WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 13 |

( ) ( ) r2 r r z Так как функция J0 (r) удовлетворяет уравнению Бесселя, то + J0 r = -2 J0 r.

( ) ( ) r2 r r С учетом последнего равенства уравнение будет иметь вид Iµ d X () - k2 + 2 X J0(r)d = 0.

4 dzПоследнее равенство будет выполнено, если положить d X - p2X = 0, p2 = k2 + 2. (2.1.2.2) () dzНа границах пластов, не содержащих источников, условия сопряжения решений для функции X следуют из непрерывности Ax и µ-1 Ax /z :

1 dX X = 0, = 0. (2.1.2.31) µ dz Кроме того, должно выполняться условие X (z,) 0, | z |. (2.1.2.32) Общим решением уравнения (2.1.2.2) является линейная комбинация экспонент pmz X (z,)=Cme +Dme-pmz.

(0) Вектор-потенциал Ax0 первичного поля диполя в однородной среде, в согласии с (2.1.2.13), может быть представлен в интегральном виде посредством интеграла Зоммерфельда:

Iµ0 Iµ0 - p0|z+h0| (0) (0) Ax0 = X0 z, J0 r d = e J0 r d.

( ) ( ) ( ) 4 4 p(0) Производная функции X - p0(z+h0) e, z >-h0, - p0|z+h0| - p0|z+h0| 1 (0) X0 = e= e = p0 p0 p0(z+h0) e, z <-h0.

по z всюду непрерывна, кроме точки z =– h0, в которой она имеет разрыв:

(0) (0)(-h + 0) dX (0)(-h -0) dX dX 00 0 0 = -= dz dz dz z=-h - p 1 d 0(h0+z) p0(h0+z) e =-e = (2.1.2.4) p dz z=-h - p 0(h0+z) e p0(h0+z) =-e + =-2.

z=-h Электромагнитное поле в пластах, содержащих источники, обычно представляют в виде суммы первичного поля этих источников в однородном пространстве и индуцированного поля. В нашем случае вектор-потенциал в воздухе можно представить в виде суммы:

(0) (1) Ax = Ax + Ax, 0 0 (1) в которой Ax - индуцированный вектор-потенциал. Поэтому Iµ Ax = X z, + X z, J r d.

( )0 ( ) 0( ) Функция X (, z) является решением уравнения (2.1.2.2). Так как в произвольном m-том пласте Xm (z,)=Cmepmz +Dme-pmz, (2.1.2.5) то в воздухе, с учетом принципа предельного поглощения, имеем 1 p0z X (z,) = C, z < 0.

00e Таким образом, в области z < 01 - p X z, = X z, + X z, = e + ( ) ( ) ( )1 0|z+h0| C p0z.

00 0p 0e В первом пласте p1z -p1z X (z,)=C + D, 0 < z < h <. (2.1.2.6) 11e 1e Условия сопряжения (2.1.2.3) при z = 0 дают систему :

-p0h e + C = C + D = X 0,, ( ) 0 1 1 p -p0h -e + p0C0 = p1 - D ( ) (C1 1)= 1 X1 0,.

µ0 µµ Разделим почленно левые и правые части равенств и выразим коэффициент C через отношение X1 / X1. После преобразований получим:

µ0X +p µ1X -p0h0 C = e.

p - µ0 X (µ1X1) 0 1/ Задача (2.1.2.2)-(2.1.2.3) эквивалентна задаче (2.1.1.1) – (2.1.1.3), поэтому аналогом формулы (2.1.1.9) является равенство:

X p 1 =-, (2.1.2.7), * X R где p pn * -1µn. (2.1.2.8) 1µ R = cth p + arcth cth p +…+ arcth 1h1 2h p µ1 pn µn- Отсюда находим * p -µ0 p µ1R 0 1/ e p0h0, C = * p p + µ0 p µ1R 0 0 1/ 01 - p X z, = X z, + X z, = e + ( ) ( ) ( )1 0|z+h0| C p0z.

