WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||

2 arcsinТаким образом, при увеличении частоты возбуждения структуры фазовая скорость бегущей волны уменьшается, что подтверждается опытами. Особенно это уменьшение становится заметным при приближении к критической частоте. При увеличении частоты возбуждения структуры уменьшается длина бегущей волны. При частоте, равной критической 0, разность фаз колебаний между соседними элементами достигает значения =, и все элементы совершают противофазные колебания, а длина волн становится минимальной min = 2a, где а – расстояние между соседними элементами в состоянии покоя. При частоте > 0 длина волны окажется меньше, чем 2а и распространение бегущих волн становится невозможным.

Из графика дисперсии (рис. 65) следует, что фазовая скорость бегущей волны при частоте определяется наклоном хорды, проведенной из начала координат в эту точку, т.е.

(k) vфаз = = tg1.

k Групповая скорость, согласно ее определению, характеризуется наклоном касательной в этой точке, т.е.

d vгр = = tg2.

dk Следовательно, групповая скорость волн отличается от фазовой скорости. Найдем связь между этими скоростями. На основании уравнения дисперсии (16.3) имеем d 1 ka vгр = = a0 cos.

dk 2 Учитывая, что k =, получим связь между фазовой и групповой скоростями vфаз 1 a vгр = a0 cos.

2 2vфаз Для нахождения зависимости групповой скорости от частоты возбуждения подставим в полученную формулу выражение (16.4) vгр = a0 cos arcsin.

2 Учитывая, что arcsin = arccos 1-, окончательно получим 0 vгр = a0 1-.

2 График зависимости групповой скорости от частоты возбуждения структуры представлен на рис. 66.

Из полученной формулы следует, что при 0 групповая скорость имеет максимальное значение vгр max = a0, которое совпадает с vф max. При критической частоте 0 vгр min = 0.

Наличие дисперсии в периодической дискретной структуре приводит к тому, что кратковременный импульс или волновой цуг ограниченной протяженности, представляющий собой суперпозицию гармонических волн с различными волновыми числами, будут менять свою форму по мере движения в структуре, так как составляющие его компоненты с различными длинами волн распространяются с разной фазовой скоростью. Это явление можно наблюдать на опыте. Действительно, отклонив первый элемент вверх от положения равновесия и возвратив его быстро в исходное положение, наблюдают движение импульса с групповой скоростью (рис. 67, а, б). По мере движения импульса вдоль структуры замечают его уширение. Очевидно, что уширение импульса будет тем больше, чем больше расстояние он пройдет вдоль линии. Поэтому уширение отраженного импульса от неподвижного конца линии проявится особенно заметно (рис. 67, в).

17. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ Изучая звук и свет, механические и электромагнитные колебания, мы сталкиваемся с поразительной общностью этих явлений. Значительная часть механических движений, акустические процессы, переменный ток, радиотехника, волновая оптика, многие вопросы атома и ядра – вот далеко не полный перечень явлений, которые описываются на уровне колебательных процессов. Несмотря на различную природу физических процессов в колебательных системах, все они описываются единым математическим аппаратом, что позволяет проводить далеко идущие аналогии, которые имеют важное значение в науке и технике. Сравним механические и электрические колебательные системы.

Механическая система (рис. 68) Электрическая система (рис. 69) С l q R L m J х Рис. Рис. Механические величины Электрические величины Смещение относительно поло- Электрический заряд q жения равновесия x Скорость v = x Электрический ток J = q Ускорение a = x Скорость изменения тока J = q Масса груза m Индуктивность L Коэффициент сопротивления r Активное сопротивление R Внешняя сила F Внешняя ЭДС Отношение силы тяжести к дли- Величина, обратная емкости С mg не маятника l Для пружинного маятника величиной, аналогичной величине, является жесткость k. В связи с этим для получения С соотношений, справедливых для пружинного маятника, необходимо в формулу математического маятника сделать подстановку g k.

l m Собственные незатухающие колебания Уравнения, описывающие колебания в механической и электрической системах Второй закон Ньютона при Второе правило Кирхгофа достаточно малых смещениях маятника от положения равно- весия Lq + q = 0, C mg mx = - x, l q + q = LC g x + x = 0.

l Так как = 0, то уравнение LC g Так как = 0, то уравнение принимает вид l q + 0q = 0.

принимает вид x + 0x = 0.

Решение этих уравнений (что легко проверить подстановкой) имеет вид x = xm cos(0t + 0), q = qm cos(0t + 0), где xm – амплитуда колебаний. где qm – амплитудное значение заряда.

Период собственных колебаний 2 l T0 = = 2. T0 = = 2 LC.

0 g Собственные затухающие колебания Механическая система с Электрический контур с актрением, сила которого пропор- тивным сопротивлением R циональна первой степени ско рости: Fт = -rx Уравнения, описывающие колебания в системах mg mx = -rx - x, Lq + Rq + q = 0, l C r g R x + x + x = 0. q + q + q = 0.

m l L LC Полученные уравнения принято записывать в виде 2 x + 2x + 0x = 0, q + 2q + 0q = 0, где введено обозначение R где =.

r 2L =.

2m Коэффициент называется показателем затухания. Решение дифференциальных уравнений приводит к следующим результатам.

1. Потери энергии в системе малы ( < 0). Решение имеет вид:

x = xme-t cos(t + 0) q = qme-t cos(t + 0) где e = 2,718 – основание натуральных логарифмов, а = 0 - 2.

