WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

rr rr eik1 + eik 2 = eikxa + e-ikxa = 2 coskxa, и так далее. Окончательно для закона дисперсии в простой кубической решетке с учетом полученных выражений имеем:

r (k ) = + 2~(coskxa + coskya + coskza). (2.40) t ~ Как правило, величина t < 0, поэтому минимальная энергия (дно зоны) r соответствует точке k = 0 (центру зоны Бриллюэна) и равна + 6~, а t максимальная (потолок зоны) - точкам kx = ±ky = ±kz = ± / a (углам зоны Бриллюэна) и равна - 6~. Ширина зоны равна 12~ или t t ~ 2zt, где z - число ближайших соседей.

б) Объемноцентрированная кубическая решетка r a a a ±,±,± Здесь у атома восемь ближайших соседей с = 2 2 (знаки выбираются независимо). Попарно группируя слагаемые в (2.39), находим закон дисперсии:

r kya kza k a x (k ) = + 8~ cos cos cos..(2.41) t ~ При t < 0 дно зоны также расположено в центре зоны Бриллюэна и r ~ = + 8t, а потолок зоны - при k = 00 и в эквивалентных, min a r ~ ~t данному k точках, = - 8t. Ширина зоны равна 2zt = 16~.

max в) Гранецентрированная кубическая решетка.

В этой решетке у атома 12 ближайших соседей с r r a a a ar a a ±,0,± ±,±,0.

1- 4 = 0,±,±, = и = 5-8 9- 2 2 2 2 2 Закон дисперсии имеет вид -28- r kya kza kxa kxa (k ) = + 4~(cos cos + cos cos + t 22 kya kza + cos cos ). (2.42) ~ При t < 0 его минимум также расположен в центре зоны Бриллюэна, и ~ ~ = + 12t. Однако < - 12t, так как ни при каких min 0 max kx, ky, kz выражение в квадратных скобках в (2.42) не станет равным -3.

~ Поэтому ширина зоны меньше 2zt. Нахождение величины и max r значений k, в которых закон дисперсии достигает этого значения, предоставляем читателю в качестве упражнения.

2.5. Численные методы Обсудим теперь применимость изложенных выше методов расчета к реальным кристаллам. Приближение почти свободных электронов лучше всего подходит для качественного описания внешних s и p электронных оболочек атомов, образующих кристалл. Приближение сильной связи используют для рассмотрения d-оболочек. Однако в обоих случаях параметры, которые в рамках модели считают малыми, в действительности не так уж малы. Поэтому указанные приближения нельзя использовать для количественного описания реальных кристаллов.

Количественное описание требует проведения более сложных расчетов, но это возможно только численными методами. Ниже мы приводим несколько наиболее распространенных схем вычислений.

1.Метод ортогонализованных плоских волн (ОПВ) В этом методе в качестве пробных волновых функций коллективизированных электронов используется линейная комбинация плоских волн и блоховских функций типа (2.29), полученных в приближении сильной связи. Последние отвечают уровням энергии электрона, лежащим ниже максимума кристаллического потенциала (потенциала ионной решетки) (рис.5а). Коэффициенты перед этими функциями в линейной комбинации находятся из условия ортогональности пробных -функций и -функций, отвечающих этим уровням.

Отсюда и название ОПВ.

Дальнейшие вычисления проводятся так же, как в случае почти свободных электронов.

-29- V V x x б a Рис.5.

2. Присоединенные плоские волны Вводится в рассмотрение МТ (muffin tin) потенциал, в котором сглаживют максимумы кристаллического потенциала и считают его вдали от ядер постоянным по величине (рис.5б). В этой области пространства решениями уравнения Шредингера являются комбинации плоских волн, как и в случае приближения почти свободных электронов.

Вблизи ядер выделяют сферу (МТ-сферу), внутри которой потенциал выбирают центрально-симметричным. В МТ-сфере волновые функции являются комбинациями решений уравнения Шредингера с центральносимметричным потенциалом. Неизвестные коэффициенты в этих линейных комбинациях находятся из условия непрерывности -функции и ее нормальной производной на МТ-сфере. Закон дисперсии находится затем, как и в случае приближения почти свободных электронов, из условия существования нетривиального решения.