00 0p 0e Выражение для функции X = X1 (0,) при z = 0 принимает вид - p - p0h2 0hX = e = X1(0) = (2.1.2.9) µ0 p1 e.

µ0 X p0 + p µ1X µ1R* Для компоненты Ax получаем формулу:

-p0hIµ2e Ax = ( ) µ0 p1 J0 r d.

p0 + µ1R* Опуская диполь на поверхность земли, получим:

Iµ Ax = (2.1.2.10) ( ) µ0 p1 J0 r d.

p0 + µ1R* Из формулы (2.1.2.7) находим p1 p1 2 - p0h X =- X1 =- e.

* R1* R1 p0 + µ0 pµ1R* Замечание 1. Благодаря использованию формулы Н.В. Липской, удалось определить функцию X1(0) на поверхности земли для произвольной горизонтально-слоистой среды, не прибегая к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно нескольких пар неопределенных коэффициентов, через которые записывается общее решение в каждом слое (см.

формулу (2.1.2.5)).

Замечание 2. По известной величине X1(0) можно найти эту функцию при произвольном z > 0. Для этого нужно решить задачу (2.1.2.2)- (2.1.2.3) с краевым условием (2.1.2.9) X1(z,) = X1(0).

z=В пласте с номером m (m > 0 ) значения компоненты Axm z могут быть ( ) рассчитаны путем вычисления интеграла:

IµAxm = Xm z J0 r d, ( ) ( ) в котором функция Xm z определяется выражением (2.1.1.4).

( ) Коэффициенты, содержащиеся в этой функции, находятся путем решения системы (2.1.1.6). Удобно также использовать формулы (2.1.1.10)-(2.1.2.11).

Очевидно, в формулах нужно заменить km на pm, m на µm, U0 на X1 (0). Б) Компонента Az. Решение для компоненты Az обычно ищут в следующем виде [Заборовский,1960; Ваньян,1965]:

I W Az =, (2.1.2.11) 4 x где функция W обладает цилиндрической симметрией и удовлетворяет уравнению 2W 1 W 2W + +- k2 W = 0, r2 r r zпоэтому для функции W решение будем искать в том же виде, что и для Ax:

W = µ Z z, J0 r d. (2.1.2.12) ( ) ( ) Для Z получим уравнение d2Z - p2Z = 0, p2 = k2 + 2 (2.1.2.13) ( ) dzУсловия сопряжения на границах пластов следуют из непрерывности функций:

Az ; divA.

µ kИх непрерывность будет обеспечена, если Z = 0, X + µZ = 0. (2.1.2.14) () µ Второе условие в (2.1.2.14) имеет нестандартный вид и предполагает, что функция Х известна. Если решение уравнения (2.1.2.13) с условиями сопряжения (2.1.2.14) искать в виде разности функций [Ваньян, 1965, Дмитриев, 1969]:

Z =V - X / µ2 (2.1.2.15) ( ) то функция V удовлетворяет уравнению (2.1.2.13), что существенно упрощает отыскание функции Z. Найдем условия сопряжения для вспомогательной функции V. Согласно (2.1.2.15) из непрерывности Z следует, что функция V непрерывна, так как этим свойством обладает X / (µ ). Подставим (2.1.2.15) в (2.1.2.14) и выполним преобразования 11 1 1 X + µZ = X + V X / µ2 = V + X - p2X / µ2 = (- ) ( ) ( ) µ µ µ 1 1 2 + k2 X = 1 -iµ 1 i - X = V + X.



