WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ М. Н. ЮДИН, В. М. ЮДИН МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГЕОЭЛЕКТРИКИ ЧАСТЬ I. СЛОИСТЫЕ МОДЕЛИ СРЕДЫ Допущено УМО по образованию в области прикладной геологии в качестве учебного пособия для студентов ВУЗов, обучающихся по специальностям 0201 «Прикладная математика» и 0804 «Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых» Москва 2007 Математическое моделирование в геоэлектрике.

Часть I. Слоистые модели среды: Учебное пособие.

Юдин В.М., М.Н.Юдин. Рос. госуд. геологоразв. унив. М., 2007. 155 с.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям: 230401 "Прикладная математика" и 130201 "Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых". Объем и содержание пособия соответствуют учебной программе по дисциплине "Математическое моделирование в геоэлектрике" специальности ПМ и будет полезным при изучении курсов “Теория поля”, “Уравнения математической физики”, “Электроразведка” геофизических специальностей.

©Российский государственный геологоразведочный университет, 2007 2 Список основных условных обозначений и сокращений EE – электрическое поле и его Фурье-спектр, HH – магнитное поле и его спектр, En,En, Hn,Hn – нормальное электромагнитное поле и его Фурье-спектр Ea,Ea Ha,Ha – аномальное электромагнитное поле и его Фурье-спектр E, H – тангенциальные составляющие векторов H и E A – вектор-потенциал U, Uh – вектор-функция U и ее сеточный аналог Uh n – единичный вектор нормали к поверхности – единичный тангенциальный вектор F, F-1 – операторы прямого и обратного одномерного преобразования Фурье -1– операторы прямого и обратного двумерного преобразования Фурье F2, F2 j – плотность электрического тока J – сила тока в источнике I – момент электрического диполя M – момент магнитного диполя µ – магнитная проницаемость µ – магнитная проницаемость воздуха – удельная электропроводность среды – удельное электрическое сопротивление среды – диэлектрическая проницаемость среды k – волновое число среды – длина электромагнитной волны – круговая частота колебаний T – период колебаний i – мнимая единица f – скачек (разрыв) функции f на границе области Kn()– функция Макдональда порядка n In() – функция Бесселя мнимого аргумента порядка n Jn() – функция Бесселя первого рода порядка n Yn() – функция Бесселя второго рода порядка n u, u* – комплексно-сопряженные величины ДАМ – декомпозиционный альтернирующий метод АМШ – альтернирующий метод Шварца := – по определению – конец раздела Оглавление Введение............................................................................................................... Глава 1. Постановка задач................................................................................. 1.1. Модель среды и источников поля....................................................... 1.2. Дифференциальные уравнения электромагнитных полей................ 1.2.1. Гармонически изменяющиеся поля............................................ 1.2.1. Нестационарные поля.................................................................. Глава 2. Моделирование электромагнитных полей в горизонтально-слоистой среде.................................................................................................................... 2.1. Аналитические решения для гармонически изменяющегося поля... 2.1.1. Одномерные задачи..................................................................... 2.1.2. Поле горизонтального электрического диполя.......................... 2.1.3. Поле вертикального электрического диполя.............................. 2.1.4. Поле вертикального магнитного диполя.................................... 2.1.5. Поле токовой линии (кабеля)...................................................... 2.2. Аналитические решения для нестационарных полей в горизонтальнослоистой среде............................................................................................ 2.2.1. Одномерные задачи..................................................................... 2.2.2. Поле горизонтального электрического диполя......................... 2.2.3. Поле вертикального электрического диполя.............................. 2.2.4. Поле токовой линии (кабеля)...................................................... 2.3. Некоторые свойства классов функций, связанных с решением задач в горизонтально-слоистой среде................................................................... 2.3.1. Свойства класса функций и связанных с ним подклассов...... 2.3.2. Свойства классов функций и................................................. 2.4. О вычислении интегралов, содержащих функции Бесселя............. 2.4.1. Вычисление преобразования Фурье-Бесселя на основе разложения по собственным функциям интегрального оператора............................ 2.4.2. Вычисление преобразования Фурье-Бесселя на основе экспоненциальной аппроксимации.......................................................... 2.4.3. Алгоритм Андерсена................................................................. Глава 3. Электромагнитные поля в цилиндрически-слоистой среде............ 3.1. Поле постоянного электрического тока........................................... 3.1.1. Постановка задачи..................................................................... 3.1.2. Решение задачи для n-слойной модели среды в пространстве 3.1.3. Частный случай. Двухслойная среда........................................ 3.1.4. Частный случай. Трехслойная среда......................................... 3.1.5. Анализ подынтегральных функций.......................................... 3.1.6. Вычисление интегралов............................................................. 3.1.7. Цилиндрически-слоистая среда в полупространстве.............. 3.2. Переменное электромагнитное поле................................................ 3.2.1. Электрический диполь............................................................... 3.2.2. Полубесконечный кабель.......................................................... Заключение …………………………………………………………………….Список литературы …………………………………………………………… Глава 0. Введение "Модель – мысленно представляемая или материально реализованная система, которая адекватно отображает исследуемый объект, т.е. сохраняет наиболее важные для данного исследования свойства, замещает его в процессе познания, упрощая процесс получения новой информации о реальном объекте" Под моделью понимают такой объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Ее можно рассматривать как специальную форму кодирования информации. Модель содержит в себе потенциальное знание, которое можно приобрести в процессе ее исследования.



Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Если результаты моделирования удовлетворяют исследователя и могут служить основой для прогнозирования поведения или свойств исследуемого объекта, то считают, что модель адекватна объекту [Ахишмин и др., 2005].

Сущность математического моделирования состоит в замене исходного объекта его «образом» – математической моделью – и дальнейшем изучении модели с помощью алгоритмов, реализуемых на компьютерах. Работа с моделью дает возможность исследовать ее свойства и поведение с различных точек зрения. Вычислительные эксперименты иногда позволяют изучать модели более полно и являются важным дополнением к чисто теоретическим подходам.

Процесс моделирования начинается с построения совокупности уравнений, данных и связей, отражающих в математической форме важнейшие свойства, обеспечивающие адекватность модели реальному объекту.

Изучение математической модели предполагает три этапа: теория – алгоритм – программа (см. рисунок).

На первом этапе предварительные знания об объекте получают на основании изучения модели (или ее фрагментов) теоретическими методами.

Теория дает общее понимание модели и процесса решения задачи. Это один из путей качественного представления о том, что происходит в действительности.

Второй этап — выбор (или разработка) алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.

На третьем этапе создаются программы, «переводящие» алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним также предъявляются требования экономичности и адаптивности. Их можно назвать «электронным» эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на «экспериментальной установке» – компьютере.

В конечном итоге специалист по изучаемой проблеме (пользователь) должен получить программный продукт – удобный инструмент для выполнения вычислительных экспериментов, обеспечивающих все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Если это не так, то может потребоваться изменение всех звеньев построения и исследования модели.

В геоэлектрике объектами модели являются электромагнитное поле, источники поля и параметры среды. Задание уравнений поля, его источников, а также геометрических и электромагнитных параметров геологической среды полностью определяют модель.

Определение. Нахождение величин, характеризующих параметры поля, по заданному распределению источников поля и параметров среды называют прямыми задачами.

Определение. Задачи, в которых нужно найти характеристики модели среды (коэффициенты дифференциальных уравнений) по результатам экспериментальных наблюдений, называют обратными задачами.

Чаще всего геометрические и электромагнитные параметры модели среды находят путем сравнения результатов решения прямых задач с экспериментальными (полевыми) данными.

Математическое моделирование в геофизике состоит в анализе класса математических моделей посредством решения прямых задач.

Цели моделирования могут быть разными. Основные из них состоят в следующем:

• оценка разрешающей способности различных методов, • изучение закономерностей влияния параметров модели среды и источников на измеряемое поле, • интерпретация полевых данных (решение обратных задач) методом подбора.

Пособие нацелено на постановку и решение задач, связанных с численным моделированием электромагнитных полей применительно к сложным моделям геоэлектрики и реальным источникам поля. Основной подход к решению сложных задач состоит в их декомпозиции на ряд более простых подзадач. За основу для построения алгоритмов декомпозиции взят альтернирующий метод Шварца. Согласно методу Шварца, рекомпозиция общего решения задачи происходит в итерационном процессе, охватывающем все автономно решаемые подзадачи. На этом пути открывается возможность построения большого числа алгоритмов, реализующих различные уровни декомпозиции задач. Кроме того, алгоритм Шварца является эффективным средством для параллельных вычислений на многопроцессорных ЭВМ.





