WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

xm P Рис. Проекция вектора xm на опорную линию OP равна x0 = xm cos 0 = x, t =т.е. равна мгновенному смещению точки от положения равновесия в начальный момент времени. Пусть вектор xm вращается против часовой стрелки с угловой скоростью. В произвольный момент времени t вектор xm займет положение, при котором его проекция на опорную линию OP равна x = xm cos(t + 0), т.е. мы получили уравнение колебаний (7.1). Следовательно, при вращении вектора xm, равного амплитуде колебаний с частотой, его проекция на опорную линию изменится по гармоническому закону. Представление колебания в виде вращающегося вектора, проекция которого на опорную линию изменяется по гармоническому закону и составляет суть метода векторных диаграмм.

8. Сложение двух гармонических колебаний, направленных по одной прямой Часто материальная точка участвует не в одном, а в нескольких гармонических колебаниях. Пусть имеется маятник m на пружине жесткостью k, установленный на опоре AB, которая сама может совершать колебания в том же направлении благодаря наличию двух пружин (рис. 24). Относительно неподвижной лабораторной системы отсчета маятник участвует в двух колебательных вертикальных движениях: относительно подставки AB и вместе с подставкой. Результирующее движение шарика будет складываться из колебаний подставки AB и колебаний шарика относительно последней.

Рассмотрим частный случай сложения однонаправленных колебаний одинаковых частот, т.е. колебания маятника и подставки имеют равные частоты, но произвольные амплитуды и начальные фазы x1 = xm1 cos(0t + 1);

m k x2 = xm2 cos(0t + 2). (8.1) В A Так как колебания совершаются вдоль одной прямой, то мгновенное смещение маятника от положения равновесия относительно неподвижной системы отсчета Рис. Рис. равно x = x1 + x2. Предположим, что результирующее колебание маятника имеет вид x = x1 + x2 = xm cos(t + ), где xm – амплитуда результирующего колебания; – его круговая частота; – начальная фаза. Для нахождения этих величин воспользуемся методом векторных диаграмм (рис. 25). Построим векторную диаграмму двух колебаний (8.1) для момента времени t = 0.

Проекции векторов xm1 и xm2 на опорную линию определяют смещение маятника x01 и x02 при t = 0. Так как векторы xm1 и xm2 вращаются с одинаковой угловой скоростью 0, то угол (2 - 1) между ними остается неизменным. Поэтому в любой момент времени результирующее колебание может быть изображено вектором xm = xm1 + xm2, вращающимся с той же частотой = 0. Проекция этого вектора на опорную линию равна результирующему смещению маятника в начальный момент времени x0 = x01 + x02.

Учитывая, что все три вектора вращаются с одинаковой скоростью, легко понять, что проекции этих векторов на опорную линию связаны соотношением x = x1 + x2.

Следовательно, результирующее движение маятника описывается уравнением x = xm cos(t + 0).

С помощью векторной диаграммы без использования громоздких тригонометрических преобразований легко найти амплитуду результирующего колебания 2 2 xm = xm1 + xm2 + 2xm1 xm2 cos(2 - 1). (8.2) Векторная диаграмма позволит определить и начальную фазу результирующего колебания xm1 sin 1 + xm2 sin LN + NM tg = =. (8.3) x01 + x02 xm1 cos 1 + xm2 cos Из выражения (8.2) следует, что результирующая амплитуда зависит не только от амплитуд складываемых колебаний, но и от их разности начальных фаз (2 - 1). Колебания одинаковых частот, разность начальных фаз которых постоянна или равна нулю, называются когерентными. Исследуем, как зависит амплитуда результирующего колебания от разности фаз.

