WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ Л. А. Мироновский МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие Рекомендовано УМО по образованию в области радиотехники, электроники, биомедицинской техники и автоматизации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 210100 – "Управление и информатика в технических системах" Санкт Петербург 2004 УДК 681.3.06:51(075) ББК 22.18я7 М63 Мироновский Л. А.

М63 Моделирование разностных уравнений: Учеб. пособие/ СПбГУАП. СПб., 2004. 108 с.: ил. ISBN 5 8088 0135 4 Изложены основы теории разностных уравнений, методы их анали тического решения и компьютерного моделирования. Описаны основ ные свойства линейных разностных уравнений и применение жорда новых цепочек векторов для их решения. Приводятся примеры моде лирования разностных уравнений с начальными и краевыми условия ми в пакете SIMULINK.

Учебное пособие предназначено студентам, обучающимся по спе циальности 210100 «Управление и информатика в технических систе мах», а также родственным специальностям и направлениям, таким как 220100 «Информатика и вычислительная техника», 552800 «Вы числительные сети и системы» и др.

Оно будет также полезно магистрантам и аспирантам, которым при ходится сталкиваться с необходимостью аналитического и компьютер ного анализа дискретных систем и их математических моделей.

Рецензенты:

доктор технических наук профессор В. А. Слаев;

кандидат технических наук профессор Г. С. Бритов Утверждено редакционно издательским советом университета в качестве учебного пособия © ГОУ ВПО “Санкт Петербургский ISBN 5 8088 0135 4 государственный университет аэрокосмического приборостроения”, 2004 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Среди различных математических моделей, применяемых для опи сания реальных систем, важное место занимают разностные уравнения, причем их роль постоянно возрастает. Они широко используются в на уке и технике при описании самых разных процессов и систем – элект рических, механических, биологических, демографических, экономи ческих и др. В качестве примеров можно назвать анализ цепных (лест ничных) схем в теории цепей, модели длинных линий в электротехни ке, методы численного интегрирования в вычислительной математике, методы сеток и конечных элементов в математической физике. К разно стным уравнениям приводят многие экологические задачи и модели популяционной динамики, экономические задачи (расчет сложных про центов, управление банковскими депозитами и т. п.), демографические модели (прогнозирование половозрастной структуры населения, пост роение демографических пирамид).

В то же время в учебных планах технических вузов разностным уравнениям уделяется недостаточное внимание. Они не рассматри ваются в стандартных курсах высшей математики, и лишь в курсах по теории автоматического управления студентов кратко знакомят с применением z преобразования для исследования импульсных сис тем. Учебная литература по разностным уравнениям также весьма скудна. Настоящее учебное пособие призвано хотя бы немного ис править существующее положение. Оно написано на базе лекций по курсу «Специальные разделы прикладной математики», читавше муся автором на протяжении ряда лет в ГУАП.

В пособии изложены основы теории разностных уравнений, мето ды их аналитического решения и компьютерного моделирования. Все разделы имеют примерно одинаковый объем и снабжены большим количеством примеров.

В первом разделе описаны основные свойства линейных разно стных уравнений и методы их решения.

Второй раздел посвящен применению жордановых цепочек векто ров для решения дифференциальных и разностных уравнений.

Третий раздел содержит материал о z преобразовании и дискрет ных передаточных функциях.

В четвертом разделе приводятся примеры моделирования разно стных уравнений с начальными и краевыми условиями в пакете SIMULINK.

Последний, пятый, раздел посвящен нелинейным разностным урав нениям.

1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 1.1. Примеры разностных уравнений Многие научные и технические задачи приводят к необходимости решать разностные уравнения. Примерами могут служить проекти рование импульсных систем в теории автоматического управления, расчет цифровых фильтров в теории связи, анализ погрешностей ре шения дифференциальных уравнений на ЭВМ и др.

Разностные уравнения (другие названия: уравнения в конечных разностях; возвратные последовательности) по своим свойствам и области применения очень близки к дифференциальным уравнени ям. Отличие состоит в том, что дифференциальные уравнения связы вают значение функции и производных от нее в один и тот же момент времени f(x(n)(t),...,x(t),x(t)) 1 0, а разностные уравнения – значения функции в различные моменты времени f(x(t 1 n),...,x(t 11),x(t)) 2 0. (1.1) Перечислим некоторые источники разностных уравнений: диск ретизация обыкновенных дифференциальных уравнений и уравне ний в частных производных; модели объектов с дискретным време нем (задача Фибоначчи о размножении кроликов); объекты с диск ретным пространством (R 2R цепь); анализ математических рядов и рекуррентных соотношений.

