WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |

На рис. 8 приведены графики для x, Wк, Wп, W.

4. Собственные колебания физического маятника и других колебательных систем Физическим маятником называется любое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси О, не проходящей через центр тяжести С тела (рис. 9).

x Расстояние от центра масс маятника С до оси О обозначим через l. Отклонение маятника от по h О ложения равновесия будем характеризовать углом. В произвольный момент времени на маятник массой m действует момент силы l M = -mgh = -mgl sin, который стремится возвратить маятник в положение равновесия. Закон динамики для вращательного С x d движения маятника имеет вид M = J0, где = – угловое ускорение, dt J0 – момент инерции маятника относительно оси подвеса О. Следовательно, дифференциальное mg уравнение для колебаний физического маятника имеет вид d Рис. J0 = -mgl sin. (4.1) dtДля малых углов можно считать, что sin =. После простых преобразований легко получить d mgl + = 0.

JdtПри малых углах отклонения маятника от положения равновесия можно считать, что угол пропорционален смещению x центра тяжести от положения равновесия. Вследствие этого можно записать d x mgl + x = 0.

JdtРешением данного уравнения является гармоническая функция x = xm sin(0t + 0), где круговая частота колебаний физического маятника определяется выражением mgl 0 =. (4.2) JМатематический маятник (рис. 10) можно рассматривать как предельный случай физического маятника. Если массивный шарик O O l lC C х m mg Рис. Рис. представить материальной точкой, которая находится на расстоянии l от оси подвеса О, то его момент инерции относительно О равен J0 = ml2.

g Подставив (4.2) в (4.1) получим 0 =, а для периода колебаний l l T = 2. (4.3) g В качестве примера рассмотрим физический маятник, представляющий собой стержень длиной l0, способный совершать колебания вокруг оси О, проходящей через один из его концов (рис. 11).

l0 Учитывая, что расстояние от оси подвеса до центра масс данного маятника l =, а его момент инерции J0 = ml0 на 2 основании (4.1) получим 3g 2l 0 = и T = 2. (4.4) 2l0 3g Из изложенного следует, что период и частота гармонических колебаний не зависят от начальных условий, а определяются параметрами колебательной системы.

Рассмотрим несколько примеров механических колебательных систем.

1. Исследуем движение шарика массы m и радиуса, катящегося без скольжения по желобу радиуса R +, причем R >> (рис. 12). При подъеме на высоту h шарик приобретает потенциальную энергию Wп = mgh.

О R Рис. m С хm h В A При малом смещении шарика от положения равновесия можно считать, что амплитуда колебаний равна xm = CB. Из треугольника OCB найдем xm + (R - h)2 = R2.

Откуда получим xm = 2Rh - h2 2Rh, xm т.е. h =. Поэтому 2R 1 xm Wп = mg. (4.5) 2 R Кинетическая энергия шарика при прохождении положения равновесия равна 1 Wк = mv2 + J2. (4.6) m 2 Линейная скорость шарика vm = xm =, (4.7) где – частота колебаний шарика; – угловая скорость вращения шарика вокруг его оси.

1 1 2xm Wк = m2xm + J.

2 V0 VУчитывая, что момент инерции шарика J = m2, окончательно получим x +р –р Wк = m2xm. (4.8) 2x На основании закона сохранения энергии: Wп = Wк. Найдем частоту колебаний шарика 5g = = 0,840, (4.9) Рис. 7R где 0 – частота колебаний маятника, который получится, если подвесить шарик на нити длиной R и убрать желобок.

2. Рассмотрим колебания столба жидкости, заполняющей изогнутую трубку, заканчивающуюся большими резервуарами объема V0 (рис. 13), содержащими идеальный газ при давлении P0. При смещении жидкости из положения равновесия, указанного пунктиром OO, возникает восстанавливающая сила Fx = -2SP - 2gxS, где S – сечение трубки; – плотность жидкости.

Так как колебания довольно медленные, то процесс сжатия газа можно считать изотермическим P PPV = const ; P = - V Sx.

