WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |

A(t) =, F(t) = an1(t) an2(t)…ann(t) Fn(t) Глава 1. Необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений 1.3. Функционал и задача его оптимизации 1.3.1. Понятие функционала Рассмотрим все возможные функции аргумента x, определенные на некотором промежутке. Как известно, функции можно складывать и умножать на числа. Суммой двух функций f и g называется такая функция h, заданная на том же самом промежутке, значения которой вычисляются по правилу h(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x) для всех x из данного промежутка.

Для того чтобы функцию f умножить на число l, следует все ее значения умножить на это число, т.е. (l f )(x) = l f(x) для всех x. Множество функций с указанными операциями сложения и умножения на число образует так называемое линейное пространство функций (или функциональное пространство).

Рассмотрим все возможные непрерывные на отрезке [a,b] функции.

Сумма двух непрерывных функций является непрерывной функцией и при умножении непрерывной функции на число результатом вновь оказывается непрерывная функция. Следовательно, множество непрерывных функций также образует линейное пространство. Его называют пространством непрерывных функций и обозначают C[a,b].

Аналогично можно говорить о пространстве дифференцируемых, непрерывно дифференцируемых (т.е. таких функций, которые непрерывны вместе со своими производными), бесконечно дифференцируемых и т.п. функций.

На функциональных пространствах, как на множествах, можно задавать отображения. Такие отображения играют важную роль в функциональном анализе и последующем изложении.

Пусть имеется некоторое функциональное пространство ¬ и в нем зафиксировано некоторое подмножество X ¬. Отображение I : X R, ставящее в соответствие каждой функции f X определенное число I(f ), называют функционалом.

Определенный интеграл b I(f ) = f(x)dx, (1.7) a дает пример функционала, заданного на пространстве непрерывных функций C[a,b]. Выбрав какую-либо непрерывную функцию f и вычислив определенный интеграл от этой функции, можно найти значение интегрального функционала на этой функции.

Более общо интегральный функционал определяется равенством b I(f ) = F(x, f(x))dx, a Введение в оптимальное управление где F – некоторая заданная функция двух переменных. Нередко рассматривают и интегральные функционалы, в которых подынтегральная функция F зависит не только от переменной x и функции f, но еще и от ее производной f (т.е. F(x, f(x), f (x)) ).

Другой пример функционала дает так называемый терминальный функционал I(f ) =f(f(x )), x =b где f – заданная функция одной переменной.

Функционал I : X R называют линейным функционалом, если для любых двух функций f, g X и любых чисел l1,l2 имеет место равенство I(l1 f + l2 g) = l1 I(f ) + l2 I(g).

Поскольку интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от данных функций и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то указанный выше интегральный функционал (1.7) является линейным.

1.3.2. Задача оптимизации функционала Постановка всякой задачи оптимизации (экстремальной задачи) в функциональном пространстве ¬ предполагает наличие двух объектов – непустого (допустимого) множества X, X ¬, и (целевого) функционала I, заданного на множестве X. Сама задача оптимизации (минимизации или максимизации) заключается в отыскании такого элемента (точнее говоря, функции) x* X, для которого выполняется неравенство I(x*) I(x) при всех x X (для задачи минимизации), I(x*) I(x) при всех x X (для задачи максимизации).

При этом для постановки задачи минимизации или максимизации используют соответственно запись I(x) min или I(x) max.

xX xX В общем случае задача оптимизации заданного функционала I на множестве X может • не иметь ни одного решения, • иметь в точности одно решение, • иметь более одного решения.

Реализация той или иной из указанных трех возможностей зависит от конкретного вида данного функционала и структуры множества, на котором он максимизируется или минимизируется.

Глава 1. Необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений Пример 1.3. Пусть имеется интегральный функционал b I(x) = 1+ (x(t))2 dt, (1.8) a а допустимым множеством X является совокупность всех непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям x(a) = A и x(b) = B, где A и B – некоторые заданные числа. Нетрудно понять, что графиками функций допустимого множества X являются плоские кривые, соединяющие точки (a, A) и (b,B) (графики некоторых трех из таких функций изображены на рис. 1.3), а интегральный функционал (1.8) выражает собой длину этих кривых.

Так как кратчайшей линией, соединяющей две точки, является прямая, то минимума данный функционал достигает на единственной функции B - A x = (t - a) + A, b - a графиком которой является прямая линия, проходящая через точки (a, A) и (b,B). Тогда как задача его максимизации на указанном допустимом множестве, очевидно, решения не имеет.

Рис. 1.3. Три кривых допустимого множества Введение в оптимальное управление Выводы В теории оптимального управления используются определенные понятия и сведения из курса теории дифференциальных уравнений и функционального анализа. Знакомство с ними необходимо для понимания всего последующего материала.

Основные термины Система дифференциальных уравнений, решение системы, задача Коши, функциональное пространство, пространство непрерывных функций, функционал, интегральный функционал, задача оптимизации.

Контрольные вопросы 1. Напишите общий вид дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

2. Сформулируйте определения решения и общего решения дифференциального уравнения первого порядка.

3. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Что можно сказать о решении этой задачи 4. Какой вид имеет нормальная система из двух дифференциальных уравнений 5. Приведите определения решения и общего решения нормальной системы из двух дифференциальных уравнений.

6. Запишите нормальную линейную неоднородную систему из двух дифференциальных уравнений в векторной форме.

7. Приведите общий вид и сформулируйте понятие решения общей нормальной системы из n дифференциальных уравнений.

Упражнения 1. В чем состоит общее и в чем заключается отличие между понятием решения и общего решения дифференциального уравнения первого порядка 2. Проинтегрируйте дифференциальное уравнение x = 2te-t и найдите интегральную кривую, проходящую через точку M(0,-1).

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения dx =.

dt 1- t 4. Решите задачу Коши для дифференциального уравнения Глава 1. Необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений dy = ycos x dx с начальным условием y(0) = 1.

5. Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y - ysin x = sin x cos x.

6. Отыщите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка y - 3y + 2y = 0.

7. Укажите решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y + y = 4ex, удовлетворяющее условиям y(0) = 4, y(0) = -3.

8. Для системы дифференциальных уравнений второго порядка dx = 1 dt y dy = - t dt x найдите решение задачи Коши с начальными данными x(0) =-1, y(0) = 1.

9. Проверьте, что пара функций x = 3C1et +C2e-t, y = C1et +C2e-t образует общее решение системы дифференциальных уравнений второго порядка 2x - 5y = 4y - x - = 3x 4y 2x - y.

10. Решите следующую линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами (т.е.

найдите ее общее решение) = x y + 2et = y x + t2.

Глава 2. Модель Солоу Здесь рассматривается модель экономического роста, предложенная лауреатом Нобелевской премии Р. Солоу. Эта модель, основу которой составляет дифференциальное уравнение первого порядка, играет важную роль в неоклассической теории экономического роста. С ее помощью можно получить ряд полезных экономических выводов.

2.1. Основные параметры и предположения Модель Солоу является односекторной моделью экономического роста.

В этой модели экономическая система рассматривается как единое целое, производящая один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться. Рынки сбыта работают бесперебойно, производственные факторы (капитал и труд) существенно не понижаются и не повышаются при изменении цен, технология не подвержена никаким изменениям. В целом, модель достаточно адекватно отражает важнейшие макроэкономические аспекты процесса воспроизводства. Экспорт-импорт в явном виде здесь не учитывается.

Состояние экономики в модели Солоу задается следующими пятью эндогенными переменными:

1) X - валовой внутренний продукт (ВВП), 2) C - фонд непроизводственного потребления, 3) I - инвестиции, 4) L – труд (число занятых), 5) K капитал (основные производственные фонды).

Кроме того, в модели используются следующие экзогенные (заданные вне системы) показатели: n – годовой темп прироста числа занятых, m – доля выбывших за год основных производственных фондов, r – норма накопления (доля валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте). Экзогенные параметры подчинены следующим ограничениям:

-1< n < 1, 0 < m < 1, 0 < r < 1.

Предполагается, что эндогенные переменные изменяются во времени (аргумент опущен, но присутствует по умолчанию). Экзогенные переменные считаются постоянными во времени, причем норма накопления является управляющим параметром, т.е. в начальный момент времени может устанавливаться управляющим органом системы на любом уровне из области допустимых значений.

Глава 2. Модель Солоу Время t изменяется непрерывно от начального момента t0 = 0 и единицей измерения является год.

Предполагается, что годовой выпуск в каждый момент времени определяется линейно-однородной неоклассической производственной функцией X = F(K,L), (2.1) которая неотрицательна при неотрицательных значениях переменных K и L, и имеет место равенство F(0,0) = 0. Считается, что функция F(K,L) имеет частные производные до второго порядка включительно, причем обе ее 2F частные производные первого порядка положительны и < 0. Кроме того, Kэта функция предполагается однородной, т.е. равенство F(rK,rL) = rF(K,L) имеет место для всех положительных r.

2.2. Модель Солоу. Равновесная траектория Выясним, каким образом изменяются ресурсные показатели за небольшой промежуток времени Dt. В соответствии с определением темпа прироста имеем DL dL =nDt, или =nL.

L dt Из последнего дифференциального уравнения находим lnL =nt + ln A, а значит L = Aent. Используя начальное условие L(0) = L0, находим константу A = L0 и приходим к зависимости L = L0ent.

Износ и инвестиции в расчете на год составляют mK и I соответственно, а за время Dt – соответственно m KDt, IDt, поэтому прирост капитала за это время будет равен DK = -m KDt + IDt. Отсюда, после деления обеих частей этого равенства на Dt и последующего предельного перехода при Dt 0, приходим к дифференциальному уравнению первого порядка d K = -µ K + I, K(0) = K0.

dt При этом инвестиции составляют, а фонд потребления равен I =rX C = (1- r)X.

В итоге, получаем следующее представление модели Солоу в абсолютных показателях:

Введение в оптимальное управление dK L = L0ent, = -mK + rX, K(0) = K0, dt (2.2) X = F(K,L), I = rX, C = (1- r)X.

