WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 13 |

( ) При пересчете электрического поля в магнитное следует учитывать разрыв магнитного поля Hx на S пленках на величину S Ex :

Hx zm -0 - Hx zm + 0 = SmEx zm.

( ) ( ) ( ) 2. Классическая задача магнитотеллурических зондирований (МТЗ).

Импеданс. Отношение Z(z) = Ex / H называют входным импедансом среды.

y Из второго уравнения Максвелла найдем Ex H =.

y iµ z Если функции Um соответствует Ех, то Ex Um Dme-kmz +Cmekmz iµ Zm = iµ = iµ =.

Ex / z Um / z -km Dme-kmz -Cmekmz В последнем слое импеданс равен Dne-knz iµiµ Zn ==.

-kn Dne-knz -kn Величину Zm z Dme-kmz + Cmekmz ( ) iµ Rm z :==, Zm := ( ) -km Zm z ( ) Dme-kmz -Cmekmz называют приведенным импедансом. Здесь Zm =-iµ / km – импеданс однородного пласта неограниченной мощности с теми же свойствами, что и mтый пласт.

Формула Липской. Н.В.Липская предложила рекуррентные формулы для описания относительного импеданса одномерной модели МТЗ. Суть алгоритма состоим в следующем. Используя общее решение уравнения (2.1.1.1) в виде линейной комбинации экспонент и условия сопряжения (2.1.1.2), для каждой границы раздела пластов имеем пару уравнений относительно неизвестных коэффициентов Cm, Dm:

km+1zm -km+1zm Cmekmzm + Dme-kmzm = Cm+1e + Dm+1e, km+1 km+1zm -km+1zm km Cmekmzm - Dme-kmzm = Cm+1e - Dm+1e.

m m+Разделим почленно правые и левые части равенств и умножим на m /km. В результате получим:

-km+1zm km+1zm Dm+1e +Cm+1e Dme-kmzm + Cmekmzm kmm+ =.(2.1.1.8) km+1zm Dme-kmzm -Cmekmzm km+1m Dm+1e-km+1zm -Cm+1e Далее воспользуемся тождеством, которое проверяется непосредственно:

-km zm-hm km zm-hm Dme +Cme Dme-kmzm +Cmekmzm = cthkmhm + arcth.

-km zm-hm km zm-hm Dme-kmzm -Cmekmzm Dme -Cme Действительно2, -km zm-hm km zm-hm Dme +Cme = cth kmhm - kmzm +, := ln( Dm /Cm ) () m m -km zm-hm km zm-hm Dme -Cme (#) и Dme-kmzm + Cmekmzm = cth -kmzm +.

() m Dme-kmzm -Cmekmzm Следовательно, Dme-kmzm +Cmekmzm -kmzm + = arcth.

m Dme-kmzm -Cmekmzm Подстановка в формулу (#) вместо -kmzm + правой части последней m формулы завершает доказательство тождества. Примем :=ln b / a и используем тождество b / a =eln( b / a) =e. Тогда ( ) bex +ae-x b / aex +e-x / b / a ex+ +e- x+ == =cth(x+ ).

( ) bex -ae-x b / aex -e-x / b / a ex+ -e- x+ Примем Dme-kmz +Cmekmz Rm z :=, ( ) Dme-kmz -Cmekmz тогда тождество может быть записано в более компактном виде:

Rm zm - hm = cth kmhm + arcthRm zm ( ) ( ) ( ).

Заменяя Rm(Hm ) на правую часть равенства (2.1.1.8), получим:

km m+Rm () ( ) (zm-1)= Rm zm - hm = cth kmhm + arcth km+1m Rm+1 zm.

В основании модели лежит пласт неограниченной мощности, поэтому при z > zn-1 следует положить Cn = 0. Значит здесь Rn(z) = 1. Обычно обозначают R:= R1 (0).

