WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |

Обратимся к задаче многокритериального выбора, в которой задано множество допустимых решений X, векторный критерий f и отношение предпочтения X. Пусть для некоторого возможного решения x найдется такое возможное решение x, что выполнено соотношение x X x. По определению отношения предпочтения это означает, что из данной пары решений ЛПР выберет первое решение и не выберет второе. В терминах множества выбираемых решений этот факт можно выразить следующей эквивалентностью x X x ¤ C{x, x} = {x} для x', x" X.

Если решение x не выбирается из пары {x, x} в силу того, что для него в этой паре есть лучшее решение x (т.е. x X x ), то, рассматривая x в пределах всего множества возможных решений X, разумно предположить, что решение x в таком случае не должно быть выбранным и из всего множества возможных решений, так как для него в X существует, по крайней мере, одно заведомо более предпочтительное решение (т.е. x ).

Приведенные рассуждения показывают, что при выборе первого решения из пары естественно считать, что второе решение не может оказаться выбранным и из всего множества возможных решений. Тем самым, в виде аксиомы сформулируем требование, которому должно удовлетворять поведение ЛПР в процессе выбора.

Аксиома 1 (аксиома исключения доминируемых решений). Для всякой пары допустимых решений x, x X, для которых имеет место соотношение x X x, выполнено x C(X).

В аксиоме 1 участвует не только отношение предпочтения X, которым ЛПР руководствуется в процессе принятия решений, но и множество выбираемых решений C(X). Это означает, что данное требование следует рассматривать как определенное ограничение на множество выбираемых решений.

А именно, любое множество выбираемых решений, каким бы способом оно не было выделено из всего множества возможных решений, не должно содержать ни одного такого решения, для которого может найтись более предпочтительное возможное решение.

Несмотря на всю естественность («разумность») аксиомы 1, не следует думать, что она выполняется во всех без исключения задачах выбора.

Приведем простой содержательный пример, в котором эта аксиома нарушается.

Принцип Эджворта-Парето Пример 2.1. Рассмотрим задачу выбора из трех возможных претендентов на два вакантных рабочих места. При этом считается, что согласно имеющимся требованиям оба вакантных места обязательно должны быть заполнены. Предположим, что при сравнении претендентов выяснилось, что первый из них является предпочтительнее второго и третьего, а второй предпочтительнее третьего. Поскольку согласно условию из трех кандидатов обязательно следует выбрать двоих, то, очевидно, ими окажутся первый и второй. Таким образом, второй претендент в паре из первых двух уступает первому (так как первый предпочтительнее второго). Тем не менее, из всего множества трех претендентов он оказывается выбранным. Следовательно, аксиома исключения доминируемых решений здесь нарушается.

Следует заметить, что приведенная аксиома 1 может быть сформулирована в терминах векторов следующим образом.

Аксиома 1 (аксиома исключения доминируемых векторов). Для всякой пары допустимых векторов y, y Y, для которых имеет место соотношение y Y y, выполнено y C(Y ).

2.1.2. Аксиома Парето Когда имеется один критерий оптимальности, стремление ЛПР обычно проявляется в том, чтобы получить наибольшее, либо наименьшее значение этого критерия. Например, при решении различного рода экономических задач такой показатель, как затраты обычно стремятся минимизировать, а доход – максимизировать. Из курса математики известно, что любую задачу максимизации (минимизации) всегда можно свести к задаче минимизации (соответственно максимизации), изменив значение целевой функции на противоположное. По этой причине в принципе изучение экстремальных задач можно ограничить лишь одним классом – либо задачами максимизации, либо задачами минимизации.

Если задан не один, а сразу несколько критериев оптимальности, то для определенности для каждого из них необходимо указать «направление заинтересованности» ЛПР. По этой причине далее рассмотрение ограничивается случаем, когда ЛПР стремится к получению по возможности б ольших значений всех компонент векторного критерия f. Этот факт можно выразить в терминах так называемой аксиомы Парето2.

Аксиома Парето. Для всех пар допустимых решений x, x X, для которых имеет место неравенство f(x) f(x), выполняется соотношение x X x.