= V + X - V µ µ2 µ2 Из непрерывности функций X + µZ /µ и Х следует непрерывность функции ( ) V /. Подставляя предполагаемый вид решения в (2.1.2.13) для функции V получим задачу:

d2V - p2V = 0, (2.1.2.16) dz 1 dV V = 0;

= 0; V 0, z. (2.1.2.17) dz Функция X / µ, а вместе с ней и V непрерывны на границах слоев лишь в отсутствии источников в пласте. В частности, если бы в верхнем полупространстве не было источников, - p0hp0zp0z p0z X0(z) = X0(0)e, X0(z) = p0X0(0)e = p0(C0 + e / p0)e.

На самом деле при z = 0 имеем - p0h0 - p0h0 - p0h0 - p0h X0(0) = C0 + e / p0, X0(0) = p0(C0 - e ) = p0(C0 + e / p0) - 2e.

Следовательно, - p0h X0(0) = p0X0(0) - 2e - p0h и функция X на поверхности земли имеет разрыв, равный – 2e, поэтому - p0h[V ] =V1(+0) -V0(-0) = -2e /(2µ0) или - p0hV0(0) =V1(0) + 2e /(2µ0). (*) На поверхности земли, исходя из непрерывности X + µZ, получаем () µ условие сопряжения производных функции V 1 dV = 0.

dz Отсюда на поверхности земли можем записать V0 (0) 0 = V0 (0) = V1 (0). (**) V1 (0) 1 p0z В воздухе функция V0 представима в виде V0(z) = 0e, поэтому V0(0) = p0V0(0). Подставим сюда вместо V0 (0) правую часть формулы (*), найдем - p0hV0(0) = p0V0(0) = p0 V1(0) + 2e/(2µ0). (***) Итак, согласно (**) и (***) получим 0 - p0h V0 (0) = V1 (0) p0 V1(0) + 2e /(2µ0) = V1 (0).

1 С учетом последнего соотношения на поверхности земли можно найти связь между V1 (0) и V1 (0), учитывающую присутствия источника в воздухе, следующего вида [Ваньян, 1965 ] :

-p0h2e V1(0) -V1(0) =.

1p2µВ согласии с (2.1.1.9), для функции V можем записать pV=-R*, Vz=где p12 pn-1n * R* = R1 0 = cth p1h1 + arcth cth p2h2 +...arcth.

( ) p21 pnn- Последние два уравнения, связывающие V1 (0) и V1 (0), образуют систему, из которой можно найти каждую из этих функций при z = 0:

-p0h0 -p0h2e V1(0) =-R* 2e,V1(0) =.

p0 R 0 R* µ02 + µ02 + 1p0 p1 1p0 p Замечание. Функция V1 (z) при z = 0 известна и равна V1 (0), поэтому ее легко найти и в области z > 0, решая задачу (2.1.2.16)- (2.1.2.17) с дополнительным краевым условием V =V1(0).

z=Решение этой задачи приводит к системе (2.1.1.6), в которой следует положить U0 =V1(0), m =m, km = pm, m =1,...,n.

В m-том слое по известным функциям Xm(z), Vm(z) вычисляется величина Zm(z) по формуле (2.1.2.15).

С помощью найденных функций V1 и V1, X1 и X1 можно записать решения задач для компонент векторного потенциала и их производных, а также для скалярного потенциала U при z = 0. В частности, формулы для компоненты Az и скалярного потенциала U на поверхности горизонтальнослоистой среды имеют вид:

Iµ1 IµAz1 = Z 0, J0 r d = V1 - X1/ 2 J0 r d = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 x 4 x (2.1.2.18) -p0h* Iµ1 p1 Re =- J0 r d, ( ) ** 2 x R1 µ0 p1 p1 0µ0 R p0 + µ1R+ 1µ1p0 p I U1 =- X1 + Z1 J0 r d = (2.1.2.19) ( ) 4 x I 1 x k1 1 -p0h =- e J1 r d.

( ) µ0 p1 - * 2 r 0µ0 R p0 + µ1R* 1µ1p0 + p При получении последней формулы учтено, что X1+ µ1Z1 = X1 + µ1 V1 - X1 /(2µ1) = ( ) 2X 2X = X1+ µ1V1 - p1 1 / 2 = µ1V1 - k1 1 / 2.

