WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

Расчет магнитной восприимчивости в рамках квантовой теории Ландау достаточно громоздок. Поэтому приведем только окончательное выражение. В случае свободных электронов диамагнитная восприимчивость, связанная с орбитальным движением электронов, L является отрицательной и составляет по величине одну треть от парамагнитной восприимчивости Паули, обусловленной наличием у электронов спина (формула 1.34).

На основании вышеизложенного создается впечатление, что все металлы должны быть парамагнетиками, поскольку суммарная восприимчивость = + электронного газа положительна.

0 PL Однако движение электрона в кристалле отличается от движения свободного электрона. Расчет показывает, что диамагнитная восприимчивость равна 1 me L = - P, (3.15) m где m - эффективная масса электрона в кристалле. Поскольку она может быть и больше, и меньше массы свободного электрона me, то может принимать как отрицательные, так и положительные значения и в природе встречаются и диамагнитные, и парамагнитные металлы.

3.4. Квантовые осцилляции Многие физические характеристики металла (магнитная проницаемость, теплоемкость, кинетические коэффициенты) зависят от плотности электронных состояний на поверхности Ферми. Поскольку поверхность Ферми представляет собой частный случай изоэнергетической (n) поверхности, то при = должна иметь место особенность F ( ). Добиться выполнения этого условия можно путем изменения F величины магнитного поля. Для всех реально достижимых в эксперименте -40- значений постоянного магнитного поля B < 10 Tл величина h <<, то есть поверхность Ферми пересекает большое число c F уровней Ландау. Найдем те значения В, при которых должна наблюдаться особенность. Из уравнения h2kF heB = (n + ) (3.16) 2m m следует 1 2e 1 2e = (n + ) = (n + ), (3.17) Bn hkF 2 hSe( ) F где Se = kF - площадь экстремального сечения поверхности Ферми плоскостью, перпендикулярной магнитной индукции. Формула (3.17) справедлива не только для случая свободных электронов, но и для произвольной поверхности Ферми. Особенности физических величин будут наблюдаться периодически по с периодом B 1 2e 9,55 = = Тл, (3.18) B hSe ( ) Se ( ) F F величина Se измеряется в м-2.

Поскольку при T 0 край ферми-распределения размыт, то особенности физических величин размываются и вместо бесконечного разрыва имеет место конечный максимум. К такому же результату приводит учет столкновений электронов с примесями. Поэтому экспериментальное наблюдение осцилляций возможно только при низких температурах, когда T < hc, и в чистых образцах, где c >> 1 ( - время свободного пробега электрона). Обычно их проводят при температуре кипения жидкого гелия (4,2К). При комнатной же температуре наблюдается только усредненное по периоду B значение.

Появление осцилляций магнитной восприимчивости на фоне носит название эффекта де Гааза - ван Альфена. Аналогичные осцилляции -41- сопротивления металла в магнитном поле называются эффектом Шубникова-де Гааза.

Экспериментальное наблюдение осцилляций играет важную роль, так как это практически единственный метод получения информации о виде поверхности Ферми, а не только о плотности электронных состояний.

Как правило, в металле со сложной поверхностью Ферми имеется несколько экстремальных сечений при заданном направлении магнитного поля. Каждое из них дает вклад в осцилляции. Таким образом, в эксперименте наблюдают наложение нескольких осцилляций с различными периодами. Дешифруя зависимость восприимчивости или сопротивления от, находят все значения Se. Изменяя направление поля B относительно кристаллографических осей монокристаллического образца, исследуют различные экстремальные сечения поверхности Ферми. На основании полученных данных восстанавливают вид поверхности Ферми, что позволяет провести его сравнение с видом рассчитанной поверхности.

Простая картина осцилляций Шубникова-де Гааза, наблюдаемая в легированном полупроводнике GaSb, у которого поверхность Ферми имеет вид эллипсоида, приведена на рис.10.

Рис.10. Осцилляции Шубникова - де Гааза в полупроводнике GaSb С уменьшением B амплитуда осцилляций экспоненциально убывает из-за электронных столкновений и температурного размытия Фермираспределения.

