WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||

При малых q подынтегральное выражение можно разложить в ряд по q и первое неисчезающее слагаемое линейно по q. Но r r r r -1/ (k, k + q, p,0) содержит также и сомножитель (q), который p для акустических ветвей пропорционален q-1/ 2. Итого -77- r r r (k, k + q, p,0) q1/ 2. (5.57) Поэтому -N qT T, (5.58) ( ) e, ph r так как для q qT np(q) 1. Коэффициент при T можно -N оценить из условия, что при T D выражение для должно ( ) e, ph переходить в формулу (5.51). Окончательно -T N. (5.59) ( ) e, ph h D Подставляя (5.59) в формулу (5.53), находим -T U, ph. (5.60) ( ) e hD Следовательно, фононный вклад в сопротивление металлов с открытой поверхностью Ферми при T << ведет себя как D T. (5.61) Эта зависимость называется законом Блоха.

На самом деле, переход от зависимости T к зависимости T происходит в районе T / 10. Качественно вид D зависимости (T ) представлен на рис.15.

Температурную зависимость коэффициента теплопроводности в области температур T << найти существенно проще. Если D <<, то теплосопротивление обусловлено именно e, ph e,imp взаимодействием с фононами. Поскольку мы исследуем процесс r теплопроводности при условии j = 0, то поток электронов отсутствует, а время, входящее в выражение (5.20), представляет собой характерное -78- время, за которое электронное возбуждение теряет свою энергию, то есть N время. Таким образом, при T << D величина e, ph - T. (5.62) T D Рис.15. Температурная зависимость сопротивления металлов с открытой поверхности Ферми Эта зависимость справедлива вплоть до температуры T0, при которой N (T0) = (T0). В области более низких температур e,imp e, ph T D Рис.16. Температурная зависимость коэффициента теплопроводности металла.

-79- преобладают упругие процессы рассеяния на примесях и T.

Качественный вид зависимости (T ) приведен на рис.16.

5.7. Электрон-электронное рассеяние Исследуем теперь вклад в электро- и теплосопротивление, обусловленный рассеянием электронных возбуждений друг на друге, используя метод теории возмущений. Заряженные частицы взаимодействуют друг с другом, в результате чего изменяются их импульсы. Пусть волновой вектор r r r r первого электрона меняется с k1 на k3, а второго - с k2 на k4.

Матричный элемента такого взаимодействия имеет вид:

r r r r k3, k4V$K k1, k2 = rr e2 rr r r 3 rr r = (r2) (r1) (r2) (r1)d r1d r2, r rrkk4 k4 r2 - r1 k(5.63) r r r r где r1 и r2 - координаты электронов, (r ) - их блоховские волновые k функции, отвечающие невозмущенному гамильтониану. Используя представление блоховской функции в виде (2.9), получаем r r r r k3, k4V$K k1, k2 = rr e2 rr rr rr = uk4 (r2)uk3 (r1) uk (r2)uk (r1) r r 4 r2 - r1 r r r r r r r r exp (k2 - k4)r2 + i (k1 - k3)r1 3r1d r2. (5.64) [i ]d r r r r Переходя от переменной r2 к переменной = r2 - r1 и используя r периодичность функций uk, находим -80- r r r r r r r e rr k3, k4V$K k1, k2 = uk4 (r1 + )uk3 (r1) r r r r r r rr uk2 (r1 + )uk1(r1) exp (k2 - k4) [i ] r r r r r r r exp (k1 + k2 - k3 - k4)r1 3r1d = [i ]d r r r r r r r 3 = exp (k1 + k2 - k3 - k4)l d r1 d [i ] r l..

r r rr r r e2 rr rr uk4 (r1 + )uk3 (r1) uk (r1 + )uk (r1) r r r r r r r r exp (k2 - k4), (5.65) [i r ]exp[i (k1 + k2 - k3 - k4)r1] суммирование по l ведется по всем элементарным ячейкам, интеграл по r r d берется по всему пространству, а интеграл по r1 - по элементарной r ячейке. Сумма по l отлична от нуля и равна числу элементарных ячеек N, если выполнено условие r r r r r k3 + k4 - k1 - k2 = g, (5.66) r где g - вектор обратной решетки.

Таким образом, в процессе рассеяния, обусловленном кулоновским взаимодействием частиц, сохраняется их квазиимпульс. Поэтому независимыми переменными, r r rхарактеризующими матричный элемент, r являются величины k1, k2, k3, g:

r r r r k3, k4V$K k1, k2 (5.67) -81- r r r r r r r r 3 r r r r Ve-e(k1, k2, k3, g) = N d r d uk1 +k2 + g -k3 (r + )..

rr rr rr e2 rr r rr r r uk3 (r ) uk (r + )uk () exp - k1 - g) [ ].

