WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

х............. -2 -1 0 1 у............. 0.0 0.0 1.0 2.0 3.Для оценки воспроизводимости проведены 4 опыта при х = 0:

x............. 0 0 0 у............. 0.8 0.9 1.0 1.3 ( y = 1.0) Адекватно ли линейное уравнение Параметры его найдем из опытных данных методом наименьших квадратов. Получим:

у = 1,2 + 0,8 х Отклонения опытных данных от расчетных составят:

-0,4; 0,4; 0,2; 0; -0,В соответствии с формулой (15), SОСТ = 0,133. Из параллельных опытов при х = 0 по формуле (16) находим SВОСП =0,0834. Отсюда 0,F = = 2,0,Числа степеней свободы: f1 = 5 – 2 = 3; f2 = 4 – 1 = 3. По таблице FКР = 9,3: F < FКР (при = 0,05).

Уравнение адекватно.

Пример: Проверка адекватности при большей точности опытов.

Адекватно ли линейное уравнение, полученное в предыдущем примере, если при оценке воспроизводимости получены такие результаты:

х........... 0 0 0 у........... 0,95 0,9 1,05 1,1 ( y = 1,0) Уравнение регрессии не изменяется, SОСТ = 0,133, но точность опытов иная:

SВОСП = 0,00834.

F = 15.9 > FКР.

При такой точности эксперимента то же уравнение неадекватно.

Проверим более сложное уравнение (2-го порядка). По тем же данным метод наименьших квадратов дает:

у = 0,9143 + 0,8 х + 0,1429 хДля этого уравнения отклонения опытных данных от расчетных равны:

- 0,11; 0,26; - 0,09; - 0,14; 0,09.

Откуда SОСТ = 0,0,F = = 6,0,Числа степеней свободы: f1 = 5 – 3 = 2; f2 = 4 – 1 = 3. По таблице FКР = 9,3.

Таким образом, F < FКР.

Уравнение адекватно.

При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспроизводимости качество аппроксимации можно оценить, сравнив остаточную дисперсию SОСТ и дисперсию относительно среднего S y n ( y - y )j j j=Sy = (19) n -по критерию F 2 F = S / S (20) y ОСТ Если F больше критического значения, то уравнение неадекватно, если меньше, то адекватно.

Если модель оказалась неадекватной, то нужно либо изменить ее структуру, либо увеличить число проводимых экспериментов.

Порядок выполнения работы:

1. Получить на производственном объекте выборку экспериментальных данных.

2. Составить программу расчета параметров уравнения регрессии.

3. Определить эмпирически структуру уравнения регрессии.

4. Найти параметры модели принятой структуры.

5. Проверить и добиться адекватности модели.

2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛООБМЕННОЙ АППАРАТУРЫ Процесс передачи тепла через стенку весьма распространен в химической технологии и значительно влияет на протекание химических реакции во всех типах реакторов. Процесс передачи тепла в теплообменной аппаратуре является основным и служит для сообщения технологическому потоку нужной температуры.

Выбирая различные способы оформления реакторов, можно влиять на интенсивность теплообмена между основным (реакционным) потоком и потоком хладоагента или окружающей средой. При полном отсутствии теплообмена через стенку получают адиабатический реактор. Реакторы, имеющие теплообмен с внешней средой, относятся к политропическим.

При рассмотрении процесса передачи тепла от одного теплоносителя к другому через стенку можно выделить несколько элементарных этапов: переход тепла от горячего теплоносителя к более холодной стенке, поглощение тепла материалом стенки и ее нагрев, распределение тепла по объему стенки, переход тепла от стенки к холодному теплоносителю.

Если процесс теплообмена протекает стационарно, то температура в каждой точке материала (теплоносителей и стенки) не изменяется во времени.

Применение модели с сосредоточенными параметрами (т.е. когда пространственные координаты не входят в математическое описание) приводит к алгебраическим соотношениям между температурами в системе. Если, наоборот, температуры меняются во времени, математическое описание получается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (аргументом является время).

Зависимость температур от геометрических координат обуславливает математическое описание статики в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (если пространственная координата одна) или дифференциальных уравнений в частных производных. Независимыми переменными при этом являются пространственные координаты. Динамическая модель при наличии пространственно-распределенных эффектов описывается уравнениями в частных производных, причем одной из независимых переменных является время.

