WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 46 |
Р. М. Федоров А. Я. Канель-Белов А. К. Ковальджи И. В. Ященко МОСКОВСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ 1993—2005 г.

Под редакцией В. М. Тихомирова Москва Издательство МЦНМО 2006 УДК 51 ББК 74.200.58:22.1 M82 Авторы:

Р. М. Федоров, А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи, И. В. Ященко Под редакцией В. М. Тихомирова Издание осуществлено при поддержке Департамента образования г. Москвы и Московского института открытого образования.

Московские математические олимпиады 1993—2005 г.

/ Р. М. Федоров и др. Под ред. В. М. Тихомирова. — M82 М.: МЦНМО, 2006. — 456 с.

ISBN 5-94057-232-4 В книге собраны задачи Московских математических олимпиад 1993— 2005 г. с ответами, указаниями и подробными решениями. В дополнениях приведены основные факты, используемые в решении олимпиадных задач, и избранные задачи Московских математических олимпиад 1937—1992 г.

Все задачи в том или ином смысле нестандартные. Их решение требует смекалки, сообразительности, а иногда и многочасовых размышлений.

Книга предназначена для учителей математики, руководителей кружков, школьников старших классов, студентов педагогических специальностей. Книга будет интересна всем любителям красивых математических задач.

ББК 74.200.58:22.1 Авторы просят сообщать о замеченных ошибках и опечатках по адресуmmobook@mccme.ru.

Спасибо! ISBN 5-94057-232-4 МЦНМО, 2006.

ПРЕДИСЛОВИЕ Перед вами сборник задач Московских математических олимпиад с 1993 по 2005 год. Он содержит около трехсот задач с подробными решениями. Многие задачи снабжены указаниями (подсказками). Все задачи в том или ином смысле «нестандартны» — их решение требует смекалки, сообразительности, а часто и многочасового размышления.

Некоторые из этих задач доступны большинству школьников, другие же столь сложны, что немногие обладатели высшего математического образования смогут их решить.

С другой стороны, важная особенность олимпиадных задач состоит в том, что для их решения не требуется никаких знаний, выходящих за рамки школьной программы. Конечно, это верно лишь в некотором приближении — такие «нешкольные» методы, как принцип математической индукции, уже давно не смущают составителей вариантов.

Но если олимпиадные задачи не требуют специальных знаний, то что же тогда отличает олимпиаду по математике от соревнования по разгадыванию головоломок Наше убеждение состоит в том, что, в отличие от головоломок, хорошие математические задачи глубоко связаны с важными разделами современной математики, иллюстрируют основополагающие математические принципы. Московская олимпиада всегда славилась такими связями — например, задачи 93.8.2 и 96.11.4 связаны с древним вопросом о представлении чисел суммами квадратов, а задача 99.10.5 связана с так называемыми сжимающими отображениями. Вот еще несколько задач, в которых эти связи наиболее заметны: 93.10.4, 95.10.6, 97.11.3, 99.10.5, 00.10.3, 01.10.5, 02.11.6, 03.10.6, 04.9.3, 04.10.3, 05.8.5, 05.10.6. В этой книге мы всегда старались упомянуть о таких связях в комментариях к решению.

Для многих математиков (включая некоторых авторов этой книги) сборники задач Московских математических олимпиад [58] и [63] были одними из первых книг по математике. Мы хотим пожелать нашим юным читателям, чтобы эта книга помогла им прикоснуться к очарованию нашей любимой науки.

4 Предисловие Сложность задач. По традиции составители варианта стараются упорядочить задачи по возрастанию сложности. В «идеальном» варианте первую задачу решает от четверти до половины участников, а последнюю задачу — несколько человек. Задачи, которые (по нашему мнению) слишком сложны для своего места, мы отмечали звездочками. Например, задача 97.10.1 показалась нам слишком сложной для первой задачи — будь она второй, мы не стали бы снабжать ее звездочкой. И уж конечно из того, что задача 97.10.6 не отмечена звездочкой, не следует, что она проще, чем 97.10.1. В тех случаях, когда нам удалось разыскать статистику решения задач, мы пытались привести наши звездочки в соответствие со статистикой.

