WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 13 |

где – удельная электропроводность, µ – магнитная проницаемость и – диэлектрическая проницаемость среды. Последнее равенство носит названия закона Ома в дифференциальной форме.

Теоретической основой геоэлектрики является система уравнений Максвелла. Запишем эту систему, используя систему единиц СИ и принятые обозначения:

D rotH= E+ + j, t S rotE= B, t divB = 0, divD = p.

Здесь js – сторонние источники поля, р – плотность объемных зарядов.

Отметим, что равенство divB = 0 является следствием второго уравнения Максвелла. Для того, чтобы в этом убедиться, нужно взять дивергенцию от обеих частей этого уравнения.

В первом уравнении Максвелла величина j = E/ t имеет размерность плотности токов и называется током смещения. В геоэлектрике, как правило, используются медленно меняющиеся во времени электромагнитные поля в хорошо проводящих средах. Применительно к некоторым моделям токи проводимости j =E могут существенно превосходить токи смещения j, что дает основание иногда без существенной потери точности расчетов пренебрегать токами смещения. В этом частном случае первое уравнение Максвелла принимает более простой вид rotH = E + jS.

Определение. Электромагнитные поля, удовлетворяющие уравнениям Максвелла, не учитывающим токов смещения, будем называть квазистационарными1 полями.

При аналитическом и численном решении нестационарных задач предположение о квазистационарности полей существенно упрощает их решение, в то время как расчет гармонически изменяющихся полей не сильно усложняются, если не отказываться от учета токов смещения.

Вопрос о том, когда можно пренебрегать токами смещения, обсуждался в ряде работ по геоэлектрике.

Как правило, величины, и µ полагают не зависящими от времени t.

Однако в этом случае не все электромагнитные процессы, происходящие в горных породах, обладающих преимущественно ионной проводимостью, удается согласовать с результатами расчетов, основанных на таком упрощении модели среды. В общем случае будем полагать, что = (x, y, z,t).

1.1. Модель среды и источников поля Модель среды.

1. Горизонтально-слоистая среда.

Введем в рассмотрение прямоугольную декартовую систему координат, плоскость XOY которой соответствует границе раздела земля-воздух. Ось z направлена вниз (рис.1).

Классической геоэлектрической моделью является горизонатально-слоистая среда, параметры которой, µ и – являются кусочно-постоянными функциями одной независимой переменной z :

= (z), µ = µ(z), = (z).

Модель представлена конечным числом слоев.

Каждый m–тый слой имеет толщину (мощность) hm и постоянные значения =m, µ = µm, = m, m = 0,...,n.

Как правило, предполагается, что в основании такой модели лежит однородный по проводимости пласт неограниченной Рис. 1.1.1. Модель горизонтамощности hn =.

льно-слоистой среды.

В структурных и рудных задачах обычно основанию соответствует кристаллический фундамент, имеющий очень низкую проводимость. В Строгое определение квазистационарных переменных токов дано в книге И.Е.Тамма «Основы теории электричества», глава 6.

глубинных исследованиях основание имеет достаточно большую проводимость и приурочено к проводящему слою верхней мантии. Будем считать, что воздух имеет слабую проводимость. В некоторых случаях будем полагать воздух изолятором, т.е. полагать = 0 (рис.1).

2. Цилиндрически-слоистая среда.

Будем считать, что столб жидкости, заполняющей скважину, имеет форму бесконечно длинного кругового цилиндра. Часть модели среды вне скважины представляет собой совокупность коаксиальных цилиндрических слоев, ось которых совпадает с осью скважины.

Рассмотрим цилиндрическую систему координат, ось z которой направлена вниз (рис. 2).

Пространство представим совокупностью п областей, заполненных изотропными однородными средами с электропроводностью т (m = 1,..., n), диэлектрической проницаемостью и магнитной проm ницаемостью µт. Границами этих областей являются коаксиальные круговые цилиндрические поверхности с радиусами r1, r2,..., rп-1. Электромагнитные свойства не Рис. 1.1.2. Модель изменяются по направлению, параллельному оси цилиндрическискважины слоистой среды = (r), µ = µ(r), = (r).