Пример 1. Непрерывную функцию можно описать с по x(t) 1 e12t мощью дифференциального уравнения x(t) 1 2x(t) 3 0, x(0) 31.

Если рассматривать дискретные моменты времени t 1 0, 1, 2..., то эту же функцию можно описать с помощью разностного уравнения (1.2) x(t 11) 1 2x(t) 3 0, x(0) 31, 2 3 4e12.



Непосредственной подстановкой легко убедиться, что x 1 e12t удов летворяет обоим уравнениям.

Так же как и дифференциальные, разностные уравнения делятся на линейные и нелинейные, на однородные и неоднородные, на урав нения с постоянными и переменными коэффициентами. Например, уравнение (1.2) является линейным однородным разностным урав нением первого порядка.

Линейное однородное разностное уравнение n го порядка с посто янными коэффициентами имеет вид:

x(t 1 n) 1 an11x(t 1 n 21) 1... 1 a1x(t 11) 1 a0x(t) 3 0. (1.3) Решением этого уравнения называется решетчатая функция x(t), t = 0, 1, 2,..., обращающая уравнение в тождество. Можно говорить и о непрерывном решении – функции x(t), удовлетворяющей уравне нию (1.3) при любом.

0 1 t 1 Иногда, чтобы подчеркнуть дискретный характер изменения вре мени, уравнение (1.3) записывают в форме xn 1 an xn 1...1 a1xk 1 a0xk 2 0.

1k 21 1k21 Рассмотрим несколько простых задач, приводящих к линейным разностным уравнениям.

Пример 2. Пусть имеется геометрическая прогрессия Ее можно описать однородным разностным уравнени 1, a, a2, a3,....

ем первого порядка x(t 11) 2 ax(t), x(0) 2 1. (1.4) Действительно, подставляя последовательно t 1 0,1, 2, 3, 1, по лучаем x(0) 11, x(1) 1 a, x(2) 1 a2, x(3) 1 a3,....

Таким образом, геометрическая прогрессия является решением простейшего разностного уравнения, подобно тому как экспонента является решением простейшего дифференциального уравнения. Эта аналогия распространяется и на уравнения более высоких порядков.

Как правило, общее решение уравнения (1.3) представляет собой линейную комбинацию n геометрических прогрессий (для дифферен циальных уравнений мы имели линейную комбинацию экспонент).

Пример 3. Пусть имеется арифметическая прогрессия a, a 1 d, a 1 2d,.... Ее можно описать неоднородным разностным урав нением первого порядка x(t 11) 2 x(t) 1 d, x(0) 2 a (1.5) или однородным уравнением второго порядка x(t 1 2) 2 2x(t 11) 1 x(t) 3 0. (1.6) (Убедитесь, что это действительно так).

Пример 4. Предположим, что необходимо вычислить напряже ние un на выходе электрической цепи (рис. 1.1), зная входное напря жение u0 и полагая R = r. Такие цепи встречаются, например, в циф роаналоговых преобразователях.

Попытка непосредственно решить эту задачу с помощью законов Кирхгофа и Ома приводит к громоздким вычислениям. Значительно более коротким оказывается путь решения, использующий состав ление разностного уравнения:

R u1 R u2 R un–1 R uun r r r r Рис. 1.Запишем уравнение токов для первого узла цепи:

u0 1 u1 u1 u1 1 u2 12 2u R 2 3, u2 3 4 4 u0 5 0.

6 r R r R 8 Аналогично, для k + 1 го узла получаем R 12 2u 4 uk 5 0, uk 3 6 7 (1.7) 12 kr 8 или, учитывая, что R = r:

uk 1 3uk 2 uk 3 0, k 3 0,n 1 2.

12 Уравнение (1.7) представляет собой разностное уравнение второ го порядка, поскольку связывает значение функции u в точке k + с ее значениями в двух предыдущих точках k + 1 и k.

Пример 5. Рассмотрим старинную задачу о размножении кроли ков (задача Фибоначчи или Леонардо Пизанского, итальянского ма тематика, жившего около 1200 г.). В этой задаче требуется опре делить число пар зрелых кроликов, образовавшихся от одной пары в течение года, если каждая пара кроликов рождает ежемесячно но вую пару и новорожденные достигают зрелости через месяц. Таким образом, получается некоторая последовательность; нас интересует, каким уравнением она описывается.

