WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)» КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ МОСКВА 2007 ББК 22.336 К 60 УДК 537.86 Рецензенты: А.В. Березин, А.С. Логгинов.

К 60 Колачева Н.М., Израилович М.Я., Соломатина Л.В., Колебания в механических и электрических системах / Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)».- М., 2007.- 72 С.

ISBN Пособие содержит основные положения теории колебаний.

Теоретические сведения дополнены полезными для усвоения материала иллюстрациями и примерами, в которых анализируются колебательные процессы в различных физических системах.

Теоретический материал, изложенный в пособии, изучается студентами вечернего и заочного отделений, для которых оно предназначено, на разных курсах университета: «Механические колебания» изучаются на первом курсе, а с «Электрическими колебаниями» студенты знакомятся на втором курсе. Данное пособие объединяет в себе теорию как механических, так и электромагнитных колебаний.

Пособие предназначено для студентов всех специальностей вечернего и заочного отделений технических вузов.

Табл.: нет. Ил.: 29. Библиогр.: 7 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета университета.

© Н.М. Колачева, М.Я. Израилович Л.В. Соломатина, 2007 3 ВВЕДЕНИЕ Среди процессов, как свободно протекающих в природе, так и используемых в технике, колебания занимают во многих отношениях выдающееся, часто первенствующее место. Не случайно, на символике МИРЭА изображены распространяющиеся от антенны радиоволны, что отражает специфику профиля подготовки университетом специалистов высокой квалификации в области проектирования и эксплуатации радиотехнических систем, электронно-акустических устройств и во многих других областях современных средств связи и коммуникации. А радиоволны, как и волны вообще, представляют собой колебательный процесс, распространяющийся в пространстве.

Из вышесказанного следует особо важная роль колебательных процессов в физике – науке о природе, изучающей наиболее общие свойства материального мира и являющейся фундаментом современной техники, включая её авангардные направления, такие как: радиоэлектроника, квантовая электроника, космическая техника и т.д.

Предлагаемое пособие предназначено для студентов всех специальностей, обучающихся на вечернем и заочном отделениях МИРЭА, поскольку студенты этих отделений по многим объективным причинам (уменьшенный объем часов аудиторных занятий по сравнению с дневным отделением, дефицит личного времени и т.д.) вынуждены овладевать знаниями в большей степени самостоятельно, нежели под непосредственным руководством преподавателей.

Необходимость в издании данного учебного пособия вызвана тем, что колебательные процессы в соответствии с учебной программой по физике излагаются в различных частях курса – как в I-ой части «Механика и молекулярная физика», так и во II –ой части «Электричество и магнетизм». При этом к моменту изучения колебаний в электрическом контуре студентам приходится тратить дополнительные усилия для возобновления ранее полученных знаний. Данное пособие связывает в единую систему общие закономерности, присущие как механическим, так и электрическим колебательным системам.

Оно содержит также конкретные иллюстративные примеры, полезные для формирования представлений о физической сути рассматриваемых явлений.

1. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ, ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ И УРАВНЕНИЕ Колебаниями называют процессы, точно или приблизительно повторяющиеся во времени. Например, это могут быть:

- изменение координаты шарика, подвешенного на нити и отклоненного от вертикали;

- изменение силы тока в электрической цепи;

- колебания температуры воздуха в течение дня: её повышение в середине дня и понижение ночью;

- пульсация крови в сосудах человека, вызванная работой сердца.

Физическое тело или совокупность тел, которые при выведении их из состояния устойчивого равновесия совершают колебания, называются колебательной системой. При колебаниях значения физических величин, характеризующих колебательную систему, повторяются через определенные промежутки времени.

Наименьший промежуток времени, через который колебательная система возвращается в первоначальное состояние, называется периодом колебаний Т. За период Т система совершает одно полное колебание.

Колебания характеризуются также частотой и циклической частотой. Частотой колебаний называется величина обратная периоду и численно равная числу полных колебаний, совершаемых системой в единицу времени = T Единица частоты в СИ – герц (Гц).

Циклической или круговой частотой называется величина равная произведению 2 и частоты колебаний = или = T Циклическая частота измеряется в рад/с.

Повторяющиеся изменения величины x при колебаниях удовлетворяют условию:

x(t + nT ) = x(t), где n=0,1,2… То есть она является периодической функцией времени. Если изменения во времени колеблющейся величины происходят по закону синуса или косинуса, то такие колебания называются гармоническими. Они описываются уравнением типа:

x(t ) = A cos ( t + ) (1.1) Гармонические колебания это наиболее простой тип колебательного движения. Однако важность изучения их вызвана тем, что, во-первых, в природе существует много колебательных процессов, которые с большой точностью можно считать гармоническими и, во-вторых, - различные периодические процессы можно рассматривать как наложение нескольких гармонических колебаний.



В зависимости от физической природы повторяющегося процесса рассматривают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т.д. Несмотря на различный физический характер, все колебательные процессы обнаруживают одни и те же физические закономерности, на которых остановимся подробнее.

