WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |

Таким образом, частота изменения тока в обмотке должна быть в два раза больше собственной частоты колебаний системы. Возникающее магнитное поле периодически увеличивает притяжение стального шарика к электромагниту, что эквивалентно периодическому изменению силы тяжести, действующей на него, т.е. изменению одного из параметров колебательной системы.

Рис. Рис. Если работа внешних сил по увеличению силы тяжести за период окажется больше, чем потери энергии маятника за тот же промежуток времени, то энергия маятника с течением времени будет возрастать, а, следовательно, и амплитуда колебаний будет увеличиваться. Если энергия, сообщаемая маятнику за период, окажется равной потерям энергии за то же время, то колебания маятника становятся незатухающими.

2. Возбуждение параметрических колебаний маятника, когда изменяемым параметром является его длина, можно показать с помощью установки, изображенной на рис. 47. Небольшой шар B подвешен на тонкой нити длиной 1,5 м. Свободный конец нити D переброшен через неподвижный блок C. Если свободный конец D нити закрепить, а шар отклонить в сторону и затем отпустить, то маятник будет совершать колебания с частотой 0, соответствующей длине подвеса l0 = BC. Колебания в этом случае будут затухающими. Однако если после запуска маятника с небольшой амплитудой периодически с частотой в два раза большей, чем собственная частота колебаний маятника ( = 20), укорачивать и увеличивать на величину l длину подвеса маятника, то амплитуда колебаний маятника увеличивается; причем для наступления параметрического резонанса необходимо укорачивать длину подвеса, когда он проходит положение равновесия и увеличивать длину, когда он находится в крайних точках.

Рассмотрим возбуждение параметрических колебаний с энергетической точки зрения. Пусть в начальный момент времени маятник находится в положении 1 (рис. 48) и имеет потенциальную энергию Рис. W1 = mgH0. Через четверть периода колебаний маятник будет находиться в положении 2 и обладать кинетической энергией mvW2 =. На основании закона сохранения энергии W1 = W2 найдем скорость маятника при прохождении положения равновесия v0 = 2gH0. Когда маятник проходит положение 2 равновесия, укоротим длину маятника на величину l и переведем маятник в положение 3. Так как перемещение происходит перпендикулярно к скорости, то кинетическая энергия маmvятника не изменяется и равна W3 =. За счет этой энергии при переходе в точку 4 маятник поднимается относительно mvточки 3 на высоту H0 в соответствии с законом сохранения энергии W4 = W3, т.е. mgH0 =. Но так как длина маятника стала (l0 – l) и она меньше l0, то для поднятия на высоту H0 маятник должен отклониться от положения равновесия на угол > 0. В момент, когда маятник находиться в положении 4, увеличим длину маятника на величину l, т.е. восстановим первоначальную длину маятника l0. Так как в положении 5 угол > 0, то он имеет потенциальную энергию W5 = mgH, которая больше, чем W1. Таким образом, при соответствующем изменении длины маятника амплитуда будет возрастать.

Подсчитаем работу, совершаемую внешними силами, при укорачивании его длины на величину l, т.е. при переводе маятника из положения 2 в положение 3. При прохождении маятником положения равновесия сила натяжения нити Т должmvна уравновешиваться силой тяжести и центробежной силой T = mg +. Следовательно, работа внешних сил на участке 2l 3 равна mvA23 = Tl = mgl + l.

l При увеличении длины маятника на величину l при переводе его из положения 4 в положение 5 сила тяжести совершает работу A45 = -mg cos l.

Легко видеть, что A23 > A45, т.е. за счет периодического изменения длины маятника он получает энергию W = A23 + A45. Если эта энергия будет компенсировать потери энергии на трении, то колебания станут незатухающими.

