WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ Ангарская государственная техническая академия Кафедра автоматизации технологических процессов Комплекс лабораторных работ по курсу «Моделирование систем» для студентов специальности 21.02.00 дневного и заочного обучения Ангарск 2003 г.

Комплекс лабораторных работ по курсу «Моделирование систем» для студентов специальности 21.02.00 дневного и заочного обучения / Составители: доцент Давыдов Руслан Вячеславович, к.т.н., профессор Истомин Андрей Леонидович. Ангарская государственная техническая академия. – Ангарск: АГТА, 2003 г. – 64 с.

В данном комплексе лабораторных работ рассмотрены основные принципы построения моделей с помощью экспериментальных и аналитических методов.

Комплекс включает в себя четыре лабораторные работы: построение математических моделей методом наименьших квадратов; моделирование теплообменной аппаратуры; моделирование химических реакций; моделирование гидравлических систем. Наряду с изложением основного теоретического материала, приведены примеры задач и варианты контрольных заданий.

Рецензент: к. т. н., доцент Асламов А. А.

Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом Ангарской государственной технической академии © Ангарская государственная техническая академия, 2003 © Кафедра автоматизации технологических процессов © Доцент Давыдов Р.В., к.т.н., профессор Истомин А.Л.

2 Лабораторная работа №1 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ (МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ) Цель работы: освоить методику построения математической модели статики объекта управления экспериментально-статистическими методами.

Задания:

1. Определить эмпирически для каждого набора данных вид уравнения регрессии.

2. Рассчитать методом наименьших квадратов параметры уравнения регрессии.

3. Проверить адекватность полученной модели.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ В тех случаях, когда информации о рассматриваемом процессе недостаточно или процесс настолько сложен, что невозможно составить его детерминированную модель, прибегают к экспериментально-статистическим методам. При этом процесс рассматривают как "черный ящик". Различают пассивный и активный эксперименты.

Пассивный эксперимент является традиционным методом, в соответствии с которым ставится большая серия опытов с поочередным варьированием каждой из переменных. К пассивному эксперименту относится также сбор исходного статистического материала в режиме нормальной эксплуатации технологического процесса.

Активный эксперимент ставится по заранее составленному плану (планирование эксперимента), при этом предусматривают одновременное изменение всех переменных, влияющих на процесс, что позволяет сразу установить силу взаимодействия переменных и на этом основании сократить общее число опытов.

Метод наименьших квадратов Постановка задачи. Объект имеет m входных х1, х2..., хm и одну выходную координату у. Структурная схема такого объекта приведена на рис.1.

Здесь мы не делаем различия между регулируемыми и нерегулируемыми переменными. Обозначим х = (х1,х2,..., хm)т вектор входных координат, Т знак транспонирования. Проведено n экспериментов, в каждом из которых, при известных значениях входных координат x, определялись соответствующие им в устаj новившемся режиме значения уj выходной координаты ( j - номер эксперимента).

Требуется построить математическую модель объекта.

Рис.1 Структурная схема объекта Уточним, что в данном случае может служить моделью объекта. Поскольку на выходную координату объекта, помимо учитываемых входных координат, всегда влияют и неучитываемые переменные, которые рассматриваются как некоторые случайные величины помехи, то определяемые экспериментально значения выходной координаты тоже случайны. В связи с этим выходная координата у зависит от входных не функционально, а стохастически, вероятностно. В этом случае связь, существующая между переменными х и у, называется корреляционной связью.

Зависимость математического ожидания выходной координаты у от х называется регрессионной зависимостью. Она и может в данном случае служить математической моделью объекта. Кривая, описывающая зависимость М {y/ х } от х, называется кривой регрессии. Пример кривой регрессии приведен на рис.2.

Рис.2 Кривая регрессии При построении модели в нашем распоряжении имеется совокупность экспериментально полученных значений входных и выходной координаты. Ей соответствует совокупность точек в пространстве ( х -у), если объект имеет одну входную координату х (см. рис.3).

Ясно, что кривая регрессии должна проходить вблизи экспериментальных ^ точек. Точнее, значения выходной переменной y находимой по модели при усj ловии, что входные координаты приняли значение x ( j – номер эксперимента), j должны быть близки к значениям выходной координаты yj, определенным экспериментально при тех же значениях входных переменных. Это условие и используется при построении модели. Для этого сформируем функцию F, оце- Рис.3 Расположение кривой регрессии относительно экспериментальных точек ^ ^ нивающую невязку - степень отклонения у( х ) от y ( х, b ), = у ( х ) - y ( х, b ).

