WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 13 |

H = rot A. (1.2.13) µ Подставим (1.2.13 ) во второе уравнение Максвелла, получим rot (E-iA)= 0.

Таким образом, вектор (E – iA) является потенциальным вектором, поэтому его можно представить в виде градиента некоторой скалярной функции U, называемой скалярным потенциалом E-i A = gradU (1.2.14) или E = i A - gradU. (1.2.15) Из выражений (1.2.13)-(1.2.14) видно, что векторный и скалярный потенциалы определяются не однозначно. В частности, вектор-потенциал определен с точностью до градиента скалярной функции, так как rot (A+grad)= rot A.

Произвольной функцией пользуются для определения связи между A и U таким образом, чтобы уравнения для компонент векторного потенциала были наиболее простыми. Эту связь обычно устанавливают в следующем виде (условие калибровки потенциалов, условие Лоренца) [Дмитриев, 1977]:

i U = divA = - divA. (1.2.16) µ k С учетом (1.2.16) вектор E может быть выражен только через A :

A-grad 1 divA (1.2.17) E = i.

k Покажем, что при такой связи между потенциалами в однородной среде векторпотенциал будет удовлетворять уравнению Гельмгольца.

После подстановки (1.2.13) и (1.2.15) в первое уравнение Максвелла получим дифференциальной уравнение для вектора A в следующем виде.

-1rot A + k grad 1 divA krot µ (1.2.18) + A = js.

µµ kВ однородной среде rot rot A + grad divA k2A = µ j.

( )+ s Но rot rot A = grad divA ( )-A, поэтому приходим к неоднородному уравнению Гельмгольца A - k2A = µj. (1.2.180) s На поверхностях разрыва функций k и µ должны выполняться условия сопряжения для вектор-потенциала, обеспечивающие непрерывность тангенциальных составляющих векторов E и H. Из формулы (1.2.17) следует, что для обеспечения непрерывности напряженности электрического поля E достаточно потребовать непрерывности тангенциальных составляющих векторов. Этого можно достигнуть, если потребовать выполнения следующих условий:

Ay Ax µ-1Az, 1 0, 1 = 0, = 0, Ay = 0, = Ax µ z µ z (1.2.19) Az Ax Ay =+.

µ z µ x y Запишем два вида уравнений, аналогичных (1.2.18), применительно к аномальной составляющей вектора-потенциала Аа. Уравнения будут отличаться видом коэффициентов в дифференциальном операторе.

Соотношение (1.2.18) для фоновых полей, очевидно, имеет вид --1rot An + µ-1k2 grad kn divAn + µ-1k2An = j.

rot µ (1.2.18n) ( ) nn n s 1. Дифференциальное уравнение для аномальных полей с коэффициентами общего вида.

Вычитая почленно из (1.2.18) (1.2.18n), после преобразований получим -1rot Aa + k grad 1 divAa k Aa = ja, rot µ +(1.2.18 a) 2 s,µµ k где k 1 1 ja :=-rot - divAn rotAn - n grad+ s,µ µ µ k n k1 k2 knn + grad divAn - - An.

µ µ µ knn n В правую часть уравнения (1.2.18а) входят известные величины фоновых значений вектора-потенциала.

2. Дифференциальное уравнение для аномальных полей с коэффициентами фонового разреза.

Вычитая из (1.2.18) последнее выражение, после преобразований получим kn kn rot rot Aa + grad divAa (1.2.18a) + Aa = ja, s,µn µn kn µn где kn 1 1 k 1 ja :=-rot rot A + - grad - 2 divA+A.

s, k2 kn µ µn µ µn В правую часть уравнения (1.2.18a) входят неизвестные величины полных значений вектора-потенциала. Если фоновый разрез является горизонтальнослоистой средой, то уравнение (1.2.18a) принимает вид 2Aa Aa - k = ja.

ns,Правые части уравнений (1.2.18а) и (1.2.18a) отличны от нуля только в областях, где свойства исследуемой модели не совпадают со свойствами фоновой модели среды.

Задачи 2D&3D. Если в 3D-задаче модель среды двумерна, то, при достаточно произвольном реальном источнике поля, целесообразно воспользоваться преобразованием Фурье. Будем полагать, что свойства среды не зависят от переменной x и µa = 0. Введем обозначения:

F Ea := Ea y,z, Ea x, y, z, e-i x dx, () ( ) (, )= Ha y,z, F Ha, ( ) (, ):= i j k rot u:= i.

y z u u u x y z В последней формуле учтено, что F / x i. C учетом этих обозначений ( )= уравнения Максвелла для Фурье-спектров аномальных полей могут быть записаны в следующем виде:

rot Ha = Ea +F( En), (1.2.20) rot Ea =iµHa.

