WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 |

Рассмотрим, например, набор элементов a12,a23,...,an-1,n. Этому набору соответствует следующая схема последовательного сравнения. Из имеющегося набора объектов произвольно выбирается какой-то один. Ему присваивается первый номер. Для него с целью последующего сравнения подбирается другой объект (которому присваивается второй номер), наиболее «подходящий» для сравнения с первым. В результате сравнения становится известен элемент a12. Дальнейшие действия аналогичны: для второго объекта подбирается наиболее «удобный» для сравнения третий объект; в результате сравнения становится известен элемент a23 и т.д.

Формула для последовательного вычисления всех остальных элементов матрицы A, расположенных выше главной диагонали, на основе набора a12,a23,...,an-1,n имеет вид aij = ai, j -1 aj -1, j, i = 1,...,n - 2; i < j -1. (6.7) Согласно этой формуле сначала можно найти все элементы первой строки в порядке возрастания номера столбца, затем аналогично – все элементы второй строки, начиная с a24, и т.д. до последнего элемента an-2,n. Последний столбец построенной матрицы будет являться искомым (ненормированным) весовым вектором.

Можно проверить (см. ниже упр. 5), что компоненты (ненормированного) весового вектора на основе набора элементов a12,a23,...,an-1,n могут быть непосредственно вычислены по формуле wk = ak,k+1 ak+1,k+2...an-1,n, k = 12,...,n -1; wn = 1. (6.8), Принятие решения при многих критериях 6.5. Применение МАИ к решению многокритериальных задач Обратимся к многокритериальной задаче с векторным критерием f = ( f1, f2,..., fm ), заданным на конечном множестве возможных решений X. Предположим, что для ЛПР каждый из критериев fi желательно максимизировать.

В соответствии с методом анализа иерархий выбираемым (наилучшим или оптимальным) решением x* X многокритериальной задачи объявляется то, которое доставляет наибольшее возможное значение «аддитивной m свертке» критериев fi (x), т.е. такое решение x* X, для которого w i i=выполняется равенство m m w fi (x*) = maxw fi (x).

i i xX i=1 i=1 m При этом положительные коэффициенты w1,w2,...,wm свертки fi (x) w i i=определяются на основе МАИ (или его упрощенного варианта). С этой целью эксперту для сравнения по важности предлагается набор критериев f1, f2,..., fm. Именно они выступают в качестве сравниваемых объектов.

Получив в распоряжение конкретные значения (веса) w1,w2,...,wm и подm ставив их в аддитивную свертку fi (x), можно приступать к ее максимиw i i=зации на множестве возможных решений X. В результате этой максимизации будет получено решение x*, которое согласно МАИ следует выбирать.

Замечание 6.4. Следует иметь в виду, что изложенный выше подход к решению многокритериальной задачи на основе МАИ (или его упрощенного варианта) в отличие от подхода, основанного на понятии относительной важности критериев (см. главу 4), не имеет строгого обоснования. В первую очередь это относится к назначению экспертом элементов матрицы парных сравнений. Дело в том, что разные эксперты могут назначать различные элементы, которым будут соответствовать отличающиеся друг от друга наборы весов w1,w2,...,wm. Спрашивается, какой из полученных наборов будет «истинным» Этот вопрос каждый исследователь решает по-своему, осуществляя определенный произвол, поскольку отсутствуют формальные определения элементов aij матрицы парных сравнений и весов объектов.

Второе «слабое место» МАИ связано со способом скаляризации многокритериальной задачи. Выбор аддитивной свертки критериев означает Метод анализа иерархий определенный «произвол», поскольку, как нам известно (см., например, теорему 5.1), имеется много различных методов скаляризации многокритериальной задачи. При этом выбор того или иного способа скаляризации (свертки) в сильной степени влияет на точку максимума свертки. И существуют примеры, которые наглядно демонстрируют, что применение МАИ может приводить к результатам, которые противоречат здравому смыслу (см.

ниже упр. 6).

