WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |

Решение в первом слое (скважине), содержащем источник, представим в виде суммы потенциала точечного источника в пространстве со свойствами первого слоя и аномальной части потенциала, учитывающего влияние цилиндрически-слоистой среды:

(0) ( U1(r, ) =U1 (r, ) +U1a)(r, ), где J 1 J (0) (0) U1 (r, ) =U1 (r, ) = = q K0(r)cos d, q :=, 4 R (a) а функция U1 (r, ) всюду внутри скважины ограничена и удовлетворяет уравнению Лапласа. Величина K0(r) при r 0 неограниченно возрастает, поэтому в формуле (3.1.1.4) коэффициент D1 нужно принять равным 0. Итак, (a) косинус-преобразование функции U1 (r, ) равно ( U1a)(r,) = C1I0(r).

Окончательно получим U1 (r,) = C1I0(r) + K0(r). (3.1.1.5) Это дает основание записать решение в скважине радиуса r1 = a U1(r, z) = q ()I0(r) + K0(r)]cos( )d, 0 < r < a, z. (3.1.1.6) [C или U1(r, z) = q + ()I0(r)cos( )d.

C R Решение а k-том слое принимает вид Uk (r, z) = q ()I0(r) + Dk ()K0(r)]cos( )d. (3.1.1.7) k [C В последнем n-том слое бесконечной мощности решение должно быть ограниченным, поэтому в (3.1.1.4) коэффициент Cn нужно положить равным Un(r,) = DnK0(r), (3.1.1.8) следовательно, Un(r, z) = q Dn()K0(r)cos( )d. (3.1.1.9) В вычислительном отношении общее решение задачи целесообразно записать в несколько ином виде, используя две линейно независимые функции, построенные из линейной комбинации модифицированных функций Бесселя.

Этим мы хотим:

1. улучшить устойчивость вычислений, 2. уменьшить в два раза количество уравнений для вычисления неопределенных коэффициентов и сделать матрицу системы трехдиагональной, 3. придать неопределенным коэффициентам содержательный характер: они будут являться значениями потенциала на границах разрыва свойств среды (на границах цилиндрических слоев) в точках r = rk,k =1,2,...,n-1.

Пусть такими функциями в каждом цилиндрическом k-том слое (k = 2,...,n-1) конечной мощности будут I0(r)K0(rk ) - I0(rk )K0(r) q1,k (, rk -1,rk, r) :=, rk -1 r rk;

I0(rk-1)K0(rk ) - I0(rk )K0(rk-1) I0(rk -1)K0(r) - I0(r)K0 (rk -1) q2,k (, rk-1, rk,r) :=,rk -1 r rk.

I0(rk -1)K0(rk ) - I0(rk )K0(rk -1) Рис. 3..

Очевидны основные свойства этих функций (см. рис. 3.3).

Свойство 1. Функции q1,k и q2,k линейно независимы и являются решениями уравнения Бесселя задачи (3.1.1.3).

Свойство 2. Имеют место равенства q1,k(,rk-1,rk,rk-1) =1, q1,k (,rk-1,rk,rk ) = 0;

q2,k (,rk-1,rk,rk-1) = 0, q1,k(,rk-1,rk,rk ) =1.

Свойство 3. Множество значений функций принадлежит отрезку [0,1] 0 q1,k (,rk-1,rk,r), q2,k (,rk-1,rk,r) 1.

Производные по r равны I1(r)K0(r2) + I0(rk )K1(r) q1,2(,rk-1,rk,r) =, I0(rk-1)K0(rk ) - I0(rk )K0(rk-1) I0(rk-1)K1(r) + I1(r)K0(rk-1) q2,2(,rk-1,rk,r):=-, I0(rk-1)K0(rk ) - I0(rk )K0(rk-1) причем q1,2(,rk-1,rk,rk ) =, rk I0(rk-1)K0(rk ) - I0(rk )K0(rk-1) -q2,2(,rk-1,rk,rk-1):=.

rk-1 I0(rk-1)K0(rk ) - I0(rk )K0(rk-1) Пусть Uk-1 :=Uk (r,), Uk :=Uk (r,), r=rk-1 r=rk тогда решение задачи в k-том слое будет иметь вид Uk (r,) =Uk-1 q1,k (,rk-1,rk,r) + Uk q2,k (,rk-1,rk,r). (3.1.1.41) Из свойства 2 функций q1,k и q2,k следует Uk (rk-1,) =Uk-1, Uk (rk,) =Uk.