-42- Глава 4. Экранирование в металлах 4.1. Статическое экранирование Хорошо известно, что в равновесии макроскопическое электрическое поле в металле отсутствует. В противном случае в нем возник бы электрический ток. В момент включения (или изменения) внешнего электрического поля свободные электроны в металле перераспределяются так, чтобы создаваемое ими поле скомпенсировало внешнее. Это явление компенсации называется экранированием.

Мы будем исходить из уравнения Пуассона для потенциала электростатического поля :

= -, (4.1) где - оператор Лапласа, а - объемная плотность электрического заряда. Пренебрегая для простоты поляризацией ионной решетки, будем считать, что весь электрический заряд создан избытком (или недостатком) электронов проводимости по сравнению с электронейтральной ситуацией.

Тогда = -ene, (4.2) где e - элементарный заряд, а ne - избыточная концентрация электронов.

Концентрация электронов ne дается формулой (1.13), в которой - кинетическая энергия электрона. Только теперь в функцию распределения F0 мы должны подставить не кинетическую, а полную энергию электрона ~ ~ = - e. Но поскольку в F0 входит комбинация - µ, то изменение можно интерпретировать как замену µ на µ + e. Считая, что e мало по сравнению с µ, а также что связь между ne и является локальной (то есть величина ne в данной точке определяется значением в этой же точке), находим ne ne = e. (4.3) µ С учетом (4.2) и (4.3) уравнение Пуассона принимает вид -43- e2 ne - = 0. (4.4) µ Вводя обозначение e2 ne =, (4.5) D µ приходим к уравнению - = 0. (4.6) D -Величина rD = представляет собой характерное расстояние, D на котором спадает потенциал, и называется радиусом экранирования Дебая. Продемонстрируем этот факт на двух примерах.



1. Пластина металла в плоском конденсаторе Пусть поверхности пластины расположены параллельно обкладкам конденсатора, ось х системы координат перпендикулярна обкладкам (рис.11), а начало координат расположено на плоскости симметрии d пластины. Тогда поверхностям пластины соответствуют координаты ±, где d - ее толщина.

- + -d/2 0 d/2 x Рис.Сообщим обкладкам конденсатора заряд (как указано на рис.11) такой величины, что напряженность поля в зазоре имеет величину E0.

-44- Задача расчета потенциала в такой системе является одномерной, поскольку зависит только от х. Уравнение (4.6) принимает вид / / - = 0. (4.7) xx D Нас интересует нечетное по х решение уравнения, так как напряженность / поля E = - является четной функцией х. Внутри пластины оно x x имеет вид = sh( x), (4.8) 0 D / а значение находится из граничного условия = E0.

0 x Окончательно sh( x) D (x) = E0rD, (4.9) ch( d / 2) D а ch( x) D E (x) = -E0. (4.10) x ch( d / 2) D Легко видеть, что напряженность поля убывает экспоненциально вглубь металла. Характерная глубина проникновения поля в металл равна rD. Оценим ее величину. При T << в нулевом приближении F n = ( ) (предлагаем читателю показать это самостоятельно на F µ F0 Fоснове раздела 1.2, учитывая, что = - ). Для свободных µ электронов ( ) дается формулой (1.11). Тогда для величин F -ne 3 1028 и 3, характерных для типичных металлов, F получаем e2( ) e2ne -F = 1020, D 0 0 F а -45- rD 10-10 1.

Таким образом, электрическое поле проникает в металл практически на моноатомный слой.

2. Заряженная примесь в металле Расположим ее в начале координат и будем искать сферическисимметричное решение. В этом случае не зависит от углов, а является только функцией расстояния r от примеси. В сферических координатах уравнение (4.6) принимает вид r - = 0. (4.11) D r r r Путем подстановки (r ) = (r ) / r уравнение (4.11) сводится к уравнению (4.7) относительно (r ). Нас интересует только спадающее с ростом r решение. Окончательно получаем A = exp(- r ). (4.12) D r Величину А находим из условия, что при r 0 потенциал совпадает с потенциалом точечного заряда в вакууме.

