WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) А.И.Морозов ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Электроны Учебное пособие Москва 1999 -2- В данном учебном пособии рассмотрены свойства свободного электронного газа и поведение электронов в периодическом потенциале кристаллической решетки, а также поведение металлов в магнитном поле.

Изучены процессы экранирования в металле. На основе кинетического уравнения Больцмана исследованы кинетические явления в металлах.

Пособие предназначено для студентов специальности 200400 дневной формы обучения.

-3- Введение В предшествующем учебном пособии «Физика твердого тела.

Фононы» была рассмотрена динамика кристаллической решетки, введено понятие квазичастиц в твердом теле и на основе кинетического уравнения Больцмана рассмотрены кинетические явления в диэлектриках. Данное учебное пособие является продолжением первого. В нем изложена теория электронного ферми-газа и зонная теория твердых тел на основе приближения почти свободных электронов и приближения сильной связи.

Кроме того рассмотрена проблема экранирования кулоновского взаимодействия в металлах, их поведение в магнитном поле и исследована электропроводность и теплопроводность металлов.

Глава 1. Электронный газ.

1.1. Модель желе Приступим к изучению свойств электронов в кристаллической решетке. Напомним, что при изучении динамики решетки мы исходили из адиабатического приближения, то есть считали, что распределение электронной плотности соответствует минимуму энергии кристалла при заданных положениях ядер составляющих его атомов или ионов.

В данной главе будем пренебрегать кулоновским взаимодействием электронов друг с другом. Для начала рассмотрим модель желе. Согласно этой модели положительный заряд ионных остовов, представляющих собой ядра атомов и электроны внутренних заполненных оболочек, предполагается размазанным по объему кристалла с одинаковой плотностью. Такой положительный фон обеспечивает электронейтральность кристалла, не нарушая его однородности даже на микроуровне. Для электронов внешних незаполненных оболочек кристалл представляет в модели желе трехмерную потенциальную яму.

Состояния электрона в этой яме характеризуются волновым r вектором k и описываются волнами де-Бройля:

r r t = c exp(ikr - i ), (1.1) h r где - энергия электрона, r и t - координата и время, h - постоянная Планка. Аналогично случаю упругих волн используем периодические граничные условия для волн де-Бройля. В результате получим -4- разрешенные значения волновых векторов. В случае кристалла в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами L, L и L x y z 2 2 kx = m; ky = n; kz = p, (1.2) L L L x y z где m, n, p - целые числа.

Электроны являются ферми-частицами со спином 1/2 (в единицах h ). В отсутствие внешнего магнитного поля и магнитного упорядочения r состояние электронов с заданным k оказывается двукратно вырожденным по величине проекции спина на выделенную ось z: sz = ±1 / 2. Число r состояний dN, приходящихся на объем d k в пространстве волновых векторов равно r Vd k dN = (2s + 1), (1.3) k (2)где V - объем кристалла.

r r Если перейти от волнового вектора к импульсу электрона p = hk, r то для числа состояний в объеме d p в пространстве импульсов получим r Vd p r dN = (2s + 1). (1.4) p (2h)Поскольку энергия свободного электрона = p2 / 2m, где m - его масса, то после замены переменной p = (2m)1/ 2 в (1.4) получаем число электронных состояний в интервале энергий от до + d.

V (2m3)1/ 2d dN = (1.5) h3, здесь учтено, что 2s + 1 = 2.

Ведем аналогично случаю фононов, понятие плотности электронных состояний () :

-5- dN 1 (2m3)1/ () ==. (1.6) V d hОна представляет собой число электронных состояний, приходящееся на единичный интервал энергий в кристалле единичного объема.

Рассмотрим теперь, как заполнены электронные состояния при Т=0.

Для ферми-частиц справедлив принцип Паули, который гласит: в данном состоянии, задаваемым полным набором квантовых чисел, может находиться не более одной частицы.

При температуре, равной нулю, система находится в основном состоянии, то есть в состоянии с наименьшей энергией. Есть простейший рецепт получения этого состояния: будем последовательно заполнять электронами состояния, начиная с состояния с наименьшей энергией.