[(k ]exp -igr r r r r В случае, когда q = k3 - k1 - g стремится к нулю, величина матричного элемента стремится к бесконечности (смотри формулу (4.23)).

Такая же расходимость возникает и в интегралах (5.23) и (5.45), если считать, что взаимодействие электрона с примесью или ионом является неэкранированным кулоновским взаимодействием. Однако, как мы знаем из главы 4, кулоновское rвзаимодействие двух заряженных частиц в металле ослабляется в (k,0) раз вследствие эффектов экранирования r ((k,0) - диэлектрическая проницаемость), и эти расходимости исчезают.

Поскольку электронные возбуждения в металле (электроны и дырки) заряжены, то возможны следующие процессы, обусловленные кулоновским взаимодействием (рис.17) e (h) e (h) e e e (h) h h e (h) a б e e (h) e e e (h) h e (h) e (h) h h e h в г д Рис.17.

-82- Пунктир показывает наличие кулоновского взаимодействия между частицами. На рис.17 опущены диаграммы нефизических процессов одновременного рождения из «ничего» (исчезновения в «никуда») двух электронно-дырочных пар.

Предоставляем читателю самому выписать все четырнадцать $ слагаемых в гамильтониане H, записанном во вторично-квантованном e,e виде, которые обусловлены изображенными на рис.17 процессами.

Слагаемых больше, чем изображенных процессов, так как, например, процессу, изображенному на рис.17г, соответствует четыре слагаемых, отличающихся тем, какому из четырех электронных состояний соответствует дырка.

Исследуем температурную зависимость вклада одного из процессов в интеграл столкновений, а именно, процесса, изображенного на рис.17а.

При этом будем полагать, что левая часть кинетического уравнения r записана для электрона с волновым вектором k. Тогда r r 3 r r r 4 d k d k3 r I = Ve-e(k, k2, k3, g) r h g (2)3 (2)r r r r r r r ) + (k2) - (k3) - (k + k2 + g - k3) [(k ] r r r r r r r [-Fe(k )Fe(k2)(1 - Fe(k3))(1 - Fe(k + k2 + g - k3)) + r r r r r r r +(1 - Fe(k ))(1 - Fe(k2))Fe(k3))Fe(k + k2 + g - k3)], (5.68) где сомножитель два возникает из-за суммирования по '.

Нас интересует время релаксации характерного возбуждения с r энергией (k) T. Это возбуждение взаимодействует с имеющимися при данной температуре возбуждениями с энергией порядка T. Поэтому возбуждения, возникающие в результате взаимодействия, также имеют характерную энергию порядка T (это относится ко всем процессам, изображенным на рис.17).

-83- Таким образом, волновые векторы всех возбуждений (и тех, которые исчезают, и тех, которые возникают) должны лежать в пояске шириной k T / hvF вблизи поверхности Ферми. При произвольном выборе r k2 это условие, можно удовлетворить только в очень узкой области r значений k3. Продемонстрируем это на примере сферической поверхности Ферми.

r r r r Отложим вектор q = k + k2 + g. Построим две поверхности Ферми с центрами, разложенными в начале и в конце этого вектора (рис.18). Изобразим указанные пояски вблизи каждой поверхности Ферми.

r r Отложим k3 из начала вектора q. Его конец должен попасть поясок r rв r вокруг левой поверхности. Но конец вектора -k4 = -q + k3 также должен попасть внутрь пояска, окружающего правую поверхность Ферми r r r r (напомним, что k3 + k4 = q). Это возможно, если конец вектора kпопадает в область пересечения поясков. Она имеет вид тора с площадью поперечного сечения порядка (k )2 и радиусом порядка kF.

Отношение объема этой области к объему зоны Бриллюэна имеет порядок (T / E )2.

r r k3 -kr q Рис.18.

На основании полученной оценки можно найти характерное время релаксации, обусловленное взаимодействием электронных e,e -84- возбуждений. Поскольку матричный элемент электрон-электронного взаимодействия порядка E, то E T T -. (5.69) e,e h E hE -Легко видеть, что в области температур T >> величина D e,e -имеет по сравнению с дополнительную малость T / E.

e, ph Поэтому в области высоких температур основной вклад в сопротивление металлов вносит электрон-фононное взаимодействие.

При T << электрон-электронный вклад в сопротивление может D оказаться больше фононного, так как убывает с понижением температуры не так быстро, как фононный. В металлах с открытой поверхностью Ферми D это произойдет ниже температуры T 3. Однако в этой D E области температур заметным является вклад примесей. Поэтому наблюдать зависимость T удается только в достаточно чистых образцах.

