WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Подлежит возврату № 0164 ИНФОРМАТИКА НАЧАЛЬНАЯ ПРАКТИКА РАБОТЫ С MATHCAD РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ Для студентов специальностей 072000, 190400, 190700, 200100, 200300 МОСКВА 2001 Составители: В.К. Григорьев, Е.Ф. Певцов, К.Е. Русанов Редактор Е.Ф. Певцов Учебно-методические указания для выполнения лабораторных работ по предмету «Информатика», обучение которому проводится по специальностям 072000, 190400, 190700, 200100, 200300 факультета «Электроника» в I-ом и II-ом семестрах. В ходе выполнения лабораторных работ студенты осваивают основные навыки работы с программой MathCad, а также обучаются ее применению для решения конкретных математических задач, соответствующих программе по математическому анализу I-го и II-го семестров.

Печатаются по решению редакционно-издательского совета Московского Государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета) Рецензенты: В.В. Дрожжев, Л.В. Спиридонова © Московский Государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет), 2001 Литературный редактор О.В. Волкова Изд. лицензия № 020456 от 04.03.97 Подписано в печать 07.09.2001. Формат 60х84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл.печ.л. 1,86. Усл.кр. – отт.7,44. Уч. – изд.л. 2,0.

Тираж 300 экз. Заказ 621. Бесплатно.

Московский Государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) 117454, Москва, просп. Вернадского,78 -3Цель работы: Знакомство с возможностями программы для научно-технических расчетов MathCad и основными приемами работы с ней. Приобретение навыков работы с программой MathCad на примерах решения систем линейных уравнений, построения графиков функций, изображений поверхностей, определения корней уравнений, символьных вычислений, статистической обработки данных, вычислений интегралов, производных и других математических операций.

1. НАЧАЛЬНАЯ ПРАКТИКА РАБОТЫ С MATHCAD Следуя приведенному ниже тексту, выполните практические упражнения по математическим вычислениям в программе MathCad.

В MathCad используется привычный способ математической записи. Методика работы во многом сходна с правилами набора формул в Microsoft Equation, а также с панелью инструментов «Рисование» Word. Визир в виде красного перекрестия показывает точку ввода. Выражение, с которым Вы работаете, обведено рамкой. Чтобы ввести или отредактировать введенные символы, следует щелкнуть левой кнопкой мыши в набранном ранее выражении и нажимать клавиши, или, или пробел до тех пор, пока рамка не окружит все выражение, затем можно удалить (вырезать) все выражение, поместить его в буфер обмена, скопировать и т.п. Каждое математическое выражение или фрагмент текста являются областями. Рабочий документ MathCad есть совокупность таких областей. Можно сделать их видимыми, если выбрать пункт меню «Вид» «Границы».

После набора знака = будет выведен результат. Видно, что вычисления проводятся в порядке записи слева направо и затем сверху вниз.

1.1. Простые вычисления Пример1. 1. (см. рис. 2): Напечатайте 15-8/104.и получите результат этого вычисления.

Главное меню Математика Стандартная Форматирование Палитры Рис. 1. Вид рабочего окна программы MathCad -5- 1.2. Определение переменных Синтаксис:

Имя:= Выражение Допустимы любые имена, написанные латинским алфавитом, однако они не должны начинаться с цифры, знаков «_», «‘»,«%».

Гарнитура шрифта участвует в идентификации имени. Допустимо определение одной переменной через другие.

Для определения переменной следует:

1. Напечатать имя переменной, которую нужно определить.

2. Ввести символ определения «:=». Это один символ, и его можно набрать, нажав клавишу «:» на латинском алфавите.

3. Напечатать значение, присваиваемое переменной.

Пример1. 2. : Введите символы t:, при этом MathCad сопроводит двоеточие символом присваивания «:=» (можно воспользоваться также панелью инструментов «Вычисления») и напечатайте значение 10 в пустом поле, чтобы завершить определение (t:=10).

Теперь везде ниже и правее места, где определена переменная t, ее можно использовать в вычислениях.

Присваивание переменной значения с помощью оператора «:=» называется локальным присваиванием. До этого оператора переменная не определена и ее применение в каком-либо математическом выражении ошибочно. С помощью оператора глобального присваивания « » можно распространить область использования переменной на весь документ. В этом случае переменную можно применять в выражениях, записанных по тексту выше того места, где она определена.

