WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 |

Замечание. Экспоненциальная аппроксимация подынтегральной функции или ее части может послужить основой для быстрого приближенного расчета нужных интегралов с относительной погрешностью порядка 10%. Сравнение ~ функций D3(m) и D3 (m) приведены на рис. 3.9. Достоинство аппроксимации коэффициента D3 (m) состоит в том, что этот коэффициент является общей частью многих подынтегральных функций. Удачно выбранные параметры экспонент позволяют выполнить вычисления этих интегралов (потенциалов и электрических полей).

Результаты расчетов кажущегося сопротивления по отношению потенциалов диполя для трехслойной среды и однородног пространства на основе ~ использования функции D3 (m) приведены на рис 3.10-3.15.

Рис. 3.9. Сравнение функции D3() и ее аппроксимации двумя экспонентами D3(). Обозначения: 1 - D3() - D3(), 3 - D3() - D3() Рис. 3.10. Рельеф функции Ud (r, z) /Ud (r, z) Трехслойная модель среды: 1=1 омм, 2=10-8 омм, 3=10 омм;a=0.1 м, h=0.01 м Значения z и r, изменяются от 0.11 м со знаменателем геометрической прогрессии q = 2.0. zd = 0. По осям абсцисс и ординат указаны индексы массивов разносов и глубин. а) Интегралы вычислялись на основе ~ функции D3 (m).б) Интегралы вычислялись по квадратуре Филона.

0.Compare Gauss Lap K0.0.0.1 1 10 100 1000 10000 r, m k Er Рис. 3.11. Сравнение результатов расчета по двум алгоритмам =.

1 Er(0) Трехслойная модель среды: 2=1.2 10-7 омм. Значения r изменяются от 0.11 м со знаменателем геометрической прогрессии q = 2.0, zd = 0. По осям абсцисс и ординат указаны индексы массивов разносов и глубин. Интегралы вычислялись ~ на основе функции D3 (m) (сплошная линия) и по квадратуре Гаусса (20 точек на интервал)(пунктирная линия).

Для вычислений интегралов использовалась квадратура Филона (Filon) [Хемминг, 1968]), Рис.3.12. Рельеф функции Ud (r, z) /Ud (r, z) Трехслойная модель среды: 1=1 омм, 1=10-8 омм, 3=10 омм; a=0.1 м, h=0.01 м Значения r, изменяются от 0.11 м со знаменателем геометрической прогрессии q = 2.0. zd = 50 км., шаг изменения z равен 1 км По осям абсцисс и ординат указаны индексы массивов разносов и глубин.

/ 3.1.7. Цилиндрически-слоистая среда в полупространстве В этом разделе мы будем исследовать модели обсаженной скважины бесконечной длины в поле точечного источника постоянного тока и вертикального электрического диполя в нижнем полупространстве (земле). Верхнее полупространство будем полагать заполненным непроводящей средой (воздухом).

Для вычисления потенциалов и электрических полей в полупространстве на границе раздела земля-воздух необходимо обеспечить равенство нулю нормальной составляющей плотности тока:

U jz z=0 = Ez z=0 == z z=.

Это достигается зеркальным отражением нижнего проводящего полупространства вместе с неоднородностями и источниками в верхнее полупространство. В полученном таким образом полном пространстве появляется дополнительный источник (точечный или дипольный). В согласии с аддитивностью потенциальных полей поле в полупространстве есть сумма полей всех источников.

Точечный источник. Выше изложенное дает основание решения для потенциала точечного источника в полупространстве представить в следующем виде:

n F (r, z, zd ) = F (r, z - zd ) + F (r, z + zd ) n где F (r, z, zd ) –поле в n-слойном цилиндрически-слоистом полупространстве и F(r, z ± zd ) – поле в пространстве.

В частности, в однородном полупространстве находим 0 - zd ) J (z + zd ) U1(r, z, zd ) U (r, z - zd ) U (r, z + zd ) J (z =+ = += 0.

z z z 4 R-4 R+ z=z=0 z=Здесь R± = r2 + (z ± zd )2.

