WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
А.И.Морозов ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Полупроводники, диэлектрики, магнетики Учебное пособие Москва 2002 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) А.И.Морозов ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Полупроводники, диэлектрики, магнетики Учебное пособие Москва 2003 2 В данном учебном пособии рассмотрены свойства полупроводников, диэлектриков и магнитоупорядоченных веществ. Читатель познакомится в рамках модели Хаббарда с теорией фазового перехода металл-диэлектрик, а также с явлением андерсоновской локализации. Пособие предназначено для студентов специальности 200100 дневной формы обучения.

3 Введение В предшествующих учебных пособиях «Физика твердого тела. Фононы» и «Физика твердого тела. Электроны» была рассмотрена динамика кристаллической решетки, введено понятие квазичастиц в твердом теле и на основе кинетического уравнения Больцмана рассмотрены кинетические явления в диэлектриках. Были изложены теория электронного ферми-газа, зонная теория твердых тел на основе приближения почти свободных электронов и приближения сильной связи, проблема экранирования кулоновского взаимодействия в металлах, описано их поведение в магнитном поле и исследована электропроводность и теплопроводность металлов.

Данное учебное пособие является продолжением указанных пособий. В нем рассмотрены свойства полупроводников, диэлектриков и магнитоупорядоченных веществ. Читатель познакомится в рамках модели Хаббарда с теорией фазового перехода металл-диэлектрик, а также с явлением андерсоновской локализации.

1. Полупроводники 1.1. Общие представления В параграфе 2.3 части II пособия было введено понятие полупроводника. К полупроводникам относятся вещества, в которых в равновесии при температуре Т=0 заполнены электронные состояния отделены от незаполненных запрещенной зоной с шириной, меньшей 3 эВ. При большей ширине запрещенной зоны вещество относится к диэлектрикам, хотя иногда и называют широкозонным полупроводником. Здесь и далее речь идет об идеальных бездефектных кристаллах.

Последняя заполненная электронная зона называется валентной, а первая незаполненная зона – зоной проводимости. Ширина запрещенной зоны –это разница энергий электронных Eg состояний, отвечающих минимуму энергии в зоне проводимости и максимуму энергии в валентной зоне, соответственно.

Если эти состояния отвечают одному и тому же значению волнового вектора (рис.1.1а) то щель (запрещенная область энергий) называется прямой (d), а если разным значениям (рис.1.1б), то непрямой (i).

k k а б Рис.1.1.

Ниже приведена таблица, характеризующая тип щели для наиболее часто встречающихся полупроводников.

Табл.Полупроводник (эВ) Тип щели Eg при Т=0 К при Т=300 К Si 1,17 1,14 i Ge 0,74 0,67 i InSb 0,23 0,18 d GaAs 1,52 1,43 d PbTe 0,19 0,30 d Алмаз 5,4 i 1.2. Концентрация собственных носителей заряда При Т=0 в равновесии носители заряда в идеальном полупроводнике отсутствуют, и его электропроводимость равна нулю. При Т 0 некоторое количество электронов возбуждается тепловым образом из валентной зоны в зону проводимости. При переходе одного электрона возникает пара квазичастиц: электрон в зоне проводимости и дырка в валентной зоне, которые являются носителями заряда и называются собственными.

Найдем их концентрацию в равновесном состоянии.

Как будет показано ниже, электронные возбуждения сосредоточены в полосе энергий шириной порядка Т вблизи дна зоны проводимости, а дырочные возбуждения в такой же полосе вблизи потолка валентной зоны. Поскольку, как правило, Т намного меньше ширины электронной зоны, можно разложить r закон дисперсии для зоны проводимости c(k) в ряд вблизи r значения k*, соответствующего минимуму энергии, и представить его в виде квадратичной формы по переменным r r r r r r k - k*,k - k*,k - k*, которую можно привести к x y z диагональному виду. В дальнейшем, для простоты, мы рассмотрим изотропный случай, когда разложение имеет вид r r h2k - k* r r c(k)= ck* +, (1.2) * 2me * где me -эффективная масса электронных возбуждений. В общем виде второе слагаемое в (1.2) будет иметь вид h2 *-1 k *k - ki - k*, me ij i j j *- где me - тензор обратных эффективных масс.

ij Будем отсчитывать энергию электрона от потока валентной r зоны. Тогда дну зоны проводимости c(k*) отвечает энергия Eg.

