WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |

Волна проникает вглубь металла на характерное расстояние, называемое глубиной скин-слоя. Часть ее энергии поглощается, а остальная энергия отражается. Возможны два случая: 1) значение намного превосходит длину свободного пробега электронов l ( >> l ), 2) обратный случай ( << l ). Мы ограничимся рассмотрением первого случая, который называется нормальным скин-эффектом. При нормальном скин-эффекте можно применять локальное соотношение между плотностью тока и напряженностью электрического поля (закон Ома). В противоположном случае << l (аномальный скин-эффект) надо использовать нелокальные соотношения и выкладки становятся очень громоздкими. В r случае немагнитного металла магнитная индукция B связана с r r r напряженностью магнитного поля H соотношением B = µ0H.

Согласно уравнениям Максвелла r r r r r H D rotE = -µ0, rotH = j +. (4.30) t t Здесь мы используем первый подход к описанию электромагнитного поля в металле и описываем электроны проводимости с помощью тока. В этом случае можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости, если частота падающей волны намного меньше атомных значений.

Рассмотрим безграничную плоскую поверхность металла, расположенную перпендикулярно оси х. Пусть металл занимает полупространство x > 0, а напряженность поля падающей нормально на поверхность металла плоской электромагнитной волны направлена по оси y и описывается формулой -52- r r E = E0 exp(ikx - it). (4.31) Напряженность магнитного поля параллельна оси z и равна r r H = H exp(ikx - it). (4.32) r r С учетом соотношения j = E (где - электропроводность металла) формулы (4.30) принимают вид E H H = -µ0, - = E. (4.33) x t x Будем искать решение этих уравнений в металле в виде (4.31), (4.32).

Подставляя эти выражения в (4.33), получаем систему ikE = iµ H, (4.34) -ikH = E.

Из условия существования нетривиального решения получаем k = iµ0, (4.35) откуда µk = (1 + i ). (4.36) Подставляя это значение k в (4.31), получаем x E = E0e-x / exp(i - it), (4.37) где = (4.38) µ-53- и есть характерная глубина проникновения поля в металл (глубина скинслоя).

-1 -Для = 2 106c-1 и 107 величина 01.

, Комплексный показатель преломления металла n можно найти из 2 2 соотношения n2 = k c2 /, где k дается формулой (4.35). С учетом того, что c2 = 1 / µ0, находим n2 = i /. (4.39) Коэффициент R отражения электромагнитной волны от металла равен n - R = 1 - 2 2 / (4.40) n + и стремится к единице при 0. Соответственно стремится к нулю коэффициент поглощения волны металлом ( = 1 - R).

4.6. Циклотронный резонанс Пусть теперь в добавление к предшествующему рассмотрению к металлу приложено постоянное магнитное поле, направленное вдоль оси z, а его величина достаточно велика, чтобы радиус r спирали, по которой движется электрон в магнитном поле (ларморовский радиус), был бы намного меньше длины свободного пробега электрона l. Кроме того, пусть r >>. Тогда электрон попадает в область существования высокочастотного поля (в скин-слой) с периодом, равным периоду его вращения (рис.12).

За это время поле электромагнитной волны изменяется. Если частота вращения электрона в магнитном поле совпадает с частотой электромагнитной волны, то каждый раз на электрон, попадающий в скинслой, действует одно и то же поле. Это приведет к эффективному ускорению электронов и увеличению его энергии, то есть электрон будет эффективно поглощать энергию электромагнитной волны. Это явление носит название циклотронного резонанса (резонанса Азбеля-Канера).

Обычно в эксперименте изменяют величину магнитного поля при заданной -54- частоте электромагнитной волны. В момент достижения резонанса наблюдается пик поглощения, которое измеряют путем сравнения интенсивности падающей и отраженной электромагнитных волн.

Рис.12.

Таким образом, экспериментально можно определить период вращения электрона в магнитном поле (3.4), а, следовательно, и циклотронную массу m (3.6) на поверхности Ферми. Но циклотронная масса различна для разных сечений поверхности Ферми. В эксперименте наблюдается значение m, отвечающее экстремальным сечениям поверхности Ферми, поскольку их вклад в поглощение является определяющим.