Кажущееся сопротивление. Из формулы Z1 =-iµ / k1 можно найти величину истинного удельного сопротивления. Возведя обе части равенства в квадрат, после элементарных преобразований получим = Z1. (2.1.1.80) ( ) -iµ Воспользуемся этой формулой (справедливой в случае однородной безграничной среды) для вычисления удельного сопротивления по импедансу Z1 0, измеренному на поверхности горизонтально-слоистой среды. Вместо ( ) истинного сопротивления получим некоторую величину, имеющую размерность удельного сопротивления. Эту функцию от частоты и параметров слоистой среды называют кажущимся удельным электрическим сопротивлением и обозначают символом T :

= Z1 0. (2.1.1.81) ( ) T -iµ Формулу (2.1.1.81) используют для расчета экспериментальных (практических, полевых) величин кажущегося сопротивления по результатам измерения электрического и магнитного поля.

Функция R просто связана с кажущимся сопротивлением T. Разделим почленно левые и правые части формул (2.1.1.81) и (2.1.1.80) в результате получим Z1 ( ) T == R2. (2.1.1.82) Z1 ( ) Итак, получаем T = 1R2, причем k1 kn-n R := R1 0 = cthk1h1 + arcth cthk2h2 +...arcth.

( ) k2 kn n- Формула (2.1.1.82) используется для расчета графиков теоретических кривых кажущегося сопротивления.

Отметим, что кажущееся сопротивление является комплекснозначной функцией, зависящей от частоты, мощностей и удельных электрических сопротивлений слоев, iT T = T (;h1,...,hn-1; 1,..., n) = T e.

Принято изображать экспериментальные графики модуля (амплитуды) T и фазы T кажущегося сопротивления в зависимости от T. Теоретические кривые кажущегося сопротивления изображают как функции от 1/ h1, где величину := 107 называют длиной волны в m-том слое. Амплитудные mmT кривые кажущегося сопротивления изображают в билогарифмическом масштабе, а фазовые – в логарифмическом. Далее нам понадобится связь между решением задачи типа (2.1.1.1)- (2.1.1.3) и производной решения при z = 0. Простые преобразования дают:

D1+ C1 U (0) 1 =- =- R1(0) =- R. (2.1.1.9) U (0) k1 (D1 -C1) k1 k Пример. Приведем программу и результаты расчета амплитудных и фазовых кривых кажущегося сопротивления для двухслойной среды посредством следующих операторов СКМ MathCAD:

m ORIGIN:= 1 1 := 1 m := 1.. 2m := 2 ( ) R, 1, 2 := coth (1 - i) + acoth ( ( )) Im T, 1, 2 ( ) ( ) ( )2 T, 1, 2 := atan T,1, 2 := R, 1, ( ( )) Re T, 1, При построении графиков использованы графические средства этой же системы компьютерной математики (СКМ).

Легко убедиться, что в произвольной кусочно-постоянной слоистой среде при 1 0 T 0 T 1. С увеличением длины волны (периода Т) () амплитудные кривые асимптотически стремятся к истинному сопротивлению пласта, лежащего в основании слоистой среды, а фазовые кривые – к горизонтальной асимптоте = 0.



Рис. 2.1. Палетка двухслойных кривых кажущегося сопротивления T / 1 в зависимости от относительной длины волны 1 / h1.

3. Aаналитическое решение системы (2.1.1.6).

Для задачи (2.1.1.1), (2.1.1.2), (2.1.1.3) известны аналитические решения [Бердичевский, Жданов, 1981; Юдин, 1985]. Приведем одно из таких решений.

Коэффициенты Am можно рассчитать по формуле:

m Am =U0 hj, m =1, n -1, (2.1.1.10) j j=где функция z равна ( ) j Рис. 2.2. Палетка двухслойных фазовых кривых кажущегося сопротивления T (в градусах) в зависимости от относительной длины волны 1 / h1.

chk hj - z +thk hj - z j j j, j+1R j+, j =1,...,n -1, z = ch k +th k (2.1.1.11) ( ) j jhj jhj j, j+1R j+ e-knz, j = n.

Здесь = k j k j j, j+1 j+1 j+1, z = z - zm-1, zm-1 z zm.