Все подзадачи можно разделить на два основных класса: внешние и внутренние. В работе обсуждаются алгоритмы решения обоих классов задач с учетом специфики их использования в рамках декомпозиционного алгоритма.

Внешним краевым задачам обычно соответствуют достаточно простые модели геоэлектрической среды, поэтому они, как правило, допускают аналитическое решение в неограниченных областях. Нередко решение задачи можно удовлетворительно аппроксимировать посредством асимптотических разложений. Аналитические решения позволяют с меньшими вычислительными затратами изучить поведение электромагнитных полей посредством математического анализа функций при исследовании фундаментальных свойств полей. Интерес к аналитическим методам исследования моделей связан с появлением систем компьютерной математики (СКМ) таких как Derive, MatLab, Mathcad, Maple, Mathematica, Scientific Workplace и др. Применение подобных программных средств не только упрощает процедуру получения аналитического решения, но и облегчает его последующий анализ с применением встроенной в пакеты развитой системы компьютерной графики.

Классической одномерной моделью среды в электроразведке, относительно которой решаются задачи, является горизонтально однородная слоистая земля.

В скважинной геофизике (электромагнитный каротаж, изучение околоскважинного пространства) модель среды представляет собой совокупность коаксиальных цилиндрических слоев, ось которых совпадает с осью скважины. Электромагнитные поля различных источников в слоистой среде принято называть нормальными полями. Большинство известных аналитических решений ориентированы на выполнение расчетов нормальных полей только на поверхности земли или на оси скважины. Разработка программ, инвариантных по отношению к размерности модели среды, предполагает расчет нормальных полей в точках наблюдения и в произвольной точке исследуемой двумерной или трехмерной неоднородности. Это обстоятельство потребовало обобщения некоторых классических решений задач для одномерной модели среды.

Внутренним краевым задачам соответствуют сложно построенные модели реальной среды, содержащиеся в ограниченной области. Эти задачи решаются численно (методом интегральных уравнений, конечных элементов или конечных разностей). При численном подходе совокупность математических соотношений и модели заменяется конечномерным аналогом. Это достигается дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи выполняется построение вычислительного алгоритма. Найденное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи. Нами предпочтение отдано вариационному подходу к построению вычислительных схем, так как на этом пути удается учесть априорную информацию о поведении электромагнитного поля и присутствие в модели среды тонких проводящих пленок. Кроме того, функция, на которой достигается минимум вариационных функционалов, автоматически обеспечивает выполнение условий сопряжения на поверхностях разрыва свойств среды (естественные краевые условия).

Построены алгоритмы, обеспечивающие повышенную точность численного решения при относительно небольшом количестве узлов сетки.

В учебном пособии мы не стремились соблюдать в полной мере математическую строгость в изложении материала и полагали (по умолчанию), что свойства математических объектов таковы, что они обеспечивают законность выполняемых над ними математических операций.

Отличительной особенностью изложения является большое количество иллюстраций, полученных посредством СКМ MatLab, MathCad, Maple и других языков высокого уровня.

Работа состоит из двух частей.

Часть I. Исследование слоистых моделей на основе аналитических решений.

Часть II Исследование моделей на основе численных решений.

Список литературы включает лишь необходимый минимум – это либо работы, результаты которых непосредственно отражены в тексте, либо ключевые книги, где можно найти более подробное изложение материала и дальнейшие ссылки.

Каждая часть будет содержать свой список первоисточников.

Вопросы для самопроверки.

1. Что такое модель и моделирование 2. Что такое математическая модель 3. Какие можно выделить этапы изучения математической модели 4. Какие задачи математической физики (геофизики) называют прямыми и обратными 5. Какие классы задач математический физики называются внешними и внутренними краевыми задачами Глава 1. Постановка задач 1.0. Введение.

В работе обсуждается решение одномерных, двумерных и трехмерных задач, представляющих интерес для структурных, рудных и глубинных электромагнитных методов. В каждом из перечисленных методов модели геоэлектрического разреза имеют свою специфику. Их общей чертой является слоистая модель вмещающей среды, электромагнитные свойства которой зависят от одной пространственной координаты.

E(x, y,z,t) H(x, y,z,t) Пусть – вектор напряженности электрического поля, – вектор напряженности магнитного поля, D – вектор электрической индукции, B – вектор магнитной индукции, j – плотность тока, js(x, y, z,t) – плотность тока сторонних источников поля. Связь между электромагнитными векторами дают соотношения D = E, B = µH, j =E.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 13 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.