WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
Н.Я. МОЛОТКОВ, О.В. ЛОМАКИНА МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ k m x O k F x O m x ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» Н.Я. МОЛОТКОВ, О.В. ЛОМАКИНА МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Утверждено ученым советом ТГТУ в качестве учебного пособия для студентов специальностей 170500, 170600, 101600, 311300, 311900, 311400 Тамбов Издательство ТГТУ 2007 УДК 534-16(075) ББК В236.36я73 М758 Рецензенты:

Кандидат химических наук, доцент кафедры физики ТГТУ Ю.М. Головин Кандидат физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и экспериментальной физики ТГУ им. Г.Р. Державина В.И. Иволгин Молотков, Н.Я.

М758 Механические колебания : учебное пособие / Н.Я. Молотков, О.В. Ломакина. – Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. унта, 2007. – 88 с. – 250 экз. – ISBN 978-5-8265-0622-6.

Изложены основные вопросы теории механических колебаний, которые соответствуют учебным программам курса теоретической механики. Большое внимание уделяется физической сущности механических колебательных явлений и их различным применениям: автоколебания, релаксационные, параметрические, связанные и др. Рассматриваются свободные и вынужденные колебания в системе с большим числом степеней свободы.

Предназначено для студентов специальностей 170500, 170600, 101600, 311300, 311900, 311400 дневной формы обучения.

УДК 534-16(075) ББК В236.36я73 ISBN 978-5-8265-0622-6 © ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» (ТГТУ), 2007 ВВЕДЕНИЕ Колебательные и волновые процессы весьма часто встречаются в окружающей нас природе и технике. Значительная часть механических движений – движение периодически работающих машин, различные вибрации, почти все акустические явления, переменный ток, применяющийся в быту и в различных технических устройствах, радиотехнике и часть электроники, вся волновая оптика, волновые свойства частиц – далеко не полный перечень явлений и технических приложений, описываемых колебательными и волновыми явлениями. Эта общность широкого класса физических явлений не находят достаточного отражения в обычных вузовских и школьных курсах физики, что существенно снижает качество обучения. Часто в учебниках колебания рассматриваются весьма ограничено.

Механические колебания охватывают очень широкий круг явлений, которые реализуются в других областях знаний. В связи с этим в данном пособии рассматриваются не только традиционные вопросы теории колебаний (свободные, вынужденные и автоколебания), но и релаксационные, параметрические, связанные колебания, а также колебания систем с большим числом степеней свободы, что подводит обучаемых к пониманию волновых процессов. Такое углубленное изучение вопросов механических колебаний позволит студентам получить более глубокие знания для последующего изучения радиотехники, электроники, волновой оптики и квантовой физики. Можно сказать, что теория механических колебаний – это фундамент, на котором базируются многие технические дисциплины.

Авторы стремились, прежде всего, выяснить физическую сущность явлений и подчеркнуть общность математических методов, применяемых для описания различных по своей природе физических процессов, а также максимально использовать качественный подход к изучению вопросов теории колебаний. По мнению одного из выдающихся физиков Э. Ферми, «физическая сущность действительно понимаемого вопроса может быть объяснена без сложных формул»1. В умении качественно объяснить сущность физических явлений и заключается истинное понимание математических уравнений, описывающих те или иные закономерности.

Волновые процессы, хотя и являются колебательными, все же обладают своими особенностями и требуют отдельного рассмотрения. Поэтому в данной работе они подробно не рассмотрены.

Пособие разработано для студентов технических специальностей, желающих углубить свои знания по теории механических колебаний.

Цит. по: Понтекорво Б.М. Энрико Ферми. – М. : Знание, 1971. – С. 27.

1. ПОНЯТИЕ О КОЛЕБАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ Под колебательным движением, или просто под механическим колебанием, понимают всякое движение, характеризуемое той или иной степенью повторяемости физических величин, которые определяют движение системы. Примерами колебательного движения могут служить колебания различных маятников, струн, мембран, мостов, поршней двигателей внутреннего сгорания и т.д.