Здесь предполагалось, что = (y, z), µ = µ(y, z).

Применительно к задаче 3D&2D уравнение (1.12) требует некоторого очевидного видоизменения, учитывающего постоянство проводимости по оси x и свойства преобразования Фурье.

Двумерные задачи (2D&1D). При некоторых предположениях относительно математической модели вместо векторного уравнения (1.9) получают дифференциальные уравнения относительно скалярных функций.

E-поляризация. Если • модель cреды двумерна: =(y,z), µ = µ(y,z), = (y,z), • направление вектора E совпадает с образующей цилиндрической неоднородности (осью x), тогда, в согласии с физическими соображениями, будем иметь:

E = (Ex(y, z),0,0), H = (0, Hx(y, z),0).

Следовательно, двумерным аналогом уравнения (1.2.5) является уравнение Ex 1 Ex k (1.2.21) + - Ex = - fEx, µ y µ z y z µ где, в соответствии с (1.2.7), aEn +rotx µ -1µaHn.

f = i ( ) x Ex Условия сопряжения на границах сред с различными свойствами, обеспечивающие непрерывность тангенциальных к границам раздела Di компонент векторов E и H, принимают вид:

1 Ex = iSiEx.

Ex = 0, (1.2.22) Di µ n Di Здесь /n - производная по нормали к границе Di.

H-поляризация. Если • модель cреды двумерна: = (y.z), µ = µ(y,z), = (y,z), • направление вектора H совпадает с образующей цилиндрической неоднородности (осью x), тогда, в согласии с физическими соображениями, будем иметь:



H = (Hx(y,z),0,0), E = (0,Ex(y,z),Ez(y,z)) Поэтому двумерным аналогом уравнения (1.2.21) будет являться уравнение H H kxx = - f. (1.2.23) + - Hx H y z y z x В согласии с (1.2.7) f = iµa Hn + rotx -1 aHn x.

Hx Условия сопряжения на границах сред с различными свойствами, обеспечивающие непрерывность тангенциальных к границам раздела Di компонент векторов E и H, принимают вид:

H x =0, = 0. (1.2.24) Hx D n i D i С математической точки зрения вместо уравнений (1.2.21), (1.2.23) можно рассматривать одно уравнение 1 k div gradU - U = - f. (1.2.25) U с условиями сопряжения 0, U =H, x U =0, [ ] D 1 U iS E,U =E. (1.2.25) n = x x i i D i Пусть U = Un + Ua и = const, тогда уравнение (1.2.25) можно преобразовать к более простому виду Ua- k2 Ua = k U. (1.2.26) na Уравнение (1.2.26) используется при построении решений двумерных интегральных уравнений.

Двумерные осесимметричные задачи (2D&2D) [Захаров, 1979].

Пусть • источниками электромагнитного поля являются электрический или магнитный диполи, расположенные на оси z цилиндрической системы координат, и оси диполей совпадают с осью z, • ось z является осью симметрии модели среды.

Тогда в цилиндрической системе координат (,, z) осесимметричные задачи можно представить в виде суперпозиции полей двух типов Е-поляризованное поле (магнитное возбуждение) E = (0, E,0), H = (H,0,Hz ), (1.2.27) причем E (,z) H (, z) =, µ z (1.2.28) (E (,z)) Hz (, z) =-.

µ Скалярная функция двух переменных E (, z) удовлетворяет дифференциальному уравнению E k 1 + - E = 0. (1.2.29) µ (E ) µ z µ z H-поляризованное поле (электрическое возбуждение) H = (0, H,0), E = (E,0, Ez ), (1.2.30) причем H (,z) E (, z) =-, z (1.3.31) (H (,z)) Ez(, z) =.

Скалярная функция двух переменных H (, z) удовлетворяет дифференциальному уравнению H k 1 + - H = 0. (1.2.32) (H ) z z Сопоставление уравнений (1.3.29) и (1.3.32) позволяет сделать вывод, что для обеих поляризаций соответствующие скалярные функции удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению 1 1 V k + - V = 0. (1.2.33) (V ) z z если принять, что при V (, z) = E (, z) параметр = µ, а при V (, z) = H (, z) параметр =.

Если = const, то уравнение (1.3.9) принимает вид V + - k2V = 0. (1.2.34) (V ) z Будем рассматривать краевую задачу в полуплоскости ={(, z) | 0, z R}.

Функция V (,z) должна удовлетворять следующим дополнительным условиям.

1.На оси диполя. В силу осевой симметрии lim V (, z) = 0.

2. Условия сопряжения на контурах Г разрыва свойств среды cos(n,) 1 V 1 V [V ] = 0, = n, (1.2.35) если n – вектор, нормальный к границе Г в полуплоскости П.

