WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


ЧАСТЬ iii ПРЕДПРИЯТИЕ, ПРОИЗВОДСТВО, ЗАТРАТЫ 3.1 Задачи Задача № 1 Технология производства предполагает использование двух ресурсов и характеризуется постоянной отдачей от масштаба.

Производство 60 единиц продукта требует затрат ресурсов в количествах x1 = 12 и x2 = 4. Предельный продукт первого ресурса MP1 = 3. Чему равен предельный продукт второго ресурса Задача № 2 Найти эластичности замещения ресурсов для следующих производственных функций:

а) q = a x1 + b x2 ;

б) q = ax1 x2;

x1x2 в) q =.

ax1 + bx2 Задача № 3 Фирма использует два ресурса в количествах x1 и x2;

ее производственная функция q = a x1x2, цены ресурсов p1 и p2. Найти:

а) уравнение пути оптимального роста фирмы;

б) функцию общих затрат длительного периода;

в) функцию общих затрат короткого периода, считая первый ресурс переменным, второй — постоянным.

Задача № 4 Фирма использует два ресурса в количествах x1 и x2;

известна ее производственная функция:

40 Часть III.

q = 2 (x1 – 5)0.5(x2 – 10)0.3, x1 > 5, x2 > 10 и цены ресурсов p1 = 1; p2 = 4. Найти:

а) уравнение пути оптимального роста фирмы;

б) функции общих, средних и предельных затрат длительного периода;

в) эффективный масштаб производства;

г) функции общих, средних и предельных затрат короткого периода, считая второй ресурс постоянным, x2 = 20.

Задача № 5 В состав фирмы входят два завода, производящие один и тот же продукт в количествах q1 и q2 и имеющие функции затрат 2 TC1(q1) = 200 + 10q1 + 0.5q1 ;

2 TC2(q2) = 100 + q2 + 2q2.

Найти функцию затрат фирмы TC(Q), где Q — объем выпуска фирмы.

Задача № 6 Несколько изменим условия задачи. Пусть теперь 2 TC1(q1) = 200 + 10q1 + 0.5q1 ;

2 TC2(q2) = 100 + 25q2 + 2q2.

Найти функцию затрат фирмы TC(Q), где Q — объем выпуска фирмы.

3.2 Решения Решение Задачи № 1 Производственная функция q = f(x1, x2) c постоянной отдачей от масштаба обладает следующим свойством: при любом положительном k выполняется равенство Предприятие, производство, затраты f(kx1, kx2) = kf(x1, x2).

Почленно дифференцируя это равенство по k, получим:

f f x1 + x2 = f(x1, x2), (1) x1 xили MP1 x1 + MP2 x2 = q, откуда MP2 = (q – MP1 x1)/x2.

При данных задачи находим: MP2 = (60 – 3 12)/4 = 6.

Комментарий. Равенство (1) есть частный случай уравнения Эйлера: если функция f(x1, x2, …, x ) однородна стеn пени, то n = f(x1,x2,...,xn).

x f i xi i=Производственная функция c постоянной отдачей от масштаба — однородная функция первой степени, или линейно-однородная функция.

Решение Задачи № Эластичность замещения ресурсов представляет собой эластичность отношения количеств ресурсов x2/x1 по предельной норме технической замены MRTS12.

а) Найдем предельные продукты ресурсов:

a b MP1 = ; MP2 =.

2 x1 2 xОтсюда MP1 a xMRTS12 = =.

MP2 b xПредельная норма технической замены представляет собой степенную функцию отношения x2/x1; показатель степени равен 1/2. Эластичность степенной функции равна показателю степени, так что эластичность MRTS12 по x2/xравна 1/2, а эластичность обратной зависимости, которая нас интересует, равна 2.

x-1 -б) MP1 = a x1 x2; MP2 = a x1 x2 ; MRTS12 =.

x42 Часть III.

В этом случае зависимость также степенная, показатель степени равен 1; соответственно эластичность замещения равна 1.

2 2 bx2 ax1 b xв) MP1 = ; MP2 = ; MRTS12 =.

(ax1 +bx2)2 (ax1 +bx2)2 a xЗдесь показатель степени равен 2, эластичность замещения равна 1/2.

Комментарий. В рассмотренных задачах пропорция затрачиваемых ресурсов и предельная норма технической замены были связаны степенными зависимостями. Эластичность степенной функции — постоянная величина; производственные функции, обладающие подобными свойствами, получили название функций с постоянной эластичностью замещения, или ПЭЗ-функций. Они служат удобными моделями и широко используются в микроэкономическом анализе. В частности, они позволяют оценивать взаимозависимость ресурсов в производстве: если эластичность замещения ресурсов больше 1, то ресурсы являются взаимно заменяющими, а если меньше, то — дополняющими. В случае а) ресурсы были взаимными заменителями, в случае в) — дополнителями. В случае б) ресурсы были взаимно независимыми.