Для ввода текста следует выбрать в меню «Вставка» «Текстовая область», или набрать латинские кавычки. Атрибуты надписи можно изменять примерно также, как в Excel. Для примера напишите текст комментария, например «Уравнение движения» (см. рис. 2).

-6- 1.3. Повторяющиеся вычисления Для итерационных или повторяющихся вычислений следует использовать специальный тип переменных – дискретные аргументы. Переменная типа дискретный аргумент принимает диапазон значений, шаг определяется автоматически по второму значению, например: t:=10,12..20, означает, что t примет все значения от 10 до 20 с шагом 2 (запись символа «..» осуществляется нажатием «;» на латинском алфавите, по умолчанию шаг считается единичным). MathCad вычисляет выражение с дискретным аргументом столько раз, сколько значений он содержит.



Пример1. 3. : Вычислите путь для падающего тела за 10, 12, …20 сек при нулевых начальных условиях. Для этого следует наacc брать: * t2 = Вычисление происходит после щелчка мышью вне равенства.

Результаты отображаются в таблице (см. рис.2).

1.4. Определение функции Функция при определении обязательно должна в скобках включать список аргументов. Важно, чтобы аргументы были именами, а не выражениями.

Пример1. 4. : Наберите определение функции, используя клавиши латинского алфавита:

d(t):=1600+(acc/2)*t^Так выглядит формула в Word-е, а так в MathCad-е:

d(t):=1600+(acc/2)tЗнак := набирается одним нажатием «:» на латинской клавиатуре, знак «» – нажатием «*», степень набирается нажатием «^», при этом клавиатура переходит в набор на верхнем регистре, и дальше, чтобы перейти в обычный регистр, надо нажать “пробел”. В конце набора формулы надо нажать клавишу «Enter», для того, чтобы избавиться от рамочки вокруг формулы.

Функция определена. Теперь её можно вычислить для конкретного значения аргумента, например: d(12.5)=, или для всего диапазона t: d(t)=. В результате на экран будет выведена таблица соответствующих значений функции d (см. рис. 2).

-7- 1.5. Графики Для построения графиков применяется панель инструментов (палитра) «Графики».

Пример1. 5. 1. : Определите дополнительно функцию r(t):=100*t+acc*t2/и постройте графики d(t) и r(t). Укажите визиром область, где должен находиться график, вызовите панель «Графики», выберите тип графика. Внутри рамки с будущим графиком укажите имя аргумента t и два имени функций d(t) и r(t), разделяя их запятой.

Для построения графика щелкните вне рамки с графиком.

15 = 14.104.acc.t2 = t 10, 12.. 20 acc 9.-Уравнения движения -705.acc -960..td(t) -1.254·10 -1.588·10 -1.96·10 d(12.5) = 834..t acc.tr(t) d(t) = 1.11·10 894.d(t) 639.345.r(t) 12.-15 t Рис. 2. Примеры вычислений и построения графика в программе MathCad -8- Обратите внимание на возможности изменения оформления и форматирования графиков. Для этого следует вызвать меню «Формат», дважды щелкнув на рамке с графиком. Примерно также, как в диаграммах Excel, можно выбрать тип шкалы, назначить или отменить вспомогательные линии сетки, автоматическое масштабирование, параметры линий графиков (следов) и т.п.

Для данных графиков попробуйте добавить вспомогательные линии, изменить цвет и вид линий, измените также масштаб данных по оси ординат.

Пример 1. 5. 2. : В качестве упражнения определите значения параметрически заданной функции f(x,y) и постройте ее график:

xi=ri*cos(i), yi=ri*sin(i), где ri= cos(i)+1, а угол пробегает 20 значений внутри интервала от 0 до 2 (см. рис. 3).

