WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ФИЛИАЛ В.Д. Ногин Введение в оптимальное управление Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2008 УДК 330.41 Рецензенты:

Зенкевич Н.А., к. ф.-м. н., доцент факультета ПМ-ПУ СПбГУ Рейнов Ю.И., к.т.н., доцент кафедры математики СПб филиала ГУ-ВШЭ В.Д. Ногин Введение в оптимальное управление. Учебно-методическое пособие. – СПб: Изд-во «ЮТАС», 2008 г., 92 с.

ISBN 978-5-91185-068-5 Рассматривается задача оптимального управления объектами, которые описываются системами дифференциальных уравнений. Формулируется и подробно обсуждается известный принцип максимума Л.С. Понтрягина, предназначенный для решения задач оптимального управления. На основе этого принципа исследуется модель Р. Солоу односекторной экономики, а также некоторые другие задачи экономического содержания.

Пособие предназначено студентам – экономистам и слушателям программ высшего профессионального обучения по управлению на предприятиях.

Для студентов и слушателей программ высшего профессионального образования.

Рекомендовано к печати Учебно – методическим советом СПб филиала ГУ-ВШЭ.

ISBN 978-5-91185-068-5 © В.Д. Ногин, 2008 © СПб филиал ГУ-ВШЭ, 2008 Оглавление Предисловие..................................................... 5 Глава 1. Необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений и функционального анализа.............................. 6 1.1. Дифференциальное уравнение первого порядка............... 6 1.2. Начальные понятия теории систем дифференциальных уравнений.................................. 8 1.3. Функционал и задача его оптимизации...................... 13 Глава 2. Модель Солоу............................................ 18 2.1. Основные параметры и предположения...................... 2.2. Модель Солоу. Равновесная траектория...................... 2.3. Изучение переходных режимов............................. 2.4. «Золотое» правило накопления............................. Глава 3. Постановка задачи оптимального управления................ 3.1. Общие сведения об управляемых системах................... 3.2. Математическое представление динамической системы....... 3.3. Задача управления с закрепленными концами................ 3.4. Задача оптимального управления........................... Глава 4. Принцип максимума...................................... 4.1. Принцип максимума для задач с закрепленными концами..... 4.2. Принцип максимума для задачи с бесконечным горизонтом управления.................................................. 4.3. Схема применения принципа максимума.................... 4.4. Принцип максимума для задачи с нефиксированным временем управления...................... 4.5. Задача оптимального управления с подвижными концами..... 4.6. Экономическая интерпретация принципа максимума......... Глава 5. Применение принципа максимума к решению экономических задач............................................. 5.1. Оптимальное использование энергии с учетом качества окружающей среды (одномерная модель)........................ 5.2. Оптимальное использование энергии с учетом качества окружающей среды (двумерная модель)......................... 5.3. Односекторная модель оптимального экономического роста... Литература................................................... Предисловие Согласно сложившейся в последнее время точке зрения, оптимальное управление представляет собой определенный раздел теории экстремальных задач (теории оптимизации), посвященный исследованию и решению вопросов максимизации и минимизации функционалов на множествах функций специального вида. С другой стороны, – оптимальное управление тесно связано с выбором наиболее выгодных (оптимальных) режимов управления сложными объектами, которые описываются при помощи систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Если первая точка зрения непосредственно согласуется с классификацией, принятой в «классической» математике, то вторая – более прикладная, поскольку ориентирована на решение различного рада задач из экономики и техники. При изложении материала данного пособия предпочтение отдается именно второй точке зрения.