Решение Задачи № а) Путь оптимального роста фирмы — это множество экономически эффективных способов производства, т. е. таких способов, которые позволяют произвести любое возможное количество продукта с минимальной стоимостью используемых ресурсов. Для каждого экономически эффективного способа предельная норма технического замещения ресурсов равна соотношению их цен.

Предельные производительности ресурсов q a x2 q a xMP1 = = ; MP2 = = ;

x1 2 x1 x2 2 xпредельная норма технической замены Предприятие, производство, затраты MP1 xMRTS12 = =.

MP2 xТаким образом, путь оптимального роста — прямая, описываемая уравнением px2 = x1.

pб) Используем полученное уравнение для определения экономически эффективного набора ресурсов, необходимого для производства продукта в количестве q. Подставим выражение для x2 в производственную функцию:

pq = a x1, pоткуда q p2 q px1 = ; x2 =.

a p1 a p2q LTC(q) = p1x1 + p2x2 = p1 p2.

a в) В случае, когда x2 = const, изменение объема выпуска достигается выбором соответствующей величины x1, так что в коротком периоде qx1 =, a2xи поэтому p1qSTC(q) = p1x1 + p2x2 = + p2x2.

a2xКомментарий. Поскольку LTC(q) — это минимальные затраты на производство объема q при условии, что все ресурсы — переменные, а STC(q) — минимальные затраты при условии, что некоторые ресурсы — постоянные, можно утверждать, что STC(q) LTC(q) при любом q. Выражения для затрат короткого и длительного периодов, полученные при решении задачи, иллюстрируют это общее положение:

q pp1q2 2q STC(q)-LTC(q) = + p2x2 - p1 p2 = - p2x2 0.

a2x2 a a x 44 Часть III.

Равенство достигается при значении q, обращающем в нуль выражение в круглых скобках:

pq = a x2, pт. е. при том объеме выпуска, для которого в условиях длительного периода второй ресурс использовался бы в данном объеме x2 (проверьте!).

Решение Задачи № а) Пользуясь методами, примененными при решении предыдущей задачи, находим:

q MP1 = = (x1 - 5)-0.5 (x2 - 10)0.3;

xq MP2 = = 0.6 (x1 - 5)0.5 (x2 - 10)-0.7;

xMP1 1 x2 - 10 p1 MRTS12 = = = =.

MP2 0.6 x1 - 5 p2 Отсюда получаем уравнение пути оптимального роста:

x2 = 10 + 0.15 (x1 – 5).

б) Используем полученное уравнение для определения экономически эффективного набора ресурсов, необходимого для производства заданного объема q продукта. Подставим выражение для x2 в производственную функцию:

q = 2 (x1 – 5)0.5 [0.15 (x1 – 5)]0.3 = 1.1320(x1 – 5)0.8, откуда определяются x1 = 5 + 0.8564 q1.25; x2 = 10 + 0.12846 q1.и функции затрат LTC(q) = p1x1 + p2x2 = 45 + 1.3702 q1.25;

LAC(q) = + 1.3702 q0.25; LMC(q) = 3.6025 10–3 q0.25.

q в) Эффективный масштаб производства qe определяется объемом выпуска, при котором средние затраты принимают Предприятие, производство, затраты минимальное значение; при этом выполняется равенство MC(qe) = AC(qe), из которого находим qe = 49.520. При этом min LAC(q) = 4.544, ресурсы используются в количествах x1 = 117.5, x2 = 26.875.

г) В коротком периоде зависимость объема выпуска от использования единственного переменного ресурса описывается равенством q = 2 (x1 – 5)0.5(20 – 10)0.3 = 3.9905 (x1 – 5)0.5, так что количество первого ресурса для выпуска q единиц продукта равно x1 = 5 + 0.062797q2, и функции затрат STC(q) = 1 (5 + 0.062797q2) + 4 20 = 85 + 0.062797qSAC(q) = + 0.062797q; SMC(q) = 0.12559q.

q Решение Задачи № Любой объем выпуска фирмы Q = q1 + q2 должен быть распределен между заводами таким образом, чтобы суммарные затраты TC(Q) = TC1(q1) + TC2(q2) были минимальными. Таким образом, функция затрат фирмы определяется условием:

TC(Q) = min(TC1(q1) + TC2(q2)) при условии Q = q1 + q2.