В формуле (1.1) величина x называется смещением. Смещение – это координата колеблющейся точки, которую отсчитывают от положения равновесия. Стоящая в скобках величина t + называется фазой колебаний.

Фаза колебаний – это аргумент, функцией которого является состояние колебательной системы в каждый момент времени.

Фаза измеряется в угловых единицах – радианах (долях ). Значение фазы в момент t = 0 называется начальной фазой колебаний. Выбор начального момента совершенно произволен. Можно выбрать этот момент так, что начальная фаза будет равна нулю.

Тогда уравнение гармонического колебания (1.1) примет вид:

x (t ) = A cos t (1.2) Рис 1.На рис. 1.1 приведен график зависимости x от t, соответствующий уравнению (1.1) На графике отмечена точка О` -другое начало отсчета времени, в этом случае зависимость x(t) соответствует уравнению (1.2). Поскольку функция косинус изменяется в пределах от -1 до +1, то смещение х может принимать значения - A x A. Максимальная величина смещения называется амплитудой xmax = A.

Определим скорость и ускорение колеблющейся точки, считая, что её смещение меняется со временем по закону (1.2). Дифференцируя это выражение по времени, найдем скорость колеблющейся точки.

dx V = = - A sin t = A cos(t + ) (1.3) dt Дифференцируя (1.3) ещё раз по t, найдем ускорение точки.

dV d x 2 a = = = - A cos t = A cos( t + ) (1.4) dt dt В последних равенствах амплитудное значение скорости V0 = A, а амплитудное значение ускорения a0 = A2. Как видно из (1.3) и (1.4), скорость и ускорение колеблющейся точки меняются со временем также по гармоническому закону с той же самой угловой частотой и периодом Т. Колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на /2. Колебания ускорения-колебания смещения по фазе на (рис. 1.2).

Рис. 1. Таким образом, когда смещение х максимально, ускорение точки тоже максимально, но имеет отрицательное значение. Следовательно, сдвиг по фазе, равный, означает, что колебания величин х и а происходят в противофазе.

Перепишем уравнение (1.4) в виде:

d x 2 = - cos t = - x dt С точки зрения математики выражение d x = -2x dtили && - x x = представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка.

Его часто записывают в виде:

&& + 2x = 0 (1.5) x и называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Решение этого уравнения имеет вид (1.2) Следует иметь ввиду, что приведенные в этом параграфе сведения по кинематике колебаний полностью применимы к описанию колебаний любой природы.

2. МЕТОД ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ И КОМПЛЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Гармонические колебания представляют с помощью векторных диаграмм.

Из произвольной точки О на оси х под углом, равным начальr ной фазе, откладывается вектор A, равный по модулю амплитуде колебаний (рис. 2.1).

r В произвольный момент времени t вектор A повернется от начального положения (t=0) на угол t и составит с осью х угол t + равный фазе колебаний в момент времени t.

r Таким образом, если вращать вектор A против часовой стрелки вокруг выбранного начала координат (точка 0) с постоянной угловой скоростью, равной циклической частоте, то проекция r вектора A будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а в любой момент времени определяться по закону x (t ) = A cos ( t + ), то есть будет представлять собой изображаемое на векторной диаграмме гармоническое колебание.

Рис 2.Представление гармонических колебаний при помощи векторных диаграмм, как увидим в дальнейшем, оказывается очень полезным при сложении колебаний, имеющих одинаковые частоты.

В физике часто применяется еще один метод, в котором колеблющуюся величину представляют комплексным числом.

Комплексное число – это число вида z = x + iy, где х и y – вещественные числа;

i = -1- мнимая единица.

Число х называется вещественной частью комплексного числа z.

Символически это записывается в виде x = Re z Число y называется мнимой частью. Записывается y = Im z Вещественному числу х соответствует точка на оси х. Комплексному числу z можно сопоставить точку на плоскости с координатами х, y (рис. 2.2) Рис 2.Введем полярные координаты и и свяжем обе пары координат соотношениями x = cos;

y = sin;

= x2 + y2 = z Используя теперь формулу Эйлера ei = cos + i sin, уравнение гармонических колебаний x = A cos ( t + ) можно представить в комплексной форме i ( t + ) x = Ae то есть вещественная часть комплексного числа представляет собой гармоническое колебание.

Использование этого метода облегчает решение дифференциальных уравнений колебаний, которые имеют сложную форму, обусловленную учетом сил сопротивления среды и наличием внешней вынуждающей силы.

3. МЕХАНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК Рассмотрим динамику колебаний механических систем.

Рис. 3.Пусть имеем пружину с коэффициентом жесткости k (рис 3.1.а). Прикрепим к этой пружине груз массы m. Тогда пружина растянется на некоторую величину (рис 3.1.б). Ось x выберем вертикально вверх и примем за начало отсчета точку O, соответствующую состоянию равновесия пружины с грузом (рис 3.1.б).





В этом положении (б) пружина растянута на величину x0 по сравнению с недеформированным состоянием (а).