Электрический диполь. Применительно к диполю нужно учесть, что при зеркальном отображении отраженный диполь по отношению к основному имеет противоположное направление. Поэтому для дипольного источника в полупространстве потенциал и поля следует вычислять по формуле Fdn(r,z,zd ) = Fd (r,z - zd ) - Fd (r,z + zd ) Рис.3.13. Графики зависимости кажущегося сопротивления от аппликаты z точки наблюдения при различных фиксированных расстояниях r от оси скважины. Значения z и r, изменяются от 0.11 м со знаменателем геометрической прогрессии q = 2.0. Цифры на кривых связаны с величиной r (в метрах) формулой r = 2m-1, где m – шифр (номер) графика.

Параметры трехслойной среды : 1=1 омм, 1=10-8 омм, 3=10 омм; a=0.м, h=0.01 м.

Рис.3.14. Точечный источник. Графики кажущегося сопротивления для трехслойной модели с параметрами: 1=1 омм, 2=1.2 10-7 омм, 3=омм; a=0.1 м, h=0.01 м, zd = 0. Значения r изменяются от 0.11 м со знаменателем геометрической прогрессии q = 2.0. Значения z изменяются от 0 до 400 м с шагом 50 м, а также z=950 м.

где Fdn(r, z, zd ) – поле в n-слойном цилиндрически-слоистом полупространстве и Fd (r, z ± zd )– поле в пространстве. Тогда, например, для вертикальной компоненты электрического поля диполя получаем I (z - zd )2 I (z + zd )E1 = - (1- 3 ) + (1- 3 ) = 0.

z z=4 R- 2 R- 4 R+ R+ z= k Er Рис.3.15. Диполь. Графики кажущегося сопротивления = для 1 Er(0) трехслойной модели с параметрами : 1=1 омм, 2=1.2 10-7 омм, 3=омм; a=0.1 м, h=0.01 м, zd = 500. По оси абсцисс отложены значения r, изменяющиеся от 0.11 м со знаменателем геометрической прогрессии q = 2.0. Значения z изменяются от 0 до 500 м с шагом 50 м.

Пунктиром изображен график двухслойной кривой кажущегося сопротивления, полученный из трехслойной кривой при 1 = 2.

Приложение. Отметим полезные интегралы, которые используются в процессе построения квадратур:

sin ln(a) - Si() sgn(), lnacos d =+ d sin d ln(ad) - Si( ), ln acos d = o z sintdt, a d = (ln a -1).

Si(z) = ln t [Бэйтмен, Эрдейи, с.53, (45)] K0 2 2ar.

K (ma)I0(mr)cos(m )dm = + (a + r)2 + (a + r) 3.2. Переменное электромагнитное поле Рассмотрим поле вертикального электрического диполя в цилиндрическислоистой среде для той же модели среды, что и в разделе 3.1. Будем использовать такие же обозначения и систему координат, как и в предыдущем разделе. Диполь расположен на оси симметрии модели в точке S с координатами (0,0,zd) цилиндрической системы координат, ось диполя совпадает с направлением оси z. Решение задачи применительно к каротажу скважин приведено в работе [Кауфман, 1965, Каринский, 1998].

При сделанных предположениях относительно модели среды и источника поля решение задачи сводится к отысканию одной скалярной функции - компоненты Az вектор-потенциала A = (0,0, Az(r, z)). Напомним (см. формулы (1.2.16)-(1.2.19)), что в однородной среде, не содержащей источников справедливы соотношения B = µH = rotA, E = iA + grad divA, U = - divA. (3.2.1) µ µ и (см.формулу (1.2.180)) в области, не содержащей источников поля, A - k2A = 0. (3.2.2) На границах разрыва свойств среды (при r = ri ) аналог условий сопряжения (1.2.19) для компоненты Az могут быть представлены в следующем виде 1 Az = 0,iAz + 1 2Az 0.

= (3.2.3) µ r µ z 3.2.1. Электрический диполь.

Далее будем использовать обозначения:

• R = r2 + z - zd – расстояние от источника поля до точки наблюдения, ( ) • I = Jdz – момент диполя, J – сила тока в диполе, dz – расстояние между полюсами диполя.

Сформулируем задачу. Нужно найти функцию Az(r, z), удовлетворяющую следующим требованиям.

1. Внутри каждого однородного цилиндрического слоя вне области, содержащей источники поля, удовлетворяет уравнению Гельмгольца (3.2.2), 2. На границах цилиндрических слоев удовлетворяет условиям сопряжения (3.2.3), 3. Удовлетворяет условиям излучения на бесконечности ( Az (R) 0, R ), 4. Стремится к решению задачи в однородном пространстве при неограниченном приближении к источнику (при R 0):

Iµ e-kR.