Поскольку энергия электрона монотонно возрастает с величиной волнового вектора (импульса), то к моменту, когда электроны иссякнут, r окажутся заполненными все состояния с волновым вектором k kF, где величину kF называют фермиевским волновым вектором электронов, а соответствующую величину импульса pF = hkF - фермиевским импульсом. В пространстве волновых векторов окажутся заполненными все состояния внутри сферы радиусом kF, называемой сферой Ферми.

Граничная энергия, разделяющая заполненные и пустые состояния, называется энергией Ферми:

2 h2kF pF ==. (1.7) F 2m 2m Найдем связь этой энергии с концентрацией свободных электронов в кристалле ne.

Число состояний с энергией в единице объема равно F F ()d.

Поскольку оно равно концентрации электронов ne, то (2m3)1/ 2 F 1/ d = ne, (1.8) hоткуда -6- (2m )3/ 2 F = 3 ne (1.9) hи h2 2 2/ = (3 ne). (1.10) F 2m Характерное значение ne в металле равно 3 1028 м-3, и из (1.10) получаем оценку для величины : ~3 эВ.

F F Эта энергия намного превосходит тепловую энергию Т по всей области существования кристаллического состояния (вплоть до температуры плавления Т0~0,01 эВ). Поэтому электронный газ в металле называют сильно вырожденным. Характерные значения kF, pF и фермиевской скорости электронов vF = pF / m равны, соответственно kF = (3 ne)1/ 3 1010 м-1, pF = hkF 10-24 кг м/с, vF = pF / m 106 м/с.



Найдем связь между плотностью электронных состояний на поверхности Ферми ( ) и величинами и ne F F (2m3 )1/ 3 3ne F ( ) == (1.11).

F hF 1.2. Теплоемкость электронного газа При температуре Т 0 распределение электронов по состояниям описывается распределением Ферми-Дирака. Вероятность F0() заполнения состояния с энергией равна F0() =, (1.12) - µ exp( ) + T -7- где µ(T ) - химический потенциал электронов. Зависимость µ от температуры находится из условия нормировки. Действительно, величина ()d - число состояний с энергией в интервале (, + d) в единице объема кристалла, а dne = F0()()d - число электронов в данном интервале энергий. Интегрируя по всем значениям энергии, получим полное число электронов в единице объема:

ne = F0()()d. (1.13) Выражение (1.13) представляет собой условие нормировки, определяющее неявную зависимость µ(T ). При T 1, < µ, F0() =. (1.14) 0, > µ Следовательно, µ(T = 0) =. Характерная зависимость F0() F приведена на рис.1. Легко видеть, что при T << происходит слабое F размытие ферми-ступеньки на ширину порядка Т, то есть электроны из состояний, лежащих ниже, возбуждаются в состояния с энергией, F превосходящей.

F F T=T Рис.1. Распределение Ферми-Дирака -8- Доля электронов, повышающих свою энергию, составляет по порядку величины T /. Каждый из них увеличивает свою энергию на F величину порядка Т. Потому увеличение энергии единицы объема E порядка T neTE T ne. (1.15) F F Исходя из этой формулы, оценим величину теплоемкости единицы объема электронного газа E Tne CV =, (1.16) V T F и удельную теплоемкость Tne cV = CV /, (1.17) F где - плотность вещества кристалла.

Удельная теплоемкость классического одноатомного газа с той же концентрацией частиц равна c = 3ne / 2.

Таким образом, рассчитанная в рамках квантовой теории теплоемкость электронного газа по порядку величины оказывается в T / раз меньше предсказанной классической физикой.

F Если предположить, что на каждый атом металла приходится один свободный электрон, то теплоемкость металла в расчете на один атом в области температур T >> ( - температура Дебая), согласно D D предсказаниям классической теории, должна была бы в полтора раза превосходить соответствующее значение для диэлектрика.

Однако ничего подобного в эксперименте не наблюдается. Именно это послужило одним из аргументов в пользу необходимости описания электронного газа на языке квантовой физики.

-9- Формула (1.16) дает только оценку по порядку величины для электронного вклада в теплоемкость кристалла. Для получения численного коэффициента потребуются существенно более громоздкие математические выкладки. При их проведении мы не будем использовать конкретный вид закона дисперсии электронов, поэтому полученные результаты будут справедливы не только в модели желе.