Колебание называется периодическим, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебательного движения, повторяются через равные промежутки времени. Простейшим примером периодических колебаний являются гармонические колебания, возникающие под действием восстанавливающих сил, которые могут иметь различную природу, но обладающие двумя свойствами: восстанавливающая сила пропорциональна мгновенному смещению или отклонению тела от положения устойчивого равновесия, и направлена всегда противоположно смещению. Природа восстанавливающих сил может быть различной. Например, восстанавливающая сила может быть обусловлена упругими свойствами пружины и возникает вследствие деформации пружины.

На рис. 1 показан пружинный маятник, который состоит из массивного шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить. На стержень надета стальная пружина, закрепленная на его конце и шаре. В состоянии равновесия шар находится в положении О (рис. 1, а). При смещении шара от положения равновесия на величину x на него действует сила упругости F = -kx, где k – коэффициент жесткости пружины.

Другим примером восстанавливающей силы является сила, возникающая при вертикальных отклонениях плавающих тел в жидкости.



В положении равновесия сила Архимеда уравновешивается силой тяжести, т.е. FA = mg (рис. 2, а). При вертикальном сме щении тела на величину x возникает дополнительная сила Архимеда FA = -gSx, где – плотность жидкости; S – площадь поперечного сечения тела;

g – ускорение свободного падения (рис. 2, б).

k m а) x O k F б) x O m x Рис. а) б) Рис. Кроме восстанавливающих сил при колебательном движении действуют также силы сопротивления, зависящие от скорости. Это силы трения или силы сопротивления при движении тел в вязкой среде. На колеблющееся тело могут действовать возмущающие силы со стороны других тел, т.е. силы, которые являются заданными функциями времени.

Колебания, которые возникают в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, называются свободными. Если в колебательной системе отсутствуют потери энергии, связанные с действием сил трения или вязкого трения, то колебания будут продолжаться бесконечно долго. Такие колебательные системы называются идеальными, а сами колебания собственными. В реальных колебательных системах всегда существуют потери энергии, обусловленные силами сопротивления, в результате чего колебания не могут продолжаться бесконечно долго, т.е. они являются затухающими.

2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА Исследуем более подробно колебания пружинного маятника, который состоит из материальной точки массой m и пружины жесткостью k. При отсутствии сил сопротивления (рис. 1, б) основное уравнение динамики для него в произвольный момент времени имеет вид 2 d x d x k m = -kx или + x = 0, (2.1) m dt2 dtт.е. движение пружинного маятника описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Ниже покажем, что его решение имеет вид x = xm sin(0t + 0). (2.2) Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний. Исследуем его. Так как sin(0t + 0) изменяется с течением времени от +1 до –1, то величина мгновенного смещения x маятника от положения равновесия изменяется в пределах от +xm до -xm. Максимальное смещение xm маятника от положения равновесия называется амплитудой колебаний, которая зависит от начальных условий приведения маятника в колебание. Величина 0 называется начальной фазой, которая определяет смещение маятника от положения равновесия в начальный момент времени, т.е. x0 = xm sin 0. Величина (t + 0) называется фазой колебания, которая определяет мгновенное смещение маятника в любой момент времени. Поскольку синус является периодической функцией с периодом 2, то состояние системы повторяется через равные промежутки времени Т. Следовательно, справедливо равенство sin[0(t +T)+ 0]= sin(t + 0 + 2), откуда найдем 0 =, (2.3) T где Т – период гармонических колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание. Учитывая, что период колебаний обратно пропорционален частоте, под которой понимается число полных колебаний, совершаемых системой за единицу времени T =, получим 0 = 2. (2.4) Величина 0, показывающая число полных колебаний, совершаемых системой за 2 секунд, называется круговой или циклической частотой.

На основании изложенного уравнение гармонических колебаний может быть представлено в виде x = xm sin t + 0 = xm sin (2t + 0).

T Временная диаграмма гармонических колебаний представлена на рис. 3, где х0 = х = xm sin 0 – смещение тела от поt =ложения равновесия в начальный момент времени.