Определение. Плоскопараллельные и цилиндрические слоистые одномерные модели среды называют нормальными моделями (разрезами), а поля различных источников в этих моделях – нормальными полями.

Применительно к двумерным моделям будем считать, что свойства среды остаются без изменения в направлении оси x в задачах электроразведки и в направлении оси z в скважинных методах.

Обобщая понятие нормальной модели и нормальных полей, введем понятие фоновой геоэлектрической модели и фоновых полей.

Определение. Фоновым геоэлектрическим разрезом или фоновой моделью среды назовем такую модель среды, для которой известно численное или аналитическое решение задачи. Поля различных источников, соответствующие фоновым моделям, будем называть фоновыми полями. Фоновой моделью среды по отношению к классу одномерных моделей могут служить однородное полупространство или более «простые» одномерные модели. По отношению к классу двумерных моделей фоновой моделью могут служить одномерные или более «простые» (по сравнению с рассматриваемой) двумерные модели. Аналогично фоновой моделью среды по отношению к трехмерным моделям могут служить одномерные, двумерные или более «простые» трехмерные модели. Выбор фоновой модели определяется тем, для каких моделей мы располагаем решениями задач к моменту исследования текущей модели.



Относительно всех рассматриваемых моделей будем полагать, что удельная электропроводность, магнитная проницаемость µ, и диэлектрическая проницаемость, являются кусочно-гладкими функциями.

Рис. 1.1.3. Пример двумерной модели среды Границы, на которых эти функции терпят разрыв, полагаем также кусочногладкими. В общем случае будем считать проводимость среды зависящей не только от пространственных координат точки x = (x1, x2, x3) (x, y, z), но и круговой частоты. Например, частотную дисперсию проводимости среды, обусловленную поляризационными процессами, принято аппроксимировать формулой Cole-Cole 1- (x,) =(x) 1+(-i )c, - :=, := lim (x,), 0 := (x,0).

Здесь c –- константа; - поляризуемость среды, - постоянная времени поляризуемости.

Источники поля. В качестве источников поля будем рассматривать только функции, обращающиеся в нуль вне некоторой ограниченной области (финитные функции).

Применительно к глубинным задачам поле возбуждается плоской однородной монохроматической волной, падающей на поверхность земли, или посредством мощных искусственных источников электромагнитного поля типа магнито-гидродинамических генераторов (МГД-генераторов), не использующихся в настоящее время межконтинентальных подводных кабелей, линий электропередач и др.

В рудных, структурных и скважинных электромагнитных методах, как правило, изучаются поля, создаваемые искусственными (контролируемыми) источниками тока (электрическими и магнитными диполями, линиями конечной длины, кабелями, петлями конечных размеров и т.п.).

При рассмотрении полей точечных и дипольных источников будем считать, что начало координат находится на поверхности земли в эпицентре источника.

Условия сопряжения и условия на бесконечности. Прямые задачи геоэлектрики обычно решаются в неограниченной области. Для единственности решения задач мы должны задать определенные условия излучения на бесконечность. В слоистых средах удобно пользоваться принципом предельного поглощения. Будем считать, что действительная часть волнового числа k положительна (Re k > 0) и требовать убывания решения на бесконечности. Можно также пользоваться условием регулярности (1.1.1) lim R(n-1) / 2U = R где n – размерность пространства (n = 2,3), R - расстояние от источника до точки, в которой наблюдается поле, U - любая из компонент поля. Условия излучения (в квазистационарном случае) является следствием условия регулярности. При численном решении задач геоэлектрики обычно рассматривают ограниченные области. В этом случае аналогом условий на бесконечности являются краевые условия. Как известно, на границах разрыва свойств среды в отсутствии поверхностных токов тангенциальные составляющие E и H векторов E и H непрерывны E H = 0, = 0, где [U] = а означает скачек вектор-функции U при переходе через границу раздела сред с разными свойствами, равный а.

Мы будем рассматривать модели, содержащие тонкие проводящие пленки с конечной проводимостью S(x,y,z). В такой пленке возникает поверхностный ток J, что приводит к нарушению непрерывности тангенциальных компонент магнитного поля. При переходе через пленку тангенциальная составляющая E вектора E остается непрерывной, а H терпит разрыв, равный величине поверхностного тока J. Условие сопряжения на произвольной гладкой s поверхности, на которую натянута пленка, может быть записано в следующем виде H (1.1.2) = n H = SE = J, [ ] s s где n – единичный вектор нормали к поверхности пленки, направленной от ее отрицательной стороны к положительной, символ '' означает векторное произведение.

