WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 12 |

Необходимо отметить, что формирование математической модели принятия решений (т.е. построение множества X и векторного критерия f ) нередко представляет собой сложный процесс, в котором тесно взаимодействуют специалисты двух сторон. А именно, представители конкретной области знаний, к которой относится исследуемая проблема, и специалисты по принятию решений (математики). С одной стороны, следует учесть все важнейшие черты и детали реальной задачи, а с другой, – построенная модель не должна оказаться чрезмерно сложной с тем, чтобы для ее исследования и решения можно было успешно применить разработанный к настоящему времени соответствующий математический аппарат. Именно поэтому этап построения математической модели в значительной степени зависит от опыта, интуиции и искусства исследователей обеих сторон.

Его невозможно отождествить с простым формальным применением уже известных, хорошо описанных алгоритмов.

Здесь следует еще добавить, что любая задача выбора (в том числе и многокритериальная) тесно связана с конкретным ЛПР. Уже на стадии формирования математической модели при построении множества возможных решений и векторного критерия дело не обходится без советов, рекомендаций и указаний ЛПР, тем более что векторный критерий как раз и служит Принятие решения при многих критериях для выражения целей ЛПР. При этом ясно, что построить модель в точности соответствующую всем реальным обстоятельствам невозможно. Модель всегда является упрощением действительности. Важно добиться, чтобы она содержала те черты и детали, которые в наибольшей степени влияют на окончательный выбор наилучшего решения.

Предположим, что указанные две компоненты задачи выбора сформированы, четко описаны и зафиксированы. Опыт показывает, что, в терминах критерия f чаще всего не удается выразить всю гамму «пристрастий», «вкусов» и предпочтений данного ЛПР. С помощью векторного критерия лишь намечаются определенные локальные цели, которые нередко оказываются взаимно противоречивыми. Эти цели одновременно, как правило, достигнуты быть не могут, и поэтому требуется дополнительная информация для осуществления компромисса. По этой причине помимо векторного критерия следует располагать какими-то дополнительными сведениями о предпочтениях ЛПР.

С этой целью необходимо включить в многокритериальную задачу еще один элемент, который позволил бы выразить и описать эти предпочтения.

1.1.5. Отношение предпочтения Рассмотрим два допустимых решения x и x. Предположим, что после предъявления ЛПР этой пары решений, оно выбирает (отдает предпочтение) первому из них. В этом случае пишут x X x.

Знак X служит для обозначений предпочтений данного ЛПР, выражаемых отношением строгого предпочтения, или короче – отношением предпочтения.

Следует отметить, что не всякие два возможных решения x и x обязательно связаны соотношением x X x, либо соотношением x X x.

Иначе говоря, не из любой пары решений ЛПР может сделать окончательный выбор. Вполне могут существовать такие пары, что ЛПР не в состоянии отдать предпочтение какому-то одному решению данной пары, даже если это пара различных решений. Описанная ситуация вполне соответствует реальному положению вещей. Более того, если бы от ЛПР требовалась способность в произвольной паре возможных решений уметь определять решение, более предпочтительное по сравнению с другим, то в таком случае теория, построенная на указанном «жестком» требовании к ЛПР, не имела бы практического интереса.

Отношение предпочтения X, заданное на множестве возможных решений, естественным образом, а именно Начальные понятия многокритериального выбора f(x) Y f(x) ¤ x X x для x, x X, индуцирует (порождает) отношение предпочтения Y на множестве возможных векторов Y. Тем самым, вектор y = f (x) является предпочтительнее вектора y = f(x) (т.е. y Y y ) тогда и только тогда, когда решение x' предпочтительнее решения x" (т.е. x X x ).

1.1.6. Модель многокритериального выбора Теперь можно сформулировать все основные компоненты задачи многокритериального выбора.

Постановка всякой задачи многокритериального выбора включает 1) множество возможных решений X, 2) векторный критерий f вида (1.1), 3) отношение предпочтения X.