Таким образом, решение задачи (2.1.1.1)-(2.1.1.3) дает формула:

m- Um(z) =U0 hj m z. (2.1.1.12) ( ) j j= Замечание. К задаче вида (2.1.1.1)-(2.1.1.3) приходим при расчете двумерных и трехмерных электромагнитных полей в горизонтально однородной слоистой среде после применения одномерного (2-D – задачи) или двумерного (3-D – задачи) преобразования Фурье или Фурье-Бесселя по пространственным координатам, совпадающим с простиранием пластов. 4. Аппроксимация решения одномерной задачи МТЗ S-пленками.

Рассмотрим частный случай модели среды, когда km = 0, m =1,n -1, kn 0; U = Ex, U0 =и на всех границах раздела пластов расположены S-пленки различной проводимости. Рассмотрим импеданс Z(z) = Ex(z) H (z) системы пленок.

y Далее в тексте индекс импеданса будет соответствовать номеру пласта.

a) Пусть n = 1 и пленка S0 лежит на поверхности однородного проводящего полупространства (границе раздела земля-воздух).

При сделанных предположениях z = 0, Ex z = e-kz, H +0 = -k iµ, H ( ) ( ) ( ) (-0 = H +0 + S0Ex(0).

) ( ) y y y После простых преобразований получим Z1 = (-0.

)S0 +1 Z1 +( ) где Z1 +0 = -iµ k.

( ) Б) Пусть n = 2 и имеются две S-пленки S0 и S1.

Пленка S0 лежит в кровле первого пласта (z = z0 = 0), S1 в его подошве (z = z1 = h1), k1 = 0,k2 0.

Система (2.1.1.6) будет иметь вид:

A2 h1 + k2 -iµS1 -1 h1.

(1 )= Откуда A2 = Ex (h1)= 1+ k2h1-iµS1h1.

Следовательно, H +0 = -( )iµ h1 1+ k2h1 -iµS1hy и, после преобразований, выражение для Z (+0) в формуле (2.1.1.7) можно привести к виду:

Z1 +0 = -i µ h1, ( ) S1 + Z2 + (h1 ) где Z2 + 0 -iµ k2.

(h1 )= В) Произвольное конечное число пленок. По индукции можем записать рекуррентную формулу, связывающие импеданс на нижних поверхностях соседних S-пленок, отстоящих одна от другой на расстоянии hm-1 :

Zm-1 -iµ hm-1, (Hm-1+ 0)= Sm-1+ Zm Hm + () где m = 2, 3. …,n-1; Zn (zn-1+ 0)= -iµ kn.

Окончательно получаем цепную дробь Z0 =. (2.1.1.13) (-) S0 +-iµhS1 +-iµhS2 + Sn-1 + -iµ kn Утверждение. Пусть 1. Z – импеданс однородного полупространства с удельным сопротивлением и волновым числом k, 2. s – импеданс бесконечной системы S- пленок таких, что • проводимость всех пленок S постоянна и равна h/, • расстояние между соседними пленками постоянно и равно h.

Тогда Z2 = Z2.

lim s hДоказательство. При сделанных предположениях бесконечная цепная дробь (2.1.1.13) примет вид:

Zs =- iµh.

S+ Zs Отсюда имеем:

Zs(1+ SZs) - Zs + (1+ SZs)iµh = или iµh Zs + iµhZs + = 0.

S Т.к. импеданс Z на поверхности однородного полупространства равен iµ Z =-, k то iµh iµh Z =-iµ =- =-.

h / S Следовательно, Zs + iµhZs - Z2 = и, очевидно, lim Zs = Z2. h Можно показать, что при сделанных предположениях относительная ошибка аппроксимации истинного импеданса импедансом системы S-пленок не превышает Zs - Z <, Z если выполняется неравенство h < /( 2); = 107T.

Это означает, что для аппроксимации с точностью 5% потребуется около равномерно расположенных пленок на один скин-слой.

Кажущееся сопротивление пленочной модели, очевидно, можно определить по-прежнему соотношением s 2.