Список знчений x и y для точек на кривой r=cos )+1, ( причем должен принимать значения от 0 до i N 20 i 0.. N i 2.. ri cos i N xi ri.cos i i = ri = xi = yi ri.sin i 0 2 0.314 1.951 1.0.628 1.809 1.0.942 1.588 0.1.257 1.309 0.-1.571 1 6.123·1.885 0.691 -0.yi 0 2.199 0.412 -0.2.513 0.191 -0.2.827 0.049 -0.3.142 0 3.456 0.049 -0.1 0 1 3.77 0.191 -0.4.084 0.412 -0.xi 4.398 0.691 -0.-4.712 1 -1.837·Рис.3. График функции, заданной параметрически -9- Иногда бывает полезно строить графики функций в полярных координатах и, в которых:

x=·sin и y=·cos Пример 1. 5. 3. : П остройте график той же функции ri= cos(i)+1, где угол пробегает 50 значений внутри интервала от до 2 (см. рис. 4). Поэкспериментируйте с возможностями форматирования этого графика Полярные координаты N 0, 2... 2. r() cos() N 120 1.150 0.r() 180 240 Рис.4. Пример построения графика функции ri= cos(i)+ в полярных координатах 1.6. Форматирование результата Изменить представление результата можно локальным образом, если воспользоваться функцией меню «Формат/ Результат». Для примера рассмотрим разные представления числа ·105:

Определите x:= ·105 и вычислите: x=3.142·105.

Вызвав соответствующее окно меню, попробуйте поменять количество знаков после запятой, порог экспоненциального представления числа и систему счисления.

-10- 1.7. Действия с матрицами Пример1. 7. : Пользуясь соответствующей панелью инструментов создайте вектор-столбец v, матрицу M и вычислите как это показано на рис. 5:

a) Вектор w=2*v.

b) Скалярное и векторное произведения v*w, wxv.

c) Обратную матрицу M-1.

d) Произведение матриц M*M-1.

e) Транспонированные матрицы wT и MT.

f) Решите систему линейных уравнений типа M*x=v с помощью вычисления обратной матрицы.

3 10 0 1 v 1 4 v = M 3 0 * M2,0 = 5.10 5 3 Скалярное и векторное умножение w 2.v w =.v.w = 5.* v0 = v w = Сумма v = Определитель M = Обращение 1 0 0.24 0.2 0..

MM = 0 1 M = 0.28 0.4 0.0 0 0.36 0.2 0.Решение системы уравнения Мх=v 0.28.v.

x M x = 16.84 Mx = * 1.92 Рис. 5. Вычисления с матрицами -11- Обратите внимание на то, что задание элементов массива по умолчанию начинается с нулевого индекса (v0=13, М2,0=5). Для задания с первого индекса следует локально применить встроенную функцию ORIGIN с аргументом 1, т.е. записать ORIGIN =1.

Для этой же цели можно воспользоваться вкладкой «Установка значений» из панели «Математика»\«Параметры».

1.8. Рекурсивные вычисления В ряде случаев бывает полезно использовать рекурсивные вычисления, т.е. определения последующих значений дискретного аргумента через предыдущие.

Пример1. 8. : Вычислите приближенные значения квадратного корня из числа A, воспользовавшись известным алгоритмом (рис. 6).





Ввести значение числа (A), нулевое приближение корня из него (gval0) gvali =gvalВычислить новое значение корня:

gvali+1=(gvali +A/gvali)/i=i+Проверить, кончилось ли число шагов N Выдать ответ Рис. 6. Рекурсивные вычисления при определении квадратного корня -12- Постройте дополнительно график, показывающий, как изменяется определенное значение корня в зависимости от шага итерации. Примерный вид результатов этой процедуры приведен на рис.7.

Рекурсивные вычисления:

найдём квадратный корень из числа а gval0 40 N 8 i 0.. N a a.1 i = gvali 1 gvali gvali = gvali gvali 2 = 1.6·10 28.826.26.704.26.700.26.26.26.gvali 26.26.i Рис. 7. Рекурсивные вычисления для определения квадратного корня 1.9. Определение корней уравнений Среди разных возможностей MathCad имеется также множество встроенных функций, которые можно вызвать, нажимая значок f(.x). В открывающемся при этом окне даётся краткое описание действия каждой вызванной функции. Рассмотрим действие некоторых функций.

1.9.1. Функция "root" Эта функция позволяет определять корень уравнения. Синтаксис функции определения корня root:

root(f(z),z) -13- Она возвращает значение z, при котором f(z)=Обратите внимание, что перед вычислениями обязательно следует задать начальное приближение функции. Заметим, что по умолчанию MathCad для вычисления этого корня использует ме- тод секущих прямых.