Вклад рассмотренных процессов в теплосопротивление наблюдать значительно труднее, так как для этого должно выполниться неравенство T < / E.

D 5.8. Термоэлектрические явления До сих пор мы рассматривали явления электро- и теплопроводности раздельно. Исследуем теперь случай, когда в системе существует одновременно и электрический ток, и поток тепла. Поскольку поток частиц r несет с собой и энергию, и заряд, то общие соотношения, связывающие j r r и Q с T и E, имеют вид.

r r j = E + T, (5.70) r r Q = E + T, (5.71) -85- где,,, - постоянные коэффициенты ( - электропроводность металла). В силу симметрии кинетических коэффициентов = -T.

r Найдем E из выражения (5.70) и подставим его в формулу (5.71).

Получим r r Q = j - T, (5.72) где = / - коэффициент Пельтье, а = / - - коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим несколько термоэлектрических явлений:

1. Термоэлектродвижущая сила.

Пусть цепь состоит из металлов двух сортов (a и b) и спаи между металлами находятся при температурах T1 и T2, соответственно.

Разомкнем цепь, сделав в ней разрез в металле a (рис.19).

Пусть температура разреза равна T0. Поскольку ток в цепи отсутствует, но имеется градиент температуры, то согласно выражению (5.70) в металлах возникает электрическое поле напряженностью r E = - T. (5.73) Поскольку кинетические коэффициенты металлов различны, то на разрезе возникает разность потенциалов.

a TTb TРис.-86- Найдем ее величину, проинтегрировав напряженность электрического поля вдоль контура, образованного металлами, от точки A до точки B:

TB r r a T1 a Tb - = Edl = - dT - dT - dT = A B A T0 T1 Ta b a a b =-T2 (5.74) ( - T1.

) a b Разность потенциалов на краях разреза представляет собой термоэлектродвижущую силу рассмотренного термоэлемента (термопары).

Измеряя ее можно определить температуру T2 при заданной величине Tи известных значениях коэффициентов и.

2. Эффект Пельтье Рассмотри теперь замкнутую цепь, состоящую из двух металлов.

Пусть T = 0, а по цепи идет ток I. Тогда по направлению к спаю по металлу а течет поток энергии I. А от спая по металлу b течет поток энергии I. Поскольку, то разность этих потоков должна b b поглощаться либо выделяться в спае. Если не подводить и не отводить тепло от спаев, то один из них начинает нагреваться, а другой охлаждаться, и возникает градиент температуры. Этот эффект называется эффектом Пельтье.

Рекомендованная литература 1. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. - М.: Наука, 1987.

2. Ашкрофт Н., Мермин П. Физика твердого тела. - М.: Мир, 1979.

3. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. - М.: Мир, 1988.

4. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. - М.: Мир, 1974.

5. Займан Дж. Вычисление блоховских функций. - М.: Мир, 1973.

-87- 6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. - М.: Мир, 1978.

7. Лифшиц Н.М., Азбель М.Я., Каганов М.И. Электронная теория металлов. - М.: Наука, 1971.

8. Харрисон У. Теория твердого тела. - М.: Мир, 1972.

-88- 9. Содержание Стр.

Введение 1. Электронный газ 1.1. Модель желе 1.2. Теплоемкость электронного газа 1.3. Парамагнитная восприимчивость электронного газа 2.Электроны в кристаллической решетке 2.1. Теорема Блоха 2.2. Приближение почти свободных электронов 2.3. Металлы, диэлектрики, полупроводники 2.4. Приближение сильной связи 2.5. Численные методы 2.6. Кулоновское взаимодействие между электронами 2.7. Поверхность Ферми 2.8. Квазичастицы в ферми-жидкости 3. Металлы в магнитном поле 3.1. Квазиклассическое приближение 3.2. Квантовое описание 3.3. Диамагнитизм Ландау 3.4. Квантовые осцилляции 4.Экранирование в металлах 4.1. Статическое экранирование 4.2. Фриделевские осцилляции электронной плотности 4.3. Плазменные колебания 4.4. Диэлектрическая проницаемость металла 4.5. Скин-эффект -89- 4.6. Циклотронный резонанс 5. Кинетические коэффициенты металла 5.1. Электро- и теплопроводность 5.2. Закон Видемана-Франца 5.3. Рассеяние на примесях 5.4. Электрон-фононное взаимодействие 5.5. Вклад фононов в электросопротивление.

Высокие температуры 5.6. Вклад фононов в электросопротивление.

Низкие температуры 5.7. Электрон-электронное рассеяние 5.8. Термоэлектрические явления Рекомендованная литература

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.