3. Условие на бесконечности (r = 2 + z ) lim rV (, z) = 0. (1.2.36) 4. Условия возбуждения. В точках оси z, где расположены осевые диполи (электрические или магнитные), r 0.

V (, z) = O (1.2.37) r1.2.1. Нестационарные поля Задачи 3D&3D. В согласии с уравнениями Максвелла, записанными в пренебрежении токами смещения, rot H= E+j, s rot E=-µ H, t поля E и H удовлетворяют уравнению V LV + q = f (1.2.38) t Таблица 1.V L q f S E LE µ -j t Ea LE µ -( -n En-rotµ-1 µn-µHn ) () t t -H LH µ rot j S Hn En -1(n- ) Ha LH µ -() -rot µn-µ t t Уравнения для полных (E и H) и аномальных (Ea и Ha) полей получаются подстановкой в (1.2.38) вместо L, V,, q и f функций, приведенных в таблице 1.4.

Для выделения единственного решения уравнения вида (1.2.38) нужно, кроме краевых условий или условий на бесконечности, задать в начальный момент времени t = t0 значения искомых полей во всех точках области, в которой ищется решение V (P,t) = (P), P 3.

t=t Задачи 2D&3D. С учетом того, что модель среды двумерна, целесообразно воспользоваться преобразованием Фурье по переменной x. Обозначим Ha(, y, z,t) = F(Ha(x, y, z,t)), Ea(, y, z,t) = F(Ea(x, y, z,t)).

Так как F( f (t)) = i f () то уравнения Максвелла принимают вид ( µa = 0):

rot Ha = Ea +F ( aEn), x (1.2.39) Ha a rot E =-µ.

t Здесь предполагается, что = (y,z), µ = µ(y,z).

Задачи 2D & 1D. Аналогом уравнения (1.2.25) здесь для функции U(y,z,t) будет уравнение 1 µ U div gradU -= - f, (1.2.40) U t соответствующее случаям E- и H-поляризаций с условиями сопряжения 0, U =H x, U = 0, = (1.2.41) [ ] D 1 U Ex n, U =Ex.

i -Si D t i Для получения единственного решения к условиям (1.2.41) следует добавить условие на бесконечности, аналогичное (1.2.36).

Глава 2. Моделирование электромагнитных полей в горизонтально-слоистой среде Фундаментальной моделью геоэлектрического разреза является среда, состоящая из произвольного числа однородных пластов, ограниченных горизонтальными плоскостями.

Решение прямых задач геоэлектрики для горизонтально-однородных слоистых моделей среды рассмотрено в целом ряде монографий [Заборовский, 1960; Ваньян, 1965; Дмитриев, 1967; Табаровский, 1975; Бердичевский, Жданов, 1981 и др.]. Большинство работ исходят из предположения о том, что свойства среды являются скалярными функциями координат. Частный, но практически важный случай микроанизотропных слоистых сред исследован Л.Л. Ваньяном [1965, 1997]. В ней собственные плоскости тензоров и взяты параллельными границам раздела пластов. Ряд работ посвящены построению и изучению более сложных моделей однородных слоев (вызванной поляризации [Шейнманн, 1969], частотной дисперсии.

2.1. Аналитические решения для гармонически изменяющегося поля Модель среды. В пределах каждого пласта будем считать проводимость, магнитную и диэлектрическую проницаемости скалярами. Глубину залегания подошвы m-го пласта обозначим zm. Расстояния между поверхностями раздела называют мощностями пластов hm = zm - zm-1. Последний пласт неограниченной мощности назовем основанием и обозначим номером n (рис.





1.1.1).

Источники. В качестве источника поля будем рассматривать электрический диполь с моментом I = J dx, ориентированный по оси x и расположенный в воздухе на расстоянии h0 от поверхности земли. Здесь J - сила тока в питающей линии AB, длина которой равна dx. Электрический диполь является наиболее важным элементарным типом источника, так как путем интегрирования создаваемого им поля можно получить поля для других типов источников (линии конечной длины, кабеля, рамки конечных размеров).

Будем также рассматривать поля, создаваемые вертикальным магнитным диполем с моментом M, равным произведению силы тока J на площадь рамки Q (M = J Q).

Источниками естественных электромагнитных полей являются токи, текущие в ионосфере. Математическими моделями этих токовых линий являются прямолинейные бесконечно протяженные кабели [Ваньян, 1965], поле которого также получается путем интегрирования поля электрического диполя.