Изложение сути более сложных методов: метода псевдопотенциала или метода функций Грина (Корринги, Кона, Ростокера) слишком громоздко и выходит за рамки данного курса.

2.6. Кулоновское взаимодействие между электронами До сих пор мы не учитывали кулоновское взаимодействие между электронами. Такое приближение справедливо, если потенциальная энергия взаимодействия между электронами на характерных расстояниях намного меньше их кинетической энергии. В этом случае можно уточнить модель, учитывая влияние кулоновского взаимодействия в рамках теории возмущений.

-30- Поскольку теплоемкость и восприимчивость электронной подсистемы, а также величина кинетических коэффициентов металла определяется электронными состояниями, лежащими вблизи поверхности Ферми, то характерная кинетическая энергия электронов имеет порядок и дается формулой (1.10).

F Среднее расстояние между электронами можно оценить как -1/ ne 3. Действительно, на каждый электрон в кристалле приходится объем -ne. Если представить, что электрон - это классическая частица, расположенная в центре куба с таким объемом, то получим искомое выражение.

Потенциальная энергия взаимодействия двух электронов на таком расстоянии равна e2 e2n1/ V ==. (2.43) 4 r 0 Отношение V me-1/ == ne 3 (2.44) 2 2 (3 )2/ 3h2ne/ F тем меньше, чем больше концентрация электронов.

Теория возмущений справедлива при << 1, то есть при больших плотностях электронов. Поэтому случай << 1 называют приближением большой плотности. К сожалению, для реальных металлов 2 < < 10. Поэтому пренебрегать кулоновским взаимодействием мы не имеем права. Но найти пси-функцию огромного числа взаимодействующих электронов путем точного решения уравнения Шредингера представляется невозможным, а приближенные методы, дающие хороший результат в области << 1, не применимы при 1.



Следовательно, проблема корректного учета кулоновского взаимодействия при расчете зонной структуры остается открытой. Чтобы учесть корреляцию и обменное взаимодействие между электронами, порождаемые их кулоновским взаимодействием друг с другом, используют феноменологические выражения, достоверные в области << 1 и приводящие к хорошему согласию между результатами расчета и экспериментальными данными для реальных значений.

-31- 2.7. Поверхность Ферми После того, как путем расчета находят зависимость энергии одноэлектронного состояния от волнового вектора (или импульса) в системе взаимодействующих частиц, заполняют эти состояния, начиная с наинизшего по энергии. В результате получают границу между заполненными и незаполненными состояниями - поверхность Ферми.

Вид поверхности Ферми для конкретного металла или металлического соединения находится, как было сказано в предыдущем параграфе, с учетом взаимодействия электронов друг с другом. В противном случае результаты расчета кардинальным образом отличались бы от действительности.

Введем классификацию возникающих поверхностей Ферми, справедливую для любых изоэнергетических поверхностей. Для этого периодически продолжим поверхность Ферми, возникающую в какой-либо электронной зоне, из первой зоны Бриллюэна на все обратное пространство.

Поверхность Ферми называется закрытой, если из заданной точки поверхности мы можем сместиться, двигаясь по ней, только на конечное r расстояние в k -пространстве. Пример такой поверхности, состоящей из периодически расположенных эллипсоидов, приведен на рис.6а.

Поверхность Ферми называется открытой, если по ней можно сместиться из заданной точки на сколь угодно большое расстояние хотя бы в одном направлении. Открытая поверхность Ферми типа «гофрированный цилиндр» изображена на рис.6б.

б а Рис.6.

-32- Кроме этого введем понятия об электронной и дырочной поверхностях Ферми. Если при Т=0 заполненные электронные состояния находятся внутри поверхности, а незаполненные - снаружи, то такую поверхность называют электронной. В этом случае направление групповой r r r r скорости электрона v = ( p ), где p - квазиимпульс p r электрона, а ( p) - его закон дисперсии, совпадает с направлением внешней нормали к поверхности Ферми.

