WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

pn n+1 h = h + o h 1- h + o h = h + o h, n = 0,C -1. (2.1.8) ( ) ( ) ( ) ( ) В-третьих, если 0 < X1(t) C, то система может перейти в состояние n -1, если за время h одна заявка закончит обслуживание и ни одна заявка поступит в СМО:

© Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., pn n-1 h = nh + o h 1- h + o h = nh + o h, n = 1,C. (2.1.9) ( ) ( ) ( )( ) Вероятности всех остальных переходов за малое время h, например, вероятность поступления двух и более заявок или вероятность обслуживания двух и более заявок, имеют порядок o h.

( ) Итак, за время h система может только перейти на одно состояние «вверх» за счет поступления заявки, на одно состояние «вниз» за счет обслуживания заявки или остаться в том же состоянии при отсутствии поступлений и окончаний обслуживания заявок. Таким образом, СП X1(t), t { } представляет собой процесс размножения и гибели со следующими переходными вероятностями:

pn n+1 h = h + o h, n = 0,C -1;

( ) ( ) pn n-1 h = nh + o h, n = 1,C;

( ) ( ) (2.1.10) pnn h = 1- u C - n + n h + o h, n = 0,C;

( ) ( ) ( ) pnm h = o h, n - m 2.

( ) ( ) Здесь u x - функция Хевисайда:

( ) 1, x > 0;

u x = (2.1.11) ( ) 0, x 0.

Обозначим pn t вероятность того, что в системе в момент t ( ) было n заявок:

pn t = P X1 t = n. (2.1.12) ( ) ( ) } { Тогда с учетом формулы полной вероятности запишем следующие равенства.

p0 t + h = 1- h p0 t + h p1 t + o h ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pn t + h = 1-( ) ( ) + n h pn t + ( ) (2.1.13) ( ) ( ) ( ) ( ) + h pn-1 t + n +1 h pn+1 t + o h ;

pC t + h = 1- Ch pC t + h pC -1 t + o h.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) © Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., при n = 1,C -1.

Вычитая из обеих частей каждого уравнения pn t, деля на ( ) h и переходя к пределу при h 0, получаем систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

p0 t =- p0 t + p1 t ;

( ) ( ) ( ) pn t =-( ) ( ) + n pn t + ( ) (2.1.14) + pn-1 t + n +1 pn+1 t, n = 1,C -1;

( ) ( ) ( ) pC t =-C pC t + pC -1 t.

( ) ( ) ( ) Заметим, что при C = условием эргодичности МП X1(t) является выполнение неравенства < C, при C < МП X1(t) будет эргодическим при любом, 0 < <. Для эргодического МП с течением времени функционирование СМО стремится к стационарному режиму ( pn t pn при t ), причем ( ) стационарное распределение вероятностей pn, n X1 не зависит { } от начального состояния X1(0).

Приравнивая производные по времени в левой части уравнений (2.1.14) к нулю, получаем систему уравнений равновесия (СУР):

0 =- p0 + p1;

(2.1.15) 0 =-( + n) pn + pn-1 + (n +1) pn+1, n = 1,С -1;

0 =-C pC + pC-1.

СУР (2.1.15) можно вывести также исходя из принципа глобального баланса, приравнивая суммарные вероятные потоки, входящие в фиксированное состояние n, n = 0,C, и выходящие из него (см. диаграмму интенсивностей переходов МП Х1(t) на рис. 2.4).

© Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., (n +1) Рис. 2.4. Диаграмма интенсивностей переходов МП Х1(t) Для решения СУР воспользуемся принципом локального баланса и условием нормировки С pn = 1. (2.1.16) n=Из уравнений локального баланса pn-1 = n pn, n = 1,C, (2.1.17) следует, что 2 n pn = pn-1 = pn-2 = = p0, n = 1,C. (2.1.18) n n(n -1) n! Учитывая условие нормировки (2.1.16), получаем:

-n n С pn =, n = 0,C. (2.1.19) n! n! n= Потеря 1-заявок в рассмотренной СМО произойдёт в случае, когда в момент поступления 1-заявки в СМО нет свободных приборов, т.е. X1 = C. Отсюда вероятность 1 потери 1-заявки ( ) имеет вид 1 = pC. (2.1.20) Аналогично, вероятность 2 потери 2-заявки имеет вид 2 = pC. (2.1.21) © Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., Утверждение 1. Для полнодоступной модели с потерями вероятность блокировки нового вызова определяется формулой -n C С BO =, (2.1.22) C! n! n= вероятность блокировки хэндовер-вызова - формулой -n C С B =. (2.1.23) H C! n! n= 2.2. Неполнодоступная модель с потерями Введем следующее предположение.