Вильфредо Парето (1848-1923) – известный итальянский экономист и социолог.

Принятие решения при многих критериях Напомним (см. разд. 1.1), что запись f(x) f(x) означает выполнение покомпонентных неравенств fi (x) fi (x) для всех i = 12,...,m, причем, f(x) f(x). Это означает, что компоненты первого вектора f(x) не меньше соответствующих компонент второго вектора f(x), причем по крайней мере одна компонента первого вектора строго больше соответствующей компоненты второго вектора.

В частном случае, когда векторный критерий является скалярным, т.е.

имеет лишь одну компоненту, аксиома Парето выражает стремление ЛПР максимизировать эту компоненту.

В терминах векторов аксиома Парето принимает следующий вид.

Аксиома Парето (в терминах векторов). Для всех пар допустимых векторов y, y Y, для которых имеет место неравенство y y, выполняется соотношение y Y y.

2.2. Множество и принцип Парето 2.2.1. Множество Парето Для того чтобы сформулировать принцип Эджворта-Парето, который представляет собой фундаментальный инструмент выбора решений при наличии нескольких критериев, понадобится определение множества Парето. Приведем соответствующее определение.



Определение 2.1. Решение x* X называется оптимальным по Парето (парето-оптимальным), если не существует такого возможного решения x X, для которого имеет место неравенство f(x) f(x*). Все паретооптимальные решения образуют множество Парето, обозначаемое Pf (X).

Замечание 2.1. Если в приведенном определении формально положить число критериев равным единице, т.е. m = 1, то оно превратится в определение максимального элемента функции f1 на множестве X. Это означает, что понятие парето-оптимальности можно рассматривать как обобщение понятия максимального элемента на случай нескольких критериев.

В соответствии с приведенным определением Pf (X) = {x* X | не существует такого x X, что f(x) f(x*)}.

Пусть x* – некоторое парето-оптимальное решение и f(x*) – соответствующий ему парето-оптимальный вектор. В соответствии с определением 2.1, если для некоторого решения x X, отличного от x*, оказывается выполненным неравенство fi (x) > fi (x*), то обязательно должен найтись хотя бы один номер j, при котором верно неравенство fj (x*) > fj (x). На Принцип Эджворта-Парето основании этого можно сделать следующее заключение: парето-оптимальное решение – это такое допустимое решение, которое не может быть улучшено (увеличено) ни по одному из имеющихся критериев без ухудшения (уменьшения) по какому-то хотя бы одному другому критерию. Иначе говоря, предпочитая одному парето-оптимальному решению другое парето-оптимальное решение, ЛПР вынуждено идти на определенный компромисс, соглашаясь на некоторую потерю хотя бы по одному критерию (получая, разумеется, определенный выигрыш, по крайней мере, по какому-то другому критерию). По этой причине множество Парето нередко называют множеством компромиссов.

Понятие оптимальности по Парето играет важную роль в математической экономике. Именно в этой области часто вместо парето-оптимальности используют наименования эффективное решение и множество эффективных решений. Тем самым, парето-оптимальность и эффективность в математической экономике нередко оказываются синонимами.

В зависимости от структуры множества X и вида векторного критерия f множество парето-оптимальных решений может • оказать пустым (не содержать ни одного элемента);

• быть одноэлементным множеством;

• состоять из некоторого конечного числа решений;

• содержать бесконечное число возможных решений;

• совпадать с множеством возможных решений X.

Вектор f(x*) при парето-оптимальном решении x* называют паретооптимальным вектором, а множество всех таких векторов – множеством парето-оптимальных векторов (парето-оптимальных оценок). Для этого множества используют обозначение P(Y ). Таким образом, P(Y ) = f (Pf (X )) = { f (x*) Y | x* Pf (X )} при некотором, где Y так же, как и раньше, означает множество возможных векторов, т.е.

Y = f (X ).

Нетрудно понять, что множество парето-оптимальных векторов можно определить следующим эквивалентным образом:

P(Y ) = {y* Y | не существует такого y Y, что y y*}.