Если же заполненные состояния расположены снаружи от поверхности, а незаполненные - внутри, то такую поверхность называют дырочной. В этом случае групповая скорость электронов антипараллельна направлению внешней нормали к поверхности. Термин «дырочная» возник потому, что отсутствие электронов внутри поверхности можно представить как наличие положительно заряженных частиц - дырок с зарядом +е внутри этой поверхности на фоне полностью заполненной электронной зоны.

2.8. Квазичастицы в Ферми-жидкости В предыдущем параграфе мы описали процедуру получения основного состояния в системе взаимодействующих частиц. Как было показано в первой части пособия, слабовозбужденные состояния системы удобно описывать на языке квазичастиц, то есть представить отличие этого состояния от основного путем введения слабонеидеального газа элементарных возбуждений.

Введем такие возбуждения - квазичастицы для электронной подсистемы, предполагая, что они в системе взаимодействующих частиц такие же, как и в идеальном Ферми-газе с той же поверхностью Ферми.

Вообще говоря, это не так. Но для корректного описания возбуждений в реальном металле необходимо решить проблему учета сильного кулоновского взаимодействия между электронами.

Возбуждения в идеальной Ферми-системе бывает двух видов.

Электронным возбуждением или просто электроном называют электрон, r находящийся в состоянии с энергией (k) >. Энергия такого F возбуждения e равна r e = (k ) -. (2.45) F Действительно, переводя этот электрон из данного состояния в незанятое состояние с наименьшей энергией, то есть с энергией равной, мы F -33- получаем основное состояние и понижаем энергию системы на величину e. Заряд, спин и импульс такого возбуждения совпадают с таковыми у электрона.

Отметим, что для человека, начинающего изучать физику твердого тела, употребление термина «электрон» для обозначения как реальной частицы, присутствующей в кристалле, так и возбуждения, создает дополнительные трудности. Но такова установившаяся терминология.

Дырочным возбуждением или просто дыркой называется отсутствие r электрона в состоянии с энергией (k ) <. Энергия дырочного F возбуждения h равна r h = - (k ). (2.46) F В самом деле, переводя электрон из заполненного состояния с наибольшей r энергией, равной, в незаполненное состояние с энергией (k ), мы F получаем основное состояние, понижая при этом энергию системы на h.

Заряд, спин и импульс дырки противоположны заряду, спину и импульсу отсутствующего электрона.

В основном состоянии системы квазичастицы отсутствуют. При возбуждении системы, например, светом или теплом возбуждения рождаются парами: возникают одновременно и электрон, и дырка (в соответствии с законом сохранения заряда). Говорят, что рождается электрон-дырочная пара (пары). Можно обобщить выражение (2.45) и (2.46), введя единую форму для энергии возбуждений:

r = (k ) -. (2.47) F В случае изотропной поверхности Ферми она принимает вид = vF p - pF, (2.48) где vF и pF - скорость и импульс электрона на поверхности Ферми.





Вид закона дисперсии возбуждений электронной системы изображен на рис.7. Закон дисперсии при p < pF называют дырочной ветвью спектра, а при p > pF - электронной. Легко видеть, что групповая скорость дырки противоположна таковой для электрона с тем же значением импульса.

-34- pF p Рис.7. Закон дисперсии квазичастиц в Ферми-жидкости Квазичастицы являются слабовзаимодействующими, если длина их свободного пробега намного больше их волны де Бройля. Как будет показано в дальнейшем, это условие выполнено, если <<, то есть F система слабо возбуждена.

Глава 3. Металлы в магнитном поле 3.1. Квазиклассическое приближение Для начала рассмотрим поведение электрона в постоянном магнитном поле, считая его классической частицей. Свободный электрон, как известно, совершает движение по спирали. Однако в кристалле, с учетом взаимодействия электрона с периодическим ионным потенциалом, его движение происходит по существенно более сложной траектории.

r Уравнение движения электрона с волновым вектором k имеет вид r r dk r h = q B. (3.1) [v, ] dt r r где q и v - заряд и групповая скорость электрона, а B - индукция действующего на электрон магнитного поля.