На больших расстояниях от ионосферных токовых линий создаваемое ими поле можно аппроксимировать полем плоской волны, вертикально падающую на поверхность земли. В электроразведке, как правило, получают решения задач для точек поверхности земли (z = 0). Однако при численном решении двумерных и трехмерных задач относительно аномальных полей необходимо уметь рассчитывать нормальные (фоновые) поля не только при z = 0, но также в области, занятой неоднородностью, ибо в этом случае источниками поля являются избыточные токи, сосредоточенные в месте расположения локальной неоднородности и возбуждаемые фоновым полем конкретного источника.

Отмеченное обстоятельство требует рассматривать решения задач в области z 0.

Скважинно-наземная электроразведка и электромагнитный каротаж скважин использует источники, погруженные в скважину, а наблюдения выполняются либо на поверхности земли, либо в скважине. Для интерпретации полевых данных таких электромагнитных методов требуется исследовать модели с погруженными источниками. Решение подобных задач с произвольным расположением источника и приемника требует также метод интегральных уравнений на этапе построения функции Грина для слоистой среды.

2.1.1. Одномерные задачи.

1. Плоское гармонически изменяющееся поле.

Пусть плоская электромагнитная волна падает сверху на поверхность горизонтально-слоистой среды. Пусть для определенности H = 0,H, E = Ex,0,0, Ex = Ex z, H = H z, k = k z, = z = µ,, ( ) ( ) ( ) ( ) y y y, тогда из уравнений Максвелла получим дифференциальное уравнение для Ex и H следующего вида:

y d 1 dU k - U = 0, (2.1.1.1) dz dz когда U = Ex или Hy.

Условия сопряжения на границе j и j+1 пластов z = zj 1 dU U = 0, = 0, (2.1.1.2) [ ] dz обеспечивают непрерывность тангенциальных составляющих векторов E и H.

Если U = Ex и на границе между пластами находится тонкая проводящая пленка с проводимостью S, то второе условие в (2.1.1.2) должно быть заменено на следующее dEx = i S. (2.1.1.2’) µ dz Кроме того, будем искать решение U, стремящееся к нулю при z + и принимающее на поверхности земли заданное значение U0:

U =U0,U 0 z. (2.1.1.3) z = В пласте с номером m уравнение (2.1.1.1), как известно, имеет общее решение:

kmz -kmz Um z = Cme + Dme, km 0, ( ) гдеCm, Dm – коэффициенты, не зависящие от z. В основании модели лежит z пласт неограниченной мощности. Для того, чтобы при U 0 нужно принять Cn = 0, поэтому -knz Un z = Dne.

( ) Недостатком этого решения является присутствие в нем экспонент с положительной степенью, что может приводить к переполнению при выполнении расчетов на ЭВМ. Пусть по определению Am := U - 0) = U m(z m+1(z + 0).

Запишем общее решение рассматриваемой задачи в более удобном для вычислений виде, автоматически учитывающем непрерывность поля на границах раздела:

Amq1m z + Am+1q2m z,i =1,2,…, N -1, ( ) ( ) Um z = (2.1.1.4) ( ) -kmz Ame,m = N, где shkm(hm - z) shkm z, km 0,, km 0, shkmhm shkmhm q1m(z) = q2m = (2.1.1.5) 1- z hm, km = 0, z hm, km = 0.

Здесь z = z - zm-1. Отметим, что при km 0 и hm q1m(z) exp(-kmz), q2m(z) 0.

Функции q1m, q2m удовлетворяют уравнению (2.1.1.1) и линейно независимы, поэтому формула (2.1.1.4) есть его общее решение. Кроме того, из (2.1.1.5) следуют равенства q1m 0 = q2m hm =1, q2m 0 = q2m hm = 0, ( ) ( ) ( ) ( ) поэтому Am =Um-1 m ( ) ( ) (hm-1)=U 0. Таким образом, непрерывность U z при z = zm имеет место. Для определения коэффициентов Am используем второе условие сопряжения из (2.1.1.2). Учет этого условия приводит к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов:

A2 + c2 A3 b2 = -U0 b1, (c1 )+ Am-1 bm-1 + Am (cm-1+ cm)+ Am+1 bm = 0, m = 2,n - 2, (2.1.1.6) AN-1 bN-1 + AN-(cN-1+ cN-2)= 0, где bm = q1m hm = -q2m 0 = -km kmhm, ( ) ( ) ( ) msh (2.1.1.7) cm =-q1m 0 = q2m hm = km cth kmhm.

( ) ( ) () m m m Когда km 0, bm -1 mhm, cm 1 mhm.

( ) ( ) Замечание. Присутствие S-пленок учитывается заменой суммы коэффициентов в системе (2.1.1.6) на (cm-1 + cm) выражение, (cm-1 + cm -i Sm-1), m =1,n.

Система (2.1.1.6) может быть решена методом Гаусса (прогонкой), после чего внутри m-го пласта значения Um z рассчитываются по формуле (2.1.1.4).

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 13 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.