( Az(R) Az0)(R) = 4 R Фундаментальное решение уравнения Гельмгольца можно представить в интегральном виде, если воспользоваться интегралом 2 e-kR K0( pr)cos d =, = z - zd, p = k2 + 2, (3.2.4) R частным случаем которого является интеграл (3.1.1.2).

Решение задачи. Учитывая четность потенциала относительно переменной, применим к задаче косинус-преобразование Фурье Fc(Az(, )) по этой переменной Fc(Az(r, )):= Az(r,) = Az(r, )cos( )d, r > 0, Обратное преобразование Фурье запишем в следующем виде:

Az(r, ) = Fc-1(Az(r,)) = Az(r,)cos( )d.

В результате этой операции в области изображений придем к задаче d Az + 1 dAz - p2Az = 0, r > 0;

r dr dr 1 dAz = 0; i Az + -2 Az p2Az = 0; (3.2.5) µ dr µ µ Az(r,) = 0; Az(r,) 0, r.

r r= Здесь учтено, что 2Az(r,) Fc =-2Az(r,).

Примем JdzµAz(r,):= qµ Z(r,), q :=.

Тогда для функции Z(r,) получим задачу вида (3.2.5) с условиями сопряжения Z = 0; p2Z / = 0.

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения задачи (3.2.5) является линейная комбинация функций Бесселя мнимого аргумента Z(r,) = C I0( pr) + D K0( pr).

( ) ( ) Первый слой (скважина). Компоненту Az1(r, z) в первом слое представляют в виде суммы поля диполя в однородной среде ( Az0)(r, z) = q µ1Z1(0),r cos(z - zd )d, Z1(0),r = K0 p1r, ( ) ( ) ( ) свойства которого совпадают со свойствами скважины, и вектор-потенциала (1) Az1 (r, z) = q Z1(1) r cos(z - zd )d, Z1(1),r = C1()I0 p1r, ( ) ( ) µ ( ) учитывающего влияние слоистой среды. Поэтому в спектральной области получим Z1(r,) = Z1(1)(r,) + Z1(0)(r,) = C1()I0 p1r + K0 p1r. (3.2.7) ( ) ( ) Промежуточные слои. В каждом m-том слое конечной мощности (m = (m) 2,...,n–1) решение Z (r,) принимает вид (m) Z (r,) = Cm I0( pmr) + Dm K0( pmr), pm = km + 2. (3.2.6) ( ) ( ) Последний слой. В последнем n-том слое решение будет стремление к нулю на бесконечности, если принять Zn(r,) = Dn K0( pnr). (3.2.8) ( ) Условия сопряжения (3.2.3) приводят к системе линейных уравнений относительно коэффициентов Cm, Dm+1, m =1,...,n -( ) ( ) p1 C1()I1 p1r1 K1 p1r1 = p2 C2 I1( p2r1) - D2 K1( p2r1), ( )- ( ) ( ) ( ) 2 p1 C1()I0 p1r1 + K0 p1r1 = 1p2 C2 I0( p2r1) + D2 K0( p2r1), ( ) ( ) ( ) ( ) … pm Cm()I1 pmrm DmK1 pmrm = pm+1 Cm+1 I1( pm+1r1) - Dm+1 K1( pm+1r1), ( )- ( ) ( ) ( ) 2 m+1pm Cm()I0 pmrm + DmK0 pmrm =m pm+1 Cm+1()I0 pm+1rm + Dm+1K0 pm+1rm, ( ) ( ) ( ) ( ) pn-1 Cn-1()I1 pn-1rm K1 pn-1rm = pn K1( pnr1), ( )- ( ) -Dn ( ) n pn-1 Cn-1()I0 pn-1rm + K0 pn-1rm =n-1pn DnK0 pnrm.

( ) ( ) ( ) (3.2.9) Рассмотрим два важных частных случая модели среды.

1. Двухслойная среда (n = 2). Модель соответствует скважине радиуса r = r= a, расположенной в однородной вмещающей среде. Применительно к двухслойной среде система (3.2.9) примет вид p1 C1()I1 p1r1 - K1 p1r1 = p2 -D2 K1( p2r1), ( ) ( ) ( ) (3.2.92) 2 p1 C1()I0 p1r1 + K0 p1r1 =1p2K0 p2r1.