Постоянные величины xm, qm и 0 определяются начальными условиями возбуждения колебаний. Вследствие затухания колебания в системе не являются строго периодическими. Под их периодом T = обычно понимают интервал време ни между двумя последовательными отклонениями от положения равновесия в одну сторону. Как видно из решений, амплитуда собственных колебаний в реальной системе убывает со временем. Логарифмический декремент затухания определяет отношение двух любых последовательных максимальных смещений, разделенных во времени одним периодом xmt = ln = T =, xm(t+T ) и характеризует относительную убыль амплитуды за период. Добротность колебательной системы обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания и определяет относительную убыль энергии колебаний за период Q = = =.

2 T 2. Потери энергии в системе велики ( > 0). При большом трении в механической системе движение имеет апериодический характер, и возникновение в ней колебаний становится невозможным. При большом активном сопротивлении колебательного контура в нем происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление, при повышении которого в системе нет колебаний, называется критическим g L rкр = 2m Rкр = 2.

l C Вынужденные колебания возникают в колебательных системах под действием внешней периодической силы F или ЭДС.

Механическая система Электрическая система L F С l R m Рис. Рис. На колебательный контур воздействует На математический ма- периодическая ЭДС от внешнего источника ятник со стороны пружины, длина которой периодически = m cost, изменяется, действует сила, изменяющаяся по закону где m – амплитудное значение ЭДС.

F = Fm cost, где Fm – амплитудное значение вынуждающей силы.

Дифференциальные уравнения движения принимают вид Fm m 2 x + 2x + 0x = cos t. q + 2q + 0q = cos t.

m L В случае установившегося движения решения дифференциальных уравнений имеют вид x = xm cos(t - ). q = qm cos(t - ).

Амплитуды xm или qm и фаза вынужденных колебаний не зависят от начальных условий и определяются параметрами системы и силой или ЭДС Fm m xm =. qm =.

2 2 m (2 - 0) + (2)2 L (2 - 0) + (2)tg =.

0 - Установившиеся вынужденные колебания являются также гармоническими с частотой, равной вынуждающей частоте.

Исследуя зависимость амплитуды вынужденных колебаний от вынуждающей частоты на максимум, можно убедиться, что xm() и qm() имеют максимум при р = 0 - 2.

Эта частота называется резонансной, а само явление возрастания амплитуды при приближении к резонансной частоте р называется резонансом. При малых затуханиях можно считать, что р 0.

Фаза вынужденных колебаний при << р совпадает с фазой вынуждающего воздействия, в области резонанса при = р разность фаз близка к /2, а при >> р разность фаз стремится к.

Часто (а в электрических явлениях почти всегда) большой интерес представляет резонансная кривая для скорости vm() или тока Jm() x = xm cost - +, q = qm cost - +, 2 или v = vm cos(t - ), J = Jm cos(t - ), где Fm m vm = xm =, Jm = qm =, 2 2 m (2 - 0) + 422 L (2 - 0) + = -.

Произведя несложные преобразования, получим Fm m vm =, Jm =.

2 mg m + r L + R - - l C Для фазового угла между скоростью маятника и вынуждающей силой или между током и ЭДС получаем mg m - L l C tg =, tg =.

r R Разность фаз между скоростью (током) и силой (ЭДС) при << 0 стремится к – /2; при резонансе = 0, а при >> 0 разность фаз приближается к + /2. Максимальные значения скорости и тока при резонансе равны Fm m vmр =. Jmр =.

r R ЗАКЛЮЧЕНИЕ В пособии рассмотрены лишь основные вопросы теории механических колебаний, необходимые студентам для последующего изучения колебательных явлений другой физической природы: переменный ток, электромагнитные колебания и волны, световые и квантововолновые процессы и т.д.

Колебательные процессы любой физической природы описываются едиными математическими уравнениями, что позволяет проводить далеко идущие аналогии и осуществлять в процессе обучения единый подход к их рассмотрению. Плодотворность такого метода сравнений и аналогий общеизвестна не только в педагогической, но и научной мысли.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Горелис, Г.С. Колебания и волны / Г.С. Горелис. – М. : ГИФМЛ, 1959. – 572 с.

2. Малов, Н.Н. Основы теории колебаний / Н.Н. Малов. – М. : Просвещение, 1971. – 198 с.

3. Молотков, Н.Я. Изучение колебаний на основе современного эксперимента / Н.Я. Молотков. – Киев : Радянська школа, 1988. – 160 с.

4. Стрелков, С.П. Введение в теорию колебаний / С.П. Стрелков. М. : Наука, 1964. – 437 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………….. 1. ПОНЯТИЕ О КОЛЕБАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ……………... 2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА 3. ЭНЕРГИЯ СОБСТВЕННЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБА НИЙ ………………………………………………………………. 4. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА И ДРУГИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ……………………. 5. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ … 6. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ ………………………………………………………….. 7. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ ………… 8. СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ, НАПРАВЛЕННЫХ ПО ОДНОЙ ПРЯМОЙ …………………… 9. СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ ……………………………………………………. 10. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ………………………………. 11. МЕХАНИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ ………………………. 12. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ………………………….. 13. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ …………………………. 14. СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ……………………………………. 15. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ …………………………….. 16. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЧЕСКОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДИСКРЕТНОЙ СТРУКТУРЕ …………… 17. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ …………………… ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………… Для заметок

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.