Решения. Мы всегда старались привести решения, не выходящие за рамки школьной программы, и в большинстве случаев нам это удалось. Однако в некоторых задачах мы приводим второй способ решения, в котором используются нешкольные понятия и утверждения. Иногда второй способ изложен очень кратко — в этом случае мы называем его «идея другого способа» или «набросок».

Иногда второй способ является лишь незначительной модификацией первого, тогда мы называли его «вариант решения». В этом случае мы считали, что читатель уже изучил основной способ, но не прочь узнать и более элегантное решение.

Основные факты. В этом разделе собраны понятия и теоремы, которые наиболее часто встречались в решениях задач данной книги. Мы старались не включать факты, имеющиеся в большинстве школьных учебников, хотя некоторые, плохо, по нашему мнению, изучаемые в школе, присутствуют. Для каждого факта приведен список задач, в которых он используется. Встретив ссылку на факт, порешайте другие задачи, в которых также используется этот факт.

Указания. Мы старались давать указания так, чтобы «не раскрыть всех секретов задачи», поэтому не следует думать, что после прочтения указания вы сразу решите задачу. Если задача все равно не решается, то посмотрите Предисловие ответ, если и это не помогает — прочитайте начало решения.

Избранные задачи. В дополнении В приведены (без решений) избранные задачи Московских математических олимпиад 1935—1992 годов. Подборка сделана на основе списка, подготовленного замечательным задачным композитором Н. Б. Васильевым. Их решения можно найти в сборниках задач [58], [63] и на сайте www.mccme.ru. Мы надеемся, что в ближайшие годы будут изданы подробные решения задач всех московских математических олимпиад.



Благодарности. Эта книга — плод коллективной работы многих людей. Во-первых, это авторы задач, без них ни одна олимпиада не могла бы состояться. Их список приведен в конце книги. Мы также должны упомянуть о титаническом труде тех, кто составлял варианты, проводил олимпиады, проверял работы... Наконец, олимпиады не имели бы никакого смысла, если бы на них не приходили школьники. Нам приятно отметить, что многие из тех, кто на олимпиадах решал задачи опубликованные в этой книге, стали профессиональными математиками.

После каждой олимпиады оргкомитет издавал «книжечку с решениями», которая раздавалась участникам на закрытии олимпиады. Мы брали решения из этих книжечек за основу, исправляли ошибки (и добавляли новые), придумывали новые решения, редактировали их и делали более подробными. Мы хотели бы выразить признательность всем тем, кто участвовал в написании «книжечек».

Автору часто трудно оценить понятность собственного текста, мы благодарны А. Д. Блинкову, Т. И. Голенищевой-Кутузовой, А. В. Манучаровой, Д. Д. Мухиной, А. М. Федоровой и ученикам класса в-2008 школы № г. Москвы за указания на непонятные места.

Многие ценные замечания были высказаны А. В. Акопяном, В. Д. Арнольдом, Т. В. Караваевой, А. А. Кустаревым, С. В. Маркеловым. Тексты В. В. Прасолова были использованы при написании раздела «Основные факты».

6 Предисловие Текст книги внимательно прочитали и сделали много замечаний и предложений В. В. Прасолов и А. В. Семенов. Решения стали гораздо более наглядными благодаря замечательным рисункам, сделанным Н. Шиховой и В. Радионовым. Отдельная благодарность В. Радионову за прекрасный макет книги и указания ряда неточностей в решениях.

РАЗМЫШЛЕНИЯ о Московских математических олимпиадах В. М. Тихомиров Краткий экскурс в историю. В 2005 году исполнилось 70 лет со времени проведения первой Московской математической олимпиады. Она была организована по инициативе Московского математического общества Наркомпросом, Московским государственным университетом и школьным отделом гороно (министерства в те годы назывались наркоматами, Наркомпрос — это в переводе на современный язык — министерство просвещения;

гороно — городской отдел народного образования). В организационный комитет первой олимпиады вошли многие видные ученые: члены-корреспонденты Академии наук СССР Павел Сергеевич Александров, президент Московского математического общества, избранный членомкорреспондентом в первые академические выборы советского периода в 1929 году (он был председателем оргкомитета олимпиады), Сергей Львович Соболев и Лев Генрихович Шнирельман (избранные во вторые выборы в 1933 году, когда Сергею Львовичу исполнилось только 25 лет, и он стал самым молодым членом Академии), профессор Андрей Николаевич Колмогоров, директор Института математики и механики при МГУ (уже тогда воспринимавшийся как один из крупнейших математиков современности) и другие. Отметим, что большинству членов оргкомитета, в частности тем, кто был назван выше, не исполнилось тогда и сорока лет.