Действительно, вокруг положительно заряженной примеси возникает облако избыточных электронов (вокруг отрицательно заряженной - дырок), которое экранирует поле примеси. Но приближаясь к примеси, мы оставляем это облако позади и чувствуем поле только самой примеси.

Следовательно A = q / 4, где q - заряд примеси, а q (r) = exp(- r). (4.13) D 40r Видно, что поле примеси спадает на расстоянии порядка rD от нее.

В невырожденном электронном газе (однокомпонентной плазме), который можно описывать в рамках классической физики, величину D можно найти с помощью распределения Больцмана для концентрации электронов -46- ( ne = ne0) exp(-W / T ), (4.14) ( где W = -e - потенциальная энергия электрона, а ne0) концентрация электронов в отсутствие возмущения. Тогда в случае W << T ( ( ne = ne - ne0) = ne0)e / T. (4.15) Отсюда ( e2ne0) =. (4.16) D T 4.2. Фриделевские осцилляции электронной плотности Предшествующее рассмотрение было проведено на основе локального приближения. Оно справедливо, если масштаб, на котором меняется электронная плотность, намного превосходит размер r0 той области вокруг заданной точки, значения потенциала в которой и определяют плотность электронов в этой точке. Но, к сожалению, в рассмотренных выше случаях r0 rD. Поэтому полученные формулы являются оценкой по порядку величины.

Мы не будем приводить здесь более полную теорию экранирования.

Укажем только на те отличия, которые возникают при последовательном учете нелокальности. Наряду с экспоненциально спадающей величиной / ne (ne ) возникает осциллирующая с расстояния добавка ne к ne. Длина волны осцилляций определяется экстремальным размером поверхности Ферми ke. В случае сферической поверхности Ферми ke= ~ 2kF. Соответствующая длина волны = =.

ke kF Вокруг примеси, которую мы расположим в начале координат, наряду с экспоненциально спадающей составляющей ne возникают фриделевские осцилляции электронной плотности -47- cos(2kF r ) / ne, (4.17) r которые спадают только степенным образом. На больших расстояниях от / примеси экспоненциальное слагаемое затухает и ne =ne. Именно это слагаемое обеспечивает, наряду с упругим взаимодействием, взаимное влияние примесей на больших расстояниях: вторая примесь чувствует изменение электронной плотности, созданное первой примесью в месте расположения второй.

В случае сложной поверхности Ферми длина волны осцилляций r зависит от направления, то есть от ориентации вектора r относительно кристаллографических осей.

4.3. Плазменные колебания Плазменные колебания - это коллективные колебания электронной плотности в кристалле. На фоне равновесной электронной концентрации возникает и распространяется волна r r r r ne(r,t) = Aeikr -i (k )t, (4.18) r где А - амплитуда волны, а (k ) - закон дисперсии плазменных волн.





Для того, чтобы оценить характерные частоты плазменных колебаний, рассмотрим следующий мысленный опыт: поместим пластину металла внутрь плоского конденсатора (рис.11). При этом все электроны сместятся относительно ионной решетки на расстояние х. На поверхности пластины возникнут заряды, они скомпенсируют действие внешнего поля.

Теперь мгновенно выключим внешнее поле (реально в эксперименте это нельзя сделать достаточно быстро). Тогда на электроны в толще металла ~ ~ будет действовать сила F = eE, где E = / ( - плотность x x ~ заряда на поверхности пластины). Величина равна ~ = enex, (4.19) поскольку при смещении электрона на расстояние х слой толщиной х на правой поверхности пластины оказывается вне ионной решетки, а на левой поверхности слой такой же ширины оказывается без электронов.

-48- Подставляя (4.19) в выражение для силы во втором законе Ньютона, получаем следующее уравнение d x e2ne m = - x. (4.20) dt Решением этого уравнения являются гармонические колебания на частоте ne (0) =. (4.21) m Следовательно, после отключения внешнего поля в пластине возникают r плазменные колебания с k = 0. Оценим порядок величины (0).

