WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |

векторного равенства (6.3), рассмотрим k -ю компоненту вектора Aw. Она является результатом умножения k -й строки матрицы A на вектор w :

w w(ak1 ak2... akn ) = ak1 w1 + ak2 w2 +... + akn wn = wn wk wk wk k = w1 + w2 +... + wn = nwk.

w1 w2 wn Как видим, полученный результат nwk совпадает с k -й компонентой вектора nw, стоящего в правой части равенства (6.3). Благодаря произвольности выбора номера k равенство (6.3) можно считать доказанным.

Лемма 6.1. Матрица относительных весов A имеет только два различных собственных значения 0 и n.

Используя свойства определителей, устанавливаемые в курсе линейной алгебры, получаем w1 w1 w(1- l) … w2 w3 wn w2 w2 w(1- l) … det(A - l E) = det w1 w3 wn = wn wn wn …(1- l) w1 w2 w Метод анализа иерархий (1- l) 1 1 … 1 (1- l) 1 … n- = det = (-1)n l (l - n) = 0.

l 1 1 1…(1- l) Следовательно, характеристическое уравнение для матрицы относительных весов имеет ровно два корня: 0 и n. Согласно теореме 6.1 именно эти числа являются собственными значениями матрицы A После введения обозначения lmax = max{0,n} = n равенство (6.3) можно переписать в форме Aw =lmax w. (6.4) Именно это равенство лежит в основе метода анализа иерархий.

6.3. Метод анализа иерархий 6.3.1. Матрица парных сравнений В предыдущем разделе предполагалось, что веса объектов A1, A2,..., An, т.е. числа w1,w2,...,wn, заранее заданы. Такое положение соответствует идеальному варианту сравнения объектов. Что касается задач, возникающих на практике, то в них веса как раз неизвестны и подлежат определению. В этих задачах требуется найти положительные числа w1,w2,...,wn (обычно удовлетворяющие дополнительному условию нормировки w1 + w2 +... + wn = 1), которые выражают собой определенные «веса» («ценности» или «важности») объектов A1, A2,..., An.

В качестве примера подобной задачи можно упомянуть задачу определения размера инвестиций в ряд объектов, когда определенную сумму денег (не уменьшая общности, эту сумму всегда можно считать равной единице) требуется распределить между n объектами A1, A2,..., An для инвестирования.

В этой задаче искомое число wk будет выражать долю инвестиций, приходящуюся на объект Ak, k = 12,...,n.

, Итак, пусть имеется набор объектов A1, A2,..., An и требуется определить веса каждого из них, т.е. числа w1,w2,...,wn. Существует широкий круг методов, предназначенных для решений этой задачи. Один из наиболее простых заключатся в предварительном попарном сравнении имеющихся объектов с целью построения так называемой матрицы парных сравнений Принятие решения при многих критериях a11 a12... 1n a a22... a2n A = (aij )nn =.

.........................

an1 an2... nn Произвольный элемент aij этой матрицы выражает собой число, показывающее во сколько раз вес объекта Ai больше веса объекта Aj. Эти числа назначаются экспертами в результате попарного сравнения объектов. Отсюда и происходит наименование этой матрицы.

Нетрудно понять, что матрица парных сравнений в идейном отношении имеет много общего с введенной ранее матрицей относительных весов. В идеальном случае (когда эксперты по сути дела знают или точно угадывают «истинные» отношения весов объектов) матрица парных сравнений должна в точности совпадать с некоторой матрицей относительных весов, т.е. для wi всех i, j = 12,...,n должны выполняться равенства aij = при некоторых, wj положительных числах wi и wj. В действительности эксперты не знают заранее веса объектов и указывают лишь результаты попарного сравнения весов объектов в виде коэффициентов aij, поэтому указанные равенства часто нарушаются, и матрица парных сравнений оказывается не совпадающей с матрицей относительных весов.

Тем не менее, исходя из указанной связи между матрицами относительных весов и матрицей парных сравнений и стремясь к тому, чтобы различие между ними было как можно меньше, представляется разумным предполагать, что матрица парных сравнений должна обладать всеми перечисленными ранее четырьмя свойствами матрицы относительных весов. В соответствии с этим согласно МАИ считается, что 1) Все элементы матрицы парных сравнений A положительны, а ее диагональные элементы равны единице, т.е. aij > 0, aii = 1 для всех номеров i, j = 12,...,n.