() В пласте с номером m (m > 0 ) значения компоненты Azm z могут быть ( ) рассчитаны путем вычисления интеграла:

Iµm Azm z = Zm z, J0 r d, ( ) ( ) ( ) 4 x в котором функция Z (z, ) определяется формулой (2.1.2.15) или выражением (2.1.1.4). В последнем случае коэффициенты находятся путем решения системы типа (2.1.1.6), в которой нужно учесть более сложное условие сопряжения для производной функции Z, вытекающее из (2.1.2.15):

1 dZ = X z.

j j dz z=z z=z j j Это приводит к появлению в правой части системы (2.1.1.6) дополнительных слагаемых j. Очевидно, в формулах (2.1.1.4)-(2.1.1.7) нужно заменить km на pm, m на m, U0 на Z(0,) в согласии с формулой (2.1.2.18).

На основании приведенных выше формул потенциалов можно получить выражения для компонент полей. Например, при z = 0, 0= 0, h0 = 0 для компоненты напряженности электрического поля получим (см. формулы (2.1.2.10) и (2.1.2.19)) Iµ0 Iµ0 i x p1 k Ex = i ( ) µ0 p1 J0 r d + 2 k1 x r 0 R* - µ0 p1 J1(r)d.

p0 + p0 + µ1R* µ1R* 3. Электромагнитное поле электрического диполя в полупространстве Здесь рассмотрим важный частный случай модели среды – два однородных полупространства, одно из которых соответствует воздуху (z < 0), второе – земле z > 0. Применительно к этой модели иногда удается вычислить несобственные интегралы, посредством которых описывается вектор потенциал и, следовательно, компоненты электромагнитного поля. В основе этих вычислений лежат интегралы А.Зоммерфельда 1 e-kR, R = r2 + z2, p = 2 + k2, Re p > | S(z,k):= e- pz|J0 r d = ( ) pR и В.А.Фока - p1|z| k1 ke (| z |,k1):= J0 r dx = I0 R- | z | K0 R+ | z |.

( ) ( ) 2 ( ) p1 Здесь I0, K0 – модифицированные функции Бесселя.

( ) ( ) А. Нижнее полупространство (z > 0). Когда земля однородна, тогда R* = R* =1, поэтому формулы для расчета компонент вектор-потенциала существенно упрощаются.

- p0h0 - p1z Iµe Ax1 = e J0 r d, ( ) 2 p0 + p- p0h0 - p1z Iµe Az1 = e J0 r d, ( ) 2 x p0 + pI U1(r, z) =- (X1(z) + Z1(z))J0(r)d = 4 x I 1 k1 - p1z - p1V1(0) - X1(0) e J0(r)d.

4 x Эти интегралы не могут быть выражены через элементарные или специальные функции. Однако, если диполь расположен на поверхности земли ( h0 = 0), то компоненты вектор-потенциала, Iµ0 - p1z Ax1 = e J0 r d, ( ) 2 p0 + pIµ0 - p1z Az1 = e J0 r d, ( ) 2 x p0 + pи скалярный потенциал (см. (2.1.2.19)) I 1 k1 - p1z U1 =- -1( p1- )e J0(r)d, 2 xp0 + pиспользуя интегралы А.Зоммерфельда и В.А.Фока, можно выразить в замкнутом виде [Заборовский, 1960; Ваньян,1965]. Согласно монографии [Заборовский, 1960, с.72], Iµ0 3 2 2S Ax1 =- k1 +, 2k1 z3 z z Iµ0 2S Az1 =- +, 2 k1 xz xz где 2R2 2R1+ k1R -k1R 3+ 3k1R + k1 -k1R 3+ 3k1R + k1 -k1R 2S 2S =- e + z2 e ; = xz e ;





xz z2 R3 R5 Rk1 z z =- 1- I1K0 + 1+ I0K1;

z 2 R R k3 (R + z)(R2 -3z2) R3 + z3 I0K1 + =- kR5 Rz3 k1 (R - z)(R2 -3z2) 2 R3 - z +- k1 I1K0 + R5 R k1 z(R2 -3z2) 3z(R2 - z2) + I0K0 - I1K1 ;