Аналогично случаю свободных электронов в модели желе (II, §1.6) плотность электронных состояний вблизи дна зоны проводимости имеет следующий вид для Eg :

* (2me) e( ) = - Eg. (1.3) 2h Найдем концентрацию электронных возбуждений при температуре Т. Аналогично (II, §1.13) ne = e( )F0( )d, (1.4) Eg где -exp - µ +F0( ) = (1.5) T - функция распределения Ферми-Дирака, а µ(T) химический потенциал электронов. Значение = µ соответствует положению уровня Ферми в полупроводнике. В случае Eg >> T, как мы убедимся в дальнейшем, можно пренебречь единицей в (1.5) и считать, что µ -.

F0( ) = exp (1.6) T Подставляя (1.6) и (1.3) в формулу (1.4) и проводя замену - Eg переменной z =, получаем T * µ - Eg meT exp(-z) z1/2dz.

ne = exp T 2h Получившийся интеграл представляет собой гаммафункцию от аргумента 3/2 и равен /2. В итоге имеем * - Eg µ meT ne = 2 exp. (1.7) T 2h Совершенно аналогично находится концентрация дырок, закон дисперсии которых вблизи потолка валентной зоны мы также будем предполагать изотропным. Единственное отличие состоит в том, что вероятность существования дырки (отсутствия электрона) в состоянии с энергией равна в равновесии 1- F0( ).



В результате получаем * mhT µ nh = 2 exp-, (1.8) T 2h где m* -эффективная масса дырок.

h Перемножая (1.7) и (1.8), получим выражение, справедливое в равновесном состоянии и для неидеального легированного полупроводника:

Eg * nenh = 4 T mem* 2 exp. (1.9) - T 2h2 h При комнатной температуре nenh = 3,6 1039 м- 6 и 4,6 1031м- в германии и в кремнии, соответственно.

Для собственных носителей заряда справедливо соотношение ne = nh (1.10) - условие электронейтральности. Нельзя создать отдельно электрон или дырку. При тепловом возбуждении рождается электрон-дырочная пара. Но при выводе (1.9) мы не пользовались условием (1.10). Теперь, воспользовавшись им, находим, 2 * 3 Eg ne = nh = 2 T mem* 4 exp -. (1.11) 2T 2h2 h Приравнивая (1.8) и (1.11) и логарифмируя получившееся уравнение, находим значение химпотенциала * Eg 3 mh µ = + T ln. (1.12) * 2 me Таким образом, при Т=0 уровень Ферми в собственном полупроводнике (в полупроводнике с преобладанием собственных носителей заряда) расположен посередине запрещенной зоны. С ростом температуры он сдвигается к той зоне, в которой эффективная масса носителей меньше.

1.3. Примесные носители заряда Пусть теперь в полупроводник введен донор, то есть примесь замещения, обладающая большой валентностью:

например в четырехвалентный германий или кремний – пятивалентная примесь мышьяка. Четыре электрона из пяти, присутствующих на внешней незаполненной оболочке атома примеси, образуют ковалентные связи с ближайшими атомами матрицы. Оставшийся пятый электрон в основном состоянии локализован на примеси и не является носителем заряда. Однако оторвать его от примеси и сделать делокализованным, то есть описывающимся блоховской волновой функцией, значительно проще, чем разрушить ковалентную связь и высвободить электрон из нее.

На языке энергетической диаграммы (рис.1.2а) это означает, что энергетический уровень электрона на примеси лежит в запрещенной зоне, и разность энергий между дном зоны проводимости и этим уровнем с энергией d меньше (а иногда и существенно меньше), чем ширина запрещенной зоны. При возбуждении электрона с примесного уровня в зону проводимости возникает носитель заряда - электрон, а донор из нейтрального становится положительно заряженным. Такой носитель заряда называется примесным.

µ d a µ k k а б Рис.1.2.

Если же мы введем в кристалл акцептор, то есть примесь замещения с меньшей валентностью, например, трехвалентный индий в кристалл германия или кремния, то возникнут только три ковалентные связи с ближайшими атомами матрицы. Для образования четвертой ковалентной связи не хватает электрона.