Эти отклонения указаны на рис.3 применительно к случаю, когда объект имеет одну входную координату. В методе наименьших квадратов, используется квадрат невязки:

2 F() = = [ y(x) - y(x,b)] ^ Вид зависимости y ( х, b) задается. В общем виде зависимость можно представить в виде:

y = f (x1, x2,..., xm,b0,b1,...,bp ), (1) где (b0,b1,...,bp ) - вектор параметров модели (коэффициенты).

Задача состоит в том, чтобы по опытным данным наилучшим образом определить значения параметров b.



В этом случае метод наименьших квадратов сводится к следующему. Наилучшими будут те значения параметров b, при которых сумма квадратов откло^ нений расчетных величин y ( х, b) от опытных у ( х ) окажется наименьшей.

Учитывая, что при нахождении параметров количество экспериментов n постоянно, степень близости модели и объекта будет оцениваться величиной:

n n S(b) = = (x ) - y (x,b] (2) j j [y j j j j=1 j=Таким образом, в методе наименьших квадратов параметры находятся из условия:

S(b) min, т.е. являются решением задачи минимизации суммы квадратов невязки (этим и объясняется название метода).

Покажем, как решается эта задача.

Пусть функция задана в общем виде (I). Структуру модели, входящие в нее входные координаты или функции от них, можно затем уточнить. Запишем условия всех опытов в виде таблицы матрицы плана эксперимента:

х11, х21,..., хm х12, х22,..., хm х = (3)...................

х1n, х2n,..., хmn Здесь каждая строк условие одного опыта; каждый столбец значения одной переменной в разных опытах; х.. значения 1-й переменной в 3-м опыте.

Рассмотрим также вектор-столбец результатов эксперимента:

y yy = (4)...

yn Расчетное значение y для j-той строки матрицы x будет иметь вид:

j y = f (x1 j, x2 j,..., xmj,b0,b1,...,bP ) (5) j Приведенное выше определение метода наименьших квадратов может быть записано формулой:

n S(b) = (x ) - y (x,b] min. (6) j j [y j j j=Те значения b, при которых сумма S окажется минимальной и будут наилучшими.

Проще всего расчет методом наименьших квадратов, осуществляется, когда уравнение (I) линейно относительно коэффициентов b. Это значит, что его можно записать в следующем виде:

y = b0x0 + b1x1 + b2x2 +... + bP xP (7) Здесь X0 фиктивная переменная, тождественно равная единице. Она вводится для симметрии для того, чтобы все параметры, и в том числе Ь0, входили в модель единообразно. Это упрощает выкладки.

Рассмотрим расчет коэффициентов для этого случая. Матрица x будет иметь вид:

х01, х11,..., хP х02, х12,..., хP х = (8)...................

х0n, х1n,..., хPn Квадрат разности для 3-го опыта запишется так:

(y - y )2 = (y - b0x0 j - b1x1 j -... - bP xPj )2 (9) j j j Подставляя зависимость (9) в выражение (6), получим:

n S(b) = [y - b0x0 - b1x1 -... - bP xPj ]2 min (10) j j j j=Необходимым условием минимума функции S (b) является равенство нулю ее частных производных по искомым параметрам (поскольку функция S (b) является квадратической, то эти условия выделяют единственную точку минимума).

S S S = 0, = 0, …, = b0 b1 bP или n 2 y - b x - b x -... - b x )(-х ) = ( j 0 0 j 1 1 j P Pj 0 j j= n 2 y - b x - b x -... - b x )(-х ) = ( j 0 0 j 1 1 j P Pj 1 j j=....................................................................

n 2 y - b x - b x -... - b x )(-х ) = ( j 0 0 j 1 1 j P Pj Pj j= Запишем эту систему в виде, удобном для анализа, n n n n b x+ b x x +... + b x x = x y 0 0 J 1 0 j 1 j P 0 j Pj 0 j j j=1 j=1 j=1 j= n n n n b x x + b x +... + b x x = x y 0 0 j 1 j 1 1 j P 1 j Pj 1 j j j=1 j=1 j=1 j=1 (11)............................................................................

n n n n b x x + b x x +... + b x = x y 0 0 j Pj 1 1 j Pj P Pj Pj j j=1 j=1 j=1 j= Полученная система линейных алгебраических уравнений содержит столько уравнений, сколько в нее входит неизвестных параметров Б. В теории метода систему (11) принято называть системой нормальных уравнений.