T := Zs (2.1.1.14) -iµ Рис. 2.3. Сравнение графиков кажущегося сопротивления, рассчитанных по формуле Липской и по формуле (2.1.1.14) посредством замены первого слоя одной, двумя, тремя или четырьмя равномерно расположенными пленками.

Индекс кривых соответствует количеству пленок.

Сравнение результатов расчетов графиков кажущихся сопротивлений для трехслойной среды по формуле Липской и по формуле (2.1.1.14) с заменой первого слоя различным числом равномерно расположенных в слое S-пленок (от 1 до 4) приведено на рис. 2.3. При расчетах использована модель с параметрами 1 =1, 2 =107, 3 = 0; h1 =1000, h2 = 20000, h3 =.

(сопротивления в омм, мощности слоев в м). Согласно рисунку, для этой модели во всем практически важном диапазоне периодов удовлетворительную аппроксимацию кажущегося сопротивления обеспечивают четыре S-пленки.

Замечание. Так как Rm z = Zm / Zm, то очевидна аппроксимация ( ) приведенного импеданса системой S-пленок.

5. Квазиодномерные задачи Краевые задачи для полуплоскости. При использовании декомпозиционного альтернирующего метода в в процессе численного решения прямых задач возникает потребность в быстром решении относительно простых вспомогательных задач. Найдем решение задачи для скалярной функции U:

U = k2U, z z1, (z0, ) U =U0, U =U1, z=z0 z=z где k = k(z), U0, U0 L1(Rm), m =1,2. Если z1 = то краевое условие при z = zнужно заменить условием на бесконечности U 0 при z.





Применим одномерное преобразование Фурье F по переменной y (в 2-D – задачах) или двумерное преобразование Фурье F2 по переменным x, y (в 3-Dзадачах), в направлении которых волновое число k остается постоянным. Тогда в области Фурье-спектров получаем задачу вида (2.1.1.1) – (2.1.1.3), в которой 2 2 2(3-D).

нужно k2 заменить на p2 = k2 + (2-D) или на p2 = k2 + + Пусть u(, z):= F(U (y, z)), u0():= F(U0(y)), тогда получим задачу d2u = p2u, z (z0, z1), dz u(, z) = u0(), u(, z) = u1().

z=z0 z=z Нижнюю часть реальных геоэлектрических разрезов можно аппроксимировать следующими моделями:

1. Изолирующий пласт неограниченной мощности.

2. Конечный по проводимости пласт неограниченной мощности.

3. Изолятор ограниченной мощности (h), подстилаемый идеальными проводником.

4. Конечный по проводимости (s) и мощности (h) пласт, лежащий на идеально проводящем основании.) Таблица 2.Изображение Номер Оригинал Область модели e z (,, ) z > z 1 e- z yR y2 + zE&H z > 2 e- pz G k, y, z yR ( ) E&H 0 z H sh ( - z H ) sin z H 1 ( ) 3 yR sh H 2H ch y H ( )-cos z H ( ) E&H 0 z H sh ( - z H ) 4 G k, y, 2mH + z - yR () () shpH m = E&H 0 z H ch ( - z H ) sin z 2H ch y 2H 1 () () 5 yR chH H ch y H cos z H ( )- ( ) E&H 0 z H ( ())ch ( - z H ) G k, y, 2mH + z 6 yR m = chpH -G y, 2 m +1 H + z E&H ( ) () (k, ) Краевые задачи для полуплоскости (двумерные задачи для аномальных полей при Uo= 1).

Решения задачи (2.1.1.12) в пространстве изображений и оригиналов для случаев E-поляризации и H-поляризации приведены в таблице 2.1.

Функция G, указанная в таблице, имеет вид:

K1 k y2 + zkz G k, y, z =.

( ) y2 + zКраевые задачи для полупространства (трехмерные задачи для аномальных полей при Uo= 1).