6.6. Анализ иерархии целей 6.6.1. Иерархическая структура целей Пусть имеется некоторый конечный набор возможных решений X, из которого предстоит выбрать «наилучшее» решение. Напомним, что в самом широком смысле «наилучшим» обычно считается такое решение, которое в наиболее полной мере удовлетворяет определенной (глобальной) цели, которую ЛПР преследует в результате своей деятельности.

Предположим, что при формировании математической модели принятия решений в какой-то конкретной задаче степень удовлетворения указанной цели удалось выразить с помощью одного числового критерия (показателя) f таким образом, что, например, большее значение этого критерия соответствует большей степени удовлетворения цели, а меньшее – соответственно, меньшей степени удовлетворения. В таком случае вопрос выбора «наилучшего» решения сводится к обычной (т.е. однокритериальной) задаче максимизации числовой функции (критерия первого уровня) f на множестве возможных решений X и решение этой задачи не вызывает принципиальных трудностей.

К сожалению, действительность такова (и это характерно для экономических задач!), что при формировании математической модели чаще всего не удается описанным выше образом выразить глобальную цель ЛПР в терминах одного числового критерия. Как правило, при ближайшем рассмотрении выясняется, что эта цель может быть лишь расчленена (декомпозирована) на целый ряд более простых (локальных) подцелей. Если при этом для каждой отдельной подцели удастся построить отвечающий ей критерий, то в результате будет получена многокритериальная задача с набором критериев f1, f2,..., fm второго уровня и для ее решения, в частности, можно применить МАИ или его упрощенный вариант так, как это было описано в предыдущем разделе.

Принятие решения при многих критериях Следует заметить, что в некоторых сложных задачах принятия решений не удается построить не только один, но даже все упомянутые критерии f1, f2,..., fm для выражения локальных целей (т.е. подцелей) ЛПР. Это происходит из-за того, что сами эти локальные цели представляют собой сложный «конгломерат устремлений», включающий набор более простых составляющих.

Обозначим через i номер подцели, для выражения которой не удалось сформировать соответствующий числовой критерий fi. В этом случае i -ю подцель можно попытаться вновь расчленить на ряд еще более простых подцелей следующего уровня и попытаться для их математического выражения построить соответствующий набор критериев третьего уровня. В свою очередь, построение одного, нескольких или даже всех критериев fi1, fi2,..., fim, выражающих определенные подцели третьего уровня, вновь может натолкнуться на серьезные трудности и опять придется какие-то критерии пытаться представить в виде определенного конечного набора некоторых критериев уже четвертого уровня. И т.д.

Указанным способом, в результате выполнения некоторого конечного числа описанных действий будет выявлена определенная иерархическая (древовидная) структура целей (или иерархия целей), которую можно наглядно изобразить графически (см. рис. 6.1). Эта структура действительно напоминает разветвленное перевернутое дерево, корень которого располагается на самом верхнем (первом) уровне и соответствует глобальной цели ЛПР, а ветви последовательно опускаются на все более высокий (по номеру) уровень.

Рис. 6.1. Иерархическая структура целей.

Метод анализа иерархий Следует обратить внимание на то, что в конкретных задачах это дерево может не оказаться абсолютно симметричным в том смысле, что его ветви могут иметь различную длину (измеряемую в количестве уровней), считая от корня. Например, если имеется две цели на втором уровне (т.е. m = 2 ), то из них только первая может расчленяться на несколько подцелей (которым отвечают, например, критерии f11, f12, f13 третьего уровня), тогда как вторая цель вполне может быть выражена одним критерием f2. В результате здесь получается четыре критерия f11, f12, f13, f2 нижнего уровня (три из них третьего уровня, а один – второго), которые и следует учитывать в процессе дальнейшего решения многокритериальной задачи. При этом говорят, что критерии f11, f12, f13 подчинены критерию f1, а критерии f1, f2 подчинены глобальной цели (фокусу проблемы). В соответствии с этим критерии нижнего уровня характеризуются тем, что им не подчиняется ни один критерий.