V VСледовательно, получим P0S Fx = -2Sx + g = -kx, (4.10) V где P0S k = 2S + g. (4.11) V Восстанавливающая сила действует на массу жидкости m = lS, где l – длина столба жидкости (массой газа можно пренебречь). Получим следующее уравнение движения 2 d x d x k lS = -kx или + x = 0. (4.12) glS dt2 dtЧастота колебаний жидкости будет равна P0S 2 + g V =. (4.13) l При = 1000 кг/м3; P0 = 105 Па; S = 510-4 м2; V0 = 10-3 м3; l = 1 м, получим: = 11 с–1. При открытых концах трубки частота уменьшается до величины 2g = = 4,5 с–1.

l 3. Лодка, плавающая в спокойной воде, также представляет колебательную систему (рис. 14). В состоянии равновесия центр тяжести лодки лежит в точке С, точка приложения силы Архимеда – точка А. При случайном наклоне лодки ее центр тяжести С сохраняется, но центр приложения силы Архимеда смещается в точку А1. Возникающая пара сил создает вращающий момент M = -FAl sin, где l = BC. Данный момент сил стремится вернуть лодку в положение равновесия, если метацентр В лежит выше центра тяжести лодки. Учитывая, что FA = mg, получим M = -mgl sin. (4.14) Уравнение движения лодки d J = -mgl sin.

dtПри малых углах, найдем d mgl + = 0. (4.15) J dtВ C FA Amg Рис. Рис. Следовательно, бортовая качка лодки происходит с частотой mgl =, (4.16) J где J – момент инерции лодки относительно ее продольной оси. Если же наклоняется продольная ось лодки, то возникает килевая качка, которая анализируется аналогичным образом. Изменение объема погруженной части лодки создает дополнительную вертикальную силу и вертикальную качку.



4. В качестве еще одного примера гармонических колебаний рассмотрим так называемые крутильные или торсионные колебания. Их можно получить, используя спиральную пружину, соединенную одним концом с осью массивного диска, а другим – с неподвижной опорой (рис. 15). При повороте диска вокруг вертикальной оси на угол закручивающая пружина создает вращающий момент, который возвращает диск в положение равновесия. Но, продолжая вращаться, массивный диск закручивает пружину в обратном направлении. Далее процесс повторяется. При достаточно малых углах закручивания пружины можно считать, что момент силы упругости пропорционален углу поворота диска M = -D, (4.17) где D – постоянная кручения пружины.

Уравнение движения маятника можно получить на основе закона динамики вращательного движения, согласно которому J = M, (4.18) d где J – момент инерции диска относительно оси вращения; – угловое ускорение диска. Так как =, то с учетом форdtмул (4.17) и (4.18) получим дифференциальное уравнение движения крутильного маятника d J + D = 0, dtили d D + = 0. (4.19) J dtПолученное уравнение аналогично уравнению (4.1) для физического маятника. Следовательно, крутильные колебания являются гармоническими. Решение уравнения (4.19) может быть записано в виде = m cos(0t + 0), (4.20) D где 0 = – круговая частота собственных крутильных колебаний.

J 5. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Примером негармонических механических колебаний является периодически повторяющееся падение мяча с некоторой высоты на горизонтальную поверхность, при котором удар является абсолютно упругим. При этом падение мяча на плоскость является ускоренным, а движение вверх – равнозамедленным, причем ускорение равно g – ускорению свободного падения.

На рис. 16 показаны временные диаграммы смещения, скорости и ускорения при негармонических колебаниях мяча. За начало координат принимается точка, соответствующая положению мяча в верхней точке, ось x целесообразно направить вниз по ходу движения мяча в начальный момент времени.

Как видно из рис. 16, а, при движении мяча вниз или вверх его координата изменяется пропорционально квадрату вре1 gtмени x = gt2 или х = vmt -, что говорит о негармоническом характере данных колебаний. Из рис. 16, б следует, что 2 при колебаниях мяча его мгновенная скорость изменяется прямо пропорционально времени: при движении вниз она возрастает по абсолютной величине v = gt, а при движении вверх убывает v = vm - gt. Достигая нижней точки, мяч приобретает максимальную скорость vm. Вследствие изменения направления движения при ударе скорость скачком изменяется от vm до -vm.