Само ЛПР в постановку задачи многокритериального выбора не включено. В этом нет необходимости. Подразумевается, что все его устремления, вкусы, пристрастия и предпочтения, оказывающие влияние на процесс выбора, «материализованы» в терминах векторного критерия и отношения предпочтения.

Задача многокритериального выбора состоит в отыскании множества выбираемых решений C(X), C(X) X, с учетом его отношения предпочтения X на основе заданного векторного критерия f, отражающего набор целей ЛПР.

Приведенная задача многокритериального выбора выписана в терминах решений. Нередко данную задачу формулируют в терминах векторов. В таком случае она содержит два объекта 1) множество возможных векторов Y,Y Rm, 2) отношение предпочтения Y, и заключается в отыскании множества выбираемых векторов C(Y ), C(Y ) Y, с учетом отношения предпочтения ЛПР Y.

Как указано выше, две приведенные задачи (в терминах решений и в терминах векторов) в указанном выше смысле эквивалентны, поэтому, руководствуясь соображениями удобства, имеет смысл изучать любую из них, а затем в случае необходимости полученные результаты всегда можно переформулировать в терминах другой задачи.

Принятие решения при многих критериях 1.2. Бинарные отношения 1.2.1. Определение бинарного отношения Для описания и изучения упомянутого в предыдущем разделе отношения предпочтения существует специальное математическое понятие – бинарное отношение. Однако прежде чем его формулировать, напомним определение декартова произведения двух множеств.



Пусть имеются два произвольных непустых множества A и B. Декартовым произведением этих множеств называется множество, обозначаемое A B и определяемое равенством A B = {(a,b) | при некоторых a A, b B}.

Иными словами, декартово произведение образуется из всех возможных пар элементов данных двух множеств, причем первым элементом пары является элемент первого множества, а вторым – элемент второго множества.

Например, декартово произведение двух конечных числовых множеств A = {1, 2} и B = {2, 3, 4} содержит шесть элементов и имеет вид A B = {(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 2),(2, 3),(2, 4)}.

Перейдем к определению бинарного отношения.

Определение 1.1. Бинарным отношением ¬, заданным на множестве A, называется подмножество декартова произведения A A, т.е. ¬ A A.

Иными словами, всякое множество пар, составленных из элементов множества A, образует некоторое бинарное отношение. В частности, самым «широким» бинарным отношением является множество ¬= A A, совпадающее с данным декартовым произведением. Другим крайним случаем является пустое множество пар (пустое отношение).

Если имеет место включение (a, b) ¬, то обычно пишут a¬b и говорят, что элемент a находится в отношении ¬ с элементом b.

Приведем примеры бинарных отношений. Из курса арифметики известен целый ряд бинарных отношений, определенных на множестве вещественных чисел: отношение равенства =, отношения нестрогих неравенств и, а также отношения строгих неравенств > и <. В теории множеств рассматривается бинарное отношение включения, заданное на множестве всех подмножеств некоторого фиксированного множества. В геометрии школьного курса рассматривалось, например, отношение подобия, определенное на множестве треугольников, а также отношение параллельности на множестве прямых.

Начальные понятия многокритериального выбора Введем следующие используемые в дальнейшем изложении бинарные отношения для произвольных векторов a = (a1,a2,...,am ) и b = (b1,b2,...,bm ) пространства Rm :

a > b ¤ ai > bi, i = 12,...,m, a b ¤ ai bi, i = 12,...,m, a b ¤ a b и a b.

Выполнение неравенства a b означает, что каждая компонента вектора a больше либо равна соответствующей компоненты вектора b, причем хотя бы одна компонента первого вектора строго больше соответствующей компоненты второго вектора.

1.2.2. Типы бинарных отношений В зависимости от свойств, которыми обладают бинарные отношения, производят их классификацию. Приведем определения некоторых распространенных типов бинарных отношений.