Введенная терминология заимствована из трактовки иерархической структуры в виде отношения подчиненности, когда имеется один «высокий начальник», в подчинении которого находится ряд заместителей, каждый из которых, свою очередь, может иметь власть над некоторыми подразделениями или же отдельными людьми и т.д. Следует отметить, что в непосредственном подчинении могут находиться только критерии соседних (т.е. предыдущего и последующего) уровней. Причем каждый критерий (кроме критерия первого уровня) находится в подчинении какого-то одного критерия, уровень которого на единицу меньше.

6.6.2. Решение многокритериальных задач с иерархической структурой целей Для решения многокритериальных задач со сложной иерархической структурой целей можно использовать описанный ранее МАИ или его упрощенный вариант следующим образом.

Пусть задана некоторая иерархия целей. Сначала рассматривают все критерии нижнего уровня, которые выражают определенные подцели того или иного иерархического уровня, заданы в виде числовых функций, определенных на множестве возможных решений, и подлежат максимизации. Они могут отвечать уровням иерархии с различными номерами. Для каждого из критериев нижнего уровня следует вычислить числа, являющиеся значениями данного критерия на каждом элементе предварительного пронумерованного множества возможных решений.

Обозначим через n число возможных решений, т.е. X = {x1, x2,..., xn}.

В результате указанных выше вычислений каждому критерию fa нижнего уровня в иерархической структуре целей должен быть поставлен в соответсПринятие решения при многих критериях твие n -мерный вектор значений ( fa (x1), fa (x2)..., fa (xn )). На этом первый этап расчета завершен.

На втором этапе среди критериев нижнего уровня выделяются группы, которые подчинены одной и той же цели (критерию). Для каждой такой группы с привлечением экспертов при помощи МАИ (или его упрощенного варианта), примененного к множеству критериев данной группы, вычисляется вектор, компоненты которого выражают нормированные веса критериев этой группы относительно критерия, в подчинении которого они находятся. При этом размерность полученного нормированного весового вектора будет равна числу критериев данной группы. Затем критерию, в подчинении которого находятся критерии данной группы, ставится в соответствие вектор, представляющий собой взвешенную сумму n -мерных векторов, соответствующих критериям данной группы и полученных на первом этапе, а коэффициентами этой суммы являются компоненты вектора, выражающего найденные нормированные веса критериев.

Поясним сказанное на следующем примере. Пусть критерии f11, f12,..., f1m входят в число критериев нижнего уровня и подчиняются критерию f1. После выполнения первого этапа каждому из них поставлен в соответствие n -мерный вектор y(1), y(2),..., y(m ) соответственно. Предположим, что в результате сравнения эксперта (по весу) критериев f11, f12,..., f1m относительно критерия f1 при помощи МАИ (или его упрощенного варианта) был получен нормированный весовой вектор с компонентами w1,w2,...,wm. Тогда критерию fследует сопоставить вектор, представляющий собой взвешенную сумму вида wy(1) + wy(2) +... + wm y(m ).

1 Дальнейшие этапы выполняются аналогично. А именно, из числа тех критериев, относительно которых на предыдущем этапе вычислялись нормированные весовые векторы, следует выделить группы, подчиненные одной и той же цели (критерию), расположенной на более высоком иерархическом уровне. С этими группами необходимо действовать так же, как было описано выше, чтобы в результате критерию, которому они подчиняются, поставить в соответствие определенный n -мерный вектор, найденный как некоторая взвешенная сумма. И т.д.

В результате после выполнения какого-то конечного числа этапов вычислений каждому из критериев второго уровня будет поставлен в соответствие определенный n -мерный вектор. Обозначим эти векторы через z(1), z(2),..., z(m). Затем с привлечением эксперта при помощи МАИ (или его упрощенного варианта) определяются нормированные веса критериев f1, f2,..., fm второго уровня относительно фокуса проблемы. Пусть это будут Метод анализа иерархий положительные числа, которые обозначим через v1,v2,...,vm. В итоге окончательный результат может быть найден как взвешенная сумма векторов z(1), z(2),..., z(m) с коэффициентами v1,v2,...,vm :

w = v1z(1) + v2z(2) +... + vm z(m).

