WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

Задача 2. Найти работу A поля по перемещению заряда Q=10 нКл из точки 1 в точку 2, находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью =0,мкКл/м2 бесконечными параллельными плоскостями, расстояние между которыми l равно 3 см.

Решение:

Расположение точек «1» и «2» между заряженными плоскостями показано на рисунке.

Возможны два спо+ соба решения задачи.

I Первый способ. Ра Q боту сил поля по перемеr l щению заряда Q из точки F 1 поля с потенциалом 1 в II точку 2 поля с потенциалом 2 найдем по формуле:

A=Q(1 - 2). (1) Для определения потенциалов в точках 1 и 2 проведем через эти точки эквипотенциальные поверхности I и II. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо соотношение 1-2=El, (2) где E - напряженность поля, l - расстояние между эквипотенциальными поверхностями.

Напряженность поля между параллельными бесконечными разноименно заряженными плоскостями есть E=/0. Подставив это выражение в формулу (2) и затем полученное выражение в Ql формулу (1), имеем A= =13,6 мкДж.

Второй способ. Так как поле однородно, то сила, действующая на заряд Q, при его перемещении постоянна. Поэтому, работу перемещения заряда из точки 1 в точку 2 можно подсчитать по формуле:

A=Frcos, (3) где F - сила, действующая на заряд, r - модуль перемещения заряда из точки 1 в точку 2, - угол между направлениями перемещения и силы. Так как F =QE=Q(/0), а rcos= l, то Ql A= =13,6 мкДж.

Оба решения приводят к одному и тому же результату.

Ответ: A =13,6 мкДж.

Задача 3. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью =10 нКл/м. Определить напряженность E и потенциал электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке «0», совпадающей с центром кривизны дуги. Длина нити l составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение:

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось y была расположена симметрично относительно концов дуги, как показано на рисунке. На нити выделим элемент dEy dE y длины dl. Заряд dQ=dl, 0 dEx находящийся на выделенном участке, можно счи r тать точечным. Опреде d /лим напряженность электрического поля в точке dl «0». Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ :

dl dE= r, 4 0rгде r -радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность в которой вычисляется. Выразим вектор dE через его проекции dEx и dEy на оси координат: dE = idEx + jdEy, где i и j -единичные векторы направлений (орты).

Напряженность поля E найдем интегрированием:

d dEx dEy E = E = i + j.

l l l Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симметрии интеграл x dE равен нулю. Тогда:

l dEy E = j, (1) l dl cos где dEy = dEcos =.

4 0r cosd Так как r=R=const и dl=Rd, то dEy=.

40R Подставим найденное выражение для dEy в (1). Приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси oy, пределы интегрирования возьмем от 0 до /3 и удвоим результат.

Тогда получаем:

sin cosd = E=j j.

40R 20R Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3l=2R), получим: E = j.

60l Из этой формулы видно, что вектор E совпадает с положительным направлением оси oy. Подставив значение и l в последнюю формулу и сделав вычисления, найдем E=2,18 кВ/м.

Определим потенциал электрического поля в точке «0». Для этого сначала найдем потенциал d, создаваемый точечным зарядом dQ в точке «0»:

dl d= 40r Заменим r на R и, учитывая, что l=2R/3, произведем интегрирование:

l dl = = =188 В.

40R Ответ: =188 В.

Задача 4. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью =20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях a1=0,5 см и a2=2 см от поверхности цилиндра в средней его части.

Решение:

Взаимное расположение точек поля и заряженного цилиндра показано на рисунке. Для определения разности потенциалов воспользуемся известным соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала: E = -grad.

R Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это со a отношение можно записать в виде:

ad E = - или d = dr Edr.

Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на r1 и r2 от оси цилиндра:

r 2 - 1= - Edr. (1) rТак как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля, создаваемого заряженным цилиндром, можно воспользоваться формулой:

E =.

20r Подставив выражение для E в равенство (1) и интегрируя, получим:

r dr r2 - 1= - =- ln 20 r 20 rr rили: 1 - 2= ln.