Решения в скважине и последнем слое представим в следующем виде U1 - K0(r1) U1(r,) = I0(r) + K0(r), 0 < r r1; (3.1.1.51) I0(r1) K0(r) Un(r,) =Un-1, r rn-1. (3.1.1.61) K0(rn-1) Здесь использованы обозначения U1 :=U1(r1,), Un-1 :=Un(rn-1,).

Очевидно U1 - K0(r1) U1(r1,) = I0(r1) + K0(r1) =U1, I0(r1) Un(rn-1,) =Un-1 K0(rn-1) =Un-1.

K0(rn-1) При записи решений задачи в согласии с формулами (3.1.1.41)- (3.1.1.61) непрерывность потенциала на границах слоев (условие сопряжения = 0 в U (3.1.1.3)) будет выполняться автоматически. Действительно, Uk (r,) =Uk-1 q1,k (,rk-1,rk,rk ) + Uk q2,k (,rk-1,rk,rk ) =Uk-10+Uk 1=Uk, r=rk Uk+1(r,) =Uk q1,k+1(,rk,rk+1,rk+1) + Uk+1 q2,k+1(,rk,rk+1,rk+1) =Uk 1+Uk+10 =Uk.

r=rk Для вычисления потенциалов на границах пластов нужно потребовать выполнения второго условия сопряжения в задаче (3.1.1.3): U / r = 0, что приведет к системе уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

Решения этой системы можно воспользоваться стандартными подпрограммами, реализующими алгоритм прогонки.

Замечание. Функции вида q1,k и q2,k представляют самостоятельный интерес при численным решении задач скважинной геоэлектрики методом Ритца и методом Галеркина (методом конечных элементов). Например, в методе Галеркина на сетке по переменной r в качестве базисных можно взять следующие функции (r) j (рис.3.4.) r < rj-1, 0, q2, j-1(r), rj-1 r < rj, j(r):= q1, j(r) rj r < rj+1, 0 r rj+1.

Рис.3.4.

3.1.3. Частный случай. Двухслойная среда Рассмотрим решение задачи для двухслойной среды, соответствующей не обсаженной скважине, расположенной в однородной проводящей вмещающей среде.

Решение этой задачи имеется в книге [Кауфман,1997].

Параметры модели:

Слой 1. Скважина: радиус а, сопротивление 1.

Слой 2. Вмещающая среда: сопротивление 2.

Алгоритм 1. Удовлетворение условиям сопряжения задачи (3.1.1.3) приводит к системе уравнений относительно коэффициентов С1, D C1()I0(a) + K0(a) = D2K0(a), 1[C1()I1(a) - K1(a)] = -2D2K1(a).

Решеним системы по правилу Крамера. Определитель системы и коэффициенты равны 2 =2I0K1 +1I1K0, C1() = (1 -2)K0(a)K1(a)/ 2, (3.1.1.101) 1.

D2() = (3.1.1.102) aРешение в двухслойной среде дают формулы (3.1.1.6) и (3.1.1.8).



Для плотности тока в скважине из (3.1.1.6) получим jz(r, z) =1Ez = -1 U1 =1q + ()I0(r)sin( )d. (3.1.1.103) C z R3 0 Здесь I 1q =1 I 1 =.

4 Алгоритм 2. Воспользуемся формулами (3.1.1.51)- (3.1.1.61).

Относительно U1 получим уравнение U1 - K0(r1) I1(r1) - K1(r1) =-U1 1 K1(r1).

I0(r1) K0(r1) Из него найдем U U1 1I1(r1)K0(r1) +2I0(r1)K1(r1) =1K0(r1)K0(r1)I1(r1) + K1(r1)I0(r1). Т ак как K0(r1)I1(r1) + K1(r1)I0(r1) =1/ r1, то U1 U1(,r) = K0(r1).

r=r1 r1 1I1(r1)K0(r1) +2I0(r1)K1(r1) Подстановка (3.1.1.102) в (3.1.1.8) при r = r1 дает тот же результат. 3.1.4. Частный случай. Трехслойная среда Рассмотрим решение задачи для трехслойной среды, соответствующей обсаженной скважине, расположенной в проводящей вмещающая среде.

Параметры модели:

Слой 1. Скважина: радиус а, сопротивление 1.

Слой 2. Обсадная труба: толщина h, сопротивление 2.

