WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

в) Устанавливают груз М ведущего маятника на расстоянии l = l0 от оси подвеса. В этом случае частота внешней периодической силы будет совпадать с собственной частотой ведомого маятника. Из опыта следует, что амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения. При этом вынужденные колебания отстают по фазе от изменения внеш ней силы на.

Теоретический анализ вынужденных колебаний дадим на примере рассмотрения пружинного маятника, на который кроме силы упругости F1 = -kx и силы вязкого трения F2 = -rv действует еще внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону F = F0 sin t. (10.3) Дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид 2 d x dx d x r dx k Fm + r + kx = F0 sin t или + + x = sin t. (10.4) dt m dt m m dt2 dtr k Учитывая, что = и = 0, получим 2m m d x dx F+ 2 + 0x = sin t. (10.5) dt m dtРешение этого уравнения в установившемся режиме будет иметь вид x = xm sin(t - ), (10.6) где xm – амплитуда вынужденных колебаний; – частота вынужденных колебаний; – разность фаз между мгновенным смещением вынужденных колебаний и периодической силы (10.3).

Убедимся в правильности выбранного решения. Для этого продифференцируем выражение (10.6) по времени dx = xm cos(t - )= xm sint - + ;

dt d x = -2xm sin(t - ).

dtПодставляя это выражение в уравнение (10.5), получим F (0 - 2) xm sin(t - )+ 2xm sin t - + = sin t.

2 m Для анализа этого тождества воспользуемся векторной диаграммой (рис. 35). На основании теоремы Пифагора получим F02 2 2 2 F02 2 2 = (0 - 2) xm + 422xm или =[(0 - 2) + 422]xm.

m2 mОткуда найдем амплитуду вынужденных колебаний Fxm =, (10.7) 2 m (0 - 2) + а также фазу tg =. (10.8) 0 - Fm Рис. FИз формулы (10.7) следует, что при 0, xm0 = – это статическое отклонение точки от положения равновесия mпод действием амплитуды силы F0. При имеем xm 0. При = 0 имеет место резонанс Fxmp =.

2m На рис. 36 показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний xm от частоты вынуждающей силы. При увеличении добротности колебательной системы Q2 > Q1 резонанс проявляется более отчетливо и с большей амплитудой xmp.

На рис. 37 показана теоретическая зависимость фазы вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы, которая следует из формулы (10.8). Из рисунка следует, что при 0 фаза вынужденных колебаний = 0 ; при =, а при резонансе = 0 =, что подтверждается экспериментально.

хm хmр Q2 > QQ Рис. Рис. 11. МЕХАНИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ К автоколебательным системам относится широкий класс устройств различной физической природы: от простейших часовых механизмов до оптических квантовых генераторов (лазеров). Проблема состоит в том, чтобы получить незатухающие колебания. Свободные незатухающие колебания могут существовать лишь в системах, где отсутствуют потери энергии. Но в природе таких идеальных систем нет. Очевидно, для того чтобы колебания, например, математического маятника были незатухающими, его необходимо периодически подталкивать, т.е. сообщать ему некоторые порции энергии для компенсации потерь на трение. При этом направление толчков должно совпадать с направлением движения маятника в момент создания толчка. Для того, чтобы колебания маятника меньше отличались от гармонических, подталкивания необходимо производить один или два раза за период. Очевидно, чтобы колебания маятника были незатухающими, т.е.

имели постоянную амплитуду, необходимо, чтобы порции энергии, поступающие к маятнику за время, равное периоду колебаний, были равны потерям энергии за тот же промежуток времени.

Таким образом, для получения незатухающих колебаний необходимо выполнение двух условий: 1) порции энергии, поступающие от источника энергии к колебательной системе, полностью компенсировали потери энергии в ней за тот же промежуток времени (условие баланса амплитуд); 2) моменты поступления порций энергии в колебательную систему были согласованы с колебаниями самой системы (условие баланса фаз). Устройство, с помощью которого получают незатухающие колебания, характеризуется тем, что колебательная система с потерями, входящая в это устройство, «самостоятельно», т.е.