Пособие посвящено изложению принципа максимума Л.С. Понтрягина – одному из основных инструментов решения задач оптимального управления динамическими системами. Сначала приводятся краткие сведения из теории дифференциальных уравнений, активно используемые в дальнейшем, обсуждается понятие функционала и задача его оптимизации. Затем дается постановка задачи оптимального управления динамической системой, поведение которой может быть описано с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Приводится несколько вариантов принципа максимума, соответствующих различным разновидностям задачи оптимального управления (с фиксированными и подвижными концами, с фиксированной и нефиксированной продолжительностью управления). Изучается модель односекторной экономики, предложенная Нобелевским лауреатом Р. Солоу, и на ее основе ставится и решается задача оптимального экономического роста. Кроме того, с помощью принципа максимума изучаются две задачи оптимального использования энергии с учетом возможных отрицательных последствий для окружающей среды.



Пособие содержит пять глав, каждая из которых завершается выводами, списком основных терминов, контрольных вопросов и упражнений. В конце пособия предлагаются темы курсовых работ, которые должны являться продолжением развития тематики данного пособия.

Глава 1. Необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений и функционального анализа Материал этой главы необходим для понимания всего последующего изложения. Читатель, знакомый с ним, может переходить к изучению следующей главы.

1.1. Дифференциальное уравнение первого порядка Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид dx = f(t, x). (1.1) dt Здесь x = x(t) – искомая числовая функция аргумента t, определенная на некотором числовом промежутке (a,b), а f(t,x) – заданная числовая функция двух переменных. Обычно функцию f считают непрерывной на некоторой плоской области D, D R2.

Решением дифференциального уравнения (1.1) называют такую дифференцируемую на интервале (a,b) функцию x = x(t), которая при подставке в уравнение (1.1) обращает его в тождество, т.е.

dx(t) = f(t,x(t)) при всех t (a,b).

dt При этом график функции x = x(t) именуют интегральной кривой.

Пусть заданы два числа t0 (a,b) и x0, такие, что (t0,x0) D. Задачу отыскание решения x = x(t) уравнения (1.1), удовлетворяющего начальному условию x(t0) = x0, называют задачей Коши. Геометрически задача Коши состоит в нахождении интегральной кривой уравнения (1.1), проходящей через заданную точку M0(t0,x0) (рис 1.1).

При этом возможны следующие три случая:

1. Через точку M0 проходит единственная интегральная кривая;

2. Через точку M0 проходит по крайней мере две интегральные кривые;

3. Через точку M0 не проходит ни одной интегральной кривой.

Глава 1. Необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений Рис. 1.1. Интегральная кривая Из курса дифференциальных уравнений известно, что при выполнении определенных (не слишком «жестких») требований к функции f(t, x) решение задачи Коши на некотором интервале (t0 - h,t0 + h) (где положительное число h достаточно мал о) всегда существует и определяется однозначно (т.е.

является единственным).

Пример 1.1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка dx x x = =.

dt t Непосредственной проверкой легко убедиться, что, например, функция x = 2t ( t 0 ) является решением задачи Коши для этого уравнения с начальным условием x(1) = 2.

Допустим, что область D обладает тем свойством, что в каждой точке этой области задача Коши для уравнения (1.1) имеет единственное решение (т.е.

через каждую точку этой области проходит, причем в точности одна интегральная кривая). Однопараметрическое семейство функций x = x(t,C), где C – параметр, называется общим решением уравнения (1.1) в области D, если для любой точки (t0,x0) D выполняются следующие два условия 1. уравнение x0 = x(t0,C) относительно C имеет единственное решение C = C0 ;

2. функция x = x(t,C0) является решением задачи Коши для уравнения (1.1) с начальным условием x(t0) = x0.

Введение в оптимальное управление Пример 1.2. Пусть имеется дифференциальное уравнение x = 3 x.