-35- Поскольку сила Лоренца перпендикулярна магнитной индукции, r r составляющая k|| вектора k, параллельная B, в процессе движения не изменятся. Кроме того, сила Лоренца не совершает работы, и энергия электрона остается постоянной. Поэтому изобразительная точка, задающая r состояние электрона в k -пространстве, под действием силы Лоренца перемещается по изоэнергетической поверхности. Причем ее траектория, в силу условия k|| = const, будет представлять собой линию пересечения этой поверхности и плоскости, проходящей через начальное положение изобразительной точки и перпендикулярной направлению магнитной индукции.

Обозначим через v составляющую скорости электрона, r перпендикулярную B. Тогда r r q B = evB. (3.2) [v, ] С учетом (3.2) получим из (3.1):

dk evB =, (3.3) dt h где модуль изменения волнового вектора dk представляет собой элементарный участок траектории изобразительной точки.

Ограничимся случаем, когда эта траектория представляет собой замкнутую кривую (рис.8).

v B dk Рис.8.

-36- Найдем период Т обращения изобразительной точки по этому контуру. В реальном пространстве за это время электрон проходит один виток модифицированной спирали. Величина Т равна hdk T =, (3.4) evB где интегрирование происходит по траектории изобразительной точки. Для свободного электрона период обращения равен 2me T =. (3.5) eB По аналогии с (3.5) можно ввести понятие «циклотронной массы» m h dk m =. (3.6) 2 v Величины m, а следовательно, и Т зависят, вообще говоря, от сечения изоэнергетической поверхности. Одинаковы они для всех параллельных сечений только в случае эллипсоидальной изоэнергетической поверхности.

3.2. Квантовое описание Решение уравнения Шредингера для свободного электрона в постоянном однородном магнитном поле, направленном параллельно оси z, дает следующие собственные значения энергии h2kz =+ h (n + ), (3.7) c 2me где n - целое неотрицательное число, а -37- eB =. (3.8) c me Если в отсутствие магнитного поля электронные состояния были расположены равномерно в плоскости kx, ky, то теперь энергия поперечного движения квантуется, то есть h2k (n) == h (n + ), (3.9) c 2me а kz изменяется непрерывным образом. Таким образом, в магнитном поле все электронные состояния расположены на семействе коаксиальных ( цилиндров с осью kz и радиусами kn), задаваемыми уравнением (3.9).

Эти цилиндры называются уровнями Ландау.

На n-ом уровне Ландау располагаются те состояния, для которых энергия поперечного движения в отсутствие магнитного поля лежала в интервале h n < < h (n + 1), (3.10) c c откуда 2eBn 2eB(n + 1) < k <. (3.11) hh На интервал импульсов (kz,kz + dkz ) на каждом уровне Ландау приходится число состояний dN, равное 2V 2eB(n + 1) 2eBn 2VeB dN = dkz - = dkz.

hh (2)3 (2)2 h (3.12) Здесь множитель двойка связан с наличием двух возможных проекций спина. Соответствующая плотность состояний на каждом уровне Ландау равна -38- dkz eB n() =, (3.13) d h где зависимость kz от дается формулой (3.7). Легко видеть, что n не зависит от номера уровня.

Вычисляя производную d kz / d, получаем 0, < (n) n() =. (3.14) eB m (h) 2( - (n) ), > (n) (n) Обсудим получившийся результат. При =, то есть когда происходит касание какого-либо цилиндра - уровня Ландау и изоэнергетической поверхности с данным, плотность состояний испытывает разрыв второго рода. Вклад остальных уровней Ландау в общую плотность состояний () = n() не имеет особенностей n при этом. Вид функции () изображен на рис.9.

(n-1) (n-1) (n) (n+1) Рис.9. График зависимости плотности электронных состояний от энергии в магнитном поле 3.3. Диамагнетизм Ландау Под действием магнитного поля электроны двигаются по спиральным траекториям. При этом возникает добавочное магнитное поле, -39- направленное навстречу внешнему. Этот диамагнетизм электронов проводимости носит название диамагнетизма Ландау в честь выдающегося советского физика.

Диамагнетизм Ландау - чисто квантовый эффект. В рамках классического описания вклад орбитального движения электронов проводимости в магнитный момент образца равен нулю. При этом вклад электронов, находящихся внутри образца компенсируется вкладом электронов, движущихся вблизи поверхности тела.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.