(vi) Применяется стратегия доступа с резервированием: на базовой станции соты g радиоканалов предназначены для обслуживания как новых, так хэндовер-вызовов, а остальные C - g радиоканалов зарезервированы только для обслуживания хэндовер-вызовов.

В предположениях (i)-(iv) и (vi) математической моделью процесса обслуживания вызовов в соте сети GSM может служить C-линейная неполнодоступная СМО, на которую поступают два пуассоновских потока заявок. Поток 1-заявок, соответствующий потоку новых вызовов, имеет интенсивность O, а поток 2-заявок (хэндовер-вызовы) - интенсивность H. Если в момент поступления 1-заявки в СМО число свободных приборов больше, чем C - g, 0 g C, 1-заявка поступает на обслуживание и занимает один прибор на все время обслуживания, в противном случае 1-заявка теряется. Если в момент поступления 2-заявки в СМО есть хотя бы один свободный прибор, 2-заявка поступает на обслуживание и занимает один прибор на все время обслуживания, в противном случае 2-заявка теряется. Длительности обслуживания как 1-заявок, так и 2-заявок, являются независимыми случайными величинами, имеющими экспоненциальное распределение с параметром.

© Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., Схематически модель системы показана на рис. 2.5.

Интересующими нас характеристиками являются вероятность потери 1-заявки, соответствующая вероятности BO блокировки нового вызова, и вероятность 2 потери 2-заявки, соответствующая вероятности B блокировки хэндовер-вызова.



H Полнодоступные O Новые вызовы каналы g g+H Хэндовер-вызовы Резервные каналы C Рис. 2.5. Двухпотоковая неполнодоступная СМО с потерями Обозначим X t число заявок в СМО в момент времени t, ( ) t 0. Аналогично тому, как это было сделано в разделе 2.1, можно показать, что случайный процесс X2 t, t 0 - ПРГ. Пространство { ( ) } X2 состояний МП X2 t имеет вид X2 = 0, 1,..., C, 1 C. На ( ) { } рис. 2.6 представлена диаграмма интенсивностей переходов МП X2 t.

( ) H O + H O + H H g g +1 C ( ) Рис. 2.6. Диаграмма интенсивностей переходов МП X t ( ) © Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е.,...

...

При C <, а также при C = и < C МП X2 t, t 0 - { ( ) } эргодический, следовательно, существуют стационарные вероятности pn, n = 0,C МП X2 t, t 0.

{ ( ) } {} Стационарные вероятности pn, n 0 удовлетворяют { } системе уравнений равновесия, выведенной с помощью принципа глобального баланса:

O + H p0 = p1;

( ) n + O + H pn = O + H pn-1 + n +1 pn+1, 1 n g -1;

() ( ) ( ) (2.2.1) g + H pg = O + H pg -1 + g +1 pg +1;

( ) ( ) ( ) n + H pn = H pn-1 + n +1 pn+1, g +1 n C -1;

( ) ( ) Cp = H pC.

C - При решении СУР, как и в предыдущей модели, воспользуемся принципом локального баланса. Выпишем систему уравнений локального баланса:

O + H pn-1 = n pn, 1 n g;

( ) (2.2.2) g +1 n C.

H pn-1 = n pn, Из (2.2.2) следует, что n O + H ( ) p0, 1 n g;

n!n pn = (2.2.3) g O + H H n-g ( )p0, g +1 n C.

n!n С учетом введенных выше обозначений получаем выражения для стационарных вероятностей МП X2 t, t 0 в { ( ) } виде n p0, 1 n g;

n! pn = (2.2.4) g H n- g p0, g +1 n C, n! © Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., где p0 определяется из условия нормировки (2.1.16) -g g n n C H- g p0 = +. (2.2.5) n=0 n! n= g +1 n! Потеря 1-заявки произойдёт в случае, когда в момент поступления 1-заявки в СМО занято не менее, чем g приборов, т.е.