Поэтому примесь готова принять электрон, отобрав его у атома матрицы.

На энергетической диаграмме (рис.1.2б) это можно изобразить следующим образом: незаполненный уровень акцептора с энергией a расположен внутри запрещенной зоны, и возбудить электрон из валентной зоны на этот уровень значительно проще, чем в зону проводимости. При таком процессе в валентной зоне возникает носитель заряда - дырка, а акцептор становится отрицательно заряженным Таким образом, в полупроводнике, который содержит доноры или акцепторы, имеются и собственные, и примесные носители заряда. Поскольку для создания примесного носителя заряда требуется меньшая энергия, в области низких температур преобладают примесные носители (примесный полупроводник).

С ростом температуры могут начать преобладать собственные носители заряда. Полупроводник из примесного может стать собственным. Характерная температура перехода зависит от концентрации доноров (акцепторов), положения примесного уровня и ширины запрещенной зоны. Она может оказаться больше комнатной (и даже температуры плавления полупроводника). Нас интересует, какой тип носителей преобладает в рабочем диапазоне температур. Если преобладает примесные носители заряда электронного типа, то полупроводник называют полупроводником n-типа, а если примесные носители дырочного типа - то полупроводником р – типа Условие электронейтральности в присутствии доноров и (или) акцепторов имеет следующий вид:

ион ион, ne - nh = Nd - Na (1.13) ион ион где Nd и Na - концентрации ионизованных (заряженных) доноров и акцепторов, соответственно.

Найдем концентрацию носителей заряда в полупроводнике n-типа. Пренебрегая собственными носителями заряда, можно положить nh = 0 (ne >> nh ). Тогда условие электронейтральности примет вид ион ne = Nd. (1.14) Вероятность того, что донор окажется ионизованным в равновесном состоянии, то есть вероятность того, что донорный уровень не заселен, равна 1- F0(d ). Пусть концентрация доноров равна Nd.Тогда концентрация ионизованных доноров Nd = Nd (1- F0(d )). (1.15) Подставив (1.7) и (1.15) в условия электронейтральности (1.14), получаем * µ - Eg µ - d -1 meT Nd 1+ exp = 2 exp. (1.16) T T 2h Полагая, что µ - d >> T, путем логарифмирования находим из (1.16) значение химпотенциала d + Eg T Ne µ = - ln, (1.17) 2 2 Nd где введено обозначение * meT Ne = 2. (1.18) 2h При Т=0 уровень Ферми расположен посередине между донорным уровнем и дном зоны проводимости (рис.1.2а), а с ростом температуры он сдвигается вниз к середине запрещенной зоны. Подставляя значение µ в (1.7), находим концентрацию примесных носителей в полупроводнике n-типа d - Eg ne = (Nd Ne)1 exp. (1.19) 2T В случае полупроводника р-типа концентрация ионизованных акцепторов в равновесии равна ион Na = NaF0(a), (1.20) где Na - концентрация акцепторов Условие электронейтральности имеет вид ион Na = nh, (1.21) откуда a T Nh µ = + ln, (1.22) 2 2 Na где * mhT Nh = 2. (1.23) 2h Таким образом, при Т=0 уровень Ферми расположен посередине между акцепторным уровнем и потолком валентной зоны (рис.1.2б), а с ростом температуры он сдвигается вверх к середине запрещенной зоны.





Концентрация примесных носителей заряда в полупроводнике р-типа равна a nh = (NhNa)1 exp -. (1.24) 2T Рассмотрим качественно еще несколько вариантов. Что будет, если донорный уровень расположен выше дна зоны проводимости В этом случае уже при Т=0 доноры ионизуются, а электроны переходят в зону проводимости, образуя частично заполненную зону с соответствующей поверхностью Ферми.

Такой полупроводник называется вырожденным полупроводником n-типа. Аналогичная ситуация возникает в полупроводнике р-типа, когда акцепторный уровень расположен ниже потолка валентной зоны. Тогда часть электронов, обладающих при Т=0 наибольшей энергией, переходит на акцепторный уровень, валентная зона оказывается частично заполненной, и в ней возникает дырочная поверхность Ферми.

