WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 12 |

Замечание 3.1. При выполнении аксиомы 2 благодаря лемме 1.1 все три отношения X, X и являются транзитивными и асимметричными.

Как указано выше транзитивность отношения предпочтения связывают с «разумным» поведением ЛПР. Однако следует заметить, что человек при осуществлении выбора не всегда ведет себя подобным образом. На этот счет имеются соответствующие примеры. Один из них состоит в том, что человеку предлагают сравнить по предпочтительности сначала два решения x и x, а затем – x и x. Предположим, что оказались выполненными соотношения x X x и x X x. После этого ему предлагают выбрать лучшее решение из пары x, x. В результате многочисленных экспериментов установлено, что в такой ситуации не все испытуемые всякий раз выбирают третье решение. В определенных случаях некоторые люди в указанной ситуации ведут себя алогично, предпочитая третье решение первому. Их поведение нарушает свойство транзитивности отношения предпочтения, а значит, оно не подчиняется аксиоме 2.

2.3.2. Аксиома согласованности Поскольку отношение предпочтения, с одной стороны, и критерии, участвующие в модели многокритериального выбора, с другой стороны, выражают «вкусы» и цели одного и того же ЛПР, то они должны быть определенным образом согласованы друг с другом. Введем соответствующее определение.

Определение 3.1. Говорят, что критерий fi согласован с отношением предпочтения, если для любых двух векторов y, y Rm, таких, что y = (y1,..., yi, yi, yi,.., ym ), y = (y1,..., yi, yiyi,..., ym ), yi > yi,, -1 +1 -1 +всегда следует выполнение соотношения y y.

Содержательно согласованность данного критерия с отношением предпочтения означает, что ЛПР при прочих равных условиях заинтересовано в получении по возможности больших значений этого критерия. Иными словами, ЛПР заинтересовано в максимизации согласованного критерия.

Взаимосвязь отношения предпочтения данного ЛПР с векторным критерием теперь можно выразить в виде следующего требования (аксиомы).

Аксиома 3 (согласованность критериев с отношением предпочтения).

Каждый из критериев f1, f2,..., fm согласован с отношением предпочтения.

Согласованность всех критериев с отношением предпочтения означает, что ЛПР заинтересовано в максимизации одновременно всех имеющихся Принцип Эджворта-Парето критериев. С этой точки зрения наилучшим для ЛПР было бы решение (и его следовало бы тогда выбирать), на котором сразу все критерии достигают своего наибольшего возможного значения. К сожалению, на подобную ситуацию в действительности рассчитывать не приходится, поскольку в реальных задачах выбора имеющиеся в наличии критерии, как правило, противоречат друг другу в том смысле, что их множества точек максимума не имеют общих элементов. В связи с этим, и возникает основная проблема многокритериального выбора:

как осуществить наилучший выбор в условиях взаимно противоречивых критериев 2.3.3. Взаимосвязь аксиом «разумного» выбора Оказывается, аксиома Парето является следствием аксиом 2 – 3. Это устанавливает следующее утверждение.

Лемма 3.1. Принятие аксиом 2 и 3 гарантирует выполнение аксиомы Парето.

Пусть неравенство f(x) f(x) выполняется для двух произвольных возможных решений x, x X. Из выполнения этого неравенства следует, что найдется по крайней мере один номер i {12,...,m}, при котором имеет, место строгое неравенство fi (x) > fi (x). В общем случае таких строгих неравенств может быть несколько и при этом они не обязательно соответствуют первым номерам компонент векторного критерия. Однако, не уменьшая общности рассуждений, можно считать, что строгие неравенства fk(x) > fk (x) справедливы для первых номеров k = 1,...,l при некотором l {12,...,m}. Для всех последующих номеров k, k > l, (при условии, что, такие найдутся, т.е. при l < m ), компоненты векторов f(x) и f(x) будем предполагать равными.

Благодаря согласованности первых l критериев из указанных выше строгих неравенств имеем ( f1(x), f2(x),..., fl (x),..., fm (x)) ( f1(x), f2(x),..., fl (x),..., fm (x)), f, ( f1(x ), f2(x ),..., fl (x ),..., fm(x )) ( f1(x ), f2(x ), f (x ),..., fl (x ),..., fm(x )) ……………………………………………………………………………..