Интересным примером параметрического возбуждения является устройство (рис. 49), в котором точка подвеса математического маятника постоянной длины l0 нити совершает гармонические колебания в вертикальном направлении. Для получения прямолинейных гармонических колебаний точки подвеса маятника его нить прикреплена к штоку, который совершает возвратно-поступательные вертикальные движения. Гармоническое колебание штока в вертикальном направлении, Рис. а следовательно, и точки подвеса маятника достигается благодаря преобразованию вращательного движения вала, приводимого в равномерное движение электродвигателем МПР-3 с редуктором, в возвратно-поступательное – с помощью кривошипного механизма. Скорость вращения кривошипа может плавно регулироваться путем изменения напряжения, подаваемого от выпрямителя ВС-24 на электродвигатель.

Перед проведением опытов определяют собственную частоту 0 колебаний маятника при неподвижной точке подвеса.

Устанавливают частоту вращения кривошипа такой, чтобы она была в два раза больше собственной частоты 0 колебаний маятника, т.е. = 20. Включив двигатель, запускают маятник при небольшом отклонении из крайнего положения в тот момент, когда шток опускается. Другими словами, фазовое соотношение между колебаниями точки подвеса и колебаниями маятника при запуске должно быть таким, чтобы при прохождении маятником положения равновесия шток поднимался вверх, а при прохождении крайних точек шток опускался. Если при данных фазовых соотношениях условие = строго выполняется, то амплитуда колебаний маятника после запуска возрастает, а угол максимального отклонения маятника при установлении параметрического резонанса более 45°. Если соотношение = 20 не выполняется, то после запуска маятника опытным путем подбирают необходимую частоту вращения кривошипа до наступления параметрического резонанса.



Легко видеть, что в данном случае изменяемым параметром системы является вес маятника. Действительно, при прохождении маятником положения равновесия вследствие ускоренного подъема точки подвеса, вес маятника увеличивается на величину ma1, где a1 – среднее ускорение подъема маятника. Так как уравнение колебаний точки подвеса имеет вид x = Rsin t, где R – радиус кривошипа, то среднее ускорение точки подвеса при подъеме маятника равно && a1 = x = -2Rsin t = -2Rsin 20t, где среднее значение синуса берется за время, равное половине периода колебаний кривошипа, или за время, равное четверти периода колебаний маятника. Аналогично, при прохождении маятником крайних точек вследствие ускоренного опускания штока вес маятника будет уменьшаться на величину ma2, где a2 = -R2sin t cos, – угол отклонения маятника от положения равновесия в крайних точках. Работа, совершаемая внешними силами при подъеме маятника, будет положительной, а при опускании – отрицательной, причем при подъеме маятника внешние силы будут совершать по абсолютной величине большую работу, чем та отрицательная работа, которая будет совершаться при опускании маятника в крайних точках. Следовательно, за каждый период колебаний маятника внешние силы совершают положительную работу, которая идет на увеличение энергии маятника. Если эта энергия будет превосходить потери энергии маятника, то амплитуда параметрических колебаний будет возрастать.

Различие между параметрическими и вынужденными колебаниями удобно объяснить на примере опыта Мельде, в котором с помощью камертона возбуждают два типа колебаний легкой нити. Более наглядно опыт Мельде можно реализовать, если вместо камертона воспользоваться электрическим вибратором, который собирается на основе электробритвы «Оксамит-80». Для этого у бритвы снимается двухножевой гребенчатый блок и к электроприводу с помощью хомутика прикрепляется стальная пластинка – вибратор длиной 4-5 см. Вместо нити удобно воспользоваться тонкой резиновой лентой длиной около 15 см и шириной 0,5 см. Резиновая лента одним концом крепится к вибратору, а другим – к стойке, которая может перемещаться микрометрическим винтом для создания необходимого статического натяжения ленты.

Для наблюдения вынужденных колебаний ленты электробритву располагают так, чтобы вибратор возбуждал в ней поперечные колебания. Расстояние от вибратора до закрепленного конца ленты подбирается таким, чтобы лента возбуждалась на втором обертоне. Так как частота колебаний вибратора достаточно велика (100 Гц), изображение ленты при обычном освещении расплывается и на ее длине укладывается две пучности мгновенных смещений. Так как поперечные воздействия вибратора раскачивают ленту, сообщая ей кинетическую энергию для покрытия потерь на трение, то частота вынужденных колебаний ленты совпадает с частотой вибратора. Действительно, если в этом опыте ленту наблюдать в стробоскопическом освещении, когда частота вспышек света равна частоте вибратора, то сам вибратор и лента видны в одном положении (рис.

