальных уравнений (3.1), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений Глава 3. Постановка задачи оптимального управления dy = f1(t, y1,..., yn,u1(t),...,ur (t)), dt dy= f2(t, y1,..., yn,u1(t),...,ur (t)), dt t0 t T, dyn = fn(t, y1,..., yn,u1(t),...,ur (t)), dt относительно неизвестных функций y1 = y1(t), y2 = y2(t),..., yn = yn(t). Будем полагать, что функции f1, f2,..., fn обладают такими свойствами, что задача Коши для полученной системы с начальным условием (3.3) имеет и притом единственное решение y = y(t) (соответствующее произвольно выбранному допустимому закону управления u = u(t)), причем компоненты этого решения y = y(t) кусочно-дифференцируемы3. В результате, образуется пара векторных функций y(t), u(t), т.е. некоторый процесс, который именуют допустимым процессом. При этом нередко говорят, что в данном случае допустимое управление u = u(t) переводит систему (объект) из начального состояния y(0) Rn в конечное состояние y(T ) Rn по (фазовой) траектории y = y(t), t0 t T.

3.3. Задача управления с закрепленными концами Сформулируем две вспомогательные задачи, которые условимся называть задачами управления (в отличие от задачи оптимального управления).

Задача управления с фиксированной продолжительностью управления предполагает задание в фазовом пространстве двух точек (состояний системы) C,D Rn и состоит она в нахождении среди всех допустимых такого управления, которое переводит систему, находящуюся в начальный момент времени в состоянии y(t0) = C, в состояние y(T ) = D к заранее заданному моменту t = T (см. рис.3.1).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.