( f1(x), f2(x),..., fl -1(x), fl (x),..., fm (x)) ( f1(x), f2(x),..., fl (x), fl +1(x),..., fm (x)) ).

Принятие решения при многих критериях Отсюда, последовательно используя транзитивность отношения, приходим к соотношению ( f1(x), f2(x),..., fl (x),..., fm (x)) ( f1(x), f2(x),..., fl (x), fl +1(x)..., fm (x)).

(3.1) На основании сделанного в начале доказательства предположения имеют место равенства fk(x) = fk(x), k = l +1,...,m. Поэтому соотношение (3.1) влечет f(x) = ( f1(x), f2(x),..., fl (x),..., fm (x)) ( f1(x), f2(x),..., fl (x),..., fm (x)) = f (x).

Отсюда, учитывая связь между отношениями и X, получаем требуемое соотношение x X x На основе установленного следствия принцип Эджворта-Парето можно переформулировать следующим образом.

Следствие 3.1. (принцип Эджворта-Парето с использованием аксиом и 3). Пусть выполняются аксиомы 2 и 3. В этом случае для любого множества выбираемых векторов C(Y), удовлетворяющего аксиоме 1, имеет место включение C(Y ) P(Y ).

Выводы В случае принятия аксиомы исключения доминируемых вариантов и аксиомы Парето, имеет место принцип Эджворта-Парето, согласно которому ЛПР следует выбирать только парето-оптимальные векторы и решения.

При нарушении хотя бы одной из двух указанных аксиом, наилучший выбор может оказаться за пределами множества Парето.



Так называемый «разумный» выбор можно описать и тройкой аксиом – аксиомой транзитивности отношения предпочтения, аксиомой согласования отношения предпочтения с критериями и аксиомой исключения доминируемых решений.

Начальные понятия многокритериального выбора Основные понятия Аксиомы «разумного» выбора, аксиома Парето, множество Парето, принцип Эджворта-Парето.

Контрольные вопросы 1. Какие аксиомы «разумного» поведения ЛПР в процессе выбора вы знаете Сформулируйте эти аксиомы.

2. Приведите свои аргументы в пользу действительной разумности (естественности) каждой из аксиом «разумного» поведения.

3. Сформулируйте аксиому Парето.

4. Приведите определения множества парето-оптимальных решений и множества парето-оптимальных векторов. Какова связь между этими двумя множествами 5. Сформулируйте принцип Эджворта-Парето как в терминах решений, так и в терминах векторов.

6. Как вы понимаете свойство минимальности аксиомы исключения домиминируемых вариантов и аксиомы Парето 7. В каких случаях применение принципа Эджворта-Парето в процессе принятия решений может оказаться недопустимым Упражнения 1. Выпишите аксиомы 2 – 3 для случая одного критерия m = 1.

2. Убедитесь в том, что при m = 1 аксиома 3 (о согласованности критериев с отношением предпочтения) совпадает с аксиомой Парето, тогда как при m >1 из выполнения аксиомы Парето следует выполнение аксиомы 3, но не наоборот.

3. Выполняется ли аксиома 3, когда ЛПР желательно, чтобы значения одного из критериев были как можно ближе к некоторому среднему значению, расположенному строго между максимальным и минимальным возможными значениями этого критерия 4. Выполняется ли аксиома 3 о согласовании критериев с отношением предпочтения, когда для ЛПР необходимо, чтобы значения одного из критериев не превышали некоторого заданного «порогового» значения 5. Выполняется ли аксиома о транзитивности отношения предпочтения, если для некоторых k ( k >3) возможных решений x1, x2, x3,..., xk X Принятие решения при многих критериях оказались выполненными соотношения x1 X x2 X x3 X... X xk и xk X x1 Привести пример из практики, когда указанные соотношения имеют место.

6. Справедлив ли принцип Эджворта-Парето том в случае, когда в качестве отношения предпочтения используется мажоритарное отношение M (определение этого отношения имеется в упр. 6 главы 1).