Глава 5. Кинетические коэффициенты металла 5.1. Электро- и теплопроводность Как уже известно из рассмотрения фононной подсистемы, в равновесном состоянии какие либо потоки (заряда или энергии, например) отсутствуют. Их возникновение обусловлено неравновесностью функции распределения квазичастиц, являющихся переносчиками заряда и энергии.

Мы будем считать отличие функции распределения электронных r rи дырочных возбуждений F (k ) от своего равновесного значения F0(k ) малым:

r r r F (k ) = F0(k ) + f (k ), (5.1) -55- распределения квазичастиц, являющихся переносчиками заряда и энергии.

Мы будем считать отличие функции распределения электронных r rи дырочных возбуждений F (k ) от своего равновесного значения F0(k ) малым:

r r r F (k ) = F0(k ) + f (k ), (5.1) где r r -F0(k ) =, (5.2) [exp((k ) / T ) + 1] r r r (k ) дается формулой (2.47), а f (k ) << F0(k ).

В первой части курса было показано, что плотность электрического r r тока j и плотность потока энергии Q выражаются через неравновесную r часть функции распределения f (k) следующим образом:

r r r r r d k je(h) = 2qe(h) fe(h) (k )ve(h) (k ), (5.3) (2)k > kF (k < kF ) r rr r r r d k Qe(h) = 2 (k ) fe(h) (k )ve(h) (k ), (5.4) (2)k >kF (k kF для случая электронов и по k < kF для случая дырок. В (5.3) и (5.4) учтено, что r каждому значению волнового вектора k соответствует два состояния, отличающиеся проекцией спина.



Для нахождения неравновесной части функции распределения электронов (дырок) воспользуемся кинетическим уравнением Больцмана, которое рассмотрено нами в первой части курса. Оно имеет вид:

r r r r r r F (r, p,t) F (r, p,t) F (r, p,t) + vj + j = I, (5.5) t r pj j -56- где r, vj, pj - компоненты координаты, скорости и импульса, j характеризующих частицу, j - компонента действующей на нее внешней силы, а I - интеграл столкновений.

Рассмотрим вначале явление электропроводности. Пусть под r действием стационарного электрического поля с напряженностью E по проводнику течет постоянный ток. В однородном и стационарном случае, которым мы ограничимся, первые два слагаемых в левой части (5.5) равны нулю. В третьем слагаемом можно учесть только производную от равновесной части функции распределения r r r r F0(k ) F0(k ) F0(k ) == vj (k ). (5.6) pj pj Представляя интеграл столкновений в -приближении, приходим к следующему уравнению r r e(h) r r fe(h) (k ) F0 (k ) qe(h) ve(h) (k ),E = - r, (5.7) (r ) (k ) r r r r где мы учли, что =qe(h)E, и предположили, что (k ) = (k ).

e h Находя из уравнения (5.7) неравновесную часть функции распределения r e(h) rr r r fe(h) (k ) = qe(h)(k ) ve(h) (k ),E - (5.8) (r ) F0 (k ) и подставляя ее в (5.3), получаем r r e(h) r r r r r r d k.

je(h) = 2e2 (k )ve(h) (k ) ve(h) (k ), E - (r ) F0 (k ) (2)k >kF (k

rи Поскольку групповая скорость электронов параллельна k, а дырок - r антипараллельна k, то r r r r r ve(h) (k ) ve(h) (k ), E = vF E cos2.

(r ) Окончательно имеем r e(h) r r F0 () 2d k je(h) = e2vF Ecos2. (5.10) (2)k >kF (k

F Получим e(h) r r Fe2vF je(h) = ( )E - (5.12) d.

F -58- Используя выражение (5.2), находим, что интеграл в (5.12) равен 1/2.

Таким образом, электронный и дырочный вклады в плотность тока равны.

Результирующая равна сумме этих вкладов:

r r e2vF( ) F j = E. (5.13) Сравнивая это выражение с законом Ома в дифференциальной форме r r j = E, находим электропроводность металла :

e2vF( ) F =. (5.14) Единственной величиной, которая зависит от температуры, является время релаксации. Далее мы исследуем различные вклады в интеграл столкновений и найдем температурную зависимость электросопротивления металла.