При желании вектор w можно нормировать, т.е. все его компоненты разделить на сумму всех компонент. Его i -я компонента будет выражать итоговый вес i -го возможного решения ( i = 12,...,n ) с учетом всей заданной слож, ной иерархической структуры целей. После этого согласно МАИ выбирается решение, имеющее максимальный вес. Оно и признается «наилучшим».

6.6.3. Пример Проиллюстрируем описанный метод простым примером. Предположим, что задана некоторая иерархия целей (см. рис. 6.2) и X = {x1, x2, x3}. В данном случае имеется шесть критериев нижнего уровня f11, f12, f13, f2, f31, f32, которые подразделяются на три группы: {f11, f12, f13}, {f2} и {f31, f32}. Если все критерии нижнего уровня заданы, то вычисляем их значения на возможных решениях и критерию f11 ставим в соответствие трехмерный вектор y(1) = ( f11(x1), f11(x2), f11(x3 )), критерию f12 – вектор y(2) = ( f12(x1), f12(x2), f12(x3 )), критерию f13 – вектор y(3) = ( f13(x1), f13(x2), f13(x3 )), критерию f2 – вектор y(4) = ( f2(x1), f2(x2), f2(x3 )), критерию f31 – вектор y(5) = ( f31(x1), f31(x2), f31(x3 )) и критерию f32 – вектор y(6) = ( f32(x1), f32(x2), f32(x3 )).

Рис. 6.2. Иерархия целей Принятие решения при многих критериях Если же один, несколько или все последние критерии аналитически не заданы, то для получения соответствующих векторов y(i) можно применить МАИ (или его упрощенный вариант). Например, для формирования вектора y(1) следует привлечь эксперта и на основе его информации в виде матрицы относительных весов для решений x1, x2, x3 (относительно критерия f11 ) вычислить требуемый трехмерный вектор y(1).

Рассмотрим первую группу критериев {f11, f12, f13} нижнего уровня. От эксперта получаем матрицу третьего порядка относительных весов для критериев данной группы и с помощью МАИ (или его упрощенного варианта) вычисляем нормированный весовой вектор для этой группы. Обозначим его компоненты a1,a2,a3. Критерию f1 ставим в соответствие вектор z(1) = a1y(1) + a2y(2) + a3 y(3).

Аналогично вычисляется нормированный весовой вектор с компонентами b1,b2 для группы нижнего уровня {f31, f32}. После чего критерию fставится в соответствие вектор z(2) = b1y(5) + b2y(6).

Далее по той же схеме следует вычислить нормированный весовой вектор для группы критериев f1, f2, f3. Обозначим его компоненты w1,w2,w3.

Теперь можно записать окончательный результат. Это будет трехмерный вектор wz(1) + wy(4) + wz(2).

1 2 Его i -я компонента будет выражать окончательный вес i -го возможного решения ( i = 123 ) с учетом иерархии целей, изображенной на рис. 6.2.

,, Выводы Метод анализа иерархий (МАИ), предназначенный для отыскания «весов» объектов, основан на использовании матрицы парных сравнений.

Его реализация требует вычисления максимального собственного значения этой матрицы и соответствующего собственного вектора. Это может составить сложную вычислительную задачу.

Существует более простая и надежная версия – упрощенный вариант МАИ. Оба метода могут быть использованы при решении многокритериальных задач со сложной иерархической структурой целей.

Метод анализа иерархий Основные понятия Матрица относительных весов, матрица парных сравнений, метод анализа иерархий, иерархия целей.

Контрольные вопросы 1. Приведите определение собственного значения и собственного вектора квадратной матрицы.

2. Что называется матрицей относительных весов Перечислите свойства этой матрицы.

3. Что такое матрица парных сравнений С какой задачей связана эта матрица Каким образом на практике осуществляется построение этой матрицы 4. Опишите все этапы МАИ и охарактеризуйте их сложность с вычислительной точки зрения.

5. Сформулируйте упрощенный вариант МАИ на основе схемы сравнения с образцом. Какие формулы в этом случае используются 6. Опишите упрощенный вариант МАИ на основе схемы последовательного сравнения объектов.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.