Система нормальных уравнений может быть решена, например, по правилу Крамера, согласно которому b1 = 1 /, где - определитель матрицы системы нормальных уравнений:

n n n x x x x x 0 j 0 j 1 j 0 j Pj j=1 j=1 j=n n n = x x x x x, 0 j 1 j 1 j 1 j Pj j=1 j=1 j=n n n x x x x x 0 j Pj 1 j Pj Pj j=1 j=1 j=a получается из путем замены 1-го столбца на столбец n x y 0 j j j=n x y 1 j j = j=..............

n x y Рj j j=Решение может быть сравнительно точно найдено, если матрица системы нормальных уравнений не является плохо обусловленной, т.е. определитель существенно отличается от нуля. В противном случае, при вычислении b1, 1 будет делиться на величину, близкую к нулю. В этом случае необходимо либо менять структуру модели, либо менять выборку экспериментальных данных.

Пример: Расчет коэффициентов методом наименьших квадратов.

По опытным данным построить зависимость плотности жидкости от температуры в виде параболы 2-й степени.

Т, К………… 273 283 293, кг/м3……. 875 871 868 Для уменьшения расчетов удобно преобразовать переменные так, чтобы они выражались малым числом цифр. Так вместо Т можно использовать величину х = (Т - 288) / 5, а вместо у = - Тогда зависимость получит вид:

у = b0 + b1х + b2х2.

Представим опытные данные х и у х -3 -1 1 у 5 1 -2 -В первом столбце матрицы плана во всех строках стоят значения x0 = 1, во втором столбце значения х, в третьем значения х2. Окончательно эта матрица имеет вид:

1 - 3 1 -1 х = 1 1 1 3 Система нормальных уравнений получится по формуле (11) 4b + 0b + 20b = 0 1 0b + 20b + 0b = - 0 1 20b + 0b + 164b = 0 1 Определитель матрицы системы нормальных уравнений 4 0 = 0 20 0 = 5120.

20 0 1 0 20 4 1 = - 27 20 0 = -3520 ; = 0 - 27 0 = -6912 ;

0 17 0 164 20 17 4 0 = 0 20 - 27 = 960.

20 0 Откуда 0 1 b = = -0,6875 ; b = = -1,35; b = = 0,1875, или 0 1 - 870 = -0,6875 -1,35(T - 288) /5 + 0,1875((T - 288) / 5).





Окончательно =1569,2 - 4,59·Т + 0,0075·Т При большом числе искомых параметров построение регрессионного уравнения требует громоздких вычислений. В связи с этим в настоящее время построение регрессионных зависимостей практически всегда производится с приме нением ЭВМ. В этом случае удобно использовать матричный способ представления и обработки информации. Нетрудно убедиться, что матрица коэффициентов левых частей системы равна произведению матрицы х на транспонированТ ную матрицу х :

n n n x x x...... x x 0 j 0 j 1 j 0 j Pj j=1 j=1 j=n n n Т x x x.......

x x 0 j 1 j 1 j 1 j Pj х х = (12) j=1 j=1 j=............................

n n n x x x x.......

x 0 j Pj 1 j Pj Pj j=1 j=1 j=Вектор-столбец правых частей системы нормальных уравнений равен произведению х Т y, где y - вектор (4) n x y 0 j j j=T n x y = x y (13) 1 j j j=n x y Pj j j=В матричных обозначениях решение системы (11) имеет вид Т T -b = (x x) x y, (14) где индекс -1 есть символ обращения матрицы; b - вектор исходных параметров. Это соотношение и используется для нахождения параметров модели.

Отметим, что если объект имеет несколько выходных координат, то для каждой выходной координаты ее зависимость от входных переменных находится отдельно.

Проверка адекватности модели Проверка гипотезы об адекватности осуществляется путем сравнения разброса опытных данных относительно уравнения регрессии с величиной случайной ошибки эксперимента. Если разброс того же порядка, что и ошибка опыта, то его можно объяснить случайными ошибками: уравнение адекватно. Если разброс значительно больше, то он, очевидно, не сводится к ошибке опыта, а связан с неадекватностью уравнения. Уравнения нужно усложнить. Так, с помощью метода наименьших квадратов на рис.4 через одни и те же точки проведены прямая и парабола. Прямая неадекватна, а парабола адекватна.