50).

Для наблюдения параметрических колебаний ленты поворачивают вибратор вместе с электробритвой на угол 90° так, чтобы вибратор возбуждал в ленте продольные колебания. При этом расстояние до закрепленного конца ленты должно быть прежним. Периодическое изменение вибратором натяжения ленты возбуждает в ней интенсивные поперечные колебания.

При обычном освещении изображение ленты Рис. Рис. расплывается и на ее длине укладывается одна пучность мгновенного смещения. Это говорит о том, что частота параметрических колебаний ленты в два раза меньше частоты колебаний вибратора. Действительно, если ленту в этом опыте наблюдать в стробоскопическом освещении при частоте вспышек 100 Гц, то вибратор, как и прежде, виден в одном положении, а лента – в двух положениях (рис. 51).

14. СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Рассмотрим два математических маятника одинаковой длины l, связанные легкой пружиной с малой жесткостью k (рис.

52). При отсутствии указанной связи каждый маятник имеет собственную частоту колебаний. Если один из связанных маятников g 0 = (14.1) l привести в движение, то оба маятника совершают достаточно сложные колебания.

Рис. Рис. Рассмотрим более простой случай, когда один из связанных маятников закреплен неподвижно, а другой может совершать колебания (рис. 53). В положении равновесия связанных маятников пружина не деформирована. При смещении подвижного маятника от положения равновесия на величину x, на него действуют две восстанавливающие силы F1 = -mg tg и F2 = -kx.

x mg При малых углах отклонения tg sin =, получим F1 = - x. Следовательно, дифференциальное уравнение двиl l жения подвижного маятника имеет вид 2 d x d x mg m = F1 + F2 или m + x + kx = 0.

l dt2 dtРазделив последнее выражение на массу, получим d x g k + + x = 0. (14.2) l m dt Один из связанных маятников, когда второй закреплен, совершает гармоническое колебание с частотой g k = +. (14.3) l m Движение одного из связанных маятников, когда второй маятник закреплен неподвижно, называется парциальным движением, а частота называется парциальной частотой, причем > 0.

Существуют два способа приведения связанных маятников в колебания, при которых они имеют одинаковые частоты и равные амплитуды.

Первый способ: в начальный момент отклоняют в одном направлении оба маятника от положения равновесия на величину xm и отпускают (рис. 54). Так как во время движения пружина остается недеформированной, то частота колебаний маятников равна g 1 =, (14.4) l т.е. 1 = 0. Колебания маятников имеют одинаковые фазы, т.е. они являются синфазными, и одинаковые амплитуды xm.





Уравнения движения маятников имеют вид x1 = xm cos1t, x2 = xm cos2t.

Второй способ: отклоняют маятники от положения равновесия на одинаковую величину xm, но в противоположные стороны и отпускают. Другими словами, предоставляют маятникам возможность совершать колебания с разностью фаз, т.е. противофазно (рис. 55). При таких колебаниях связанных маятников пружина периодически деформируется на величину вдвое большую, чем при парциальных колебаниях.

Рис. Рис. Вследствие этого частоты связанных противофазных колебаний будут равны g 2k 2 = +, (14.5) l m т.е. 2 > 1, а уравнения имеют вид x1 = xm cos2t, x2 = -xm cos2t.

Рассмотренные два вида движения связанных маятников, при которых их частота и амплитуда одинаковы, называются нормальными колебаниями или модами движения. Частоты 1 и 2, соответствующие двум модам движения, называются нормальными частотами.

Число различных типов нормальных колебаний и соответствующих им частот равно числу степеней свободы колебательной системы. В связи с этим в изучаемой системе двух связанных маятников других типов нормальных колебаний, кроме двух рассмотренных выше, нет.