Принятие решения при многих критериях 2.2.2. Принцип Эджворта3-Парето В следующей теореме формулируется фундаментальный принцип, связанный с именами двух выдающихся представителей математической экономики.

Теорема 2.14 (принцип Эджворта-Парето в терминах решений) Пусть выполнена аксиома Парето. Тогда для любого множества выбираемых решений C(X), удовлетворяющего аксиоме 1, справедливо включение C(X) Pf (X). (2.1) Если множество C(X) пусто, то включение (2.1) выполняется, поскольку пустое множество является подмножеством любого множества. Поэтому пусть C(X).

Для доказательства введем множество недоминируемых решений Ndom X ={x* X | не существует такого x X, что x X x*} и сначала установим справедливость включения Ndom X Pf (X ). (2.2) Пусть, напротив, для некоторого недоминируемого решения x Ndom X выполнено соотношение x Pf (X). Тогда по определению множества парето-оптимальных решений найдется такое возможное решение x X, что f (x) f(x). На основании аксиомы Парето отсюда получаем соотношение x X x, которое не совместимо с начальным предположением x Ndom X. Тем самым, справедливость включения (2.2) установлена.

Теперь докажем включение C(X) Ndom X. (2.3) Если предположить противное, т.е. что включение (2.3) не имеет места, то среди элементов множества C(X) должно найтись решение x C(X), для которого выполнено соотношение x" N dom X. Тогда по определению множества недоминируемых решений существует такое решение x X, что x X x. Отсюда, используя аксиому 1, получаем x C(X). Это противоречит начальному предположению о том, что x – выбранное решение.

Френсис Эджворт (1845-1926) – известный английский экономист.

Следует заметить, что принцип Эджворта-Парето в форме теоремы 2.1 был установлен автором данного пособия лишь в начале XXI века.

Принцип Эджворта-Парето Из включений (2.2) и (2.3) немедленно следует требуемое включение (2.1) Формула (2.1) представляет собой математическое выражение принципа Эджворта-Парето (или принципа Парето), согласно которому если ЛПР ведет себя «разумно» (т.е. в соответствии с аксиомой 1 и аксиомой Парето, то выбираемые им решения обязательно должны быть парето-оптимальными.

Этот принцип назначает особую, исключительно важную роль множеству парето-оптимальных решений в теории принятия решений при многих критериях.

Геометрическая иллюстрация принципа Эджворта-Парето дана на рис.

2.1.

Рис. 2.1. Общий случай соотношения между множествами допустимых, выбираемых и парето-оптимальных решений.





Заметим, что участвующее в соотношении (2.1) включение в частном случае может выполняться как равенство.

Теорема 2.1 сформулирована для решений. Ее можно легко переформулировать в терминах векторов. Тогда она примет следующий вид.

Теорема 2.1 (принцип Эджворта-Парето в терминах векторов). Пусть выполняются аксиома 1 и аксиома Парето. В этом случае для любого множества выбираемых векторов C(Y) имеет место включение C(Y ) P(Y ).

2.2.3. Минимальность набора основных аксиом Оказывается, если попробовать отказаться от хотя бы одной из аксиом или Парето, то принцип Эджворта-Парето может оказаться невыполненным.

Такое положение означает минимальность указанного набора двух аксиом Принятие решения при многих критериях для справедливости этого принципа. Иначе говоря, данная система аксиом составляет минимально возможные необходимые условия выполнения принципа Эджворта-Парето Для того чтобы установить указанное свойство минимальности достаточно привести два примера (по числу аксиом), в которых нарушается какая-то одна из аксиом и при этом включение (2.1) не имеет места.

Пример 2.1. Пусть X = {x1, x2}, f = ( f1, f2), Y = f(X) = {y(1), y(2)}, y(1) = (00), y(2) = (01), причем y(1) y(2), а все остальные соотношения,, y(1) y(1), y(2) y(2) и y(2) y(1) места не имеют. Нетрудно видеть, что в данном случае Pf (X) = {x2}, поскольку y(2) y(1).