Проверим, что семейство функций x(t,C) = (2t +C)3, где C – произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения на всей плоскости, т.е. при D = R2. С этой целью сначала из уравнения x0 = (2t0 +C)находим единственное решение C = C0 = x0 3 - 2t0. Далее, убеждаемся в том, что функция x(t,C0) = (2t + x0 3 - 2t0)3 является решением данного дифференциального уравнения:

(x(t,C0)) = (2t + x0 3 - 2t0)3 = 2 1 2 = (2t + x0 3 - 2t0) 2 = 3 2t + x0 3 - 2t0 = 3 x(t,C0) при всех t. Остается проверить выполнение начального условия:

x(t,C0) = (2t + x0 3 - 2t0) = x0.

t =tt =tПроинтегрировать дифференциальное уравнение (1.1) означает найти его решение (или общее решение). Способ интегрирования в сильной степени зависит от конкретного вида правой части уравнения (1.1), т.е. от функции f(t, x). В стандартном курсе дифференциальных уравнений (см., например, [7]) изучаются способы интегрирования следующих классов дифференциальных уравнений:

• уравнения с разделяющимися переменными, • линейные уравнения, • уравнения в полных дифференциалах, • однородные уравнения.

При этом каждый класс характеризуется специфическими для него приемами интегрирования, на которых мы здесь не останавливаемся (об этом см., например, [7]).

1.2. Начальные понятия теории систем дифференциальных уравнений 1.2.1. Системы из двух дифференциальных уравнений Нормальная система из двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид Глава 1. Необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений dx = f1(t,x1, x2) dt (1.2) dx f2(t,x1,x2).

= dt Здесь x1 = x1(t), x2 = x2(t) – искомые функции аргумента t ; f1 и f2 – заданные функции трех аргументов t, x1, x2, определенные на некоторой трехмерной области D, D R3.

Если функции f1 и f2 не зависят от аргумента t, то систему (1.2) называют автономной.

Решением системы (1.2) на интервале (a,b) называют пару функций x1 = x1(t), x2 = x2(t), определенных и дифференцируемых на данном интервале и обращающих уравнения системы (1.2) в тождества по t, т.е.





dx1(t) = f1(t,x1(t),x2(t)) dt dx (t) f2(t,x1(t), x2(t)) = dt для всех t (a,b).

Рис. 1.2. Траектория системы Введение в оптимальное управление Задача Коши для системы (1.2) формулируется следующим образом.

(0) (0) Заданы начальные данные (числа) x1, x2 и начальный момент времени (0) (0) t0 (a,b) такие, что (t0, x1,x2 ) D. Требуется найти решение x1 = x1(t), x2 = x2(t) системы (1.2), удовлетворяющее в момент времени t = t0 заданным начальным условиям (0) (0) x1(t0) = x1, x2(t0) = x2.

Решение задачи Коши для системы (1.2) (т.е. пара функций x1 = x1(t), x2 = x2(t) ) в прямоугольной декартовой системе координат xOx2 на плоскости параметрически задает некоторую кривую, проходящую при t = t0 через (0) (0) точку N0 = (x1, x2 ) (рис. 1.2). Эту кривую (линию) называют траекторией системы (1.2), а плоскость переменных x1, x2 именуют фазовой плоскостью.

Из курса дифференциальных уравнений известно1, что при определенных требованиях, предъявляемых к функциям f1 и f2, решение задачи Коши на некотором интервале t0 - h < t < t0 + h (где положительное число h достаточно мало) существует и единственно.

Набор из двух функций x1 = x1(t,C1,C2), x2 = x2(t,C1,C2), зависящих от аргумента t и двух параметров C1,C2, называют общим решением системы (1.2) в некоторой области D ( D R3 ) существования и единственности (0) (0) решения задачи Коши, если для любой точки (t0, x1,x2 ) D выполняются следующие два условия:

1) система равенств (0) x = x1(t,C1,C2) (0) x2 = x2(t,C1,C2) может быть однозначно разрешена относительно C1,C2. Обозначим решение 0 этой системы равенств через C1,C2 ;

0 0 0 2) функции x1 = x1(t,C1,C2 ), x2 = x2(t,C1,C2 ) образуют решение зада(0) (0) чи Коши с начальной точкой N0 = (x1, x2 ) и начальным моментом времени t0.