Покажем, что любое сложное колебание двух связанных маятников можно представить как суперпозицию их нормальных мод. Приведем в колебание один из связанных маятников ударом киянки. Отмечают, что с течением времени и второй маятник начинает постепенно раскачиваться. Амплитуда колебаний первого маятника при этом уменьшается, и он совсем останавливается, в то время как амплитуда колебаний второго достигает максимального значения. Потом колебания второго маятника угасают, а амплитуда колебаний первого достигает максимального значения. Далее процесс повторяется. Другими словами, амплитуда каждого маятника изменяется точно так же, как при биениях, возникающих при сложении двух колебаний близких частот. Такое поведение колебательной системы связанных маятников можно понять, обращаясь к нормальным модам. При возбуждении одного из связанных маятников ударом киянки, каждый маятник участвует в двух движениях с частотами 1 и 2, находящимися в определенной относительной фазе. Но поскольку нормальные частоты 1 и 2 отличаются друг от друга, то изменяется и относительная фаза нормальных колебаний. Когда для первого (второго) маятника нормальные колебания оказываются совпадающими по фазе, его амплитуда колебаний будет максимальной; для второго (первого) маятника в этот момент нормальные колебания имеют разность фаз равную и его амплитуда равна нулю.

Уравнения движения маятников при суперпозиции нормальных колебаний будут иметь вид x1 = xm cos 1t + xm cos 2t = 2xm cos t cos t ;

x2 = xm cos 1t - xm cos 2t = 2xm sin t sin t, где = (1 + 2) – средняя частота; = 2 - 1 – разность частот нормальных колебаний. Так как <<, то правые части уравнений движения можно рассматривать как уравнения синусоидальных колебаний с частотой и медленно изменяющейся амплитудой. Графики колебаний каждого маятника при сложных связанных колебаниях показаны на рис. 56.

Представляет интерес рассмотреть связанные колебания с энергетической точки зрения. При запуске первого связанного маятника толчком, вся энергия сосредоточена в нем. В результате связи через xt xt Рис. пружину энергия постепенно передается от первого маятника ко второму до тех пор, пока вся энергия не скопится во втором маятнике. Время T0, необходимое для перехода энергии от первого маятника ко второму и обратно, равно периоду биений 2 TT0. Время, необходимое для передачи энергии от одного маятника к другому, равно 0 = =. При этом 2 - 1 2 2 - значительно больше периода собственных колебаний.

Рассмотрим связанные колебания трех маятников (рис. 57). В положении равновесия пружины, соединяющие маятники, не должны а) б) в) Рис. быть деформированы. Для наблюдения первой моды движения связанных маятников (рис. 57, а) их одновременно отклоняют от положения равновесия и отпускают. Пружины при этом остаются недеформированными и частота первой моды двиg жения равна 1 =. Для наблюдения второй моды движения (рис. 57, б) крайние маятники отклоняют в разные стороны и l g k отпускают. Средний маятник колебаний при этом не совершает. Частота второй моды движения равна 2 = +, при этом l m 2 > 1. Для наблюдения третьей моды движения маятники приводят в колебания так, чтобы они совершали противофазные колебания (рис. 57, в). Нормальная частота противофазных колебаний 3 > 2. Другими словами, нормальные частоты связанных колебаний трех маятников удовлетворяют неравенству 3 > 2 > 1.

При сложных колебаниях трех связанных маятников, когда один из них возбуждается, например, ударом киянки, колебания передаются от первого маятника ко второму, а от второго к третьему и обратно. Однако, время передачи энергии от одного к другому маятнику значительно меньше, чем в случае двух связанных маятников, т.е. << 0. Время передачи энергии становится сравнимым с полупериодом колебаний маятников и даже меньше.

15. Собственные колебания в системе с большим числом степеней свободы Экспериментальное исследование собственных колебаний в системе с произвольным числом степеней свободы более наглядно можно провести на основе использования дискретной периодической структуры, представляющей собой систему связанных маятников (рис. 58).

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.