R4 R k1 3xz(R + z) 2 xz3 3xz(R - z) xz2 I1K0 - + k = - - k1 I0K1+ Rxz2 2 R5 R3 R k1 3xzx(2R2 -3z2) I0K0 + I1K1.

R4 R Здесь k1 kR = r2 + z2,r = x2 + y2; I = I R - z, K = K R + z, = 0,1.

( ) ( ) Отметим поведение модифицированных функций Бесселя в окрестности нуля и бесконечно удаленной точки:

x 1. I0(x) 1, I1(x) ; K0(x) ln, K1(x) ; 0 < x <<1.

2 xx 2. In(x) ex; Kn(x) e-x; x >>1.

2 x 2x В частности, при h0 = 0, z 0, k0 = 0, µ = µ0, компоненты вектора E в произвольной точке M(x,y,z) в земле описываются формулами [Юдин, Киселев, 1985]:

I 1 Ex =- k1 A00I0K0 + A10I1K0 + A01I0K1 + A11I1K1+ (2.1.2.20) 3+3k1R + k12R2 1+ k1R -k1R + z2 - e, R5 Rk где z 3y2 - R2 R + z 3y( ) - R2 k1zy( ) ( ) A00 =,, A01 = R4 k1R5 Rz 3y2 + R2 2x2z R ( - z 3y2 - R2 k1zy) () () A10 =+, A11 = - ;

R4 R2r2 k1R5 RI 1 xy Ey =- k1B00I0K0 + B10I1K0 + B01I0K1 + B11I1K1].

RЗдесь 2zR2, B00 = 3k1zR, B10 = 3(z - R) + k2zR2, B11 = 3k1zR + 3k1zR3 / r2.

B01 = 3(z + R) - kФормула для расчета вертикальной компоненты вектора E приведена в работе [Ваньян, 1965]:

I 1 3xz Ez = 1+ k1R + k1R2 /3 (2.1.2.21) e-k 1R.

( ) RРасчетные формулы для компонент вектор-потенциала и полей E(–i, r, z) и H(–i, r, z) существенно упрощаются, если электрический диполь и точки наблюдения совпадают с поверхностью земли (z = 0, h0 = 0). Компоненты векторов E и H вычисляются по следующим формулам:

-k1r I 1 x Ex, (2.1.2.22) (-i,r,0 = 3 - 2 + e ) (1+ k1r) 2r3 r I Ey (2.1.2.23) (-i,r,0 = xy, Ez ) (-i,r,0 = 0, ) 2rIµ Hx, (-i,r,0 = - xy 8I1K1 - k1r ) (I0K1 - I1K0) 4r kIµ 1- 4y2 / r2 I1K1 - x H, (-i,r,0 = - ) (I0K1- I1K0) y 2 r r 3Iµ x.

Hz (-i,r,0 = - 1- e-kr 1+ k1r + k12r2 /) ( ) 2r2 r Здесь I = I (k1r / 2), K = K (k1r / 2).

Б. Верхнее полупространство (z < 0). Если же источником поля является магнитный диполь, то исследование поведения поля в рассматриваемой области представляет практический интерес для аэроэлектроразведки.

Изучение полей в воздухе, возбуждаемых электрическим диполем, не представляют практического интереса. Полезно получить формулы, когда и источник поля и приемник расположены в проводящей среде (земле). В этом случае нужно принять, что индекс 1 соответствует воздуху, а индекс 0 – земле.