О размерности прямых задач геоэлектрики.

Определение. Размерностью источника ds назовем минимальное количество переменных, от которых зависит электромагнитное поле, создаваемое этим источником в однородном пространстве. Примером одномерного источника поля может служить плоская волна, двумерного источника – поле бесконечно длинного кабеля.

Определение. Размерностью модели среды dm назовем минимальное количество переменных, от которых зависят электромагнитные и геометрические параметры модели безотносительно к какому-либо источнику электромагнитного поля. Примером одномерной модели среды может являться горизонтальнослоистая среда (в декартовой системе координат) и цилиндрически-слоистая среда (в цилиндрической системе координат).

Размерность прямой задачи dt зависит от размерности модели среды dm и источника поля ds. Эти величины связаны между собой.

Определение. Размерностью прямой задачи геоэлектрики dt назовем величину d := max d,d.

{ } ts m Рис. 1.1.4. К классификации моделей среды и источников поля.

Вообще говоря, размерность прямой задачи преимущественно определяется размерностью модели. Например, в случае двумерной модели среды, применяя подходящее интегральное преобразование, удается свести трехмерную задачу к двумерной (в области изображений). Сделать размерность дифференциальной задачи меньше размерности модели, как правило, достаточно сложно.

Применительно к декартовой системе координат типы источников и моделей схематически изображены на рис. 1.1.4.

В согласии с рисунком, будем в дальнейшем говорить о задачах, указывая их характер двумя параметрами - размерностью модели dm и размерностью источника ds : d = d & ds (таблица 1.1).

t m Таблица 1.Задачи Содержание 1D&1D Одномерная модель среды и одномерный источник 1D&2D Одномерная модель среды и двумерный источник 1D&3D Одномерная модель среды и трехмерный источник 2D&1D Двумерная модель среды и одномерный источник 2D&2D Двумерная модель среды и двумерный источник 2D&3D Двумерная модель среды и трехмерный источник 3D&1D Трехмерная модель среды и одномерный источник 3D&2D Трехмерная модель среды и двумерный источник 3D&3D Трехмерная модель среды и трехмерный источник 1.2. Дифференциальные уравнения электромагнитных полей.





1.2.1. Гармонически изменяющиеся поля Задачи 3D&3D. Будем полагать, что векторы напряженности электрического E и магнитного H полей изменяются по закону exp(-it):

H = H exp(-it), E = E exp(-it), где H, E – комплексные амплитуды магнитного и электрического полей. Запишем систему уравнений Максвелла относительно комплексных амплитуд векторов электромагнитных полей:

rotH= E+j s rotE=iµH, (1.2.1) divB=0, divD= p.

Здесь = -i – комплексная удельная электропроводность. Далее знак «~» над векторами будем опускать.

Из первого уравнения системы (1.2.1) следует div( E) = -divj S или divE = -divj - (E, grad ), S Из (1.2.1) поочередным исключением E и H получают.

rotµ-1rotE+k2µ-1E=i js - rot-1rotH+k2-1H=rot j (1.2.2) s, где k2 =-iµ. Далее для упрощения записи вместо будем писать.

Электромагнитное поле в неоднородной среде удобно представлять как сумму фонового En,Hn и аномального Ea,Ha полей H = Hn + Ha, E = En + Ea.

Аналогично, и µ представим в виде сумм проводимости и магнитной проницаемости фоновой модели среды (n, µn) и их аномальных составляющих (a, µa):

n(x, a(x, (x, y, z) = y, z) + y, z), µ(x, y, z) = µn(x, y, z) + µa(x, y, z).

Уравнения Максвелла для фоновых полей с теми же сторонними источниками поля j, что и в (1.2.1) имеют вид:

s n n n rotH = E + j, s (1.2.3) rotEn nHn.