автоматически управляет процессом поступления энергии от источника к самой системе в узком смысле этого слова. Поэтому подобные устройства называют автоколебательными. Автоматическое поступление порций энергии, которые регламентированы по величине и согласованы с колебаниями самой системы, достигается использованием специальных регуляторов или клапанов.

Рассмотрим работу часового механизма. Его основными элементами являются: 1) колебательная система, обладающая потерями энергии – маятник; 2) источник энергии – груз, поднятый над землей, приводящий во вращение храповое колесо;

3) устройство, регулирующее поступление энергии от вращающегося храпового колеса к маятнику – анкер (рис. 38). Рычаги анкера жестко скреплены с маятником. Благодаря этому при колебаниях маятника поверхности a и b скосов анкера периодически входят в зацепление с зубьями храпового колеса, т.е. маятник самостоятельно управляет положением поверхностей a и b скосов анкера по отношению к зубьям колеса.

Рис. В первый полупериод, когда маятник движется влево (рис. 38, а), зуб храпового колеса давит с силой F1 перпендикулярно к поверхности a скоса анкера. Так как момент силы F1 относительно оси подвеса маятника отличается от нуля, то в течение первого полупериода колебаний зуб колеса, проскальзывая по поверхности a скоса анкера, поднимает его вверх и тем самым подталкивает маятник по ходу движения. Во второй полупериод, когда маятник движется вправо (рис. 38, б) в зацепление с зубом храпового колеса входит поверхность b анкера. Но эта поверхность является цилиндрической, ось которой совпадает с осью подвеса маятника. Так как линия действия силы F2, действующая со стороны зуба колеса на поверхность анкера, проходит через ось подвеса маятника, то ее вращающий момент относительно оси равен нулю. Следовательно, если отвлечься от трения между зубом храпового колеса и поверхностью b анкера, то маятник в течение второго полупериода колебаний движется свободно и энергия ему не сообщается, груз и храповое колесо при этом находятся в покое.



Таким образом, маятник, управляя анкером, один раз за период получает энергию, открывая и закрывая в нужный момент доступ энергии от храпового колеса, которое приводится в движение грузом.

Проведенный анализ работы часового механизма является приближенным. Во-первых, момент силы F1, действующей на маятник со стороны храпового колеса, в первый полупериод не является постоянным. Этот момент силы нелинейно зависит от угла поворота маятника, вследствие чего за каждый период колебаний маятника на него действует один кратковременный толчок в направлении движения. Во-вторых, при движении маятника во второй полупериод зуб храпового колеса, проскальзывая по поверхности b анкера, создает дополнительное трение, а следовательно и дополнительные потери по сравнению со свободными колебаниями.

Другим примером механической автоколебательной системы является маятник Фроуда, представляющий собой физический маятник, жестко скрепленный с кольцевой муфтой, свободно насаженной на равномерно вращающийся вал (рис. 39).

Между муфтой маятника и валом необходимо создать условия существования сухого трения. При неподвижном вале колебания маятника быстро затухают. Однако, если частота вращения вала равна собственной частоте 0 колебаний маятника, то его колебания становятся незатухающими, т.е. система становится автоколебательной. Дадим элементарное объяснение возникновения автоколебаний. Линейная скорость V0 точек поверхности вала относительно неподвижной системы отсчета постоянна. Муфта маятника совершает колебания вместе с ним, поэтому скорость любой точки поверхности муфты маятника относительно той же системы отсчета изменяется с течением времени по гармоническому закону: скорость v точек трущихся поверхностей муфты равна нулю при максимальном отклонении маятника от положения равновесия; скорость v максимальна при прохождении маятником положения равновесия. Мгновенная скорость муфты изменяется не только по величине, но и по направлению. В первый полупериод, когда маятник движется влево (рис. 40, а), а муфта вращается навстречу вращающемуся валу, относительная скорость трущихся поверхностей vотн = v0 - v вала и муфты имеет максимальное значение. Возможно, что vотн = 2v0 при = 0. Во второй полупериод, когда маятник движется вправо (рис. 40, б), а муфта вращается в том же направлении, что и вал, относительная скорость трущихся поверхностей vотн = v0 - v имеет минимальное значение. При = 0 возможно, что vотн = 0. Известно, что сила сухого трения нелинейно зависит от относительной скорости трущихся поверхностей, причем чем меньше vотн, тем больше сила сухого трения и наоборот. Следовательно, в первый полупериод со стороны вращающегося вала на муфту маятника действует сила сухого трения Fт, но она минимальна, так как vотн максимальна. Во второй полупериод со стороны вращающегося вала на муфту маятника действует максимальная сила сухого трения Fт, а точнее сила сухого трения покоя. При этом Fт > Fт.