Слой 3. Вмещающая среда: сопротивление 3.

Алгоритм 1. Аналогично (3.1.1.10) получим систему уравнений относительно коэффициентов С1, С2, D2, D3 :

C1()I0(a) + K0(a) = D2K0(a), 1[C1()I1(a) - K1(a)] =2[C2()I1(a) - D2K1(a)], (3.1.1.11) C2()I0((a + h)) + D2K0((a + h)) = D3K0((a + h)), 2[C2()I1((a + h)) - D2K1((a + h))] = -3D3K1((a + h)).

Примем r1 := a, r2 := a + h.

Для решения системы удобно воспользоваться пакетом программ аналитических преобразований Maple.

Определитель 3 системы (3.1.1.11) равен 3 = (2 -1)(3 -2)I0(r1)I1(r1)K0(r2)K1(r2) + (3.1.1.12) [2I0(r1)K1(r1) +1I1(vr1)K0(r1)][3I0(r2)K1(r2) + I1(r2)K0(r2)].

[2I0(r1)K1(r1) +1I1(r1)K0(r1)]2 = 2 При 3 2, 3.

(a + h) (a + h) Здесь учтено, что I0(x)K1(x) + I1(x)K0(x) =1/ x.

При 1 получим похожий результат.

Если проводимость всех слоев одинакова и равна, то [2I0(r1)K1(r1) +1I1(r1)K0(r1)] 3 = =.

(a + h) 2a(a + h) По правилу Крамера найдем все коэффициенты.

1. Скважине соответствует один коэффициент С1.

C1() ={[3I0(r2)K1(r2) +2I1(r2)K0(r2)](1 -2)K0(r1)K1(r1) + (3.1.1.13) [2I1(r1)K0(r1) +1I0(r1)K1(r1)](2 -3)K0(r2)K1(r2)}/ 3.

При 3 C1() (1 -2)2K0(r1)K1(r1) /((a + h)3) = (1 -2)K0(r1)K1(r1) / 2.

Рис.3.5. Графики функции C1() для различных сопротивлений обсадной трубы.Сопротивления трубы изменяются по закону геометрической прогрессии от 1 омм (на переднем плане) до 10-8 омм (на заднем плане) со знаменателем 0.1.

Видим, что при 3 2 коэффициент С1 для трехслойной среды совпадает с аналогичным коэффициентом двухслойной модели среды.

В однородной среде коэффициент С1= 0.

Рельеф функции C1 приведен на рис. 3.5.

2. Обсадной трубе скважины соответствуют коэффициенты С2 и D2. Они равны C2() = (3 -2)1K0((a + h))K1((a + h)) /(a3)), 1(3I0((a + h))K1((a + h)) +2I1((a + h))K0((a + h)) D2(m) =. (3.1.1.14) aПри 3 2 C2 0, а коэффициент D2() совпадает с аналогичным коэффициентом двухслойной среды.

Рис. 3.6. Рельеф функции С2 () для различных сопротивлений обсадной трубы.

Сопротивления трубы изменяются по закону геометрической прогрессии от 1омм (на переднем плане) до 10-8 омм (на заднем плане) со знаменателем 0.1.

В однородной среде коэффициент С2 = 0, D2 = 1.

Рельеф функции C2 приведен на рис.3.6.

3. Для вычисления потенциала во вмещающей среде нужно знать коэффициент D3. Выражение для D3() имеет простой вид:

12.

D3() = (3.1.1.14) 2a(a + h)При 3 2 коэффициент D3() совпадает с аналогичным коэффициентом двухслойной среды. В однородной среде коэффициент D3 становится равным 1. Графики функции D2 приведены на рис. 3.7.

1 1.1E-0.1E-0.1E-0.1E-0.1E-1e-1E-1e-1E-1e-1E-1e-0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 1/ m, м Рис. 3.7. Графики функции D2 () для различных сопротивлений обсадной трубы. Сопротивления трубы изменяются по закону геометрической прогрессии от 1 омм до 10-8 омм со знаменателемгеометрической прогрессии 0.1. Шифр кривых – удельное сопротивление трубы 3.1.5. Анализ подынтегральных функций Основное внимание уделим исследованию подынтегральных функций, связанных с вычислением потенциала и электрических полей во вмещающей среде. С этой целью будем использовать приближенные соотношения для модифицированных функций Бесселя при малых значениях аргумента x2 x x2 I0(x) 1+, I1(x) (1+ ), K0(x) ln, K1(x) 1/ x,.