1. Пусть разность фаз складываемых колебаний равна четному числу :

2 - 1 = 2n, (8.4) где n = 0, 1, 2, 3, …, т.е. складываемые колебания синфазные. Для этого необходимо пружинный маятник (рис. 24) в начальный момент сместить от положения равновесия по отношению к подставке вниз на величину xm1 и сместить саму подставку относительно неподвижной системы координат в том же направлении на величину xm2, а затем отпустить. Учитывая выражение (8.4), получим cos(2 - 1) = 1. Следовательно, согласно формуле (8.2) найдем амплитуду результирующего колебания ника 2 2 2 xm = xm1 + xm2 + 2xm1xm2 = (xm1 + xm2) или xm = xm1 + xm2. (8.5) Таким образом, если разность фаз двух складываемых когерентных однонаправленных колебаний равна четному числу, то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. На рис. 26 приведены графики колебаний x1 и x2, а также временная диаграмма результирующего колебания х. На рис. 27 приведена векторная диаграмма сложения двух когерентных колебаний при 2 - 1 = 2n.

t xxx Рис. P Рис. 2. Пусть разность фаз двух когерентных колебаний равна нечетному числу :

2 - 1 = (2n -1), (8.6) где n = 1, 2, 3, …, т.е. складываемые колебания находятся в противофазе. Для этого необходимо пружинный маятник (рис.

24) в начальный момент сместить вниз по отношению к подставке на величину xm1, а саму подставку сместить вверх относительно неподвижной системы координат на величину xm2 и отпустить. Учитывая выражение (8.6), получим cos(2 - 1) = -1. Следовательно, согласно формуле (8.2) найдем амплитуду результирующего колебания маятника относительно неподвижной системы отсчета 2 2 xm = xm1 + xm2 - 2xm1 xm2 = xm1 - xm2 или xm = xm1 - xm2. (8.7) В частном случае при xm1 = xm2 имеем xm = 0. Таким образом, если разность фаз двух когерентных однонаправленных колебаний равна нечетному числу, то амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний. На рис. 28 показаны временные диаграммы колебаний x1, x2 и х.



На рис. 29 показана векторная диаграмма всех трех колебаний.

Таким образом, в зависимости от разности фаз двух когерентных колебаний амплитуда результирующего колебания может быть заключена в пределах xm1 - xm2 xm xm1 + xm2.

частном случае при xm1 = xm2 имеем 0 xm 2xm1. Учитывая, что энергии когерентных колебаний пропорциональны 2 оответствующим амплитудам: W1 ~ xm1, W2 ~ xm2, на основании формулы (8.2) найдем энергию результирующего колебания W = W1 +W2 + 2 W1W2 cos(2 - 1), (8.8) которая также зависит от разности начальных фаз складываемых колебаний.

а) Пусть 2 - 1 = 2n, тогда cos(2 - 1)= 1. Следовательно, энергия результирующего колебания W = W1 +W2 + 2 W1W2 будет больше суммы энергий складываемых колебаний, т.е. W > W1 +W2.

б) Пусть 2 - 1 = (2n -1), тогда cos(2 - 1)= -1. Следовательно, энергия результирующего колебания W = W1 +W2 - 2 W1W2 будет меньше суммы энергий складываемых колебаний, т.е. W < W1 +W2.

Рис. Рис. Рассмотрим случай сложения двух колебаний, направленных по одной прямой, но незначительно отличающихся по частоте. Такие колебания будут некогерентными. Колебания шарика (см. рис. 24) относительно подставки совершаются с частотой, а колебания подставки с частотой ( + ):

х1 = хm1 cos t;

x2 = xm2 cos( + )t. (8.9) Для простоты будем считать, что xm1 = xm2 = xm. Дадим анализ сложения указанных колебаний на основе векторной диаграммы (рис. 30). Пусть в начальный момент времени векторы xm1 и xm2 совпадают по фазе и амплитуда результирующего бания максимальна и равна xр = xm1 + xm2 = 2xm.

Вектор xр при t = 0 совпадает с опорной линией. В силу того, что частоты складываемых колебаний различны, то векторы xm1 и xm2 рассматриваемых колебаний на векторной диаграмме вращаются с различной скоростью, поэтому результирующая амплитуда xр с течением времени будет уменьшаться. Наступит такой момент, когда разность фаз между колебаниями будет равна = и результирующая амплитуда будет равна xр = xm1 - xm2 = 0. Далее разность фаз между рассматриваемыми колебаниями будет возрастать до = 2 и амплитуда результирующего колебания снова будет равна xр0 = 2xm0. Далее изменение результирующей амплитуды будет повторяться. Такое периодическое изменение амплитуды результирующего колебания при сложении колебаний с близкими частотами называются биениями.

Временную диаграмму биений можно получить теоретически сложив уравнения (8.9) Рис. x = x1 + x2 = 2xm cos t cos t.