Интенсивность перехода тепла от одного теплоносителя (например, горячего потока жидкости или газа) к другому (стенке) зависит от разности температур между ними, а также от теплового сопротивления. В расчетные уравнения, однако, обычно включают не сопротивление, а обратную величину - коэффициент теплоотдачи а – тепловой поток (ккал/ч или Вт) через поверхность площадью 1 м2 при разности температур (температурном напоре) 1 градус.

Полный тепловой поток q определяется произведением коэффициента теплоотдачи а на поверхность F и на температурный напор T :

q = FT (1) Уравнение (1) применимо как к нагреванию стенки от горячей жидкости, так и, наоборот, к нагреванию холодной жидкости горячей стенкой; при этом T будет иметь разные знаки.

Если пренебречь распространением тепла в стенке, то теплопередачу от горячего потока жидкости к холодному, находящемуся по другую сторону стенки, можно представить как процесс преодоления тепловым потоком двух последовательных сопротивлений теплоотдачи - от горячего потока к стенке и от нагревшейся стенки к холодному потоку.

Используя вместо сопротивлений коэффициенты теплоотдачи (1 и 2 ), получаем выражение, определяющее коэффициент теплопередачи (k):

1/ k =1/ 1 +1/ 2 (2) В практических расчетах часто используют коэффициент теплопередачи как характеристику интенсивности теплообмена между потоками:

q = kFT (3) В тех случаях, когда коэффициенты теплоотдачи учитываются порознь, принимают усредненную температуру стенки, разделяющей потоки. Иными словами, считают, что теплопроводность материала стенки настолько велика, что перепад температуры отсутствует.

Коэффициенты теплоотдачи зависят от многих параметров, но наиболее сильно - от скорости потока, характера набегания жидкости на стенку, плотности и теплопроводности жидкости. При выполнении точных расчетов зависимость коэффициента теплоотдачи от параметров потока следует учитывать. Однако для большинства инженерных расчетов теплообменной аппаратуры и реакторов достаточны упрощенные представления.

Для вывода уравнений математического описания процесса теплообмена через стенку следует рассмотреть тепловой баланс каждой среды, имеющей запас тепла. Он складывается из прихода и расхода тепла, которые определяют накопление тепла в объеме; накопление является временным процессом:

накопление = приход - расход. В статике ввиду равенства прихода и расхода тепла накопление равно нулю.

Накопление связано с изменением температуры:

cPVT или для элементарного объема:

cPSdTd1, где - плотность; сР - удельная теплоемкость; V - объем; S - сечение потока; d1 - элементарный участок потока.

Приход и расход тепла может определяться теплоотдачей (теплопередачей), а в случае проточной системы с распределенными параметрами - притоком и уносом тепла с конвективным потоком.

Количество тепла, поступающее в аппарат с конвективным потоком определяется как cPT или для элементарного объема за элементарное время d :

cPTd, где - объемный расход потока.

Количество тепла, уходящее из рассматриваемого объема с конвективным потоком определяется следующим выражением:

cP (T + T) или для элементарного объема:

cP (T + dT)d Приход тепла, определяемый теплопередачей:

F k (TВН - Т )V V или для элементарного объема за элементарное время:

FS k (TВН - Т )d1d, V где ТВН - температура внешнего теплоносителя.

С учетом полученных соотношений, накопление тепла в системе составит:

сVT= сT - с(T+T)+kF(Tвн-T) или в элементарном объеме за элементарное время:

FS cPSdTd1 = cPTd - cP (T - dT )d + k (TВН - T )d1d.

V Проведя несложные преобразования, получим уравнение теплового баланса, описывающего динамику теплообменников, во всем объеме которых происходит полное (идеальное) смешение частиц потока:

dT cPV = cP (T - T ) + kF(TВН - T ), (4) dt где Т0, Т - температура потока на входе и в зоне идеального смешения.

Соответственно для трубчатых теплообменников, работающих по принципу вытеснения, уравнение динамики будет выглядеть следующим образом:

сT/t=(-с/S)* T/l+kF(Tвн-T)/V (5) Ввиду того, что в статическом режиме накопление тепла в системе равно нулю, модель статики теплообменников смешения будет иметь вид:

сP (T - T ) + kF(TВН - Т ) = 0, (6) статика трубчатых теплообменников описывается уравнением:

kFS TBH - T ( ) d T CuV dl (7) где F - периметр поверхности теплообмена.

