WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
ЧАСТЬ II ПОТРЕБЛЕНИЕ И СПРОС 2.1 Задачи Задача № 1 Объем потребления некоторого товара домашним хозяйством (q) в зависимости от дохода (I) описывается равенством:

100I2 q =.

(I + 10)3 Определить, при каких значениях дохода товар для данного домашнего хозяйства является а) низшим благом;

б) нормальным благом;

в) необходимым благом;

г) роскошным благом.

Задача № 2 Индивид потребляет два блага в количествах x и y соответственно. Согласуются ли приведенные ниже функции полезности с аксиомами потребительских предпочтений (да/нет) а) U(x, y) = x2 + y2 ;

xy б) U(x, y) = ;

x + y 1 1 в) U(x, y) = +.

x y Задача № 3 Предпочтения индивида характеризуются предельными нормами замещения MRS = 2, MRS = 0.8. Найти предельные xy xz нормы замещения а) MRS, б) MRS, в) MRS, г) MRS.

yx zx yz zy 16 Часть II.

Задача № 4 Домашнее хозяйство потребляет два блага в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией полезности U(x, y). Найти функцию спроса домашнего хозяйства, если а) U(x, y) = x3y2;

б) U(x, y) = xy.

Задача № 5 Предпочтения двух индивидов описываются функциями полезности xy U1(x, y) = ; U2(x, y) = ln x + ln y - ln(x + y).

x + y Различаются ли предпочтения этих индивидов Задача № 6 Рассмотрим модель, в которой предпочтения потребителя относятся не к продуктам, а к характеристикам, которыми продукты обладают (модель Ланкастера). Допустим, что рассматривается множество продуктов, обладающих двумя характеристиками (X и Y).

Обозначим (xi, yi) количественные меры соответствующих характеристик в единице i-го продукта, причем простоты ради в качестве единицы каждого продукта принимается количество продукта, приобретаемое за одну денежную единицу. Будем считать, что предпочтения в пространстве Потребление и спрос. 17 характеристик удовлетворяют тем же аксиомам, что и предпочтения в пространстве благ в традиционной теории.

В таблице (см. выше) приведены данные по шести различным продуктам. Какие из них не имеют перспектив быть проданными на рынке Задача № Домашнее хозяйство потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y; его доход I = 60, а предпочтения опиxy сываются функцией полезности U(x, y) =.

x + y а) Найти объемы спроса на каждое из благ при ценах благ pX = 9, pY = 4.

б) Определить зависимости объемов спроса на каждое из благ от цен и дохода.

в) Определить характер взаимозависимости благ в потреблении.

Задача № Домашнее хозяйство потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией полезности U(x, y) = x + y. Известен доход: I = 60.

а) Найти объемы спроса на каждое из благ при ценах благ pX = 10, pY = 5.

б) Определить зависимости объемов спроса на каждое из благ от цен и дохода.

в) Определить характер взаимозависимости благ в потреблении.

Задача № Домашнее хозяйство потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией поy лезности U(x, y) = -, цены благ равны pX = 16, pY = 25.

x а) Найти объемы спроса на каждое из благ при значениях дохода I = 70; I = 15.

18 Часть II.

б) Определить зависимости от дохода объемов спроса на каждое из благ.

Задача № Индивид потребляет два блага, X и Y, в количествах x и y соответственно. Функция полезности индивида:

U = ax + by + xy, a > 0, b > 0.

а) Пусть a = 10, b = 25. Определить объемы потребления благ, если цены благ pX = 5, pY = 2 при доходе индивида I = 200;

б) то же при доходе индивида I = 100;

в) при каких соотношениях дохода и цен оптимум потребителя будет внутренним (x > 0, y > 0) Задача № Домашнее хозяйство приобретает благо X, производимое естественной монополией, по цене pX = 10 в количестве x = = 5. Государство, регулирующее цену продукта естественной монополии, сочло целесообразным повысить цену до pX = = 14 и выплачивать домашнему хозяйству компенсацию в размере ( pX – pX ) x = 20.

а) Изменилось ли благосостояние домашнего хозяйства, и если да, то в какую сторону б) Проверить утверждение на следующем примере: домашнее хозяйство кроме блага X потребляет еще одно благо, Y, цена которого pY = 1 не изменилась; доход домашнего хозяйства I = 100, а функция полезности U(x, y) = xy.

Задача № Классификация благ, основанная на кривых Энгеля, учитывает изменения доли дохода, направленной на покупку рассматриваемого блага, в зависимости от изменения дохода.