2x Это уравнение можно рассматривать как колебание с частотой, у которого амплитуда cos t периодически m изменяется с течением времени (рис. 31). Период биений равен Tб =.

Согласно векторной диаграмме (см. рис. 24) результирующая амплитуда при сложении колебаний с близкими частотами может быть найден аналитически в любой момент времени по формуле (8.2), а энергия по формуле (8.8). Однако, так как разность фаз = 2 - 1 между складываемыми колебаниями периодически изменяется, то и энергия результирующего колебания периодически изменяется с частотой =. Для нахождения амплитуды результирующего колебания двух некоTб герентных колебаний усредним значение косинуса за достаточно большой промежуток времени: cos(2 - 1) = 0. На основании (8.8) найдем W = W1 +W2 + 2 W1W2 cos(2 - 1) = W1 +W2.

Следовательно, энергия результирующего колебания при сложении двух некогерентных колебаний за достаточно большой промежуток времени равна сумме энергий складываемых колебаний.

Рис. Рис. Рассмотрим еще один случай сложения однонаправленных колебаний с кратными частотами, например 1 =, 2 = 3. На рис. 32 показаны временные диаграммы этих колебаний и построение результирующего колебания x = x1 + x2 = xm1 sin t + xm2 sin 3t.

Легко видеть, что при сложении гармонических колебаний с кратными частотами образуется негармоническое, но периодическое колебание. Справедлива обратная теорема: любое негармоническое периодическое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний с кратными частотами (теорема Фурье).

9. Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний Существует ряд явлений, при которых тело может участвовать одновременно в двух колебаниях, совершающихся по взаимно перпендикулярным направлениям. Например, пусть математический маятник (массивный шар, подвешенный на нити) совершает колебания вдоль оси x. Если во время движения шара ударить его киянкой в направлении, перпендикулярном к оси x, то в зависимости от момента удара и его величины маятник в плоскости x0y может описывать прямую линию, эллипс или окружность.

Рассмотрим сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты 1 = 2 =, но различных амплитуд xm и ym. Допустим, что рассматриваемые колебания имеют разность начальных фаз, т.е.

x = xm sin t ; (9.1) y = ym sin(t + ). (9.2) Для нахождения траектории движения маятника в плоскости xoy исключим из данных уравнений время t. Из выражения (9.2) найдем y = sin t cos + cost sin. (9.3) ym Из формулы (9.1) найдем x xsin t = ; cost = 1-.

xm xm Подставив эти величины в выражение (9.3), получим y x x2 y x x= cos + 1- sin или - cos = 1- sin.

2 ym xm ym xm xm xm Возведя данное выражение в квадрат, найдем уравнение траектории x2 xy y- 2 cos + = sin2. (9.4) 2 xm ym xm ym Данное выражение является неканоническим уравнением эллипса. При этом главные полуоси эллипса не совпадают с осями координат. Рассмотрим некоторые частные случаи сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковых частот.

а) Пусть разность фаз складываемых колебаний = 0. Тогда из уравнения (9.4) получим x y ym - = 0 или y = x, xm ym xm т.е. траектория результирующего движения является прямой линией (рис. 33, а). При этом угол наклона траектории к оси x равен ym tg =.





xm 4 а) б) в) = д) г) Рис. Если ym = xm, то = 45o. Чтобы наблюдать данный случай экспериментально, необходимо шар математического маятника, движущегося по оси x ударить киянкой в направлении, перпендикулярном скорости, когда он проходит положение равновесия.

б) Пусть разность фаз взаимно перпендикулярных колебаний =. Из уравнения (9.4) получим x2 xy y2 - 2 + =.

2 xm xm ym ym Следовательно, уравнение движения маятника представляет собой эллипс (рис. 33, б), полуоси которого не совпадают с осями координат. Для экспериментального наблюдения данного явления необходимо осуществить удар перпендикулярно к его движению в момент, когда смещение x маятника удовлетворяет условию 0 < x < xm.

в) Допустим, что =. Из выражения (9.4) получим x2 y+ = 1, 2 xm ym т.е. уравнение траектории представляет собой эллипс, главные полуоси которого совпадают с осями координат и равны соответственно xm и ym (рис. 33, в). Если будет справедливо дополнительное условие равенства амплитуд складываемых колебаний xm = ym, то траектория будет представлять собой окружность. Для наблюдения этого явления опытным путем необходимо удар осуществить в момент, когда маятник имеет максимальное смещение от положения равновесия.