Теперь обратимся к процессу переноса тепла. Пусть в металле существует стационарный градиент температуры, а поля, действующие на квазичастицы, отсутствуют. Тогда в левой части уравнения (5.5) отлично от нуля только второе слагаемое. В силу малости неравновесности оставим только производную от равновесной части функции распределения:

e(h) e(h) F0 e(h) FFT == - (T ). (5.15) j r T rT j j В -приближении кинетическое уравнение принимает вид r e(h) fe(h) (k ) F r r - (v, T ) = -. (5.16) T (k ) Подставляя полученную из (5.16) неравновесную часть функции распределения в формулу (5.4) и ограничиваясь исследованием изотропного случая, аналогично случаю электропроводности получаем:

e(h) r FvF( )T F Qe(h) = - 2 - (5.17) d.

3T -59- r В исследуемом случае вектор Q антипараллелен T. Электронный и дырочный вклады в плотность потока энергий одинаковы. Суммарная r Fплотность потока энергии Q равна (в силу четности функции ):

- r FvF( ) F Q = -T 2 - d. (5.18) 3T - В силу соотношения (1.24) интеграл в (5.18) равен T. Окончательно 2 r vF( )T F Q = - T. (5.19) r Сравнивая (5.19) с феноменологическим соотношением Q = -T, где - коэффициент теплопроводности, находим коэффициент теплопроводности металла в изотропном случае:

2 vF( )T F =. (5.20) 5.2. Закон Видемана-Франца Сравним выражения (5.14) и (5.20) для коэффициентов электропроводности и теплопроводности. Легко видеть, что их отношение является универсальной величиной, независящей от вида металла:

T =. (5.21) eЭто утверждение называется законом Видемана-Франца. Из предшествующего рассмотрения кажется, что он универсален, то есть справедлив во всех случаях. Но это не так. Он верен, если за релаксацию неравновесности функции распределения по импульсу (волновому вектору) и по энергии ответственны одни и те же процессы.

-60- Чтобы обнаружить различия между временами релаксации по энергии и импульсу необходимо выйти за рамки -приближения.

Качественно это различие можно понять из следующего рассмотрения.

Пусть в процессе столкновения импульс квазичастицы, переносящей заряд и энергию, изменяется несущественно, то есть частица отклоняется на малый угол от первоначального направления. При этом ее вклад в электрический ток практически не изменяется. Но если процесс столкновения неупругий и энергия квазичастиц изменяется сильно, то такие процессы ведут к существенному изменению вклада этой квазичастицы в плотность потока энергии. На основании изложенного можно сделать вывод, что закон Видемана-Франца справедлив, если квазичастицы участвуют только (или в основном) в упругих процессах столкновений. Примером таких процессов являются процессы рассеяния электронов и дырок на статических примесях.





5.3. Рассеяние на примесях Рассмотрим упругое рассеяние электронных и дырочных возбуждений на примесях. При упругом рассеянии электрона (дырки) на примеси состояние примеси не изменяется, поэтому вследствие закона сохранения электрического заряда тип возбуждения не изменяется. То есть электрон остается электроном, а дырка - дыркой, хотя его (ее) квазиимпульс изменяется. Если бы электрон превращался бы в дырку (или наоборот), то нарушался бы закон сохранения электрического заряда.

r r Пусть V (r - Ri ) - потенциальная энергия взаимодействия r электрона, находящегося в точке, описываемой радиус-вектором, с rr примесью, ядро которой расположено в точке с радиус-вектором Ri (i - номер примеси). Будем учитывать взаимодействие с примесями как возмущение. Оператор возмущения W равен imp r r r W (r ) = V (r - Ri ), (5.22) imp i где суммирование ведется по всем примесям.

Для нахождения вероятности рассеяния необходимо вычислить r r r r матричный элемент k ' W k, где k и k ' - блоховские функции, imp задаваемые формулой (2.9) и описывающие электронные состояния с -61- r v волновыми векторами k и k ', соответственно. После подстановки выражения (2.9) в матричный элемент получаем:

r r r r r r r r r r k ' W k = exp (k - k ' )Ri d ruk '(r )V (r - Ri ) imp [i ] i r r r r r r uk (r ) exp (k - k ')(r - Ri ). (5.23) [i ] Если предполагать, что примеси занимают эквивалентные положения r r в элементарной ячейке, то в силу периодичности функций uk (r ) интеграл в правой части (5.23) не зависит от номера примеси, то есть от r r номера ячейки, в которой она расположена. Обозначим его Vk,k '.