7. Какой вид принимает принцип Эджворта-Парето в случае одного критерия m = 1 Глава 3.

Свойства множества Парето Глава посвящена изучению важнейших свойств множества Парето.

Прежде всего, разбирается вопрос существования парето-оптимальных решений и векторов. Ответ на него в сильной степени зависит от структуры множества возможных решений (векторов) и вида критериев. Поэтому рассмотрение проводится отдельно для задач с конечным и задач с бесконечным множествами возможных решений (векторов).

Обсуждаются перспективы конструктивного построения множества Парето и приводятся наиболее известные необходимые и достаточные условия парето-оптимальности в терминах так называемой «аддитивной свертки» критериев.

Рассматриваются количественные и качественные шкалы, в которых могут измеряться значения критериев. Устанавливается правомерность использования множества Парето в задачах с критериями, значения которых измеряются как в количественных, так и в порядковых шкалах.

3.1. Задачи с конечным множеством возможных векторов 3.1.1. Существование парето-оптимальных векторов Согласно принципу Эджворта-Парето наилучшие решения всегда следует выбирать в пределах множества Парето. Если же это множество пусто, то из него невозможно что-либо выбрать. Поэтому с точки зрения практики применения принципа Эджворта-Парето важно знать, в каких классах задач парето-оптимальные векторы (решения) заведомо существуют. Имея дело с такими задачами, можно быть уверенным в том, что принципиальная возможность выбора в пределах множества Парето всегда будет обеспечена.

В этом смысле задачи, в которых множество возможных векторов (или возможных решений) состоит из конечного числа элементов, отличаются Принятие решения при многих критериях тем свойством, что в них множество Парето всегда не пусто вне зависимости от вида критериев.

Прежде чем убедиться в справедливости последнего высказывания, напомним определение множества Парето (решений и векторов):

Pf (X) = {x* X | не существует такого x X, что f (x) f(x*)}.

P(Y ) = {y* Y | не существует такого y Y, что y y*}.

Y Y = f (X ) где означает множество возможных векторов, т.е..

Теорема 3.1. В случае непустого конечного множества возможных векторов Y (что заведомо будет выполнено, если непустым и конечным является множество возможных решений) существует хотя бы одно парето-оптимальное решение и хотя бы один парето-оптимальный вектор, т.е. Pf (X) и P(Y ).

Y Так как множество векторов не пусто, то найдется по крайней мере один вектор этого множества. Обозначим его y(1) Y. Если этот вектор является парето-оптимальным, т.е. y(1) P(Y ), то доказательство завершено. В противном случае (т.е. когда y(1) P(Y ) ) по определению парето-оптимального вектора должен найтись такой отличный от y(1) вектор y(2) Y, что выполняется неравенство y(2) y(1). В свою очередь, если y(2) P(Y ), то теорема доказана. В противном случае вновь существует вектор y(3) Y, отличный как от вектора y(2), так и от вектора y(1), для которого верна цепочка неравенств y(3) y(2) y(1). Здесь либо вектор y(3) оказывается парето-оптимальным (и тогда доказательство завершено), либо найдется новый вектор y(4) и т.д.





Рассуждая подобным образом, обязательно придем к завершению доказательства. Это может произойти на очередном шаге, когда вектор, который должен найтись окажется парето-оптимальным. Если же указанная возможность ни на одном из очередных шагов не реализуется, то благодаря конечности числа возможных векторов обязательно наступит такой момент, когда для некоторого вектора y(k) Y соотношение y(k) P(Y ) не может быть не выполнено по той простой причине, что этот вектор окажется последним возможным в рассматриваемой цепочке 3.1.2. Геометрия парето-оптимальности в случае двух критериев Разберем простейший случай, когда число критериев равно двум, т.е.

m = 2. В этом случае рассмотрение допускает наглядное представление, посСвойства множества Парето кольку множество возможных векторов Y можно изобразить как некоторое множество точек на плоскости.