( ) ( ) ( ) Примем 11 := pI1 pr1, 12 := p2K1 p2r1, ( ) ( ) 1 21 :=2 p1 I0 p1r1, 22 :=1p2K0 p2r1, ( ) ( ) b1 := p1K1 p1r1, b2 := -2 p1 K0 p1r1.

( ) ( ) :Рис. 3.16а. График модуля Рис. 3.16б. График модуля коэффициента C1() коэффициента D2() Период T = 200. Параметры модели: 1 =1омм-1, 2 = 0.10омм-1; a = 0.1м В этих обозначениях решение системы (3.2.92) дают формулы C1 = b122 -b212 /, D2 = - b121 -b211 /, () ( ) :=1122 -2112.

2. Трехслойная среда (n = 3). Этот класс моделей включает скважину радиуса r = r1 = a, обсаженную металлической трубой толщины h (r2 = a + h), расположенную в однородной вмещающей среде. Применительно к трехслойной среде система (3.2.9) будет содержать четыре уравнения p1 C1()I1 p1r1 - K1 p1r1 = p2 C2 I1( p2r1) - D2 K1( p2r1), ( ) ( ) ( ) ( ) 2 p1 C1()I0 p1r1 + K0 p1r1 =1p2 C2 I0( p2r1) + D2 K0( p2r1), ( ) ( ) ( ) ( ) (3.2.93) p2 C2()I1 p2r2 - D2K1 p2r2 = p3 -D3 K1( p3r2), ( ) ( ) ( ) 3 p2 C2()I0 p2r2 + D2K0 p2r2 =2 p3 D3K0 p3r2.

( ) ( ) ( ) Обозначим коэффициенты системы (3.2.93) и ее правую часть 11 := p1I1 p1r1, 12 := - p2I1 p2r1, 13 := p2K1 p2r1, 14 = 0, ( ) ( )( ) 22 21 := 2 p1 I0 p1r1, 22 := -1p2 I0 p2r1 23 := -1p2 K0 p2r1,24 = 0, ( ) ( ) ( ) 31 = 0, 32 := p2I1 p2r2 33 := - p2K1 p2r2, ( ) ( ) 34 := p3K1 p3r2, ( ) 22 41 = 0, 42 :=3 p2I0 p2r2, 43 := 3 p2 K0 p2r2, 44 := -2 p3 K0 p3r2, ( ) ( ) ( ) b1 := p1K1 p1r1, b2 :=-2 p1 K0 p1r1, b3 = 0, b4 = 0.

( ) ( ) Получим систему линейных уравнений Ax = b, x := (C1,C2, D2, D3), b = (b1,b2,b3,b4), A:= ij i, j=1,...,( ) Решение системы дают операторы СКМ Maple:

with(LinearAlgebra):

A:=<,,<0|a32|a33|a34>,<0|a2|a43|a44>>;

b:=;

LinearSolve(A, b, method ='solve');

Выполняя эти операторы на Maple, получим решение в символьном виде:

Vector[column]([ [( a32*b2*a13*a44 – a32*a23*a44*b1 – a43*a22*a34*b1 + a43*b2*a12*a34 – b2*a42*a13*a34 + a42*a23*a34*b1 + a33*a22*a44*b1 – b2*a33*a12*a44)/ (-a21*a42*a13*a34-a21*a33*a12*a44 + a21*a13*a32*a44 + a21*a12*a43*a34 + a11*a42*a23*a34+a11*a33*a22*a44-a11*a23*a32*a44-a11*a22*a43*a34)], [–(–a43*a21*b1*a34+a43*a11*b2*a34+a44*a21*a33*b1–a44*a11*a33*b2)/ (–a21*a42*a13*a34–a21*a33*a12*a44 + a21*a13*a32*a44 + a21*a12*a43*a34 + a11*a42*a23*a34 + a11*a33*a22*a44–a11*a23*a32*a44–a11*a22*a43*a34)], [(a21*b1 – a11*b2)*(–a42*a34+a32*a44)/ (–a21*a42*a13*a34–a21*a33*a12*a44 + a21*a13*a32*a44 + a21*a12*a43*a34 + a11*a42*a23*a34 + a11*a33*a22*a44–a11*a23*a32*a44–a11*a22*a43*a34)], [–(–a21*a42*a33*b1+a21*a32*a43*b1–a11*a32*a43*b2+a11*a42*a33*b2)/ (–a21*a42*a13*a34–a21*a33*a12*a44 + a21*a13*a32*a44 + a21*a12*a43*a+a11*a42*a23*a34+a11*a33*a22*a44–a11*a23*a32*a44–a11*a22*a43*a34)]]) После очевидной замены символов для определителя системы получим выражение =-21421334 -21331244+21133244++11422334+11332244 -11233244 -11224334, В результате решение системы определяют формулы:

C1= 32b21344 -322344b1 -432234b1+43b( (3.2.10) -b2421334+422334b1+332244b1 - b2331244 /, ) C2= 4321b134 -431134b2 -442133b1 +44b21133) /, (3.2.11) ( D2=(21b1-11b2)(-4234+3244)/, (3.2.12) D3 = (214233b1 -213243b1 +113243b2 -114233b2)/. (3.2.13) При решении каротажных задач наибольший интерес представляет расчет поля внутри скважины. Для этого нужно вычислять интегралы, содержащие коэффициент C1. Аналог формулы (3.2.10) ранее получен в работе [Каринский, 1998].

Нас интересует оценка расстояний, на которых обсаженная скважина оказывает влияние на поле во вмещающей среде. Для решения этой задачи потребуется выполнить расчет интегралов, содержащих в подынтегральной функции коэффициент Dn.

Рис. 3.17. График функции D3() при T=2 !04 для различных..

Параметры трехслойной среды: 1 = 1 омм-1, 2 = 4.5 107 омм-1, 3 = 0.омм-1; радиус скважины а = 0.10 м, толщина обсадной трубы h =0.01 м.

3.2.2. Полубесконечный кабель.

Перейдем к рассмотрению электромагнитного поля, создаваемого полубесконечным кабелем, расположенным по отрицательной полуоси z.

Будем полагать, что электрод А кабеля находится в начале координат (рис. 3.18). Во вмещающей среде (области ( r > rn-1 найдем компоненту Azc) путем интегрирования поля диполя Az по переменной zd в интервале от - до [Каринский, 1998]:

Рис.3.18.

( Azc)(r, z) = qµn Dn K0( pnr)cos z - zd ddzd = ( ) ( ) - J µqµn Dn K0( pnr)d cos z - zd dzd, q :=.

( ) ( ) 0 Так как0 z cos z - zd dzd = ( ) cos d = cos d -cos d = () - sin z, - z то ( Azc)(r, z) = qµn Dn K0( pnr)cos z - zd ddzd = ( ) ( ) - Разложение дельта-функции в интеграл Фурье имеет вид [Тихонов, Самарский, 1977, с. 273]:

- (x - x0 ) = cos (x - x0)d.

= qµn Dn K0( pnr) () - sin z d.

( ) Рис. 3.19. График функции D3() при T=2 102 для различных..

Параметры трехслойной среды: 1 = 1 омм-1, 2 = 4.5 107 омм-1, 3 = 0.омм-1; радиус скважины а = 0.10 м, толщина обсадной трубы h =0.01 м.

Здесь () - дельта-функционал, который любой непрерывной функции f () ставит в соответствие ее значение в нуле f (0). Это дает основание записать J µn 22 sin z ( Azc)(r, z) = Dn 0 K0(knr) - Dn K0( pnr) d. (3.2.14) ( ) ( ) 4 2 Нас интересует поведение компоненты Er во вмещающей среде.

Согласно (3.2.1), получим ( 1 2Azc) In Er == pnDn K1( pnr)coszd, r > rn-1. (3.2.15) ( ) µnn rz 4 В однородной среде Dn 1, поэтому ( ) 1+ k1R 2 2 e-k1R r e-k1R.

p1K1( p1r)cosz d =- K0( p1r)cosz d =- = r r R RСледовательно, радиальная составляющая электрического поля в однородном пространстве равна На физическом уровне строгости это свойство записывают в виде интегралов f (x) (x - x0)dx = f (x0) или f (x) (x - x0)dx = f (x0) / 2. С позиций строгой математики xэти интегралы лишены смысла.

I 1 1+ k1R Er(1) = r e-k1R, R = r2 + z2. (3.2.16) RОпределим относительное кажущееся сопротивление в неоднородной среде как отношение напряженности электрического поля в неоднородной среде к электрическому полю в однородном пространстве k (r, z) Er (r, z).

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.