г) При = уравнение траектории имеет вид (рис. 33, г) x2 xy y2 + 2 + =.

2 xm xm ym ym д) При = из (9.4) получим x y ym + = 0 или y = - x.

xm ym xm ym Траектория движения вырождается в прямую линию (рис. 33, д), причем tg = -. В частном случае при xm = ym xm 5 = 135°. Можно показать, что при = траектория будет такой же, что и при =, но направление обхода будет проти4 воположным. При = траектория аналогична той, что и при =. При = 2 траектория аналогична той, что и при 2 = 0. Далее все будет повторяться. Таким образом, при сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковых частот образуется результирующее движение по эллипсу, который может вырождаться в окружность или прямую линию.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот получаются более сложные траектории результирующего движения, которые называют фигурами Лиссажу. Пусть имеются два колебания с частотами и 2 :

x = xm cos 2t ; (9.5) y = ym cos t. (9.6) 1+ cos 2t Последнее выражение можно представить в виде y = ym, откуда найдем 2 2y2 - ym = ym cos 2t. (9.7) Разделив (9.7) на (9.5), получим:

2 2y2 - ym ym = или 2xm y2 - ym x2 = ym xm.

x xm Это – уравнение параболы.

10. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Под вынужденными колебаниями понимают колебания, возникающие в какой-либо системе под действием переменной внешней силы. Это, например, могут быть колебания механической конструкции под действием переменной нагрузки, колебания мембраны телефона под действием переменного магнитного поля и т.д.

Для экспериментального исследования вынужденных колебаний можно использовать установку (рис. 34), состоящую их двух маятников:

ll M Рис. ведущего с массивным грузом М и ведомого, выполненного в виде легкого стержня длиной l0. Маятники вблизи точек подвеса соединены легкой пружиной с малой жесткостью. Маятник с массивным грузом имеет достаточно большую добротность, и время его затухания составляет несколько минут. Ведомый маятник обладает малой добротностью, и время его затухания составляет несколько секунд. Ведомый маятник имеет постоянную собственную частоту колебаний, которая определяется формулой (4.4) 3g 0 =. (10.1) 2lЧастота же колебаний ведущего маятника может изменяться благодаря перемещению груза, т.е. изменению его длины l.

Если ведущему маятнику предоставить совершать свободные колебания, то благодаря слабой связи ведомый маятник совершает вынужденные колебания под действием внешней периодической силы. Следует отметить, что в начальный момент времени вынужденные колебания происходят с периодически изменяющейся амплитудой, а затем становятся устойчивыми и амплитуда остается неизменной. Объясняется это тем, что в начальный момент времени колебания ведомого маятника складываются из собственных колебаний частоты 0 и вынужденных колебаний с частотой g =. (10.2) l Если разность этих частот невелика, то результирующее движение ведомого маятника в начальный момент представляет собой биения. Но так как собственные колебания ведомого маятника достаточно быстро затухают, то в последующем вынужденные колебания становятся устойчивыми и имеют постоянную амплитуду.

Исследуем, как зависит амплитуда вынужденных установившихся колебаний от частоты вынуждающей силы.

а) Устанавливают груз М ведущего маятника на максимальном расстоянии l от оси подвеса, т.е. l l0. Согласно формулам (10.1) и (10.2) частота вынуждающей силы будет меньше собственной частоты колебаний ведомого маятника ( < 0). Из опыта следует, что амплитуда вынужденных колебаний ведомого маятника невелика и составит не более 20°.

При этом фазы колебаний маятников совпадают, т.е. фаза вынужденных колебаний совпадает по фазе с вынуждающей силой.

б) Устанавливают груз М ведущего маятника на минимальном расстоянии от оси подвеса. Так как l << l0, то частота внешней периодической силы будет больше собственной частоты колебаний ведомого маятника ( > 0). Наблюдая за установившимися колебаниями маятника, отмечают, что их амплитуда невелика, но маятники совершают колебания в противофазе. Следовательно, вынужденные колебания отстают по фазе от изменения внешней силы на.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.