Пример 1: Теплообменник представляет собой тонкостенный змеевик, по которому в режиме идеального вытеснения движется охлаждаемый поток жидкости. Змеевик погружен в воду, непрерывно протекающую через сосуд, так что температура охлаждающей воды ТВН практически постоянна и равна 10°С во всем объеме.

Требуется определить температуру на выходе потока, идущего по змеевику со скоростью u = 4 м/с, если температура его на входе равна 95°С, длина трубки змеевика L = 2 м, его сечение S = 10-4 м2, коэффициент теплопередачи k = 1,104 Вт/(°С м2 ). Теплоемкость охлаждаемой жидкости cР = 2,93 103 Дж/(°С кг), ее плотность = 900 кг/м3. Параметры считать не зависящими от температуры;

изменение объема не учитывать. Режим работы считать стационарным.

Температура охлаждаемого потока Т подчиняется дифференциальному уравнению (7):

2krS TBH - T ( ) d T CuV dl, (8) где 1 - длина, r - радиус змеевика, Su = - объемный расход потока.

Начальное условие для уравнения (8) Т(0) = 95° С.

Вычислим коэффициент уравнения:

4 -2k Sl 2 1,16 10 3,14 10 /3, = = = 0,12м-3 -c Su 900 2,9310 10 P Уравнение (8) подлежит решению в пределах изменения независимой переменной 1 от 0 до 2 м.

Решение представлено на рис. 1. Температура на выходе потока составила T(L) = 76° С.

Рис. 1. Профиль температуры по длине теплообменника Пример 2: Жидкость охлаждается в теплообменнике типа "труба в трубе".

Охлаждаемая жидкость и хладагент движутся параллельно (прямотоком).

Требуется определить температуры потоков на выходе теплообменника, если начальная температура охлаждаемой жидкости равна 170° С, а хладагента 15° С.

Плотность охлаждаемой жидкости и хладагента = 900 кг/м3. Диаметры труб теплообменника: внутренней D1 = 0.01 м, наружной (для хладагента) D2 = 0,03 м.

Длина теплообменника L = 1 м. Теплоемкость жидкости и хладагента сР = 3.103 Дж/(°С кг). Объемный расход охлаждаемой жидкости 1 = 2.28 10-4 м3/с, хладагента 2 = 5.75 10-4 м3/с, коэффициент теплопередачи k = 4900 Вт/(м2°С).

Температурный профиль по длине для каждого из потоков определяется решением системы дифференциальных уравнений:

dT1 kD= (T2 - T1) (9) d1 1cPdT2 kD= (T1 - T2 ) (10) d1 2cP где T1 и Т2 - температура охлаждаемой и охлаждающей жидкости.

Начальные условия: Т1(0)=170°С; Т2(0)=15°С.

После подстановки в уравнения (9) и (10) численных значений параметров получаем следующую систему:

dT1/dl = 2.24(T2 - T1) dT2 /dl = 0.885(T1 – T2) Рис. 2. Изменение температур теплоносителей по длине прямоточного теплообменника.

Графики решения системы уравнений математического описания статики теплообменника представлены на рис. 2. На нем изображены температурные профили вдоль теплообменника для обоих теплоносителей.

Можно видеть, что движущая сила процесса сильно меняется по длине, поэтому эффективность использования различных участков теплообменника не одинакова. Температуры теплоносителей на выходе теплообменника равны: T1(L) = 64°С, Т2(L)= 57°С.

Пример 3: Смоделировать статический режим теплообменника типа "труба в трубе", используя данные, приведенные в примере 2, для случая противотока.

Принять полную длину теплообменника L = 2.5 м.

Тепловые процессы в противоточном теплообменнике подчиняются тем же закономерностям, что и в прямоточном. Поэтому математическое описание теплообменника записывается аналогично, однако формально однотипные уравнения для обоих теплоносителей имеют аргументы различного знака:

dT1 kD= (T2 - T1) (11) d1 1cPdT2 kD= (T1 - T2 ) (12) d(-1) 2cP Существенным различием, отражающим иную организацию потоков теплоносителей, является принципиально другое задание условий решения уравнений (11) и (12) по сравнению с заданием при решении уравнений (9) и (10).