42 8 x где =1.781072418 связана с постоянной Эйлера C:

= exp(C), C = 0.577215665.

Асимптотики при 0.

Для получения асимптотических выражений воспользуемся известным поведением модифицированных функций Бесселя при стремлении их аргументов к нулю:

1. Двухслойная среда.

Имеем D2, 3 Layers Media 2 =2I0K1 +1I1K0 2I0K1, a поэтому K0 1 C1 (2 -1) (2 -1)ln, D2() =.

1 I0 1 a 2 1E-1E-0.1E-0.1E-0.1E-0.1E-1e-1E-1e-1E-1e-1E-1e-1e-005 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 1/m, м Рис.3.8. Графики функции D3 () для различных сопротивлений обсадной трубы.Сопротивления трубы изменяются по закону геометрической прогрессии от 1 омм до 10-8 омм со знаменателем 0.1. Шифр кривых соответствует 2. Трехслойная среда.

Определитель (3.1.1.12) системы (3.1.1.11) приближенно равен a 3 (2 -1)(3 -2)(-ln(r2)) +2K1(r1)3K1(mr2).(3.1.1.15) a + h 2a(a + h) С учетом этого приближенного значения получим выражения для коэффициентов в различных областях модели среды.

1) В области 0 < r < a (скважине) коэффициент C1() приближенно равен C1() (2 -1)ln + (3 - )ln. (3.1.1.16) 1 a 1 1 (a + h) 2) В области a< r a+h( вмещающей среде) D3(m) 1 D3() =. (3.1.1.19) 3 Асимптотики при.





Для получения асимптотических выражений воспользуемся известным поведением модифицированных функций Бесселя при стремлении их аргументов к бесконечности:

ex, K (x) I (x) e-x, I (x)K (x).

2x 2x 2 x 1. Двухслойная среда.

Для определителя 2 здесь имеем 1 +2, 2 =2I0K1 +1I1K2a поэтому C1 -1, 21 =1- k12, D2() 1 +где величину 2 - k12 = 2 + принято называть коэффициентом отражения.

2. Трехслойная среда.

3 = (2 -1)(3 -2)I0(r1)I1(r1)K0(r2)K1(r2) + [2I0(r1)K1(r1) +1I1(vr1)K0(r1)][3I0(r2)K1(r2) +2I1(r2)K0(r2)] e-2h (2 +1)(3 +2) (2 -1)(3 -2) + = 42a(a + h) 42a(a + h) (2 +1)(3 +2) (2 -1)(3 -2) (2 +1)(3 +2) = 1+ e-2h (2 +1)(3 +2) 42a(a + h) 42a(a + h) Асимптотическое выражение для определителя может быть записано более кратко:

3 (1+ e-2hk12k23).

(1- k12)(1- k23)2a(a + h) (1- k12)(1- k23)2a(a + h) Таким образом, получаем асимптотические соотношения для коэффициентов:

1) в скважине C1 k12 + k23, 2) в обсадной трубе C2 = (k12 -1)k23, D2 1- k12, 3) во вмещающей среде (1- k12)(1- k23) D3(m) (1- k12)(1- k23)(1- k12k23e-2h).

1+ k12k23e-2h Следовательно, D3 (1- k12)(1- k23).

Алгоритм 2. На основании формул (3.1.1.41) - (3.1.1.61) и условия сопряжения U / r = получим U1 - K0(r1) 1 I1(r) - K1(r) =2 U1 q1 (,r1,r2,r) +U2 q1 (,r1,r2,r),,1, I0(r1) r=r r=r 2 U1 q1,1(,r1,r2,r) +U2 q1,2(,r1,r2,r) = 3 -U2 K1(r) / K0(r2).

r=r2 r=r Система уравнений относительно U1,U2, являющаяся аналогом системы (3.1.1.11), принимает вид:

11U1 +12U2 =, (3.1.1.111) 21U1 +22U2 = 0.

где I1(r) 11 =1 -2q1,2(,r1,r2,r1), 12 = -2q2,2(,r1,r2,r1), I0(r1) 22 =2q2,2(,r1,r2,r2) +3K1(r2) / K0(r2), 21 =2q1 (,r1,r2,r2),, K0(r1) = 1 I1(r1) + K1(r1).