Рассмотрим вначале способ вычислений интегралов вида I = g()F0()d, (1.18) где g() - степенная функция, которая вблизи = существенно F изменяется на характерных масштабах порядка >> T.

F Пусть G() - первообразная функции g() G() = g(x)dx. (1.19) Возьмем интеграл (1.18) по частям I = F0()dG() =G()F0() - (1.20) G()dF ().

0 Первое слагаемое в (1.20) обращается в нуль, так как при = 0 G = 0, а при экспоненциальное убывание F () является определяющим. Окончательно F d.

I = G() (1.21) - F Величина отлична от нуля в интервале шириной порядка Т - вблизи µ и экспоненциально убывает за пределами этой области. Поэтому функцию G() можно разложить в ряд Тейлора вблизи точки = µ, а область интегрирования по переменной z = - µ расширить от (-µ, ) до (-, ). Тогда -10- G() = G(µ) + G' (µ)( - µ) + G' ' (µ)( - µ) +..., (1.22) Fdz + I = G(µ) F0(0) - F0() + G' (µ) z[] z 1 F dz+....

+ G' ' (µ) z (1.23) - 2 z FПоскольку является четной функцией z, то второе слагаемое в z (1.23) равно нулю (подынтегральное выражение нечетно). Интеграл в третьем слагаемом не зависит от функции g и обезразмеривается заменой ~ z = z / T. После этого он берется с помощью вычетов. В итоге получаем I = G(µ) + G' ' (µ)T. (1.24) Опущенные слагаемые имеют дополнительную малость (T / ). Но F сама величина химпотенциала µ тоже является функцией температуры, причем при T << отличие µ от также содержит малость порядка F F (T / ). Поэтому необходимо учесть отличие µ от в первом F F слагаемом в (1.24) и пренебречь этим отличием во втором слагаемом (учет этого отличия явился бы превышением точности).

Разложим величину G(µ) вблизи значения µ = с точностью до F линейных слагаемых G(µ) = G( ) + g( )(µ - ). (1.25) F F F Окончательно имеем I = G( ) + g( )(µ - ) + g' ( )T. (1.26) FF F F Для нахождения зависимости µ(T ) рассмотрим соотношение (1.13).

В данном интеграле в качестве g() выступает плотность состояний (), а величина G( ) равна F -11- F G( ) = ()d = ne. (1.27) F Подставляя (1.27) в (1.26) и учитывая, что в данном случае I = ne, находим ' ( ) F µ - = - T. (1.28) F 6 ( ) F Теперь, пользуясь выражениями (1.26) и (1.28), вычислим полную энергию электронов E = ()F0()d. (1.29) Здесь g() = (), F ' ( ) F -T + E = ()d + ( ) F F 6 ( ) 0 F 2 2 + ( ) + ' ( ) T = E0 + ( )T, (1.30) ( ) FF F F где Е0 - энергия основного состояния электронной системы.





Дифференцируя выражение (1.30), получаем электронную теплоемкость единицы объема:

CV = ( )T. (1.31) F В области температур >> T >> теплоемкость электронной F D системы уступает фононной теплоемкости, однако в области низких температур она может стать определяющей, так как при T << D фононная теплоемкость пропорциональна Т3 и убывает с понижением температуры быстрее, чем электронная. Полная теплоемкость кристалла, измеряемая в эксперименте Сэкс, представляет собой сумму электронного и фононного вкладов. Для их разделения экспериментальные данные представляют в виде графика у(х), где у=Сэкс/Т, а х=Т2. Получающаяся -12- 1.3. Парамагнитная восприимчивость электронного газа Рассмотрим магнитную восприимчивость электронного газа, обусловленную спиновыми магнитными моментами электронов. Вклад их орбитального движения в магнитную восприимчивость будет учтен позднее.

Наличие у электрона собственного механического момента (спина) сопряжено с наличием у него собственного магнитного момента. В силу того, что электрон заряжен отрицательно, магнитный момент направлен антипараллельно спину, а его величина равна магнетону Бора eh µB == 927 10-24 Дж/Тл. Проекция магнитного момента Мz, 2me на выделенную ось z может принимать значения ±µ.