20 rПредставив r1 и r2 как: r1=R+a1 и r2=R+a2, получим 1- 2 =250 В.

Ответ: 1-2=250 В.

Задача 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд =0,мкКл/м. Определить потенциал поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.

Решение:

Геометрия задачи показана на рисунке. Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственно применить для вычисления потенциала формулу:

Q =, (1) 40r справедливую только для точечных зарядов, A нельзя. Но, если разбить стержень на элементар d ные отрезки dl, то заряд r dQ = dl, находящийся на каждом из них, можно dl 0 x рассматривать как точечный и тогда формула (1) будет справедлива. Применив эту формулу, получим:



dl d=, (2) 40r где r - расстояние от точки, в которой определяется потенциал, до элемента стержня. Из рисунка следует, что dlcos=rd.

Подставив dl из этого выражения в формулу (2), находим:

d d=.

40 cos Интегрируя последнее выражение в пределах от 1 до 2, получим формулу для потенциала, создаваемого всем зарядом, распределенным на стержне:

d =.

40 cos В силу симметрии расположения точки A относительно концов стержня, имеем 1=2=/6 и, поэтому, пределы интегрирования возьмем от 0 до /6, а результат удвоим:

2 d =.

40 0 cos Проинтегрировав и подставив пределы интегрирования, получим ответ:

2 = (ln tg - ln tg ) = ln tg = 990 В.

40 3 4 40 Ответ: =990 В.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. При перемещении заряда Q=20 нКл между двумя точками поля, внешними силами была совершена работа A=4 мкДж. Определить работу A сил поля и разность потенциалов этих точек поля.

(Ответ: A= -4 мкДж, =200 В.) Задача 7. Определить потенциал электрического поля в точке, удаленной от зарядов Q1= -0,2 мкКл и Q2=0,5 мкКл, соответственно, на r1=15 см и r2=25 см. (Ответ: =6 кВ.) Задача 8. По тонкому кольцу радиусом R=10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью =10 нКл/м.

Определить потенциал в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии a=5 см от центра. (Ответ: =505 В.) Задача 9. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью =нКл/м. Вычислить потенциал, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка. (Ответ: =62,4 В.) Задача 10. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной a. Стержни заряжены с линейной плотностью =1,33 нКл/м. Найти потенциал в центре квадрата. (Ответ:

=84,7 В.) Задача 11. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d=0.5 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 1=0,2 мкКл/м2 и 2=-0,3 мкКл/м2. Определить разность потенциалов между плоскостями. (Ответ: =141 В.) Задача 12. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала 1=20 В каждая, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал образовавшейся капли (Ответ: =В.) Задача 13. Напряженность E однородного электрического поля равна 120 В/м. Определить разность потенциалов между двумя точками, лежащими на одной силовой линии и находящимися на расстоянии r=1 мм. (Ответ: =0,12 В.) Задача 14. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R=10 см. Он заряжен с линейной плотностью =нКл/м. Какую работу A надо совершить, чтобы перенести заряд Q=5 нКл из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии a=20 см от его центра (Ответ: A=47 мкДж.) Задача 15. Электрическое поле создано положительным точечным зарядом. Потенциал поля в точке, удаленной от заряда на r=12 см, равен 24 В. Определить значение и направление градиента потенциала в этой точке. (Ответ: grad=200 В/м, градиент направлен к заряду.) Тема 3. Электроемкость. Конденсаторы Примеры решения задач.

Задача 1. Найти электроемкость С уединенного металлического шара радиусом R=1 см.

Решение:

Электрическая емкость уединенного проводника по определению равна:

q C =, где q - заряд, сообщенный проводнику, - потенциал проводника. Потенциал металлического шара равен потенциалу на его поверхности:

q =, 40R поэтому электроемкость металлического шара определяется выражением:

C = 40R.