Пример 1.3. Рассмотрим систему уравнений x =-y (1.3) = y x относительно двух неизвестных функций x = x(t) и y = y(t). Проверим, что набор функций x = C1 cost +C2 sint, y = C1 sint -C2 cost (1.4) Об этом идет речь в теореме Коши [7].

Глава 1. Необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений является общим решением данной системы на всем пространстве R3. Прежде всего, рассмотрим следующую систему уравнений (относительно C1,C2 ):

x0 = C1 cost0 +C2 sint y0 = C1 sint0 -C2 cost0.

Единственным решением этой линейной относительно C1,C2 системы алгебраических уравнений является (проверьте этот факт самостоятельно!) пара чисел C1 = x0 cost0 + y0 sint0,C2 = x0 sint0 - y0 cost0. Тем самым, первое условие из определения общего решения выполнено.

Непосредственной подстановкой функций (1.4) в систему (1.3) можно убедиться, что они представляют собой решение этой системы при любых зна0 чениях параметров C1,C2, причем при выборе C1 = C1 и C2 = C2 это решение удовлетворяет начальным условиям x(t0) = x0, y(t0) = y0. Следовательно, функции (1.4) действительно образуют общее решение системы дифференциальных уравнений (1.3).

В семействе всех возможных систем дифференциальных уравнений второго порядка (1.2) нередко выделяют наиболее простой и изученный класс линейных систем. Линейная система дифференциальных уравнений второго порядка записывается в виде dx = a11(t)x1 + a12(t)x2 + F1(t) dt, (1.5) dx = a21(t)x1 + a22(t)x2 + F2(t) dt где a11(t), a12(t), a21(t), a22(t), F1(t), F2(t) – некоторые функции аргумента t, образующие коэффициенты данной системы. В случае, когда F1(t) = F2(t) 0, систему (1.5) именуют однородной, в противном случае – неоднородной.

Если ввести векторные (матричные) обозначения dx x1 dx 11(t) 12(t) F1(t) dt x =, =, (t) =, x2 dt d x2 a (t) 22(t), F(t) = F2(t) dt то линейную систему (1.5) можно переписать в следующей векторной форме dx = A(t)x + F(t). (1.5) dt Из курса дифференциальных уравнений известно, что в случае, когда все элементы матрицы A(t) и вектора F(t) непрерывны на интервале (a,b), система (1.5) всегда имеет и притом единственное решение x(t), Введение в оптимальное управление определенное на всем интервале (a,b) и удовлетворяющее начальному условию x(t0) = x(0), где t0 (a,b), а компонентами вектора x(0) могут быть произвольно выбранные два числа. В частности, единственным решением однородной системы с нулевым начальным условием x(0) = 0 будет нулевое (тривиальное) решение x(t) 0, т.е. x1(t) = x2(t) = 0 при всех t.

1.2.2. Общая система дифференциальных уравнений В общем случае нормальная система из n дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями x1(t), x2(t),..., xn(t) в векторной форме записывается следующим образом dx = f(t, x). (1.6) dt Здесь dx dt x1 f1(t, x) dx x2 dx f2(t, x) x =, = dt, f(t, x) =.

dt xn fn(t, x) dxn dt При n = 2 система (1.6) превращается в систему (1.2).

Для системы (1.6) так же могут быть введены понятия решения, общего решения, задачи Коши и ее решения. В частности, векторная функция x(t), определенная на интервале (a,b), называется решением системы (1.6) на этом dx(t) интервале, если векторное равенство = f(t, x(t)) представляет собой dt тождество по t, т.е. имеет место при всех t (a,b).

Система (1.6) называется линейной системой, если ее правая часть имеет вид f(t, x) = A(t)x + F(t), где a11(t) a12(t)…a1n(t) F1(t) a (t) a22(t)…a2n(t) F2(t).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.