Рис. Таким образом за каждый период колебаний маятника на короткое время между валом и муфтой возникает сухое трение покоя, которое больше силы трения во все другие моменты времени рассматриваемого периода колебаний. Это приводит к тому, что если за первую половину периода колебаний, когда муфта вращается в направлении, противоположном направлению вращающегося вала (рис. 40, а), сила трения минимальна, она тормозит движение маятника. За вторую половину периода, когда муфта вращается в том же направлении, что и вал (рис. 40, б), максимальная сила трения, действующая на муфту со стороны вращающегося вала, подталкивает маятник, сообщая ему максимально возможную кинетическую энергию, которая полностью компенсирует потери энергии за первый полупериод. Другими словами, со стороны вращающегося вала, как источника энергии, на муфту маятника за каждый период колебаний действует один толчок в направлении его движения, что и позволяет поддерживать колебания маятника незатухающими. Колебания маятника, работающего в автоколебательном режиме вследствие воздействия на него кратковременных толчков, не являются гармоническими. В отличие от фазовой диаграммы незатухающих колебаний, на фазовой диаграмме автоколебаний маятника Фроуда (рис. 41) имеется характерный & изгиб. Толчок, действующий со стороны вращающегося вала, скачком увеличивает мгновенную скорость x маятника, а, следовательно, и его кинетическую энергию.

Если обозначить угол отклонения маятника от вершины, момент инерции маятника J, массу маятника m и его приведенную длину l, то уравнение движения физического маятника запишется в виде && J + mgl sin = M, где M – момент силы трения. Для малых углов (sin ) уравнение имеет вид && J + mgl = M. (11.1) Момент силы трения является функцией скорости взаимного движения трущихся поверхностей, т.е. функцией угловой скорости вращения муфты маятника относительно вала & M = f ( - ).





Рис. & В случае малого отличия скоростей вала и муфты эту функцию в окрестности = можно записать в виде & & M = - f (0)( - ) - f (0) ( - ). (11.2) & - В данной формуле учтено, что сила сухого трения направлена против скорости. Для сухого трения уравнение (11.1) с учетом (11.2) принимает вид & f (0) 2 f (0)( - ) f (0) && & + + 0 = - +. (11.3) & J J - J Из-за падающей характеристики (рис. 42) зависимости сил сухого трения от скорости (f (0)< 0) левая часть уравнения (11.3) показывает возрастание амплитуды колебаний со временем, т.е. отрицательный знак коэффициента при скорости в уравнении (11.3) означает подачу энергии в колебательную систему из внешнего источника. Так было бы, если бы правая часть уравнения была равна нулю. Но в правой части уравнения (11.3) стоит не равный нулю момент сил трения, состоящий из двух слагаемых, постоянных по величине, но по знаку постоянно только второе слагаемое, а знак первого определяется соотношением величин и знаков скоростей вала и муфты.

Одновременное поступление в систему энергии из внешнего источника и ее рассеяние вследствие трения создают возможность осуществления в системе стационарных (незатухающих) колебаний в случае уравновешенности поступления и потерь энергии. Рассмотрим условие реализации этой возможности.