Формулы для расчета компонент вектор-потенциала и скалярного потенциала в воздухе для горизонтально-однородной слоистой среды имеют вид:

Iµ0 e- p0|h0+z| p0 - p1/ R* - p0h p0z e Ax0 =+ C0e J0 r d, C0 =, ( ) 4 p0 p0 p0 + p1/ R* Iµ0 p0z Az0 = Z0(0)e J0 r d = ( ) 4 x Iµ p0z = V0(0) - X0(0) / 2e J0 r d, ( ) 4 x Iµ0i k0 - p0z U(r, z) = V0(0) - X0(0)e J0(r)d.

4 k0 x В однородном полупространстве R*=1 и коэффициент C0принимает вид p0 - p1 - p0hC0 = e.

p0 + p(p0 ) Рассмотрим вычисление интегралов, через которые выражаются потенциалы.

1) Компонента Ax0 в области z < 0.

Преобразуем часть выражения, входящего в C0, p0 - p1 2 + k(p0 - p1) == p0 - 2 p1+ = pp0 + p1 2 2 k0 p0 p0 - p1 2 - k(p0 ) () 2 2 2) p0 + (k1 - k0 2( p0 - p1) p0 - 2 p1 + = -.

2 2 2 p0 k0 - k1 pk0 - k Примем 1 = 0 k1 = 0 p1 =.

При сделанных предположениях p0 - p1 2( p0 -) 2 = - = p0 - p0 + k0 -.

( ) 2 pp0 + p1 2 k0 - k1 p0 k0 - k(p0 ) После таких преобразований интегралы, посредством которых представляется компонента Ax0, могут быть выражены через элементарные функции и модифицированные функции Бесселя. Действительно, p0z - p0(h0-z) 2 C0e J0 r d = p0 - p0 + k0 - e J0 r d = ( ) ( ) () pk0 00 - k 2S(,k0) 3(,k0) (,k0) =+ - k0 - S(,k0), := h0 - z.

22 k0 (2.1.2.24) Итак, компонента Ax0 в области z < 0 может быть рассчитана по формуле:

IµAx0 = {S(| h0 + z |,k0) - S(0,k0) + 2S(0,k0) 3(0,k0) (0,k0) ++ - k0,0 = h0 - z.

k02 03 Если источник в земле на глубине h0 в полупространстве с волновым числом k1, то для получения аналога последней формулы нужно сделать замену k0 на k1 и z на –z. В результате получим:

IµAx1 = {S(| h0 - z |,k1) - S(1,k1) + 2S(1,k1) 3(1,k1) (1,k1) ++ - k1,1:= h0 + z.

k12 13 Компонента Ах вектор-потенциала на постоянном токе равна Iµ Ax(r, z,h) =, R- = x2 + y2 + (z - h)2.

4 RВ. Компонента Ax0 в области z < 0. Полагая 1 = 0 и p1 =, k V1(0) = 0, pV1(0) + X1(0) = X1(0) - p0h0 =- e =(p0 -)e- p0h0, 2 p0 + k I µ0 p0z Az0 =- X0(0)-1e J0 r d = ( ) 4 x Iµ0 - p0(h0-z) = p0 - eJ0 r d.

( ) 2k0 x Формулы Зоммерфельда и Фока дают Iµ0 3(0,k0) 2S(0,k0) Az0 =+, 0 := h0 - z. (2.1.2.25) x2 kx Если источник в земле на глубине h0 в полупространстве с волновым числом k1, то нужно поменять местами k0 и k1 заменить 0 на 1. В результате получим:

Iµ0 3(1,k1) 2S(1,k1) Az1 =- +, 1:= h0 + z.

x2 kx Компонента Аz вектор-потенциала на постоянном токе равна Az(r, z,h) =-Iµ x z + h, R+ = x2 + y2 + (z + h)2.

1- r2 R+ Г. Скалярный потенциал в области z > 0. Источник в нижнем полупространстве.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 13 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.