В выбранной системе отсчета ускорение имеет отрицательное значение при движении мяча. При переходе мячом нижней точки, вследствие изменения скорости от -vm до vm за конечный промежуток времени t, ускорение становитvm - (- vm ) 2vm ся положительной величиной: a = = > 0. Эти кратковременные импульсы ускорения отмечены на рис. 16, t t в.

Другим примером негармонических колебаний является известный маятник Максвелла (рис. 17), который представляет собой массивный маховик, подвешенный с помощью нитей за ось OO радиуса R. Рассмотрим кратко теорию вопроса.

В произвольный момент времени сила тяжести создает вращающий момент относительно точки С равный M = mgR рис. 18). Согласно закону динамики для углового ускорения маховика имеем Рис. R С О m O O mg Рис. 17 Рис. M mgR = =, JC JC где JC – момент инерции маховика относительно точки С.

По теореме Штейнера имеем JC = JO + mR2, где JO – момент инерции маховика относительно оси, проходящей через его центр масс О.

Следовательно, mgR g = =.

JO + mR2 R 1 + JO mR a Угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением точки С выражением =. Приравнивая последние два выR ражения, найдем g a =.

JO 1+ mRТаким образом, колебания маятника Максвелла являются негармоническими, так как они происходят при постоянном ускорении, как и при упругих периодических ударах мяча о поверхность. Отличие состоит лишь в величине ускорения.

6. Свободные колебания при наличии вязкого трения Все реальные колебательные механические системы являются диссипативными, т.е. полная энергия такой системы постепенно расходуется, например, против сил трения. Поэтому реальные колебания не могут продолжаться бесконечно долго.

Допустим, что на пружинный маятник кроме восстанавливающей силы F1 = -kx действует также линейная сила вязкого dx трения F2 = -rv = -r, которая зависит от мгновенной скорости v материальной точки, совершающей колебания, где r – dt коэффициент сопротивления. Знак минус в последнем выражении обусловлен тем, что векторы F2 и v имеют противоположные направления.

Уравнение динамики имеет вид:

2 d x d x dx m = F1 + F2 или m = -r - kx.

dt dt2 dtПосле элементарных преобразований получим дифференциальное уравнение второго порядка d x r dx k + + x = 0.

m dt m dtВведем обозначения:

r r = 2 или =, (6.1) m 2m k где – принято называть коэффициентом затухания; = 0.

m Заметим, что 0 представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания маятника при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Физический смысл величины выясним позже. С учетом введенных обозначений дифференциальное уравнение принимает вид d x dx + 2 + 0x = 0. (6.2) dt dtДанное уравнение имеет различные решения в зависимости от величины сил сопротивления. Рассмотрим два основных случая.





1. Пусть коэффициент сопротивления r меньше удвоенного волнового сопротивления, т.е. r < 2. Учитывая выражения (2.12) и (6.1) получим < 0. Другими словами, мы рассматриваем случай малых сил сопротивления. При этих условиях решение дифференциального уравнения (6.2) может быть представлено в виде x = xm0e-t sin(t + 0), (6.3) которое называется уравнением затухающих колебаний, так как при t 0, x 0.

Частота затухающих колебаний равна k r = 0 - 2 или = -, m 2m т.е. частота затухающих колебаний всегда меньше частоты собственных колебаний ( < 0). Множитель sin(t + 0) в выражении (6.3) имеет тот же физический смысл, что и в случае идеальных колебаний. Сомножитель xm0 e-t в (6.3) указывает на то, что мгновенная амплитуда реальных колебаний уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону xm = xm0 e-t, (6.4) где xm0 – амплитуда колебаний в начальный момент времени при t = 0 и 0 =.

Движение, описываемое уравнением (6.3), не является гармоническим, так как с течением времени последовательные максимальные отклонения точки от положения равновесия уменьшаются. Изобразим временную диаграмму затухающих колебаний. Построим вначале графики x = xm0 e-t и x = -xm0 e-t (рис. 19), а затем и график самой функции (6.3).