V Последним слагаемым в правой части уравнения (11.3) можно пренебречь, так как постоянный момент сил имеет отношение только к положению равновесия, около которого возможны колебания, но не к самим колебаниям. Стационарный колебательный режим осуществляется, если среднее за период поступление энергии в колебательную систему равно энергии потерь, т.е. импульс момента сил сбалансирован Рис. 42 T T & - ) - & Mdt = - f (0)( f (0) dt = 0.

& - 0 (11.4) Если подынтегральное выражение в течение всего периода больше нуля, то равенство (11.4) невозможно и, следова& тельно, невозможны автоколебания при <. Физически это означает, что при больших угловых скоростях вала мы не попали на падающий участок (рис. 42) характеристики сил трения. В этом случае колебания затухают и положение равнове& && сия маятника легко найти из уравнения (11.3), приняв = 0, = f (0)+ f (0) 0 =.

JСледовательно, необходимым условием осуществления автоколебаний маятника Фроуда является малая угловая скорость вращения вала, т.е.

&.

12. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Особый важный случай незатухающих колебаний представляют разрывные колебания, которые часто называют релаксационными. Механическим примером является полый открытый сверху цилиндр B (рис. 43), способный вращаться вокруг горизонтальной оси OO.

T h B hm o o O O 1 t Рис. 43 Рис. У пустого цилиндра центр тяжести лежит ниже оси OO, для чего ко дну цилиндра прикрепляют небольшой груз, создавая тем самым устойчивое положение равновесия. Когда же уровень жидкости в цилиндре повышается вследствие наполнения его водой через трубку Т, центр тяжести повышается, равновесие становится неустойчивым и цилиндр опрокидывается. Быстро опрокидываясь, цилиндр возвращается в исходное положение. После этого процесс повторяется. Периодичность релаксационных колебаний зависит от емкости цилиндра и скорости подачи воды. Уровень жидкости в сосуде изменяется так, что его график имеет характерную пилообразную форму (рис. 44): 1 – время заполнения цилиндра водой, (2 - 1) – время опорожнения цилиндра.

Другим примером механических релаксационных колебаний является так называемый сосуд Тантала (рис. 45). Пока уровень жидкости в сосуде мал (рис. 45, а), сифон не заполнен жидкостью, и уровень жидкости h повышается по линейному закону. Когда же уровень жидкости hm h hа) в) б) Рис. достигает максимальной высоты hm (рис. 45, б), сифон начинает действовать и уровень жидкости быстро падает до значения h0 (рис. 45, в). После этого процесс повторяется.

13. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Под параметрическим возбуждением понимают такой вид возбуждения колебаний, когда внешняя периодическая сила действует не на колебательную систему, а только изменяет периодически один из ее параметров. Так, параметрами математического маятника являются его длина l и ускорение свободного падения g, так как эти величины определяют период его колебаний. Следовательно, возможны два основных способа возбуждения параметрических колебаний математического маятника: путем изменения его длины или путем изменения веса маятника. Возможно и смешанное возбуждение, при котором оба параметра изменяются одновременно. Примером параметрических колебаний является раскачивание качелей.

1. Простейшая установка для возбуждения параметрических колебаний показана на рис. 46. Маятник, который по своим параметрам близок к математическому, представляет собой стальной шар, подвешенный на легкой нити. Под маятником установлен электромагнит, создающий сильное магнитное поле. Вследствие того, что параметрический резонанс наступает при наличии начальных колебаний, перед проведением опыта необходимо привести маятник в колебание с малой амплитудой. После этого при полностью отклоненном маятнике от положения равновесия с помощью ключа S включают ток в обмотке электромагнита на время, равное четверти периода колебаний, а при прохождении им положения равновесия ток в обмотке отключают на то же самое время. Другими словами, при приближении маятника к положению равновесия вследствие действия магнитного поля вес маятника увеличивается, а при удалении маятника от положения равновесия этого не происходит – вес остается прежним.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.