B Поместим электронный газ в однородное магнитное поле, параллельное оси z выбранной системы координат. Взаимодействие магнитного момента с полем приведет к возникновению добавки к потенциальной энергии, равной - M B, где В - индукция магнитного z поля. Энергия электронов с магнитным моментом, параллельным полю, уменьшится, а с антипараллельным полю - увеличится, что, в свою очередь, приведет к снятию вырождения по спину электронных состояний.

Вид возникших законов дисперсии электронов приведен на рис.2.

k Рис.-13- Для всех реально достижимых в земных условиях величин постоянных магнитных полей µB B << Это позволяет легко F.

подсчитать число ранее незаполненных электронных состояний с M = +µB, энергия которых после приложения поля оказалась ниже z.

F ( ) F dne = µ B, (1.32) B где множитель возник из-за того, что мы рассматриваем плотность электронных состояний для одной проекции спина.

Точно такое же число заполненных электронных состояний с M = -µB после включения поля имеет энергию, превосходящую.

z F Поэтому энергетически выгодно, чтобы электроны, находящиеся в этих состояниях, изменили свой магнитный момент на противоположный и перешли в незаполненные состояния, лежащие ниже. После этого все F состояния с < окажутся заполненными, а состояния с > - F F пустыми.

В отсутствие магнитного поля магнитный момент системы равен нулю. Поэтому при включении поля после того как dne электронов в единице объема изменят свой магнитный момент с - µ на +µ, то есть B B на 2 µ, возникает намагниченность I, равная B I = 2µ dne = µ ( )B = µ µ ( )H, (1.33) B B F B 0 F где H - величина напряженности приложенного магнитного поля. Но, как известно, I = H, где - магнитная восприимчивость системы.

Следовательно, парамагнитная восприимчивость электронного газа (названная по имени физика В. Паули) равна = µ µ ( ). (1.34) P B 0 F Мы рассчитали ее величину при температуре T, равной нулю. Но при T<< она практически не зависит от T. Восприимчивость классического F -14- газа частиц, обладающих таким же магнитным моментом µ, при той же B концентрации частиц ne описывается законом Кюри и равна µ µ ne B =. (1.35) K 3T Легко видеть, что данное выражение расходится при T 0.

Классическая физика предсказывала рост магнитной восприимчивости металлов при понижении температуры, что противоречило экспериментальным результатам. Именно это, наряду с экспериментами по теплоемкости металлов, послужило толчком к созданию квантовой теории металлов.

Отношение / с учетом (1.11) равно P K 9 T P =<< 1.

KF Глава 2. Электрон в кристаллической решетке 2.1. Теорема Блоха Настала пора выйти за рамки модели «желе» и учесть периодический потенциал, создаваемый ионной решеткой. Но мы, по-прежнему, не будем учитывать кулоновское взаимодействие электронов друг с другом. В этом случае мы можем ограничиваться решением одноэлектронной задачи, то есть решать уравнение Шредингера для одного электрона в периодическом r потенциале ионной решетки V (r ) h2 r - + V (r ) = E. (2.1) 2me r В силу периодичности V (r ) в идеальном кристалле для любого r вектора трансляции T r r r V (r + T ) = V (r ). (2.2) -15- Поскольку в идеальном бесконечном кристалле все физические величины остаются неизменным при смещении на вектор трансляции, то этим свойством должна обладать и плотность вероятности нахождения электрона в данной точке:

r r r (r + T ) = (r ). (2.3) Другими словами, модуль -функции остается неизменным при трансляции, но сама -функция может изменить фазу:

r r r r (r + T ) = ei(T ) (r ). (2.4) r Здесь (T ) - некоторая скалярная безразмерная величина.

r r Совершим последовательно две трансляции T1 и T. Тогда r r r r r r (r + T1 + T ) = ei(T1) (r + T2) = r r r = ei[ (T1) + (T2)] (r ). (2.5) r r r Но поскольку вектор T = T1 + T также является вектором трансляции, то r r r r (r + T ) = ei(T ) (r ). (2.6) Сравнивая (2.5) и (2.6), получаем r r r r (T1 + T ) = (T1) + (T ). (2.7) 2 r Поэтому в силу однозначности -функции зависимость (T ) должна быть линейной по величине трансляции. Таким свойством обладает r скалярное произведение некоторого фиксированного волнового вектора k r на вектор T.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.