Согласно определению множества Парето вектор y* будет паретооптимальным, если для него не существует другого такого вектора y Y, что имеет место неравенство y y*. Нетрудно понять, что все точки y, для которых выполняется неравенство y y* 5, составляют угол с вершиной в точке y* и сторонами, параллельными координатным осям. При этом сама вершина y* этому углу не принадлежит, так как y y* (см. рис. 3.1). В соответствии с этим вектор y* будет парето-оптимальным, если в указанный угол с вершиной в точке y* не попадает ни одна точка множества Y (т.е. ни один из возможных векторов).

Рис. 3.1. Множество точек y R2, удовлетворяющих неравенству y y*.

Таким образом, для того чтобы найти множество Парето, нужно для каждого допустимого двумерного вектора (точки на плоскости) построить (по крайней мере, умозрительно) указанный угол с вершиной в данной точке и посмотреть, находится ли в этом углу хотя бы одна из каких-то возможных точек множества Y или нет. Если такая точка найдется, то вершина угла не является парето-оптимальной, в противном случае вершина парето-оптимальна. Так, на рис. 3.2 из четырех возможных парето-оптимальными оказываются только точки y(2) и y(3), поскольку в соответствующие углы, вершинами которых они являются, не попадает ни одна точка множества Y.

Напомним, что выполнение векторного неравенства y y* в данном случае означает, что обе компоненты первого вектора y не меньше соответствующих компонент второго вектора, причем по крайней мере одна из этих двух компонент строго больше соответствующей компоненты второго вектора.

Принятие решения при многих критериях Рис. 3.2. Геометрия отыскания парето-оптимальных векторов на плоскости.

Подобным образом в случае двух критериев построение множества парето-оптимальных векторов всегда может быть произведено чисто геометрическим путем.

3.1.3. Алгоритм нахождения множества Парето Если же число критериев больше двух, то указанные геометрические построения затруднены, и потому требуются иные подходы. Рассмотрим алгоритмический метод построения множества Парето.

Пусть множество возможных векторов Y состоит из конечного числа N элементов и имеет вид Y = {y(1), y(2),..., y(N )}.

Для того чтобы на основе определения множества Парето построить его, следует каждый из векторов y(i) Y сравнить со всяким другим вектором y( j) Y с помощью отношения. В случае, если для какой-то пары векторов неравенство y(i) y( j) выполняется, то второй вектор (т.е. y( j) ) по определению не может быть парето-оптимальным. Просмотрев таким образом все возможные пары и удалив из множества Y все векторы, которые не могут быть парето-оптимальными, в итоге придем к множеству Парето.

Приведем подробное описание указанного алгоритма, который состоит из следующих семи шагов.

Свойства множества Парето Шаг 1. Положить P(Y ) =Y, i = 1, j = 2. Тем самым образуется так называемое текущее множество парето-оптимальных векторов, которое в начале работы алгоритма совпадает с множеством Y, а в конце - составит искомое множество парето-оптимальных векторов. Алгоритм устроен таким образом, что искомое множество парето-оптимальных векторов получается из Y последовательным удалением заведомо неоптимальных векторов.

Шаг 2. Проверить выполнение неравенства y(i) y( j). Если оно оказалось истинным, то перейти к Шагу 3. В противном случае перейти к Шагу 5.

Шаг 3. Удалить из текущего множества векторов P(Y ) вектор y( j), так как он не является парето-оптимальным. Затем перейти к Шагу 4.

Шаг 4. Проверить выполнение неравенства j < N. Если оно имеет место, то положить j = j +1 и вернуться к Шагу 2. В противном случае – перейти к Шагу 7.

Шаг 5. Проверить справедливость неравенства y( j) y(i). В том случае, когда оно является истинным, перейти к Шагу 6. В противном случае – вернуться к Шагу 4.

Шаг 6. Удалить из текущего множества векторов P(Y ) вектор y(i) и перейти к Шагу 7.

Шаг 7. Проверить выполнение неравенства i < N -1. В случае истинности этого неравенства следует последовательно положить i = i +1, а затем j = i +1. После этого необходимо вернуться к Шагу 2. В противном случае (т.е. когда i N -1) вычисления закончить. К этому моменту множество парето-оптимальных векторов построено полностью.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.