X2 g, g +1,..., C. Отсюда вероятность 1 потери 1-заявки ( ) { } имеет вид C 1 = pn. (2.2.6) n= g Потеря 2-заявки в рассмотренной СМО произойдёт в случае, когда в момент поступления 2-заявки в СМО нет свободных приборов, т.е. X2 = C. Отсюда вероятность 2 потери ( ) 2-заявки имеет вид 2 = pC. (2.2.7) Утверждение 2. Для неполнодоступной модели с потерями вероятность блокировки нового вызова определяется формулой -g n n g n CC H- g g H- g BO =+, (2.2.8) n! n=g n=0 n! n= g +1 n! а вероятность блокировки хэндовер-вызова - формулой -g C n g n C H - g g H- g BH =+. (2.2.9) C! n! n=0 n= g +1 n! Оценивая характеристики BO и BH для неполнодоступной модели с приоритетом хэндовер-вызовов, можно сказать, что вероятность BH блокировок хэндовер-вызовов меньше, чем вероятность BO блокировок новых вызовов в соте.

© Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., 2.3. Неполнодоступная модель с бесконечной очередью и нетерпеливыми заявками Введем следующее предположение.

(vii) Предусмотрено наличие зоны хэндовера, в которой мобильный абонент может находиться не более случайного времени, имеющего экспоненциальное распределение с параметром.

В предположениях (i)-(iii), (vi) и (vii) математической моделью процесса обслуживания вызовов в соте может служить C-линейная СМО с накопителем бесконечной емкости, на которую поступают два потока заявок (рис. 2.7). Поток 1-заявок, соответствующий потоку новых вызовов, является пуассоновским потоком с параметром O, а поток 2-заявок (хэндовер-вызовы) - пуассоновским потоком с параметром H. Если в момент поступления 1-заявки в СМО число свободных приборов больше, чем C - g, 0 g C, 1-заявка поступает на обслуживание и занимает один прибор на все время обслуживания, в противном случае 1-заявка теряется. Если в момент поступления 2-заявки в СМО есть хотя бы один свободный прибор, 2-заявка поступает на обслуживание и занимает на все время обслуживания один прибор.

Если в СМО нет свободных приборов, пришедшая 2-заявка занимает место в накопителе и ожидает освобождения прибора.

Дисциплина выбора заявок из накопителя на обслуживание FIFO.

2-заявка, ожидающая в очереди, может покинуть СМО с интенсивностью 1, что соответствует окончанию разговора в зоне хэндовера, а также с интенсивностью, что соответствует блокировке хэндовер-вызова при попытке передачи обслуживания из соседней соты в рассматриваемую соту. Длительности обслуживания как 1-заявок, так и 2-заявок, являются независимыми случайными величинами, имеющими экспоненциальное распределение с параметром.

© Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., O Полнодоступные Новые вызовы каналы g g + H Резервные... 2 Хэндоверканалы вызовы C Рис. 2.7. Двухпотоковая неполнодоступная СМО с бесконечной очередью и «нетерпеливыми» заявками По прежнему, вероятность BO блокировки нового вызова соответствует вероятности 1 потери 1-заявки. Для оценки вероятности BH блокировки хэндовер-вызовов служит очередь с нетерпеливыми заявками, введение которой требует дополнительных разъяснений. В модели 3 на приборах находятся 1- и 2-заявки, которые соответствуют в физической модели текущим соединениям, поддерживаемым через базовую станцию рассматриваемой соты. В очереди модели 3 находятся 2-заявки, которые соответствуют текущим соединениям мобильных абонентов, поддерживаемым через базовые станции соседних сот.





Эти 2-заявки соответствуют соединениям мобильных абонентов, которые находятся в зоне (зонах) хэндовера и движутся в направлении рассматриваемой соты. Текущее соединение для 2-заявки из очереди поддерживается через базовую станцию смежной соты, предшествующей с точки зрения хэндовера рассматриваемой соте. Заметим, что все текущие соединения мобильных абонентов, находящихся в зонах хэндовера, можно условно разбить на три группы. Соединения из первой группы согласно описанному выше в этой главе варианту а) «жесткого» хэндовера займут радиоканалы на базовой станции © Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е.,...

...

рассматриваемой соты. Эти соединения соответствуют 2-заявкам в рассматриваемой СМО, которые из очереди поступят на приборы.

Вторая группа текущих соединений мобильных абонентов, находящихся в зоне хэндовера, успешно завершится по причине окончания разговора мобильным абонентом во время нахождения в зоне хэндовера (вариант б)). Длительность пребывания соответствующей 2-заявки в очереди представляет собой интервал времени с момента пересечения мобильным абонентом зоны хэндовера до момента успешного завершения соединения этого мобильного абонента по причине окончания разговора на территории зоны хэндовера. Этот интервал времени соответствует остаточному времени обслуживания заявки вида (1) или (3) (рис. 2.1) на приборе соседней соты, т.е. является экспоненциально распределенной СВ с параметром 1. В третью группу входят соединения, которые будут разорваны при попытке передачи обслуживания из соседней соты в рассматриваемую соту, т.е.