В первый момент времени число пар равно x0 = 1. Через месяц прибавится пара новорожденных, но число зрелых пар не изменится x1 = 1.

Через два месяца крольчата достигнут зрелости и общее число пар будет x2 = 2.

Через k месяцев число зрелых пар будет xk, а через k + 1 месяцев xk+1, но так как к этому времени появится xk пар приплода, то через k + 2 месяцев общее число зрелых пар xk 1 xk 2 xk. (1.8) 12 Мы получили разностное уравнение второго порядка. Оно описы вает последовательность, где каждый следующий член равен сумме двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,.... (1.9) Числа, входящие в эту последовательность, называются числами Фибоначчи и обладают многими интересными свойствами. Напри мер, в ботанике известно так называемое явление филлотаксиса, связанное со спиральным расположением листьев на стеблях, се мян в плодах. Спиральные линии образуют чешуйки еловых и сосно вых шишек, семена в головке подсолнечника и т. д. Оказывается, что число “правых” и “левых” спиралей при этом представляет собой соседние числа Фибоначчи. Так, для сосновых шишек число “пра вых” и “левых” спиралей равно 5 и 8, а для еловых – 8 и 13.

В двух последних примерах мы свели исходные задачи к решению разностных уравнений. Перейдем к описанию методов решения та ких уравнений.

1.2. Решение однородных разностных уравнений Свойства разностных и дифференциальных уравнений и методы их решения во многом совпадают. Так, разностное уравнение n го порядка (1.3) имеет ровно n линейно независимых частных решений x1(t),..., xn(t). Любая их линейная комбинация, например x1(t) + + 3x2(t), также является решением.

Общее решение имеет вид x(t) 1 c1x1(t) 2...2 cnxn(t), (1.10) где c1,..., cn – произвольные коэффициенты.

Известны два основных метода решения линейных разностных урав нений – с помощью характеристического полинома и с использованием z преобразования, аналогичного преобразованию Лапласа.

Рассмотрим первый из них. Будем искать решение в виде, x(t) 1 zt где z – некоторое число. Если t – дискретно, то x(t) – геометрическая прогрессия, если же t – непрерывно, то x(t) – показательная функ ция. В обоих случаях ее можно записать в виде eat, где a = ln z.





Подставляя x(t) в (1.3) и сокращая на zt, получаем алгебраи ческое уравнение (1.11) zn 1 an11zn11 1...1 a0 2 0, которое называется характеристическим (сравните с аналогичной процедурой получения характеристического полинома для дифферен циального уравнения).

Вид решения разностных уравнений зависит от типа корней ха рактеристического полинома, которые могут быть вещественными, комплексными, простыми и кратными.

Вещественные корни Если уравнение (1.11) имеет вещественные и различные корни z1,..., zn, то получаем n линейно независимых частных решений урав нения (1.3):

tt x1(t) 1 z1,..., xn(t) 1 zn.

Общее решение в соответствии с (1.10) имеет вид:

tt (1.12) x(t) 1 c1z1 2... 2 cnzn.

(Сравните с аналогичной формулой решения дифференциальных уравнений).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решим разностное уравнение x(t + 2) – 5x(t + 1) + 6x(t) = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид z2 – 5z + 6 = 0.

Его корни вещественные и различные: z1 = 3, z2 = 2.

Общее решение: x(t) = c1 3t + c2 2t.

Пример 2. Найдем общее решение уравнения электрической цепи (1.7).

Составляем характеристическое уравнение:

z2 – 3z + 1 = 0.

Оно имеет вещественные и различные корни z1,2 1 0,5(3 2 5); z1 3 2,62; z2 3 0,38.

Следовательно, общее решение имеет вид uk = c1 2,62k + c2 0,38k. (1.13) Пример 3. Найдем общее решение уравнения Фибоначчи (1.8).

Составляем характеристическое уравнение z2 – z – 1 = 0.

Корни этого уравнения также вещественны и различны:

z1 1 0,5(12 5) 3 1,62 z2 1 0,5(14 5) 3 40,62.

Общее решение уравнения Фибоначчи имеет вид (1.14) xk 1 c11,62k 2 c2 (30,62)k.

Пример 4. Решим разностное уравнение x(t + 2) – 3x (t + 1) + 2x(t) = 0.