Докажем, что выражение (2.2) является решением дифференциального уравнения (2.1.). Для этого продифференцируем (2.2) по времени dx = 0xm cos(0t + 0); (2.5) dt d x = -0xm sin(0t + 0). (2.6) dt+ t Рис. Подставляя (2.2) и (2.6) в уравнение (2.1), после сокращения получим k - 0 + = 0.

m Отсюда найдем значение круговой частоты для пружинного маятника k 0 =. (2.7) m На основании (2.3) и (2.4) получим 1 k m = и T = 2. (2.8) 2 m k Из полученных выражений следует, что период и частота колебаний пружинного маятника не зависит от начальных условий, а определяются параметрами колебательной системы: массой маятника и жесткостью пружины.

Выражения (2.5) и (2.6) можно использовать для анализа изменения скорости и ускорения при гармонических колебаниях. Мгновенная скорость равна dx v = = 0xm cos(0t + 0)= vm cos(0t + 0), (2.9) dt где vm = 0xm – максимальное значение мгновенной скорости.

Мгновенное ускорение d x a = = -0xm sin(0t + 0)= -am sin(0t + 0), (2.10) dtгде am = 0 xm – амплитуда ускорения при гармонических колебаниях.

На рис. 4 графически представлено изменение смещения x, скорости v и ускорения a с течением времени при 0 = 0. Из сравнения х T t T t t Рис. графиков следует, что скорость опережает смещение на ; ускорение опережает скорость на. Между мгновенным смеще2 нием и ускорением имеется разность фаз. Другими словами, скорость колеблющейся точки максимальна в моменты прохождения ею положения равновесия (x = 0). При максимальных смещениях (x = xm) скорость равна нулю. Ускорение колеблющейся точки равно нулю при прохождении точкой положения равновесия и достигает максимального значения при наибольших смещениях.

Колебательную систему принято характеризовать волновым сопротивлением, которое определяется отношением амплитуды восстанавливающей силы к амплитуде скорости Fm =. (2.11) vm Для пружинного маятника имеем kxm = = km. (2.12) 0xm Динамическое состояние любой колебательной системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, однозначно определяется двумя переменными: координатой x и скоростью v. Поэтому часто для качественного анализа возможных движений в системе с одной степенью свободы пользуются методом фазовых диаграмм, который заключается в следующем. На плоскости, называемой фазовой плоскостью, выбирают прямоугольную систему координат. По оси абсцисс откладывают мгновенное смещение x, а по оси ординат – мгновенную скорость v колебательной системы. Точка с координатами (x; v) на фазовой плоскости, характеризующая состояние системы в данный момент времени, называется изображающей точкой. С течением времени изображающая точка описывает на фазовой плоскости некоторую кривую f (x; v) = 0, называемую фазовой траекторией.





Найдем уравнение фазовой траектории для гармонических колебаний. Пусть мгновенное смещение и мгновенная скорость колебаний маятника заданы уравнениями x = xm sin(0t + 0), v = vm cos(0t + 0).

Чтобы найти уравнение фазовой траектории, необходимо из данных уравнений исключить время t. Перепишем их в виде x= sin2(0t + 0);

xm v= cos2(0t + 0).

vm Осуществив сложение этих выражений, получим уравнение фазовой траектории, которое представляет собой эллипс x2 v + = 1, (2.13) xm vm причем главные оси эллипса совпадают с осями координат (рис. 5).

х Рис. Пусть в начальный момент времени t = 0, мгновенное смещение маятника максимально x = xm. Изображающая точка на фазовой диаграмме говорит о том, что в этот момент времени скорость v = 0. При t > 0 изображающая точка перемещается в положение 2 и далее, при t = T изображающая точка занимает положение 3. В этот момент x = 0, v = vm. За время, равное периоду Т колебаний, изображающая точка на фазовой траектории совершает один полный оборот. Анализируя фазовую траекторию, можно заметить, что скорость тела при гармонических колебаниях обращается в ноль при максимальных смещениях из положения равновесия x = xm. При прохождении телом положения равновесия x = 0 величина мгновенной скорости приобретает максимальное значение, равное v = vm.