Совместное интегрирование уравнений (11) и (12) возможно лишь в одном направлении: либо при 1, меняющемся от 0 до L, либо в обратном - от L до 0. При этом в любом случае оговорено лишь одно начальное условие, второе остается неизвестным. Известно лишь, к какому значению в конце решения должна подойти вторая переменная.

Для решения задачи воспользуемся последним обстоятельством и попытаемся отыскать неизвестное начальное условие Т2(0) с таким расчетом, чтобы условие, заданное для конца решения (граничное условие), было выполнено, т.е. T2(L) = 15°С. Такие задачи при малом числе условий, подлежащих определению, обычно решают методом проб и ошибок.

Задачей поиска начального условия Т2(0) является выполнение граничного условия T2(L) при интегрировании системы уравнений (11) и (12).

Рис. 3 иллюстрирует процесс поиска неизвестного начального условия Т2(0). Кривая 1 отражает профиль температуры Т2, полученный в предположении, что хладагент нагреется до 57°С (значение взято произвольно). Видно, что это предположении неудачно, так как не получено ожидаемое значение T2(L)=15°С.

Приняв Т2(0) = 65°С, получаем кривую 2. Она также неудовлетворительна, так как вместо Т2(1) = 15°С получаем лишь 4°С. Кривые 3 и 4 также не соответствуют искомому начальному условию: в первом случае входная температура T2(L) получилась заниженной, во втором - завышенной. Повидимому, искомое начальное условие лежит между двумя последними проверенными значениями (70 и 80°С).

Тщательно исследуя намеченный диапазон задания начального условия, находим Т2(0) = 75°С.

На рис. 3, б показан результат решения задачи. Выходная температура охлаждаемого потока T1(L) достигает 18°С.

Рис. Результаты моделирования на ЭВМ противоточного теплообменника а - серия кривых решения системы уравнений (9) и (10), полученная в процессе определения недостающего начального условия; б – изменение температур теплоносителей по длине теплообменника.

Пример 4: Смоделировать переходный режим теплообменника типа "смешение - смешение". Теплообменник представляет собой двухкамерную емкость. В первую камеру емкости поступает охлаждаемая жидкость, во вторую хладагент. Для обеспечения однородного распределения температуры по объему в камерах установлены мешалки. Плотность охлаждаемой жидкости 850 кг/м3, а хладагента 920 кг/м3. Объемы камер равны и составляют 2.5 м3 каждая. Объемный расход теплоносителя 4.12 10-3 м3/с, хладагента 5.43 10-3 м3/с. Теплоемкости жидкости и хладагента соответственно 3.75 103 Дж /(кг С°) и 3.14 103 Дж/(кг С°). Поверхность теплообмена составляет 4м2, а коэффициент теплопередачи равен k = 4360 Вт/(м2 °С). Температура охлаждаемой жидкости на входе меняется скачкообразно от 115 до 200°С, а температура хладагента от 10 до 15°С.

Изменение температуры по времени для каждого потока определяется решением системы:

dT c V = c (T - T ) + kF(T - T ) (13) 1 P1 1 1 1 P1 1 1 2 dt dT c V = c (T - T ) + kF(T - T ), (14) 2 P 2 2 2 2 P 2 2 2 1 dt 0 где T и T - температуры жидкости и хладагента на входе в тепло1 обменник; T и T - температуры потоков на выходе теплообменника для 1 установившегося состояния.

Система уравнений (13) и (14) решается при начальных условиях: Т1(0) =T ;

Т2(0) = T.

Для определения T и T составляются уравнения теплового баланса 1 стационарного режима работы теплообменника:

0 c (T - T ) + kF(T - T ) = 0 (15) 1 1 P1 1 1 2 0 c (T - T ) + kF(T - T ) = 0 (16) 2 2 P 2 2 2 1 После подстановки численных значений получаем следующую систему:

13132,5(115 - Т ) + 17440(Т - Т ) = 1 2 15686,2(10 - Т ) + 17440(Т - Т ) = 0, 2 1 которая может быть решена численно или аналитически относительно любых двух переменных, входящих в эти уравнения.

Температуры теплоносителей на выходе теплообменника в установившемся состоянии составили: Т = 74.46°С, Т = 43.93°С.

1 Подставляя численные значения в уравнения (13) и (14) получим систему:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.