Таким образом, уравнение (6.3) можно рассматривать как периодическое движение с частотой и амплитудой, уменьшающейся по закону (6.4). Быстрота затухания определяется коэффициентом затухания. Выясним его физический смысл.

Возьмем промежуток времени такой, что =. Тогда на основании (6.4) имеем xmxm = xm0 e-1 =.

e xmx = xm0e–t t x = –xm0e–t Рис. xm xmxme t O Рис. Следовательно, обратная величина коэффициента затухания есть время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз (рис. 20).

Найдем фазовую траекторию для затухающих колебаний.

Продифференцируем выражение (6.3) по времени dx v = xme-t cost. (6.5) dt Исключив из уравнений (6.3) и (6.5) время t, получим x2 v+ = e-2t.

2 xm 2xm Следовательно, фазовая диаграмма затухающих колебаний представляет собой спираль (рис. 21). Быстроту затухания принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания, который численно равен натуральному логарифму отношения двух мгнохm венных амплитуд, отличающихся во времени на период T = 2 :

х xmt = ln. (6.6) xm(t +T ) Другими словами, декремент затухания характеризует относительную убыль амплитуРис. ды затухающих колебаний за период. С учетом выражения (6.4) найдем xm0e-t = ln = ln eT = T. (6.7) xm0e-(t +T ) Учитывая то, что коэффициент затухания =, обратно пропорционален времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз, найдем Т = =, (6.8) Ne где Ne – число полных колебаний, совершив которые амплитуда уменьшается в е раз.

Для характеристики затухания колебательной системы часто применяется величина Q, называемая добротностью, которая определяет относительную убыль энергии за период, подобно тому, как декремент затухания определяет относительную убыль амплитуды.

Полный запас энергии системы в одном из положений наибольшего отклонения равен W = kxme-2t. (6.9) Работа против силы трения за период равна TT A = dl = xdt = - &тр тр F F & rx dt. (6.10) L Если уравнение затухающих колебаний имеет вид x = xme-t cos(t + 0), то мгновенная скорость примерно равна & x = -xme-t sin(t + 0).

Учитывая данное выражение, найдем T 2 A = r2xme-2t 2(t + 0)dt = r2xme-2t. (6.11) sin Найдем добротность W k km Q = 2 = =. (6.12) A r r Согласно формуле (6.1) r = 2m, тогда km 1 k Q = = =.

2m 2 m Учитывая, что =, =, окончательно найдем T T Q =. (6.13) Добротность обратно пропорциональна декременту затухания. Так как =, то Q = Ne.

Ne Из определения добротности следует: чем больше затухание в системе ( и ), тем меньше время затухания и число колебаний Ne, совершив которые амплитуда уменьшается в е раз, и тем меньше величина добротности Q.

. Пусть коэффициент сопротивления больше удвоенного волнового сопротивления r > 2 или > 0. Учитывая, что 2 период затухающих колебаний T = =, то даже при 0, T. Движение маятника перестает быть перио 0 - дическим. Можно показать, что решение дифференциального уравнения (6.2) имеет вид x = xm0te-t.

Движение маятника носит апериодический характер, т.е. выведенный из положения равновесия маятник (при t = 0 : x = xm0, v = 0 ) медленно возвращается в положение равновесия (рис. 22, а). Если такому x x 0 t t а) б) Рис. маятнику, находящемуся в положении равновесия при t = 0 сообщить скорость, то его движение будет иметь вид, показанный на рис. 22, б. Апериодическое движение используется в различных успокоительных устройствах механических систем, где осуществляется так называемое демпфирование.

7. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ Решение многих задач в теории колебаний значительно облегчается и становится более наглядным, если колебания изображать графически на плоскости в виде вращающихся векторов. Такой способ представления колебаний называется методом векторных диаграмм.

Пусть гармоническое колебание задано уравнением x = xm cos(t + 0). (7.1) Проведем на плоскости прямую линию OP и построим вектор xm, численно равный амплитуде xm и направленный из точки О под углом 0 к опорной линии OP (рис. 23).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.