Принимая во внимание, что электродинамическая постоянная равна 8,8510-12 Ф/м, и подставляя численное значение для радиуса шара R=0,01м, получаем С=1,1110-12 Ф =1,11 пФ.

Ответ: C=1,11 пФ.

Задача 2. Два металлических шара радиусами R1=2 см и R2=6 см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщен заряд Q=1 нКл. Найти поверхностные плотности 1 и 2 зарядов на шарах.

Решение:

Обозначим заряд первого шара через q1. Так как суммарный заряд на обоих шарах равен Q, то заряд второго шара будет q2=Qq1. Так как емкостью соединительного проводника можно пренебречь, то шары можно рассматривать как уединенные, и определять емкости каждого шара по формулам C1=40R1 и C2=40R2, соответственно. Пользуясь формулой емкости уединенного проводника:

q C =, найдем потенциалы шаров:

q1 Q - q1 = и 2 =.

40R1 40RТак как шары соединены проводником и представляют собой единый металлический предмет, то их потенциалы равны между собой 1=2 или:

q1 Q - q =.

40R1 40RРешая полученное уравнение относительно q1, находим заряд первого шара:

Rq1 = Q, R1 + Rа затем и заряд второго шара:

Rq2 = Q - q1 = Q.

R1 + RТак как площадь поверхности шара S связана с его радиусом R соотношением S=4R2, то поверхностные плотности зарядов шаров будут равны:

q1 Q 1 == 4R1 4R1( R1 + R2 ) и q2 Q 2 ==.

4R2 4R2( R1 + R2 ) Подставляя численные значения Q=1 нКл=10-9 Кл, R1=0,02 м и R2=0,06 м, получаем 1=49,8 нКл/м2 и 2 =16,6 нКл/м2.

Ответ:1=49,8 нКл/м2, 2= 6,6 нКл/м2.

Задача 3. Определить электроемкость С плоского слюдяного конденсатора, площадь S пластин которого равна 100 см2, а расстояние между ними равно 0,1 мм. Диэлектрическая проницаемость слюды =7,0.

Решение:

Электрическая емкость плоского конденсатора определяется по формуле:

0S C =, d где d - расстояние между пластинами, S - площадь пластин, - диэлектрическая проницаемость среды, 0=8,8510-12 Ф/м - электрическая постоянная. Используя численные значения задачи S=10-2 м2 и d=10-4 м, получаем С=6,210-9 Ф.





Ответ: С=6,2 нФ.

Задача 4. Две концентрические металлические сферы радиусами R1=2 см и R2=2,1 см образуют сферический конденсатор.

Определить его электроемкость С, если пространство между сферами заполнено парафином. Диэлектрическая проницаемость парафина =2,0.

Решение:

Электрическая емкость сферического конденсатора определяется по формуле RRC = 40.

R2 - RИспользуя численные значения задачи R1=0,020 см, R2=0,021см и 0=8,8510-12 Ф/м, получаем С=93,310-12 Ф.

Ответ: С=93,3 пФ Задача 5. Конденсаторы соединены так, как это показано на рисунке.

С1 СС2 СЭлектроемкости конденсаторов: C1=0,2 мкФ, C2=0,1 мкФ, C3=0,3 мкФ, C4=0,4 мкФ. Определить электроемкость C батареи конденсаторов.

Решение:

Конденсаторы C1 и C2 соединены параллельно, поэтому их эквивалентная емкость C равна C1+C2. Аналогично, эквивалентная емкость конденсаторов C3 и C4 равна C =C3+C4. Конденсаторы C и C соединены последовательно и, следовательно, общая емкость батареи конденсаторов может быть определена из условия:

1 1 = +.

C C C Выражая из последнего соотношения C и подставляя в результат C и C, находим окончательное выражение для емкости батареи:

CC (C1 + C2 )(C3 + C4 ) C = =.

C + C C1 + C2 + C3 + CПодставляя численные значения, получаем C =0,21мкФ.