В рассмотренном случае горизонтального пружинного маятника (рис. 1) сила тяжести не играет никакой роли в его колебательном движении. Если же пружинный маятник вертикален (рис. 6), то влияние силы тяжести скажется лишь на том, что положение равновесия, относительно которого происходят колебания, сместится на величину xст, которая определяет статическую величину деформации пружины под действием силы тяжести груза, т.е. mg = kxст. Если груз m сместить от положения равновесия на величину x, то на маятник будет действовать восстанавливающая сила, равная kx. При этом начало координат О на оси x совпадает с положением равновесия груза. Следовательно, уравнение движения маятника имеет вид d x m = -kx, dtчто совпадает с формулой (2.1). Частота колебаний будет определяться формулой (2.2).

Рассмотрим вертикальные колебания груза массой m, который закреплен между двумя пружинами с жесткостью k1 и k2 (рис. 7, а). Начало оси координат x, т.е. точка О совпадает с положением равk k новесия груза. При отклонении тела по вертикали на расстояние x получим О d x m = -k1x - k2x = -(k1 + k2)x = -k11x, dtхст x так как обе силы упругости направлены к положению равновесия. Следоваm тельно, Рис. Рис. эквивалентная жесткость таких «параллельно соединенных» пружин равна k11 = k1 + k2 (2.14) и частота колебаний будет равна k1 + k 11 =, (2.15) m а при равенстве жесткостей пружин k1 = k2 = k, получим 2k 11 =. (2.16) m Система, изображенная на рис. 7, б, также представляет собой «параллельно соединенные» пружины, так как при отклонении груза m от положения равновесия восстанавливающая сила при k1 = k2 = k будет равна F = -k1x - k2x = -2kx.

При «последовательном соединении» пружин (рис. 7, в) деформации пружин x1 и x2 не являются произвольными: их сумма равна смещению x от положения равновесия x = x1 + x2.

Учитывая, что упругие силы пружин f1 = -k1x1 ; f2 = -k2x2 должны быть одинаковы (f1 = f2 = f ), получим 1 1 f x = - f + = -.

k1 k2 k Следовательно, жесткость эквивалентной пружины, способной заменить две пружины, соединенные последовательно, равна 1 1 1 k1k= + или k0 =. (2.17) k0 k1 k2 k1 + kПоэтому частота колебаний маятника (рис. 7, в) равна k1k0 =. (2.18) m(k1 + k2) При k1 = k2 = k получим k 0 =. (2.19) 2m Таким образом, 0 < < 11, где под понимается частота при наличии одной пружины.

3. Энергия собственных гармонических колебаний Колебательная система, состоящая из массивного шара и пружины, в произвольный момент времени характеризуется кинетической и потенциальной энергиями. Кинетическая энергия шара зависит от его мгновенной скорости и в соответствии с формулой (2.9) равна mv2 2 Wк = = m0 xm cos2(0t + 0) (3.1) 2 или 2 m0 xm Wк = [1+ cos(20t + 20)]. (3.2) 2 Кинетическая энергия материальной точки при гармонических колебаниях периодически изменяется от 0 до m0xm, 2 2 2 m0xm m0xm совершая колебания с циклической частотой 20 и амплитудой около среднего значения, равного.

4 Потенциальная энергия деформированной пружины в соответствии с формулой (2.2) равна kx2 1 2 2 Wп = = kxm sin2(0t + 0)= m0 xm sin2(0t + 0) (3.3) 2 2 или Рис. 2 2 2 m0xm m0xm Wп = [1- cos(20t + 20)]= [1+ cos(20t + 20 + )]. (3.4) 4 2 Потенциальная энергия материальной точки периодически изменяется от 0 до m0xm, совершая гармонические коле2 2 2 m0xm m0xm бания с циклической частотой 20 и амплитудой. Колебания потенциальной и около среднего значения 4 кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на.

Так как в идеальной колебательной системе отсутствуют потери энергии, то ее полная энергия остается неизменной, в соответствии с законом сохранения механической энергии 2 m0 xm W = Wк +Wп =.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.