Окончательно r r r r r r r k ' W k = Vk,k ' exp (k - k ' )Ri. (5.24) imp [i ] i Для того, чтобы записать гамильтониан взаимодействия электронных возбуждений с примесями в терминах вторичного квантования, необходимо ввести операторы рождения и уничтожения электронов и дырок. Сначала напомним основные свойства этих операторов для фермичастиц. Действуя на состояние n, в котором находится n частиц (согласно принципу Паули n=0,1) оператор уничтожения ферми-частицы $ c переводит его в состояние n - 1, а именно $ cn = n n - 1. (5.25) $ Оператор рождения ферми-частицы c+, действуя на то же состояние, переводит его в состояние n + $ c+ n = 1 - n n + 1. (5.26) Два оператора рождения и два оператора уничтожения антикоммутируют:

$+ $+ $+ $+ $ $ $ $ c1 c2 + c2 c1 = 0, c1c2 + c2c1 = 0. (5.27) -62- $ $ Кроме того, антикоммутируют операторы c+ и c, относящиеся к различным состояниям $ $+ $+ $ c1c2 + c2 c1 = 0. (5.28) Если же они соответствуют одному состоянию, то $ $+ $+ $ c1c1 + c1 c1 = 1. (5.29) Будем обозначать операторы рождения и уничтожения электронов + $ $ $ $ символами c+ и c, а дырок d и d. Тогда невозмущенный $ $ гамильтониан H и гамильтониан взаимодействия с примесями H 0 e,imp принимают вид:

rrr r r r + $ $ $ $+ $ H = (k )c (k )c (k ) + (k )d (k )d (k ), (5.30) > kF k < kF k где - спиновой индекс, = 12 соответствует проекции спина, sz = 1 / 2 и sz = -1 / 2.

r r r r r $ r r $+ $ HVk,k ' exp (k - k ' )Ri (k ' )c (k ) + = e,imp [i ]c i,,k '>kF k r r r r$ r + r r + V-k,-k ' exp (k '-k )Ri $ (k ' )d (k ). (5.31) [i]d i,,k '

Теперь найдем вклад процессов рассеяния на примесях в интеграл столкновений I. Для определенности рассмотрим электронные возбуждения. Пусть левая часть кинетического уравнения записана для r состояния с волновым вектором k. Диаграммы прямого и обратного процессов, дающих вклад в интеграл столкновений, изображены на рис.13.

-63- r r r k ', k, r k, k ', б а Рис.13.

Крест соответствует примеси, а линия со стрелкой - электрону.

В итоге получаем:

r rr 2 d k ' r I = Vk r ((k ) - (k ')) h (2)3,k ' r r r r -F (k )(1 - F (k ' )) + F (k ' )(1 - F (k )) {} r r r r exp - k ' )(Ri - Rj ), (5.32) [(k ] i, j для кристалла, объем которого принят равным 1м3.

Рассмотрим двойную сумму по i и j. Если i j, то в силу хаотичности распределения примесей по кристаллу суммирование по этим индексам даст нуль (сумма экспонент со случайными мнимыми показателями). Если же i = j, то соответствующее слагаемое равно единице, а суммирование по i даст концентрацию примесей nimp. В результате после линеаризации I принимает вид:

r rr r r 2 d k ' r I = nimp Vk r ((k ) - (k' )) f (k' ) - f (k ).

{} h (2)3,k ' -64- (5.33) В рамках -приближения имеем r rr nimp d 3k ' r r - = Vk ((k) - (k' )). (5.34) e,imp h (2)2,k ' Поскольку нас интересуют состояния, расположенные вблизи поверхности Ферми ((k) << ), то F r nimp d k ' -r r = r Vk,k ', (5.35) e,imp r (2)2 h k '(k ' ) интегрирование ведется по поверхности Ферми. Однако если учесть r неравновесность не только на волновом векторе k, а и на волновом r векторе k ', то есть уточнить -приближение, то вместо (5.35) получаем tr так называемое транспортное время релаксации :

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.