Ответ: C =0,21мкФ.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 6. Определить электроемкость С металлической сферы радиусом R=2 см, погруженной в воду. Диэлектрическая проницаемость воды =81. (Ответ: С=180 пФ.) Задача 7. Шар радиусом R1=6 см заряжен до потенциала 1=300 В, а шар радиусом R2=4 см - до потенциала 2=500 В. Определить потенциал шаров после того, как их соединили металлическим проводником. Емкостью соединительного проводника пренебречь. (Ответ: =380 В.) Задача 8. Между пластинами плоского конденсатора находится = 7.плотно прилегающая стеклянная пластинка ( ). Конденсатор U1 = заряжен до разности потенциалов В. Какова будет разUность потенциалов, если вытащить стеклянную пластинку из конденсатора. (Ответ:U2=700В) Задача 9. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 1.33 мм, площадь S пластин равна 20 см2. В пространстве между пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слюды толщиной d1=0.7 мм и эбонита толщиной d2=0,3 мм. Определить электроемкость С конденсатора. Диэлектрические проницаемости слюды 1 =7.0, эбонита 2 =3.0, воздуха 3 =1.0. (Ответ: С=33.4 пФ.) Задача 10. На пластинах плоского конденсатора равномерно рас =.пределен заряд с поверхностной плотностью. Расстоя ние d между пластинами равно 1мм. На сколько изменится разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстояния d между пластинами до 3мм (Ответ: =45В.) Задача 11. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов U=600 В и отключенному от источника напряжения, присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком из фарфора. Определить диэлектрическую проницаемость фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до U1=100 В.

(Ответ: =5.0.) Задача 12. Два конденсатора электроемкостями C1=3 мкф и C2=6 мкф соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС E=120 В. Определить заряды Q1 и Q2 конденсаторов и разности потенциалов U1 и U2 между их обкладками, если конденсаторы соединены : 1) параллельно; 2) последовательно. (Ответ: 1) Q1=360 мкКл, Q2=720 мкКл, U1=U2=120 В; 2) Q1=Q2=240 мкКл, U1=80 В, U2=40 В.) Задача 13. Конденсатор электроемкостью C1=0.2 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1=320 В. После того, как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до разности потенциалов U2=450 В, напряжение U на нем изменилось до 400 В. Вычислить емкость C2 второго конденсатора.

(Ответ: C2=0.32 мкФ.) Задача 14. Три одинаковых плоских конденсатора соединены последовательно. Электроемкость C такой батареи конденсаторов равна 89 пФ. Площадь S каждой пластины равна 100 см2.

Диэлектрик - стекло с диэлектрической проницаемостью =7.0.

Какова толщина d стекла (Ответ: d=2.32 мм.) Задача 15. Конденсаторы электроемкостями C1=10 нФ, C2=40 нФ, C3=20 нФ и C4=30 нФ соединены так, как это показано на рисунке.

C1 CC3 CОпределить электроемкость C батареи. (Ответ: C=20 пФ.) Тема 4. Диэлектрики в электрическом поле. Энергия электрического поля.

Примеры решения задач.

Задача 1. Вычислить электрический момент p диполя, если его заряд Q=10 нКл, плечо l =0,5 см.

Решение:

Вектором электрического момента диполя p называется произведение заряда |Q| (взятого по модулю) на плечо l. Вектор l направлен от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду. Поэтому, длина вектора дипольного момента p равна произведению Ql. Подставляя численные значения Q=10-8 Кл и l=5.10-3 м, получаем p=510-8 Клм.

Ответ: p=50 нКлм.

Задача 2. Определить напряженность Е и потенциал поля, создаваемого диполем с электрическим моментом р=4 пКл м на расстоянии r=10 см. от центра диполя, в направлении, составляющем угол =600 c вектором электрического момента.

Решение:

Напряженность поля диполя определяется выражением:

p E = 1+ 3cos2, 40rа потенциал электрического поля в этой же точке пространства равен:

p = cos.

40rИспользуя численные значения задачи, получаем E= 47,В/м и =1,8 В.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.