, 2) Матрица парных сравнений обратно симметрична, т.е. aij = для aji всех номеров i, j = 12,...,n.

, 3) Матрица парных сравнений совместна, т.е. равенства aij = aik akj имеют место для всех номеров i, j,k = 12,...,n.

, 4) Искомый вектор-столбец весов w = (w1,w2,...,wn )T является собственным вектором, соответствующим максимальному собственному значению lmax матрицы A, т.е. имеет место равенство (6.4).

Метод анализа иерархий 6.3.2. Описание МАИ Метод анализа иерархий предполагает выполнение следующих трех этапов.

I. С привлечением эксперта формируется матрица парных сравнений A = (aij )nn.

Произвольный элемент aij этой матрицы представляет собой положительное число, показывающее во сколько раз вес объекта Ai больше веса объекта Aj.

Сразу следует сказать, что при формировании матрицы парных сравнений добиться от эксперта выполнения первых двух свойств 1) – 2) не составляет труда (для этого сразу следует положить все диагональные элементы матрицы равными единице, а все элементы, расположенные ниже главной диагонали, вычислить на основе свойства обратной симметричности, используя элементы, расположенные выше главной диагонали, которые получены от эксперта).

Таким образом, от эксперта необходимо получить только сведения о n(n -1) результатах сравнения объектов, содержащуюся в элементах матрицы A, расположенных выше главной диагонали.

При этом третье свойство (свойство совместности) на практике, как правило, оказывается невыполненным. По этой причине матрица парных сравнений, как правило, отличается от «идеальной» матрицы относительных весов тем, что она не удовлетворяет свойству совместности 3). Кроме того, у матрицы парных сравнений максимальное собственное значение чаще всего не совпадает с n. Как установлено в [23], всегда выполняется неравенство lmax n, причем равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда матрица A обладает свойством совместности. Автор МАИ, Т. Саати, ввел специальный числовой показатель lmax - n CI =, n -называемый индексом совместности, который оценивает «степень невыполнения» свойства совместности. Так, если индекс совместности не превосходит 0.1, т.е. CI 01, то «степень невыполнения».

свойства совместности считается приемлемой и построенная матрица парных сравнений используется на следующих этапах для определения весового вектора. В противном случае рекомендуется предложить эксперту произвести уточнение элементов матрицы A таким образом, чтобы индекс совместности оказался в допустимых пределах. После Принятие решения при многих критериях того, как матрица парных сравнений A с приемлемым индексом совместности сформирована, переходят к следующему (второму) этапу.

II. На этом (втором) и последующем этапах используется последнее, четвертое свойство матрицы парных сравнений. А именно, применяя соответствующие численные методы, следует найти максимальное собственное значение lmax матрицы A (для этого нужно вычислить максимальный вещественный корень алгебраического уравнения n -й степени (6.2)). Поскольку величина собственного значения непрерывно зависит от коэффициентов матрицы A, «небольшое» отклонение коэффициентов этой матрицы от коэффициентов «идеальной» матрицы относительных весов, выражаемое в выполнении неравенства CI 01, должно, по мнению автора метода, привести к.

малой величине ошибки последующего вычисления весового вектора.

Это обстоятельство служит определенным оправданием применения МАИ.

III.Далее, подставив найденное максимальное собственное значение lmax в (6.4), полученная таким образом однородная система линейных уравнений (6.4) решается относительно неизвестного вектора w = (w1,w2,...,wn )T (для этого может быть использован, например, известный из курса линейной алгебры метод последовательного исключения неизвестных Жордана-Гаусса). Найденное решение этой системы в виде набора n положительных чисел (w1,w2,...,wn ) и составит искомый весовой вектор. При необходимости этот вектор всегда можно нормировать, т.е. разделить каждую его компоненту на сумму всех компонент.

Замечание 6.2. Анализ приведенных этапов МАИ показывает, что уже для сравнительно небольшого числа сравниваемых объектов (например, при n5 ) реализация этого метода может потребовать преодоления существенных вычислительных трудностей.