Бинарное отношение ¬, заданное на множестве A, называют 1) рефлексивным, если соотношение aRa имеет место для всех a A ;

2) иррефлексивным, если соотношение aRa не выполняется ни для одного a A ;

3) симметричным, если всякий раз из выполнения соотношения aRb для произвольных элементов a,b A следует выполнение соотношения b¬a ;

4) асимметричным, если из выполнения соотношения a¬b для произвольных элементов a,b A всегда следует, что соотношение b¬a места не имеет;

5) транзитивным, если для любой тройки элементов a,b,c A из выполнения соотношений a¬b, b¬c всегда следует справедливость соотношения a¬c ;

6) слабо связным, если для любой пары различных элементов a,b Aa b, выполняется либо соотношение a¬b, либо соотно, шение b¬a.

Отношения равенства = и нестрогого неравенства дают примеры рефлексивных, а отношение строгого неравенства > и отношение - иррефлексивных отношений на пространстве векторов Rm. Отношение равенства является симметричным, а отношения строгих неравенств > и - Принятие решения при многих критериях асимметричны. Все перечисленные выше отношения =,, >, транзитивны.

Отношение строгого неравенства >, рассматриваемое на множестве чисел, является слабо связным, потому что для любых двух различных чисел a и b обязательно имеет место одно из двух неравенств a > b, либо b > a. Если же отношение строгого неравенства > (равно как и отношение ) рассматривать на множестве векторов Rm при m >1, то оно уже не будет слабо связным. В этом можно легко убедиться самостоятельно.

Приведем пример нетранзитивного бинарного отношения, заданного на некотором множестве A, состоящем из трех элементов. Пусть A = {a,b,c} и справедливы соотношения a¬b, b¬c и c¬a. При этом все остальные возможные соотношения a¬a, b¬b, c¬c, b¬a, c¬b и a¬c не имеют места. Нетрудно видеть, что таким образом заданное отношение ¬ является иррефлексивным, асимметричным и слабо связным. При этом оно не является транзитивным. Действительно, если бы оно оказалось таковым, то, например, из соотношений a¬b и b¬c следовало бы соотношение a¬c, которое по условию не выполняется.

Между некоторыми типами отношений имеется определенная связь, которая раскрывается в нижеследующих утверждениях.

Лемма 1. 1. Всякое асимметричное отношение иррефлексивно.

Действительно, если напротив, некоторое асимметричное отношение не является иррефлексивным, то для некоторого a A должно быть выполнено соотношение aa. Отсюда, благодаря асимметричности данного отношения, это же соотношение aa не должно иметь места.

Полученное противоречие устанавливает иррефлексивность асимметричного отношения Лемма 1. 2. Всякое иррефлексивное и транзитивное отношение является асимметричным.

Для доказательства предположим противное: некоторое отношение ¬ иррефлексивно и транзитивно, но не является асимметричным. Последнее означает, что найдется пара элементов a,b A, для которых выполнены соотношения a¬b и b¬a одновременно. На основании транзитивности из этих двух соотношений следует соотношение a¬a, которое несовместимо с условием иррефлексивности отношения ¬ Пример 1.2 (лексикографическое отношение порядка). Пример слабо связного, асимметричного и транзитивного отношения, заданного на пространстве Rm, дает лексикографическое отношение, определяемое следующим образом. Говорят, что вектор y = (y1, y2,..., ym ) лексикографически больше Начальные понятия многокритериального выбора вектора y = (y1 y2,..., ym, если выполнено какое-либо одно из следующих, ) условий 1) y1 > y1, 2) y1 = y1 y2 > y2,, 3) y1 = y1 y2 = y2, y3 > y3,, ………………………………………..





m) yi = yi i = 12,...,m -1; ym > ym.

,, Можно проверить (см. упр. 5), что любые два вектора пространства Rm либо равны друг другу, либо один из них лексикографически больше другого вектора. Это означает, что лексикографическое отношение слабо связно.

Выводы Математическая формулировка задачи многокритериального выбора включает множество возможных решений, векторный критерий и отношение предпочтения лица, принимающего решение. Решить эту задачу – означает найти множество тех решений, которые следует выбрать. Для описания отношения предпочтения, которым ЛПР руководствуется в процессе выбора, используется понятие бинарного отношения. Бинарные отношения могут быть различного типа. При этом некоторые комбинации типов отношений являются зависимыми друг от друга.