соединения, соответствующие заблокированным хэндоверам (вариант в)). Именно соединения третьей группы определяют один из основных QoS-параметров – вероятность BH блокировки хэндовера. Упрощающее предположение (vii) позволяет учесть заблокированные хэндоверы в виде потока «нетерпеливых» заявок, покидающих СМО из очереди. Отметим, что суммарный поток заявок, соответствующий текущим соединениям из первой (вариант а)) и третьей (вариант в)) групп, т.е. соединениям, которые потребуют хэндовер, представляет собой пуассоновский поток с параметром 2.

Математической моделью процесса обслуживания заявок в СМО, изображенной на рис. 2.7, служит СП X3 t, t 0, { ( ) } соответствующий числу заявок в СМО в момент времени t.

Пространство состояний процесса имеет вид X3 =. Из 0, 1,...

{ } предположений (i), (ii), (vi) и (vii) следует, что СП X3 t ( ) марковский.

На рис. 2.8 представлена диаграмма состояний МП X3 t.

( ) © Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., H О + H О + H g (g +1) H H H H n +1- C 1 + + ( )( ) n ( - C 1 + + )( ) C C + 1 + +C +C Рис. 2.8. Диаграмма интенсивностей переходов МП X3 t ( ) При выполнении неравенства < C МП X3 t, t { ( ) } является эргодическим, существуют стационарный режим и стационарные вероятности pn, n 0 МП X3 t, t 0.

{ } { ( ) } С помощью принципа глобального баланса выпишем СУР:

О + H p0 = p1;

( ) О + H + n pn = О + H pn-1 + n +1 pn+1, 1 n g -1;

() ( ) ( ) H + g pg = О + H pg-1 + g +1 pg+1;

( ) ( ) ( ) (2.3.1) H + n pn = H pn-1 + n +1 pn+1, g +1 n C;

( ) ( ) H +C pC = H pC-1 + C + 1 + pC+1;

( ) ( ) H +C + n -C 1 + pn = H pn-1 + ( ( )( )) + C + n +1-C 1 + pn+1, n C +1.

( )( ) () Для решения СУР воспользуемся принципом локального баланса и условием нормировки pi = 1.

i=Выпишем систему уравнений локального баланса.

n pn = (O + H ) pn-1, 1 n g;

g +1 n C; (2.3.2) n pn = H pn-1, C + n ( )( ) ( - C 1 + pn = H pn-1, n C +1.

) © Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., Решая рекуррентно, находим стационарные вероятности pn того, что в системе находится n вызовов:

( + H )n О p0, 1 n g;

n!n n (О + H )g H- g pn = p0, g +1 n C; (2.3.3) n!n (О + H )g H n- g p0, n C +1.

C!C n-C [C + j(1 + )] j = С учетом введенных ранее обозначений получаем выражения для стационарных вероятностей МП X3 t, t 0 в виде { ( ) } n p0, 1 n g;

n! g n H- g pn = p0, g +1 n C; (2.3.4) n! g C n H -g H-C p0, n C +1;

n-C C! [C + j(1 + )] j = где p0 определяется из условия нормировки:

- n g n g C n g C H- g H - g H-C p0 = + +.

(2.3.5) n-C n! n! C! n=0 n= g +1 n=C +[C + j(1 + )] j = Перейдем к анализу интересующих нас ВВХ модели.

Потеря 1-заявки произойдёт в случае, когда в момент поступления 1-заявки в СМО занято не менее, чем g приборов, т.е.

X3 g, g +1,.... Следовательно, вероятность 1 потери ( ) {} 1-заявки имеет вид © Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е., 1 = pn. (2.3.6) n= g Рассмотренная СМО имеет неограниченный накопитель для 2-заявок, поэтому потери 2-заявок в модели 3, в отличие от рассмотренных ранее моделей 1 и 2, не происходят. Как отмечалось при построении модели, поток заблокированных хэндоверов соответствует потоку 2-заявок, покидающих очередь из-за ограничения на время ожидания. Тогда вероятность BH блокировки хэндовера можно оценить как отношение вероятностного потока 2-заявок, покидающих очередь из-за ограничения на время ожидания, к общему вероятностному потоку 2-заявок, покидающих очередь.

Стационарная средняя длина q очереди 2-заявок в рассматриваемой СМО определяется формулой q = (n - C) pn. (2.3.7) n=C +Выпишем баланс вероятностных потоков 2-заявок, поступающих в очередь и покидающих ее:

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.