Пример 6.2. Предположим, что в результате попарных сравнений экспертом была сформирована матрица 1 2 A = 1 3.

1 2 3 Метод анализа иерархий Найдем при помощи МАИ соответствующий вектор весов. Прежде всего, заметим, что данная матрица не является совместной, так как a12 a23 = 6 2 = a13.

Составляем характеристическое уравнение:

1- l 2 det 1 1- l 3 =-l3 + 3l2 + = 0.

1 2 3 1- l Находим максимальный (вещественный) корень этого уравнения 314 -.

lmax 314 > 3. Вычисляем индекс совместности CI = = 007. Как..

видим, он не превышает порогового уровня 0.1. Составляем однородную систему линейных уравнений (6.4). Она в данном случае будет иметь вид.

-214w1 + 2w2 + 2w3 = 0, 1 w1 - 214w2 + 3w3 = 0,.

w1 + w2.

1 1 - 214w3 = 0.

2 Находим одно из ее ненулевых решений (один из собственных векторов, соответствующих найденному собственному значению) w1 288, w2 208, w3 1. После деления каждого из этих..

чисел на их сумму получаем искомый нормированный весовой вектор.

w1 048, w2 035, w3...

6.4. Упрощенный вариант МАИ 6.4.1. Введение Выше было указано, что матрица парных сравнений A, формируемая экспертами, как правило, не является совместной и ее максимальное собственное значение оказывается строго больше числа сравниваемых объектов n. Несовместность матрицы парных сравнений является следствием избыточности информации, содержащейся в этой матрице. Оказывается, процедуру построения матрицы парных сравнений можно существенно упростить, n(n -1) требуя от эксперта сведения не обо всех элементах этой матрицы, Принятие решения при многих критериях расположенных выше главной диагонали, а лишь об определенных n -элементах, на основе которых затем можно легко вычислить все остальные элементы этой матрицы, а также искомый весовой вектор.

Упрощенный вариант МАИ, излагаемый ниже, оказывается существенно проще МАИ как на стадии формирования матрицы парных сравнений, так и в ходе вычисления весового вектора для сколь угодно большого конечного числа сравниваемых объектов. Этот вариант соответствует тому идеальному случаю, когда матрица парных сравнений совпадает с матрицей относительных весов.

6.4.2. Построение матрицы парных сравнений на основе схемы сравнения с образцом Обсудим вопрос построения матрицы парных сравнений, удовлетворяющей первым трем из перечисленных выше свойств. В силу первых двух свойств диагональные элементы матрицы парных сравнений известны – это единицы. Далее выделяется объект («образец»), с которым эксперту удобнее всего сравнивать все остальные объекты. Этому объекту присваивают первый номер. Остальные объекты могут быть пронумерованы любым способом.

Далее эксперту предлагают сравнить вес первого объекта с весом второго объекта и указать положительное число, показывающее во сколько раз вес первого объекта больше веса второго объекта. В результате выполнения такого сравнения эксперт назначает некоторое положительное число a12. Далее для сравнения с первым объектом рассматривается третий объект и в результате сравнения экспертом указывается число a13, и т.д. После выполнения сравнений первого объекта со всеми остальными будут назначены положительные числа a12,a13,...,a1n. Тем самым, с учетом равенства a11 = 1 будет известна вся первая строка матрицы A.

Остальные элементы матрицы A можно найти на основе свойств 2) и 3) матрицы парных сравнений. Благодаря этим свойствам имеют место равенства a1 j aij = ai1 a1 j =, для всех i, j = 2,...,n, (6.5) a1i с помощью которых однозначно вычисляются элементы остальных строк матрицы A.

Метод анализа иерархий 6.4.3. Нахождение весового вектора После того как матрица A = (aij )nn указанным способом построена, можно найти весовой вектор w = (w1,w2,...,wn )T. Его компоненты вычисляются по формуле a1n wi =, i = 12,...,n -1; wn = 1. (6.6), a1i Вектор весов w, найденный по формуле (6.6), не удовлетворяет требованию нормировки, так как его последняя компонента равна единице. Для того чтобы он был нормирован, каждую его компоненту следует разделить на сумму всех компонент, т.е. на величину w1 + w2 +... + wn-1 +1, где все слагаемые wi, i = 12,...,n -1, определены по формуле (6.6).