Рис.4. Прямая и парабола, проведенные по точкам Для количественной оценки вводится мера разброса данных дисперсия.

Мерой разброса опытных данных относительно модели является остаточная дисперсия S, равная отношению минимальной суммы квадратов отклонений S ОСТ к числу степеней свободы.

Числом степеней свободы называют разность между числом экспериментов и числом неизвестных параметров, оцениваемых на основании этих экспериментов. Окончательно, выражение для остаточной дисперсии n (y - y ) j j S j= S = = (15) ОСТ f f где f число степеней свободы (f = n – p; n – число экспериментов; р – число оцениваемых параметров).

Для оценки величины случайной ошибки эксперимента рассчитывают дисперсию воспроизводимости S. Для этого проводят одну или несколько серий ВОСП параллельных опытов; в каждой такой серии значения входных переменных от опыта к опыту не меняются. В этом случае отклонения относят к среднему значению измеряемой величины. А число степеней свободы будет на единицу меньше числа параллельных опытов т.

Формула f = m -1 объясняется в данном случае так же, как и формула для f при описании уравнениями: единица наименьшее число опытов, необходимое для того, чтобы составить представление о среднем значении определяемой величины.

Итак n (y - y )j j j=SВОСП =, (16) m -где y - среднее значение у всех результатов экспериментов m y j j=y = (17) m Для проверки адекватности рассчитывают дисперсионное отношение F 2 F = SОСТ / SВОСП (18) Если F больше некоторого критического значения, то уравнение неадекватно, если меньше, то адекватно. Критическое значение F зависит от двух чисел степеней свободы: f1, входящего в формулу (15), f2 = m - 1, входящего в формулу (16). Таблица критических значений F приведена в приложении Чем меньше f2, тем больше критическое F: чем меньше число степеней свободы при оценке дисперсии воспроизводимости, тем эта оценка менее точна и тем менее определенно приходится оценивать адекватность: не исключено, что даже очень большой разброс объясняется ошибкой опыта. Во всяком случае для оценки SВОСП целесообразно провести не менее трех опытов (f2 2).

Пример: Проверка адекватности уравнения.

Изучена зависимость у от х. Приведем опытные данные:

х............. -2 -1 0 1 у............. 0.0 0.0 1.0 2.0 3.Для оценки воспроизводимости проведены 4 опыта при х = 0:

x............. 0 0 0 у............. 0.8 0.9 1.0 1.3 ( y = 1.0) Адекватно ли линейное уравнение Параметры его найдем из опытных данных методом наименьших квадратов. Получим:

у = 1,2 + 0,8 х Отклонения опытных данных от расчетных составят:

-0,4; 0,4; 0,2; 0; -0,В соответствии с формулой (15), SОСТ = 0,133. Из параллельных опытов при х = 0 по формуле (16) находим SВОСП =0,0834. Отсюда 0,F = = 2,0,Числа степеней свободы: f1 = 5 – 2 = 3; f2 = 4 – 1 = 3. По таблице FКР = 9,3: F < FКР (при = 0,05).

Уравнение адекватно.

Пример: Проверка адекватности при большей точности опытов.

Адекватно ли линейное уравнение, полученное в предыдущем примере, если при оценке воспроизводимости получены такие результаты:

х........... 0 0 0 у........... 0,95 0,9 1,05 1,1 ( y = 1,0) Уравнение регрессии не изменяется, SОСТ = 0,133, но точность опытов иная:

SВОСП = 0,00834.

F = 15.9 > FКР.

При такой точности эксперимента то же уравнение неадекватно.

Проверим более сложное уравнение (2-го порядка). По тем же данным метод наименьших квадратов дает:

у = 0,9143 + 0,8 х + 0,1429 хДля этого уравнения отклонения опытных данных от расчетных равны:

- 0,11; 0,26; - 0,09; - 0,14; 0,09.

Откуда SОСТ = 0,0,F = = 6,0,Числа степеней свободы: f1 = 5 – 3 = 2; f2 = 4 – 1 = 3. По таблице FКР = 9,3.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.