Если же ввести в полупроводник и доноры, и акцепторы, причем d > a, то уже при Т=0 электронам с доноров выгодно перейти на акцепторы. При этом они понижают свою энергию.

Если Nd > Na, то окажутся ионизованными все акцепторы и ион ион часть доноров (Nd = Na = Na). В противном случае (Nd < Na ) ионизованы все доноры и часть акцепторов:

ион ион Nd = Na = Na. В результате в полупроводнике возникает большое число заряженных примесей - ионизованных доноров и акцепторов. Такой процесс называется компенсацией, а полупроводник - компенсированным. В области компенсации концентрация носителей ниже, чем в n и р пространственных областях.

1.4. Подвижность носителей Электропроводность вещества пропорциональна числу носителей заряда, поэтому наблюдаемая в эксперименте температурная зависимость электропроводности полупроводника обусловлена, в основном, экспоненциальной зависимостью числа носителей заряда, рассмотренной в предшествующем разделе.

Для описания процесса перемещения отдельного носителя заряда в электрическом поле вводят характеристику, называемую подвижностью. Она определяется как коэффициент пропорциональности между величиной скорости направленного r движения носителей заряда v и величиной напряженности r электрического поля E (в изотропном случае направление скорости параллельно или антипаралельно направлению поля в зависимости от знака носителя):

r v = E. (1.25) r r r Используя соотношение j = nq v, где j - плотность электрического тока, n - концентрация носителей, а q – заряд носителя, получаем соотношение между электропроводностью и подвижностью:

= n q. (1.26) В случае наличия нескольких сортов носителей заряда их вклады в электропроводность складываются.

По порядку величины подвижность носителя заряда можно оценить как = q / m*, (1.27) где m*- эффективная масса носителя а - время его свободного пробега (время релаксации по импульсу).

Так как в полупроводнике число носителей заряда невелико то столкновения между ними маловероятны (в отличие от металлов). Поэтому основную роль в процессах релаксации носителей заряда играет их взаимодействие с примесями (область низких температур) или с фононами (область высоких температур). Оба этих вклада в сопротивление аддитивны как и в случае металлов.

Поскольку взаимодействие электронных возбуждений с фононами и примесями было подробно изучено в II (§5.3-5.6), то мы рассмотрим только отличия от полученных выражений, возникающие в рассматриваемом случае.

1.5. Рассеяние носителей заряда на фононах В случае невырожденного полупроводника кинетическая энергия равновесных носителей заряда составляет величину порядка Т. Согласно формуле (1.2) характерное значение r r T k - k* ~ m *T / h ~ kB << kB (где kB - волновой вектор Eат на границе зоны Бриллюэна, а Eат - энергия атомного масштаба) для всех значений Т, при которых кристалл еще существует.

Характерный волновой вектор фононов при Т>>D порядка kB, а при Т<

D Оценим температуру Т*, при которой характерные волновые вектора фононов и носителей заряда сравниваются T* Т* kB ~ kB, Eат D откуда D Т* ~ ~ 1К. (1.28) Е ат Таким образом, при Т>>Т* характерный волновой вектор фонона превосходит таковой у НЗ.

Рассмотрим ситуацию, когда в зоне Бриллюэна имеется несколько (6 - в кремнии и 8 – в германии) эквивалентных минимумов зоны проводимости - так называемых долин. В этом случае при Т D возможны процессы поглощения или испускания фонона носителем заряда, при которых последний переходит от одной долины в другую - междолинные переходы.

При таких переходах процессы переброса происходят так же часто, как и нормальные процессы, и выражение для обратного времени рассеяния электрона на фононе е,1 дается формулой ph r II (5.49), где интегрирование по k ' нужно проводить по всей зоне Бриллюэна. Поскольку энергия носителя заряда, отсчитанная от дна зоны проводимости порядка Т и намного превосходит r энергию фонона (h (k)~ D ), то можно пренебречь энергией p фонона в аргументе -функции в этом выражении. Тогда наличие r r r [ (k ') - (k )] приведет к тому, что интегрирование по k ' будет r происходить по изоэнергетической поверхности с энергией (k ).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.