-Для ne 3 1028 получаем (0) 1016c-1. Конечно, отключить поле конденсатора за время, много меньшее времени затухания этих колебаний, невозможно. Поскольку h 10 >> T и тепловым образом плазменные колебания не возбуждаются, то экспериментально плазменные колебания создают, пропуская пучок электронов через тонкую металлическую пластину.

В области малых волновых векторов r (k) = (0)(1 + ak ), (4.22) где a vF / (0).

Следует отметить, что при величинах k порядка бриллюэновских плазменные колебания быстро затухают (время релаксации порядка периода колебаний).

4.4. Диэлектрическая проницаемость металла Существует два подхода к описанию электромагнитных явлений в металлах. В первом подходе свободные электроны в металле считают свободными зарядами и учитывают в уравнениях Максвелла, задавая плотность свободных зарядов и ток проводимости. При таком описании диэлектрическая проницаемость металла, входящая в уравнение, которое связывает электрическую индукцию с напряженностью поля, обусловлена поляризуемостью ионной решетки. Ее величина того же порядка, что и в диэлектриках, но измерить ее не удается, так как во все измеряемые -49- величины входит сумма тока проводимости и тока смещения, а на низких частотах ток проводимости на много порядков превосходит ток смещения, не позволяя измерить последний.

При втором подходе все заряды в металле считают связанными и учитывают их вклад в уравнениях Максвелла посредством вектора поляризации. В этом случае статическая однородная диэлектрическая проницаемость металла равна бесконечности (поле внутри металла ослабляется по сравнению с внешним полем в бесконечное число раз). Но в случае неоднородного или переменного электрического поля величина r конечна. Удобнее рассматривать величину (k,), которая показывает, во сколько раз ослабляется внутри металла соответствующая Фурьекомпонента напряженности электрического поля (или потенциала).

Рассмотрим вначале статический случай ( = 0). Определим r величину (k,0) на основе выражения, полученного для потенциала заряженной примеси (4.12). Фурье-преобразование зависимости потенциала точечного заряда от координат дает выражение r q (k ) =. (4.23) k Аналогичное преобразование зависимости (4.12) приводит к выражению r q (k ) =. (4.24) 2 (k + ) 0 D r r r Считая, что (k ) = (k ) / (k,0), получаем для диэлектрической проницаемости r (k,0) = 1 + / k. (4.25) D Поскольку формула (4.12) получена в локальном приближении, то выражение справедливо при k <<.

D r В области малых волновых векторов (k,0) кардинально зависит от k, что отличает металл от диэлектрика. Говорят, что в металле -50- существенна пространственная дисперсия (зависимость от k ). Легко r видеть, что (k,0).

k Теперь рассмотрим случай k = 0, 0. При этом на электроны действует однородное переменное поле, частоты, направленное вдоль оси х. Напишем второй закон Ньютона для электрона dxm = -eE = -eE0e-it. (4.26) dt Частное решение этого дифференциального уравнения имеет вид eE x =. (4.27) m Но смещение электронов на величину х приводит к возникновению поляризованности e2ne P = -enex = - E. (4.28) m Поскольку P = E, где - диэлектрическая восприимчивость металла, а = 1 +, то для получаем e2ne (0) (0,) = 1 - = 1 -. (4.29) 2 m Формула (4.29) хорошо описывает диэлектрическую проницаемость металла в области частот << (0). В области высоких частот надо учитывать наличие зонной структуры металла и возможность резонансных переходов между зонами.

Таким образом, в области низких частот существенна частотная дисперсия (зависимость от ). При 0 (0,) -.

А как быть, если и k, и отличны от нуля. В области vF k >> (vF - фермиевская скорость электронов) справедлива формула (4.25), а -51- приvF k << - формула (4.29). При kvF действительная часть обращается в ноль. Однако в этой области значений k велика мнимая часть и при k 0, 0 при любом соотношении между k и.

4.5. Скин-эффект Рассмотрим проникновение электромагнитной волны в металл.

Поскольку в электромагнитной волне = kc, то vF k << и главную роль играет частотная зависимость электрического поля волны.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.