В рассматриваемом случае двух заводов эффективное распределение объема производства легко найти подстановкой q2 = Q – q1 и последующей минимизацией суммы функций затрат обоих заводов:

TC1(q1) + TC2(Q – q1) = = 200 + 10q1 + 0.5 q1 + 100 + 10(Q – q1) + 2(Q – q1)2.

Минимум достигается при q1 = 0.8Q, так что q2 = 0.2Q.

Подстановка в полученное выражение найденного значения q1 дает выражение для искомой функции затрат:

TC(Q) = 300 + 10Q + 0.4Q2.

Комментарий. Отметим одно свойство эффективного распределения. Подстановка найденных выражений для q1 и 46 Часть III.

q2 в выражения для предельных затрат заводов показывает, что значения предельных затрат заводов одинаковы:

MC1(q1) = 10 + q1 = 10 + 0.8Q; MC2(q2) = 10 + 4q2 = 10 + 0.8Q.

Кроме того, эти значения совпадают с предельными затратами фирмы в целом:

MC(Q) = 10 + 0.8Q.

Этот результат справедлив для любых функций затрат заводов (с некоторыми оговорками, обсуждаемыми в комментарии к задаче № 6). Воспользовавшись подстановкой, примененной выше при решении задачи, сформулируем требование к распределению объема производства в виде минимизации суммы TC1(q1) + TC2(Q – q1). Дифференцируя по q1, найдем, что MC1(q1) – MC2(Q – q1) = 0, т. е. при эффективном распределении MC1(q1) = MC2(q2).

Равенство предельных затрат имеет ясный экономический смысл. Если при некотором распределении предельные затраты оказываются неравными, например MC2(q2) > MC1(q1), то уменьшение объема q2 на малую величину > 0 с одновременным увеличением на такую же величину объема q1 не изменит общего объема выпуска фирмы Q, но сократит общие затраты фирмы, так как сокращение затрат второго завода (MC2 ) превысит увеличение затрат первого завода (MC1 ).

Кроме того, результат будет тем же при произвольном числе заводов. Покажем это, воспользовавшись методом множителей Лагранжа. Если в состав фирмы входят n заводов, то функция общих затрат фирмы при эффективном распределении объема производства между заводами определяется условием n n TC(Q) = (qi) при условии = Q.

TC q i i i=1 i=Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи условной минимизации:

n n L(q1, q2, …, qn, ) = (qi) - - Q TC q i i, i=1 i=где — множитель Лагранжа. Условие минимума:

L = MCi(qi) - = 0, i = 1, 2,..., n, qi Предприятие, производство, затраты так что при эффективном распределении общего объема производства MCi(qi) =, i = 1, 2,..., n, т. е. предельные затраты всех заводов равны одной и той же величине. В свою очередь множитель Лагранжа равен производной минимизируемой функции (TC(Q)) по ограничивающему параметру (Q), следовательно, MC(Q) =.

Решение Задачи № Воспользовавшись рассмотренным выше свойством эффективного распределения, приравняем предельные затраты первого завода MC1(q1) = 10 + q1 предельным затратам второго MC2(q2) = 25 + 4q2 и получим соотношение q1 = 15 + 4q2. Так как Q = q1 + q2 = 15 + 5q2, находим:

q2 = 0.2Q – 3; q1 = 0.8Q + 3.

Такое распределение возможно лишь при Q 15: в противном случае оказалось бы q2 < 0, что невозможно, и q1 > > Q, что также невозможно. Не учитывая условие неотрицательности q1 и q2, мы пришли к результату, верному лишь при достаточно больших общих объемах. При Q < эффективным окажется «распределение», при котором весь объем выпуска фирмы будет осуществляться первым заводом. Итак, q1 = Q, q2 = 0 при Q < 15;

q1 = 0.8Q + 3, q2 = 0.2Q – 3 при Q 15.

Комментарий. Методы дифференциального исчисления позволяют найти внутренние экстремумы. В первой части задачи при любых значениях Q существовали внутренние решения: и q1, и q2 можно было как увеличить, так и уменьшить на достаточно малую величину. Во второй части такая возможность для распределения при Q < 15 отсутствует. В этом случае MC1(q1) = 10 + Q, MC2(q2) = 25, так что MC2 > MC1, но «исправить» распределение, увеличив на q1 величину и соответственно уменьшив q2, невозможно. Здесь мы имеем дело с граничным оптимумом.

48 Часть III.











© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.