, Обоснование выбора компонент вектора весов w по формуле (6.6) дается в следующем утверждении.

Теорема 6.2. Пусть матрица A = (aij )nn, обладающая свойствами 1) – 2), построена на основе элементов первой строки в соответствии с формулой (6.5).

Эта матрица определяется однозначно и обладает всеми свойствами матрицы относительных весов. При этом свойство 4), т.е. равенство (6.3), имеет место для вектора w, компоненты которого вычислены по формуле (6.6).

Единственность матрицы A, построенной из заданных элементов первой строки при помощи формулы (6.5) вытекает непосредственно из этой формулы. В самом деле, предположим, что существует матрица A = (aij )nn, A A, имеющая ту же самую первую строку (а значит, тот же самый первый столбец), что и матрица A, т.е. a1 = a1 j, j = 12,...,n, причем, j a1 a1 j j aij = =, для всех i, j = 2,...,n.

a1 a1i i Так как согласно предположению A A, то для некоторых номеров i, j {2,...,n} верно неравенство aij aij. С другой стороны, верно как равенс a1 j a1 j тво aij =, так и равенство aij =, откуда следует aij = aij, что противо a1i a1i речит сделанному ранее предположению aij aij. Следовательно, матрица A определяется однозначно.

Для матрицы A = (aij )nn, построенной из заданных элементов первой строки при помощи формулы (6.5), свойство совместности имеет место, так как равенство a1k a1 j a1 j aik akj = = = aij a1i a1k a1i выполняется для всех номеров i, j,k = 12,...,n.

, Принятие решения при многих критериях Благодаря формулам (6.5) – (6.6) для произвольного элемента aij матрицы A справедливо представление a1n a1 j a1i wi aij = = =.

a1i a1n wj a1 j Это означает, что матрица A является некоторой матрицей относительных весов, а значит, согласно лемме 6.1 она имеет два собственных значения 0 и n.

Таким образом, матрица A обладает всеми свойствами 1) – 4) матрицы относительных весов Замечание 6.3. Нетрудно заметить, что компоненты весового вектора w, найденного с помощью формулы (6.6), составляют последний столбец матрицы A, построенной на основе первой строки при помощи формулы (6.5).

Проиллюстрируем применение предложенного выше подхода на следующем примере.

Пример 6.3. Пусть имеется четыре объекта для инвестирования A1, A2, A3, A4. Требуется распределить единичную сумму по этим объектам, исходя из критерия надежности вложения средств в эти объекты.

Предположим, что в результате сравнения по критерию надежности первого объекта со всеми остальными, от эксперта были получены следующие данные: a12 = 3, a13 = 0.5, a14 = 2. Здесь, например, число a13 = 05 означает, что по.

мнению эксперта надежность третьего объекта для инвестирования в два раза выше надежности первого объекта.

В соответствии с формулой (6.5) матрица парных сравнений (относительных весов) будет иметь следующий вид 1 3 1 1 3 6 A =.

2 6 1 1 3 2 2 На самом деле вся эта матрица для нахождения вектора весов не нужна;

требуются лишь элементы ее последнего столбца. Именно они составляют весовой вектор: w1 = 2, w2 = w3 = 4, w4 = 1. После нормировки, которая 3, Метод анализа иерархий состоит в делении всех полученных компонент на, приходим к окончательному результату 6 2 12 w1 = w2 = w3 = w4 = 23, 23, 23, 23.

Найденные веса указывают доли, в соответствии с которыми следует осуществить распределение единичной суммы по имеющимся четырем объектам для инвестирования, если в качестве основы взять указанные выше результаты сравнения экспертом надежности первого объекта по сравнению с надежностью остальных объектов.

6.4.4. Упрощенный вариант МАИ на основе схемы последовательного сравнения объектов Оказывается, упрощенный вариант МАИ можно также реализовать, взяв за основу не элементы первой строки матрицы парных сравнений, а и другие определенные наборы из n -1 элементов матрицы парных сравнений.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.