Рассмотрим в качестве множества выбираемых решений C(X) = {x1}. В этом случае аксиома 1 справедлива, тогда как принцип Эджворта-Парето, т.е. включение C(X) = {x1} {x2} = Pf (X), не выполняется. Причиной тому служит нарушение аксиомы Парето.

Пример 2.2. Снова пусть X = {x1, x2}, f = ( f1, f2), Y = f(X) = {y(1), y(2)} y(1) = (00), y(2) = (01), но y(2) y(1) и все остальные соотношения,, y(1) y(1), y(2) y(2) и y(1) y(2) места не имеют. Здесь вновь имеем Pf (X) = {x2}, причем аксиома Парето выполнена.

Положим C(X) = {x1}. В этом случае, как указано выше, аксиома Парето справедлива, тогда как принцип Эджворта-Парето, т.е. включение C(X) = {x1} {x2} = Pf (X), не выполняется из-за нарушения аксиомы 1 об исключении доминируемых варинатов.

Приведенные примеры показывают, что принцип Эджворта-Парето не является универсальным, т.е. применимым во всех без исключения задачах многокритериального выбора. Более того, на основе аксиомы 1 и аксиомы Парето (точнее говоря, на основе отрицаний этих аксиом) при желании можно сделать определенный вывод и о том, в каких именно задачах этот принцип может «не работать».

Итак, применение этого принципа рискованно или же вообще недопустимо, если реализуется хотя бы один из следующих двух случаев:

1) не выбираемое из некоторой пары решение оказывается выбранным из всего множества возможных решений;

2) нарушена аксиома Парето, т.е. для некоторой пары допустимых решений x, x X, для которых имеет место неравенство f(x) f(x), не выполняется соотношение x X x.

Принцип Эджворта-Парето 2.3. Расширение системы «разумных» аксиом 2.3.1. Аксиома транзитивности отношения предпочтения Предположим, что ЛПР в процессе выбора ведет себя достаточно «разумно» и обсудим требования, которым в таком случае должно удовлетворять его отношение предпочтения.

Прежде всего, следует напомнить, что отношение предпочтения по своей сути является отношением строгого предпочтения в том смысле, что ни один вектор (ни одно решение) не может быть предпочтительнее самого себя. В терминах бинарных отношений, рассмотренных в предыдущем разделе, это означает, что отношение предпочтения обязательно должно быть иррефлексивным.

Рассмотрим ситуацию, когда один вектор предпочтительнее второго, а он, в свою очередь, предпочтительнее некоторого третьего вектора. В таком положении человек обычно при сравнении первого и третьего векторов выбирает первый. Здесь происходит примерно то же самое, что и при сравнении чисел с помощью отношения строгого неравенства. Например, если 5 > и 3 >1, то непременно выполнено 5 >1. В терминах векторов это свойство может быть сформулировано следующим образом: для любой тройки векторов y, y, y из выполнения соотношений y Y y и y Y y обязательно следует справедливость соотношения y Y y. На «языке» бинарных отношений это означает, что отношение предпочтения Y, используемое в задачах многокритериального выбора, подчиняется требованию транзитивности.

Как было указано выше, отношение предпочтения Y изначально определено на множестве допустимых векторов Y. Примем следующее допущение, которое оказывается очень удобным в математическом отношении. А именно, будем считать, что ЛПР в принципе может сравнивать не только пары числовых векторов из множества Y, но и любые два вектора критериального пространства Rm. Иными словами, будем считать, что на пространстве Rm определено некоторое бинарное отношение, обозначаемое далее символом, которое на множестве Y совпадает с отношением Y, т.е.

y y ¤ y Y y для всех y, y Y.

Следует отметить, что конкретный способ задания отношения за пределами множества Y не играет особой роли в дальнейшем изложении, так как не влияет на формулируемые ниже результаты.

Сформулируем в виде аксиомы условие, которое можно рассматривать как одну из составляющих разумного поведения ЛПР в процессе принятия решений.

Принятие решения при многих критериях Аксиома 2 (иррефлексивность и транзитивность отношения предпочтения). Иррефлексивное отношение предпочтения, которым ЛПР руководствуется в процессе выбора, является транзитивным бинарным отношением.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.