Олимпиада проводилась в два тура. В первом туре, состоявшемся 30 марта 1935 года, участвовали 227 школьников и 65 рабфаковцев, остальные — готовящиеся к поступлению в вуз, всего 314 человек; во втором туре участвовало 120 человек. Победителями первой олимпиады были признаны трое: Игорь Зверев, Коля Коробов и Аня Мышкис.

Зачем нужны олимпиады Председатель оргкомитета первой олимпиады — Павел Сергеевич Александров — писал об этом так:

8 В. М. Тихомиров «Основная забота о будущем советской науки требует, чтобы ни одно математическое дарование [...] не затерялось зря. Каждому из наших подрастающих талантов обеспечено полное внимание, полная и всесторонняя помощь и поддержка со стороны советского государства и всего социалистического общества нашей страны». И далее: «Одной из наиболее действенных форм нашей помощи самым молодым дарованиям является организация олимпиады, т. е. широкого состязания, широкого социалистического соревнования всех наших школьников, одаренных математически и интересующихся математикой.

Это состязание должно заставить лучших из них почувствовать себя уже настоящими математиками, будущими учеными. Оно должно укрепить их веру в себя, зажечь их научный энтузиазм и в то же время заставить их почувствовать, что лишь длинный путь упорной работы приведет их к цели, к участию в качестве квалифицированных математиков, а иногда и больших самостоятельных ученых в той громадной стройке социализма, которая развернулась в нашей стране».

Многие понятия, которыми оперировал П. С. Александров, ныне ушли в прошлое, но я постараюсь выделить из сказанного им то содержание, которое, по моему мнению, должно сохраниться на все времена.

Наука — великое достояние человечества, и для развития науки человечеству разумно озаботиться тем, чтобы ни одно математическое дарование не пропало бы.

Одаренные люди могут принести пользу своему отечеству, и потому государству следовало бы обеспечить полное внимание, полную и всестороннюю помощь и поддержку каждому из подрастающих талантов.

Безусловной истиной является и то, что одной из наиболее действенных форм содействия молодым дарованиям является организация олимпиад, т. е. широкого состязания школьников, интересующихся математикой; это состязание призвано укрепить их веру в себя и зажечь в них научный энтузиазм. Итак, олимпиады могут принести пользу Личности, Стране и Миру.





...Как-то в 2005 году на одном из представительных собраний энтузиастов олимпиадного движения я задал всем Размышления о московских олимпиадах тот же вопрос: зачем нужны олимпиады Он не так-то уж прост, как может показаться на первый взгляд. Когда я предоставил слово А. — ветерану движения и одному из самых ревностных его энтузиастов, тот не нашелся, что сказать. На некоторое время установилась тишина, а потом у многих загорелись глаза, и началось бурное обсуждение. Было высказано много замечательных мыслей, но мотивы государства и человечества в них не фигурировали — время сменило приоритеты и на первый план вышли интересы личности. Одни говорили, что участие в олимпиадах определило их жизненный выбор, другие — что оно дало возможность общения с хорошими людьми;

было сказано, что участие в олимпиадах дало бесценное ощущение свободы... Все восхваляли олимпиады и благодарили их. Но все же...

Pro и contra. По отношению к Николаю Николаевичу Константинову термин «ветеран олимпиадного движения» лишь в самой слабой степени отражает его несравненную роль в организации и проведении олимпиад и различных турниров для школьников. В первом номере третьей серии «Математического просвещения» (за 1997 год) Николай Николаевич поместил статью, вступительная часть которой, озаглавленная «Чем хорошо и чем плохо соревнование», посвящена теме, которую я собираюсь обсудить.