I0(r1) Легко убедиться, что определитель системы (3.1.1.111) := 1122 -1221 > 0, поэтому находим 22 -U1 =, U2 =.

1122 -1221 1122 -Замечание. Системы (3.1.1.11) и (3.1.1.111) дают решение одной и той же задачи, но (3.1.1.111) имеет два уравнения, в то время как (3.1.1.11) – четыре.

3.1.6. Вычисление интегралов.

Для получения численных результатов во вмещающей среде нужно вычислить ряд интегралов.

' Выпишем эти интегралы с учетом равенства K0(x) = -K1(x).

1. Интегралы, связанные с точечным источником.

а) Потенциал:

J U(r, z) = (3.1.1.201) D ()K0(r)cos(z - zd )d 4 0 б) Вертикальная компонента электрического поля J U Ez(r, z) =- = D3()K0(r) sin (z - zd )d (3.1.1.202) z 4 в)Радиальная компонента электрического поля U I Er =- = D3()K1(r) cos(z - zd )d (3.1.1.203) r 4 2. Интегралы, связанные с электрическим диполем.

а) Потенциал:

J Ud (r, z) = (3.1.1.211) D ()K0(r) sin(z - zd )d.

4 0 б) Вертикальная компонента электрического поля:

Ud J Ez(r, z) =- = D3()K0(r)2 cos(z - zd )d. (3.1.1.212) z 4 в)Радиальная компонента электрического поля:

Ud J Er (r, z) =- = D3()K1(r)2 sin (z - zd )d. (3.1.1.213) r 4 Численное интегрирование Подынтегральные функции имеют интегрируемые особенности (бесконечно большие величины порядка O(-ln(mr)) или O(1/mr). Они связаны с присутствием под знаком интеграла функций Kn(.) (n = 0, 1). При численном интегрировании полезно подынтегральные функции или их части представить в виде разности, учитывающей характер особенности подынтегральной функции J 1 D () - D () Kn(r) cos(z - zd ) F(r, z - zd ) = k d + F(r, z - zd ), 4 0 C () -C () In(r) sin (z - zd ) где k=0,1,2; n=0,1; =1,2,3 и F(r, z - zd ), F (r, z - zd ) – суть потенциалы или компоненты электрического поля в слоистой среде и их аналоги в однородном пространстве D () Kn(r) cos(z - zd ) J 1 F(r, z - zd ):= k d.

4 0 C () In(r) sin (z - zd ) Кроме того, функции, аппроксимирующие коэффициенты, полезно выбрать такими, чтобы последние интегралы вычислялись аналитически.

В качестве примера приведем выражения для потенциала и электрических полей точечного источника в пространстве.

J U(r, z, zd ) = [D () - D3(0)]K0(r)cos(z - zd )d + D3(0)U (r, z, zd ), 4 0 J Ez(r, z, zd ) = [D () - D3(0)]K0(r) sin m(z - zd )d + D3(0)Ez (r, z, zd ), 4 0 J Er (r, z, zd ) = [D () - D3(0)]K1(r) cos(z - zd )d + D3(0)Er (r, z, zd ).

4 0 Однако, предпочтительнее из коэффициента D3 вычитать функцию,которая имеет те же предельные значения, что и D3 и интеграл от которой вычислялся бы аналитически. Судя по графикам функции D3, изображенных на рис. 4.5, такой функцией может являться, например, линейная комбинация экспонент D3() = A1e-a1 + A2e-aс надлежащим образом выбранными коэффициентами Аi, ai (i = 1,2).

Аппроксимация экспонентами в литературе по численным методам известна [Хемминг, 1968]. Воспользовавшись этими алгоритмами, получим cos (z - zd ) J 1 F(r, z - zd ) = d + F(r, z - zd ), [(D () - D3()) - D3()]Kn(mr)mk 4 0 3 sin (z - zd ) где cos(z - zd ) J F(r, z - zd ):= D ()Kn(r)k sin(z - zd ) d + D3()F0(r, z - zd ).Интег 4 0 рал желательно выразить в замкнутом виде. Действительно, интегралы вида cos Re -a -(a-i ) d = e Kn(r)k e Kn(r)kd sin Im являются табличными.

Например, полагая p := a - i, в [Бейтмен, Эрдейи, 1969] находим - p e Ko(r)d = ps-3 ln(( p + s) / r) - s-2,s = p2 - r2, - p e K1(r)d = ps-2r-1 - rs-3 ln(( p + s)/ r).

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.