При равновесии на груз действуют упругая сила F0 = kxr со стороны пружины и сила тяжести mg, которые равны по модулю и противоположны по направлению. Следовательно, mg = kx (3.1) Если груз сместить от положения равновесия вверх или вниз и отпустить, то он начнет колебаться. Пусть в некоторый момент времени координата груза равна х. В этот момент (рис 3.1.в) на r v груз действуют упругая сила F и сила тяжести mg. Пружина r при этом сжата на величину x - x0. Сила F направлена вниз и ее проекция на ось х равна Fx = -k(x - x0 ). Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось х max = Fx + (mg)x d x && Учитывая, что ax = = x, получим dt m&& = -k(x - x0 ) - mg = -kx + kx0 - mg.

x Подставляя (3.1), будем иметь m&& = -kx (3.2) x или k && + x = 0 (3.3) x m k Обозначив =, придем к уравнению (1.5). Следовательно, m закон движения груза на пружине соответствует дифференциальному уравнению гармонических колебаний, для которых зависимость координаты от времени имеет вид x = A cos( t + ) (3.4) Циклическая частота при этом равна k = (3.5) m Она зависит от механических свойств колеблющейся системы:

массы груза и коэффициента жесткости k пружины и не зависит k от амплитуды колебаний и времени. Величина = называm ется собственной частотой колебательной системы.

Решение (3.4) содержит две постоянные амплитуду А и начальную фазу. Эти величины определяются из начальных условий.

В качестве начального момента времени принимается момент t=0. Предполагается, что в этот момент известны значения коор& динаты x(0) = x0 и скорости x(0) = V0. Подставляя это в x = A cos(t + ), & x = - A sin (t + ), получим x(0) = x0 = A cos (3.6) & x(0) = V0 = - A sin (3.7) xИз (3.6) следует cos =. Из (3.7) можно получить A Vsin = -. Подставляя последние равенства в основное тригоA нометрическое тождество sin + cos2 = 1, получим V02 x+ = A2 AОткуда можно найти амплитуду колебаний VA = x0 + (3.8) и начальную фазу Vtg = - (3.9) xЭти колебания имеют период 2 m T = = 2 (3.10) k Механическая система может совершать гармонические колебания не только под действием упругой силы, но также под действием силы или суммы сил любого происхождения, для которых будет иметь место выражение вида (3.2), то есть, Fx = -kx (3.11) Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы. Поэтому силу, действующую на систему, совершающую колебания и возвращающую ее в положение устойчивого равновесия, называют квазиупругой силой. Приставка «квази» (quasi, лат.) означает «якобы». Квазиупругая сила пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположную смещению к положению равновесия, об этом свидетельствует знак «минус» в формуле (3.11). Коэффициент k в этом случае будет называться коэффициентом квазиупругой или возвращающей силы.

В рассматриваемом примере колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колеблющуюся систему. Такие колебания называются свободными (или собственными). Термин «свободные» означает, что в процессе колебаний на систему не действует какие – либо внешние силы.

Колебания (3.4) являются незатухающими, поскольку с течением времени их амплитуда А остается неизменной, весь процесс является периодическим повторяющимся и протекает сколь угодно долго. Такой результат является следствием идеализации реальной физической системы, заключающейся в том, что при составлении уравнения движения не учитываются силы сопротивления. Такие силы в реальных системах всегда присутствуют, что вызывает затухание колебаний с течением времени (разделы 7, 8). Подобная идеализация является целесообразной и оправданной, особенно при малых силах сопротивления, так как она позволяет определить собственную частоту колебательной системы (3.5), а, следовательно, и период колебаний (3.10).

В качестве иллюстрации рассмотрим пример.

Пример 1. Вертикальные колебания корабля.

Плавающий корабль погружается в воду до уровня, при ко тором по закону Архимеда сила тяжести корабля с грузом равна выталкивающей силе (рис. 3.2а). Если при возникновении волнений на море или в силу каких-либо других причин, корабль погрузится в воду глубже на величину x (рис 3.2.б), то подъемная сила будет увеличиваться, в результате корабль будет выталкиваться к поверхности за счет возникновения избыточной силы Fx = - gSx, (3.12) где - плотность воды, g – ускорение свободного падения, S – площадь горизонтального сечения корабля на уровне воды. Произведение S x определяет объем вытесненной воды.

Рис 3.Используя второй закон Ньютона, запишем уравнение вертикальных колебаний корабля && m x = F = - gSx x или gS && + x = 0 (3.13) x m Сопоставляя уравнения (3.13) и (3.3) видим, что в данном случае k=gS. Подъемная сила Fx (3.12) является примером квазиупругой силы. Частота собственных вертикальных колебаний корабля в соответствии с (3.5) равна gS =, m где m – масса корабля с учетом груза. Период таких колебаний согласно (3.10) равен m T = gS Оценим эту величину для грузового судна водоизмещением m = 10000 тонн и площадью S = 1000м2. Подставляя числовые T 6 c значения, получим.

4. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР.

ФИЗИЧЕСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИКИ.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.