Приведу без купюр три абзаца (первый, второй и четвертый) этой замечательной статьи.

«Наука — арена нескольких видов борьбы. Это — и борьба человечества с незнанием, и борьба ученых со своими заблуждениями, и стремление принести пользу людям, и поиск красоты мира, и стремление к славе, и делание собственной карьеры, и заработок. Чтобы наука жила полноценно, нужно, чтобы ее поддерживали различные стимулы — внутренние и внешние. Каждого ученого какой-то стимул подтолкнул в сторону науки. И если этот стимул антинаучный и низменный, большой беды в этом нет.

Важно только, чтобы своевременно возникли другие стимулы, соответствующие высшему назначению науки.

Математические олимпиады используют в качестве стимула дух соперничества — в этом сила и слабость математических олимпиад. Сила потому, что в детском возра10 В. М. Тихомиров сте призыв посоревноваться находит отклик в душе почти каждого человека. Этим и объясняется огромный успех олимпиад. Они настолько понравились, что за сто лет их существования стиль их проведения почти не изменился.

В то же время вред духа соревнования очевиден. Прежде всего наука — поприще настолько широкое, что людям на нем никогда не будет тесно. Дух же соревнования сталкивает людей на одну узкую тропинку. Человек в науке ценен своей уникальностью, между тем дух соревнования толкает людей подчиняться критериям прошлой эпохи и гнаться за чужой славой, стараясь ее повторить, вместо того, чтобы занять свое уникальное место. Школьник, увлекшийся олимпиадами, тратит на них все годы своей учебы в старших классах. Даже если он достигает в них прекрасных результатов, их цена оказывается слишком высокой, так как на это уходит заметная часть его творческой жизни».

Я согласен со всем сказанным Николаем Николаевичем, и от себя скажу лишь несколько слов. Сама идея рейтингования человеческих достоинств (все более и более популярная в последнее время) не представляется мне плодотворной. Мне хотелось бы, чтобы в разумном обществе личность не была бы поставлена в такое положение, при котором ей постоянно приходилось бы утверждать себя в конкурентной борьбе.

Приведу еще одну цитату, с которой я солидарен: «Своим успехам на олимпиаде естественно радоваться и даже гордиться ими. Неудачи же на олимпиадах не должны чрезмерно огорчать»,— так писал Андрей Николаевич Колмогоров. Далее он продолжал: «Для успеха на олимпиаде необходимы некоторые специальные типы одаренности, которые вовсе не обязательны для успешной исследовательской работы. Уже само наличие назначенного очень ограниченного срока для решения задач многих делает совершенно беспомощными. Но существуют и такие математические проблемы, которые могут быть решены лишь в результате очень длительного и спокойного размышления и формирования новых понятий. Много такого рода проблем было решено замечательным советским топологом П. С. Александровым. И не случайно Павел Сергеевич Размышления о московских олимпиадах говорил, что если бы во времена его юности были математические олимпиады, он, возможно, не сделался бы математиком: его главные достижения в математике явились не плодом быстро работающей изобретательности, а итогом длительного и углубленного созерцания».

Коротко об эволюции олимпиад. Если для проведения первой олимпиады был образован организационный комитет, возглавлявшийся крупными учеными и выдающимися деятелями просвещения, то потом все упростилось. Московское математическое общество стало выделять лишь одного своего представителя в качестве председателя организационного комитета (увы, им, как правило, далеко за сорок), а далее формируется команда энтузиастов из старых и молодых олимпиадников, а также студентов и аспирантов, которые и проводят олимпиады. Московское математическое общество принимало участие в организации всех олимпиад, кроме тех, что проходили в 1981—годах. Что послужило причиной отстранения Общества от олимпиад на этот период, пусть объяснит кто-то другой, я этого никогда не мог понять. Скажу только, что этот исторический прецедент возымел неожиданное побочное и положительное влияние на развитие олимпиадного движения. Вместе с Матобществом был отстранен от проведения олимпиад и Н. Н. Константинов, патриарх движения.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 46 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.