Для трехмерного случая соответствующие решения для тангенциальных составляющих электрического поля приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.Изображение Номер Оригинал Область модели e, z (, ) z > - z z 1 ex, yR RE z > z 1+ kR e-kR ( ) 2 e- pz x, yR 2 RE 0 z H () ( ) sh ( - z H ) 2mH + z / 2 Rn m=3 x, yR sh H 2 m +1 H - z / 2 Rn ( ) () E ( ) -kRn 0 z H () () ( ) sh ( - z H ) m=0 2mH + z 1+ kRn e / 2 Rn 4 x, yR shpH -kRn 2 m +1 H - z 1+ kRn e / 2 Rn ( ) () () E ( ) В Таблице 2.2 использованы обозначения Rn = x2 + y2 + 2mH + z ;Rn = x2 + y2 + 2 m +1 H + z.

()2 ()( ) Для получения решения U задачи (2.1.1.11) нужно приведенные в таблицах функции свернуть с функцией U0 : U = U0 * e.

2.1.2. Поле горизонтального электрического диполя.

Обычно решение системы уравнений Максвелла ищется с помощью векторного и скалярного потенциалов. Мы предполагаем, что ось электрического диполя совпадает с осью х. Будем предполагать, что диполь находится в воздухе на расстоянии h0 от поверхности земли. Начало координат расположено на поверхности земли в эпицентре диполя. В этом случае в декартовой системе координат диполь расположен в точке (0, 0, –h0).

В силу симметрии поля относительно плоскости XOZ, можно положить Ay = 0 [Заборовский, 1960].

1. Вектор-потенциал в однородной среде.

Электромагнитное поле электрического диполя в однородной среде может быть описано с помощью вектор-потенциала, имеющего одну компоненту. Учитывая симметрию задачи, запишем уравнение Гельмгольца для этой компоненты в сферической Ax системе координат. При сферической симметрии вектор-потенциал не зависит от и, так что rAx ( ) Ax =.

rРешением уравнения rAx ( ) = k2 rAx ( ) rявляется функция C Ax = e-kr.

r Для определения постоянной C заметим, что при = Ax C y C 0 Bz = µHz = - = = sin.

y y=0 r2 r rIµ Iµ Из закона Био-Савара следует, что Bz = sin, поэтому C =.

4rВ итоге получаем Iµ e-kr.

Ax = (2.1.2.0) 4 r Замечание. В однородной среде в отсутствии свободных зарядов * divE = 0, что дает основание ввести вектор-потенциал A* [Ваньян, 1965] **.

E := i rotA В этом случае источником поля является магнитный диполь.

Из уравнений Максвелла можно вывести следующие соотношения:

* * A - k2A = 0, * * * *, B =-k2A - gradU* =-k2A - graddivA если принять *.

U* =-divA Поле вертикального магнитного диполя в случае горизонтально-слоистой модели среды описывается одной отличной от нуля компонентой вектор- * потенциала Az. Непрерывность тангенциальных компонент электрического и * магнитного полей будет обеспечена непрерывностью Az и µ-1 A* / z. С z математической точки зрения задача относительно компоненты Ax * горизонтального электрического диполя и компоненты Az одинаковы. Это дает основание утверждать, что решения для компоненты Ax горизонтального * электрического диполя будут также решениями для компоненты Az вертикального магнитного диполя с заменой момента электрического диполя I на момент магнитного диполя М. В частности, по аналогии с (2.1.2.0), * компонента Az в однородной среде будет равна M µ e-kr *Az =.

4 r 2. Электромагнитное поле электрического диполя в горизонтальнослоистой среде Будем предполагать, что диполь находится в воздухе на расстоянии h0 от поверхности земли Поле горизонтального электрического диполя в n-слойной среде описывается компонентами Ax и Az вектор-потенциала [Заборовский, 1960; Ваньян, 1965 ].

2. Компонента Ax. Решение для Ax будем искать в виде функции, обладающей цилиндрической симметрией Ax = Ax (r,z):

Iµ Ax = (2.1.2.1) X (z,)J0 (r)d.

Подставляя (2.1.2.1) в уравнение 2A 1 Ax 2A x x + +- k2Ax = 0, r2 r r zпосле изменения порядка интегрирования и дифференцирования получим Iµ + + - k2 X z, J0 r d = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 13 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.