Пример1. 9. 1: Воспользовавшись функцией root, найдите решения:

a) Трансцендентного уравнения: ex=x3.

b) Три корня уравнения: x3-10*x+2=0 (для приближенного указания корней в этом случае целесообразно сначала построить график этой функции).

Для ввода функции root используйте клавиатуру, либо пункт главного меню “Вставка/Функция”, либо нажмите на панели инструментов f(x). Примерный вид рабочего окна, иллюстрирующего применение функций нахождения корня, приведен на рис.8.

1.9.2. Функция "роlyroots" Для определения корней полинома применяется специальная функция polyroots. Ее синтаксис предполагает, что в качестве аргумента задается вектор-столбец из коэффициентов при степенях x, начиная с нулевой степени. Функция polyroots возвращает вектор-столбец из значений корней. Обратите внимание на то, что корни могут быть мнимыми.

Пример1. 9. 2. : Вычислите корни того же уравнения x3-10*x+2=0, применив функцию polyroots (см. рис.8).

1.9.3. Функция "find" Функция find применяется для решения систем уравнений.

Уравнения записываются в блоке, который открывается словом given и заканчивается словом find. Уравнения должны быть записаны внутри блока и с применением “жирного равенства”, которое набирается нажатием CTR+= или с помощью палитры «Вычисления». В функции find должны быть перечислены все неиз-14- вестные системы. Заканчиваться она должна знаком, который набирается в палитре “Вычисления”.

Решение уравнения:

x 3 a root x3 ex, x a = 1.Для нахождения трёх корней уравнения используйте три различных приближения x 5, 4.9.. x3 10.x x.x x 2 root x3 10 2, x = 3.x.x root x3 10 2, x = 0.x.x root x3 10 2, x = 3.То же, но с помощью функции poliroots 3.v polyroots(v) = 0.3.Рис.8. Примеры применения функций root и polyroot для вычисления корней уравнений Пример применения функции find показан на рис. 9. Из примера видно, что решения приводятся в виде столбцов матрицы, причём первое неизвестное вверху, а каждый столбец – это разные решения. Решения могут быть и комплексными.

-15- given x y 2 x2 y2 4 Find(x, y) 2 Given 1 1 1 x y..

7 2 2 2 x2 y2 4 Find(x, y) 1 1 1..

7 2 2 2 Given x y..

10 7.i 2 10 7.i x2 y2 4 Find(x, y)..

10 7.i 2 10 7.i Рис. 9. Несколько примеров применения функции Find 1.10. Обработка экспериментальных данных Основные функции обработки экспериментальных данных содержатся в подразделе "Regression and Smoothing". В MathCad встроено несколько функций, позволяющих проводить наиболее распространенные статистические расчеты с данными, представленными векторами их значений. Для сглаживания массива экспериментальных точек, имеющих разброс из-за ошибок измерения, наиболее часто применяется метод наименьших квадратов.

Суть этого метода заключается в том, что из всех возможных значений параметров сглаживающей линии (прямой, экспоненты, полинома n-ой степени), выбираются те, которые обеспечивают минимум функции, представляющей собой сумму квадратов отклонений между экспериментальными значениями и точками аппроксимирующей линии.

-16- Простейший случай подгонки прямой линии к экспериментальным данным иллюстрируется рис. 10.

Пример 1.10.1.: Пусть имеются экспериментальные данные, представленные двумя векторами Х – независимая переменная, и Y – зависимая переменная, имеющая также случайную погрешность. Известно, что зависимость Y(X) линейная. Следует методом наименьших квадратов подогнать к этим данным прямую.

Проведение прямой методом наименьших квадратов X (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) X XT Y (0 3 2 5 4 7 5 10 7 13 ) Y YT a slope(X, Y) b intercept(X, Y) a = 1.139 b = 0.r(x) a.x b Y r(x) 02468 X,x Рис. 10. Сглаживание (регрессия) массива точек прямой методом наименьших квадратов -17- Введём исходные данные в виде векторов Х и Y. Затем вызовем функцию slope(X,Y), где Х – независимая переменная, она должна быть представлена вектор-столбцом (поэтому если мы представили её строкой, то необходимо транспонирование), Y – вектор-столбец зависимой переменной, которая содержит ошибку измерения. Функция slope определяет наклон прямой линии, наиболее близко проходящей к точкам массива (X,Y).

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.