Основные термины Множество возможных (допустимых) решений (векторов), множество выбираемых решений (векторов), лицо, принимающее решение (ЛПР), векторный критерий, критериальное пространство, многокритериальная задача, задача многокритериального выбора, отношение предпочтения, бинарное отношение.

Контрольные вопросы 1. Раскройте аббревиатуру ЛПР и объясните, что она означает.

2. Какие компоненты задачи выбора дают возможность учитывать цели и предпочтения ЛПР 3. Перечислите все компоненты задачи многокритериального выбора, как в терминах решений, так и в терминах векторов.

Принятие решения при многих критериях 4. В чем заключается задача многокритериального выбора и что является результатом ее решения 5. Какие отношения предпочтения участвуют в постановке задачи многокритериального выбора и какова связь между ними 6. Что такое бинарное отношение Приведите определение и примеры.

7. Сформулируйте определения транзитивного, а также слабо связного бинарных отношений.

Упражнения 1. Приведите ситуации из вашей жизни, когда вы сталкиваетесь с необходимостью выбора из нескольких возможностей. Сколько критериев вы при этом учитываете 2. С помощью каких, на ваш взгляд, критериев можно охарактеризовать «преуспевание в бизнесе» Какие их этих критериев следует стремиться максимизировать, а какие – минимизировать 3. Проверьте, что отношение включения, заданное на множестве всех подмножеств некоторого непустого множества, является рефлексивным и транзитивным бинарным отношением, но не обладает свойствами симметричности, асимметричности и слабой связности.

4. Убедитесь в том, что отношение параллельности прямых на плоскости является симметричным и транзитивным, но не является рефлексивным, асимметричным и слабо связным.

5. Покажите, что отношение неравенства, а также приближенного равенства, заданные на множестве вещественных чисел, не являются транзитивными.

6. Убедитесь, что лексикографическое отношение слабо связно, асимметрично и транзитивно.

7. Бинарное отношение M, заданное на пространстве Rm, называется мажоритарным, если соотношение y M y для векторов y, y Rm имеет место тогда и только тогда, когда число компонент вектора y, которые строго больше соответствующих компонент m вектора y, превышает половину общего числа компонент, т.е..

Это отношение соответствует принципу голосования по правилу простого большинства при наличии m участников голосования.

Проверьте, что мажоритарное отношение иррефлексивно и асимметрично, но не является ни транзитивным, ни слабо связным.

Глава 2. Принцип Эджворта-Парето Здесь формулируется система аксиом, описывающая «разумное» поведение ЛПР в процессе выбора. Доказывается, что при выполнении этих аксиом имеет место фундаментальное утверждение, носящее название принципа Эджворта-Парето. Согласно этому принципу наилучший выбор следует осуществлять только среди элементов множества Парето. Приведенная система аксиом обладает свойством минимальности в том смысле, что при невыполнении хотя бы одной из этих аксиом, принцип Эджворта-Парето может нарушаться.

2.1. Основные аксиомы 2.1.1. Аксиома исключения доминируемых решений Рассмотрим два произвольных возможных решения x и x. Для них имеет место один и только один из следующих трех случаев:

1) справедливо соотношение x X x (ЛПР первое решение предпочитает второму), 2) справедливо соотношение x X x (ЛПР второе решение предпочитает первому), 3) не выполняется ни соотношение x X x, ни соотношение x X x (ЛПР не может отдать предпочтение ни одному из указанных двух решений).

Заметим, что четвертый случай, когда оба участвующих здесь соотношения x X x и x X x выполняются, невозможен благодаря асимметричности отношения предпочтения X.

В первом из указанных выше случаев, т.е. при выполнении соотношения x X x, говорят, что решение x доминирует решение x (по отношению Принятие решения при многих критериях X ). Во втором случае x доминирует x. Если же реализуется третий случай, то говорят, что решения x и x не сравнимы по отношению предпочтения.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 12 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.