=iµ Вычитая из уравнений системы (1.2.1) соответствующие уравнения системы (1.2.3), получим n rotH = E + E, (1.2.4) =iµH -iµ H.

rotE n В правые части уравнений входят выражения ja = En, jb = -iµ Hn.

Они являются избыточными электрическими и магнитными токами, являющиеся источниками аномальных электромагнитных полей.

Разрешая систему (1.2.4) относительно E и H, получим a n aEn rot rotEa -i Ea = i + irot µ H, (1.2.5) µ µ 1.

a n rot rotHa - iµHa = iµaHn + rot E (1.2.6) Введем обозначения:

11 L :=rot rot, L :=rot rot, L :=rot rot, µ EH aEn f :=i +irot -1µ aHn µ, E f := (1.2.7) aHn -1 aEn.

f :=iµ +rot H Уравнения (1.2.5), (1.2.6) имеют одинаковую структуру, поэтому их можем записать в следующем виде:

kL u + u = f, k2 := -iµ. (1.2.8) Из (1.2.8) получаются уравнения для полных и аномальных электромагнитных полей, если сделать подстановки в согласии с таблицей 1.2.

При построении интегральных уравнений понадобится несколько иной вид уравнения (1.2.8). Преобразуем его так, чтобы коэффициентами являлись параметры нормального разреза. Примем L(n) := rot rot, n := µn,n.

n Таблица 1.u f L i j E L µ E s -1(µ n)Hn µ -µ +i( n)En Ea µ i rot L E H j -rot L H s -1 n n + Ha rot ( - )E i (µ - µn)Hn L H После простых преобразований формула (1.2.8) примет вид:

(n)u kn L + u = f. (1.2.10) n Видим, что характер уравнения (1.2.8) не меняется. Из него можно получить уравнение (1.2.10), если в (1.2.8) сделать подстановки в соответствии с таблицей 1.3.

Таким образом, при расчете аномальных полей роль источников поля играют избыточные токи, определяемые формулой (1.2.7), сосредоточенные в месте расположения неоднородностей модели среды, отличающиеся от свойств фоновой модели и возбуждаемые фоновым полем конкретного источника.

Таблица 1.3.

u L n f nn (µ + n)E n E i rot -µ )H / µ i( - +i j L( ) µ E n s µn (µ-µ n)H / µ n n)E Ea n i rot + i( L( ) E n n -( n H L( ) n rot - )E / + i (µ - µn)H +rotj H s n n ( Ha n rot - )E / + i (µ - µn)H L( ) n H В этом случае вычислительные схемы инвариантны по отношению к типу возбудителей поля. Для решения задачи нужно уметь рассчитывать фоновое поле в области a 0, µa 0, а также в тех точках, в которых необходимо найти полные поля. При поиске и разведке нефтяных месторождений можно положить µa = 0. Тогда формула (1.2.7) будет иметь очевидное упрощение. В частности, L E = rotrotE =. (1.2.11) (graddivE-E) E µµ В этом случае последнюю формулу можно представить в несколько ином виде.

Воздействуя оператором div на обе части первого уравнения системы (1.2.4), получим aEn + div Ea div = 0.

Так как + div Ea = grad,Ea divEa, имеем divE =(grad,E)+ div a En.

( ) Следовательно, aEn graddivE = grad = ( ) ( ) - grad,Ea +div - =-grad grad,E + grad div En ( ) ( ) и уравнение ( 1.2.8 ) применительно к электрическому полю принимает вид :

2Ea - Ea + k2Ea = f, (1.2.12) где aEn ( ) f = f +.

E Здесь – дифференциальный оператор Гамильтона. Очевидно, выражение требует специального рассмотрения при программировании. При производные по времени в (1.2.5-1.2.7) стремятся к нулю и уравнение (1.2.5) теряет связь со свойствами среды и источниками поля, в то время как уравнение (1.2.12) принимает вид 1 J grad grad,E +E =-graddiv.

( ) Полагая E =-gradU, нетрудно увидеть, что уравнение (1.2.12) содержит решения уравнения div gradU div E ( )= n, которому удовлетворяет скалярный потенциал поля постоянного тока.

Электродинамические потенциалы. Из второго уравнения Максвелла следует div(µH) = 0, поэтому можно ввести вектор-потенциал A, удовлетворяющий равенству:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 13 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.