Составляем характеристическое уравнение: z2 – 3z + 2 = 0.

Находим его корни: z1 = 1, z2 = 2.

Общее решение: x = c1 + c2 2t.

Комплексные корни Если характеристическое уравнение имеет пару комплексно со пряженных корней z1,2 123 i4, то соответствующее им реше t t ние может быть записано в вещественном виде x(t) 1 c1z1 2 c2zx(t) 1 2t(c1 sin3t 4 c2 cos3t), 2 3 42 5 12, 6 3 arctg где (сравните с аналогичной формулой для дифференциальных уравнений).

Из приведенной формулы вытекает, что если корни характерис тического уравнения лежат внутри единичного круга, то решение разностного уравнения будет устойчивым. Это широко известный критерий устойчивости дискретных систем. Напомним, что для ус тойчивости непрерывных систем корни характеристического уравне ния должны лежать в левой полуплоскости.

Пример 5. Решим разностное уравнение x(t + 2) + 2x(t + 1) + 4x(t) = 0.

Характеристическое уравнение: z2 + 2z + 4 = 0.

Его корни: z1,2 1 213 3 i. Модуль и аргумент корней:

2 3 2, 4.

Общее решение:

x(t) 2 2t(c1 cos51 t 3 c2 sin t).

Кратные корни Если один из корней характеристического уравнения zi имеет крат ность k, то соответствующее ему слагаемое в общем решении умно жается на полином степени k – t xi(t) 1 (c1 2 c2t 2...2 cktk11)zi (это полностью аналогично случаю дифференциальных уравнений).

Пример 6. Решим разностное уравнение с кратными веществен ными корнями x(t + 3) + 7x(t + 2) + 15x(t + 1) + 9x(t) = 0.

Характеристическое уравнение: z3 + 7z2 + 15z + 9 = 0.

Его корни: z1 = – 1, z2 = –3, z3 = –3.

Общее решение:

x(t) = c1 (–1)t + (c2+c3 t) (–3)t.

Пример 7. Решим разностное уравнение с кратными комплексны ми корнями x(t + 4) + 2x(t + 2) + x(t) = 0.

Характеристическое уравнение: z4 + 2z2 + 1 = 0.

Его корни: z1 = z2 = i; : z3 = z4 = –i.

Общее решение:

x(t) 2 (c1 3 c2t)cos t 3 (c3 3 c4t)sin t.

Учет начальных и краевых условий Общее решение, в которое входят произвольные постоянные ci, задает семейство решений разностного уравнения. Для выделения из этого семейства нужного нам частного решения, необходимо найти эти постоянные. В случае дифференциальных уравнений их нахо дят, задавая начальные или краевые условия, общее число которых равно порядку уравнения. Аналогично для разностных уравнений для нахождения постоянных c1,..., cn надо задать n условий, связы вающих значения x(t) в различных точках.

Чаще всего встречаются два типа условий:

– когда задается начальная последовательность x(1), x(2),..., x(n);

– когда часть значений x(t) задается в начале, а часть – в конце интервала решения.

Условия второго типа называются краевыми.

Пример 8. Требуется решить разностное уравнение xn 1 3xn 2 2xn 3 12 для трех вариантов начальной последовательности: а) x0 = 1, x1 = 3;

б) x1 = 1, x2 = 3; в) x1 = 2, x2 = 0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение и нахо дим его корни:

z2 1 3z 2 2 3 0, z1 31, z2 3 2.

Общее решение имеет вид xn 1 c1 2 c2 32n.

Постоянные с1 и с2 находим из следующих начальных условий:

а) с1 + с2 = 1, с1 + 2с2 = 3, откуда с1 = – 1, с2 = 2, т. е. xn = 2n+1 – 1;

б) с1 + 2с2 = 1, с1 + 4с2 = 3, откуда с1 = – 1, с2 = 1, т. е. xn = 2n – 1;

в) с1 + 2с2 = 2, с1 + 4с2 = 0, откуда с1 = 4, с2 = – 1, т. е. xn = 4 – 2n.

Пример 9. Найти решение уравнения из предыдущего примера, если заданы краевые условия x1 = 2, x10 = 1024.

Полагая в формуле для общего решения n = 1 и n = 10, получаем систему уравнений для определения c1 и c2:

c1 + 2c2 = 2, c1 + 210 c2 = 1024, откуда с1 = 0, с2 = 1.

Следовательно, искомое решение имеет вид: x(t) = 2n.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 10 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.