Для удобства последующего изложения введем следующие относительные показатели:

K k = – фондовооруженность;

L X x = – народнохозяйственная производительность труда;

L I i = – удельные инвестиции (на одного занятого);

L C c = – среднедушевое потребление (на одного занятого).

L Поскольку F(K,L) K x == F(,1) = f(k),, c = (1- r)x, i =rx LL dK d dk = (kL) = nkL + L, dt dt dt то окончательно модель Солоу в удельных показателях принимает следующий вид dk K=-lk + rf(k), l=m+n, k(0) = k0 =, dt L0 (2.3) x = f(k), i = rf(k), c = (1- r)f(k).

Так как каждый абсолютный или относительный показатель изменяется с течением времени, то можно говорить о траектории системы в абсолютных или относительных показателях.

Траектория называется равновесной (стационарной, а также устойчивой), если основные показатели не изменяются во времени, т.е.

k(t) k* - const, x(t) x* - const, i(t) i* - const, c(t) c* - const.

Из уравнений (2.3) прямо следует, что стационарность фондовооруженности k влечет стационарность всех остальных основных показателей.

Поэтому последующее рассмотрение, связанное со стационарным режимом, можно ограничить лишь одним показателем k.

Глава 2. Модель Солоу Для стационарной траектории k(t) k* должно выполняться равенсdk* тво = 0 при всех t, поэтому из первого уравнения (2.3) следует dt -l k* + r f(k*) = 0, или f (k*) = k*.

Таким образом, если стационарная траектория k(t) k* существует, то для нее необходимо имеет место написанное выше равенство. Остается решить вопрос существования такой траектории. Этот вопрос, очевидно, эквивалентен существованию положительного корня k = k* уравнения f (k) = k. (2.4) Обратимся к производственной функции F(K,L) и построенной на ее основе функции f. Поскольку производственная функция предполагается неоклассической, то выполняются соотношения f(0) = 0, f > 0, f < 0, из которых, в частности, следует, что функция f является строго возрастающей и строго вогнутой на промежутке [0,+•). Анализ рис. 2.1 с учетом указанных соотношений на основе геометрического смысла понятия производной показывает, что если дополнительно потребовать выполнение условия l 0 < < f (0), (2.5) r то уравнение (2.4) будет иметь и притом единственное положительное решение k = k*.

Рис. 2.1. Иллюстрация к существованию решения уравнения (2.4) Введение в оптимальное управление Полученный результат представим в виде следующей теоремы.

Теорема 2.1 (о существовании равновесия). При выполнении условия (2.5) существует единственный положительный корень k = k* уравнения (2.4). Тем самым, равновесная (стационарная) траектория существует и единственна, если имеет место условие (2.5) Замечание 2.1. На рис. 2.1 через k ( k < k* ) обозначена фондовооруженность, при которой скорости роста функций y =lk и y =r f(k) совпадают, т.е. k = k – корень уравнения f (k) =. (2.6) 2.3. Изучение переходных режимов Далее будем предполагать, что равновесная траектория существует и единственна.

Когда начальное значение k0 удовлетворяет равенству k0 = k*, экономика уже в начальный момент времени находится на равновесной траектории и может сойти с нее только при изменении внешних условий (установление другого значения нормы накопления, либо переход к новым технологиям с изменением функции F(K,L) ).

При k0 k* в экономике будет происходить так называемый переходный процесс (переходный режим), который по прошествии некоторого длительного промежутка времени закончится установлением стационарного режима.

Для проверки справедливости этого факта проведем соответствующее исследование.

В переходном режиме фондовооруженность k = k(t) удовлетворяет уравнению d k. (2.7) = -k + f (k) k(0) = k, dt Изучим характер изменения траектории k = k(t) переходного режима.

Сначала определим знаки производной k первого порядка, на основании которых можно будет сделать вывод о возрастании или убывании функции k = k(t). Как видно из рис. 2.1, при всех k, для которых верно k < k*, выполняется неравенство f (k) > k, а значит, в силу (2.7) получаем k > 0. Отсюда следует строгое возрастание функции k = k(t) в указанном случае.

С другой стороны, для всех k, удовлетворяющих неравенству k > k*, аналогичным образом приходим к противоположному неравенству k < 0, устанавливающему строгое убывание функции k = k(t).

Глава 2. Модель Солоу Перейдем к определению знаков производной второго порядка k.

Дифференцируя по t обе части дифференциального уравнения (2.7), получим d2k k = = k r f (k) - l.

[] dt Отсюда в случае k < k, где k – число, указанное в замечании 2.1, с учетом знака производной первого порядка (т.е. ) и неравенства r f (k) > l k > придем к неравенству k > 0. Это влечет строгую выпуклость функции k = k(t) в данном случае. Если k < k < k*, то подобным образом придем к противоположному неравенству k < 0, означающему строгую вогнутость функции k = k(t). Если же рассмотреть случай k > k*, то с учетом неравенств rf (k) < l и k < 0 вновь получим k > 0, что опять свидетельствует о строгой выпуклости фондовооруженности. Полученные результаты представлены в табл. 2.1.

Табл. 2.1. Характер изменения функции k(t).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.