Докажите следующие утверждения:

Потребление и спрос. если доля дохода, направляемая на покупку данного блага, увеличивается с ростом дохода, то эластичность объема потребления по доходу больше единицы;

если доля дохода, направляемая на покупку данного блага, уменьшается с ростом дохода, то эластичность объема потребления по доходу меньше единицы.

Задача № Домашнее хозяйство потребляет три блага, X, Y и Z. Их доли в расходах составляют соответственно sX = 50%, sY = = 30%, sZ = 20%. Известны эластичности по доходу объемов потребления благ X и Y: EI[x] = 2, EI[y] = 0.6.

а) Найти эластичность объема потребления блага Z по доходу.

б) Определить, к какому типу относится каждое из благ.

Задача № Докажите утверждение: если среди благ, потребляемых домашним хозяйством, есть хотя бы одно низшее, то среди них имеется также хотя бы одно роскошное.

Задача № Телефонная компания предлагает потребителям услуг на выбор два варианта тарифов: (а) 4 ед./мин без абонентской платы; (б) 2 ед./мин и абонентская плата 20 ед. Какой из тарифов выберет каждый из следующих потребителей:



1) функция полезности U1 = x0.5y0.5, доход I1 = 100 ед.;

2) функция полезности U2 = x0.25y0.75, доход I2 = 100 ед.;

3) функция полезности U3 = x0.25y0.75, доход I3 = 200 ед.

Здесь x — количество (в минутах) потребляемых услуг телефонной компании, y — объем потребления всех других благ, цена которых равна 1 ед.

20 Часть II.

2.2 Решения Решение Задачи № Из графика видно, что с ростом дохода от нуля до некоторого уровня объем потребления товара возрастает, так что благо является нормальным; при дальнейшем росте дохода данный товар вытесняется некоторым заменителем, объем его потребления снижается и товар становится низшим.

Найдем границы области возрастания объема потребления;

для этого продифференцируем объем потребления по доходу:

dq 2I (I + 10)3 - 3I2(I + 10)2 20I - I= 100 = 100.

dI (I + 10)6 (I + 10)Производная обращается в нуль при I = 20; при меньших значениях дохода производная положительна, и объем возрастает, при бльших — убывает. Таким образом, товар является нормальным при I < 20 и низшим — при I > 20.

Для того чтобы выяснить, при каких уровнях дохода товар является необходимым благом, а при каких — роскошным, целесообразно воспользоваться эластичностью объема потребления по доходу:

Потребление и спрос. I dq 20 - I EI [q] = =.

q dI I + Для роскошного блага эластичность объема потребления по доходу больше единицы. Последнее равенство показывает, что EI[q] > 1 при 0 < I < 5. Если 5 < I < 20, то потребление растет с доходом, но медленнее, чем доход, EI[q] < 1, и рассматриваемый товар является необходимым благом.

Итак, рассматриваемый товар является низшим благом при I > 20 и нормальным — при I < 20; при 0 < I < 5 он является роскошным благом, при 5 < I < 20 — необходимым.

Комментарии.

1. Знак производной всегда совпадает со знаком эластичности. Поэтому ответы на все вопросы задачи можно было получить, рассматривая диапазоны уровней дохода, в пределах которых значения EI[q] превышают единицу, лежат между нулем и единицей и оказываются отрицательными.

2. Современная классификация потребляемых благ берет начало с исследований Э. Энгеля, выполненных в середине XIX в. и, естественно, не использовавших понятия эластичности функций. Проанализировав структуру потребительских бюджетов, Энгель установил, что с ростом дохода сумма расходов на питание возрастает, но их доля в распределении дохода падает. Если мы рассматриваем определенный товар, потребляемый в количестве q и покупаемый по цене p (которую мы считаем здесь неизменной), то расходы равны pq.

Доля, приходящаяся на данный товар, равна pq/I; если она с ростом дохода убывает, то EI[pq/I] < 0. Воспользовавшись свойствами эластичности (см. Приложение) и учитывая неизменность цены, представим это соотношение в виде EI[q] – 1 < 0, или EI[q] < 1. При этом абсолютная сумма расходов возрастает, EI[pq] = EI[q] > 0. Таким образом, закон Энгеля применительно к необходимому благу (подобно продуктам питания) формулируется в виде двойного неравенства 0 < EI[q] < 1.

22 Часть II.

Решение Задачи № Аксиомы потребительских предпочтений:

1) полнота (сопоставимость любых потребительских наборов);

2) транзитивность;

3) ненасыщаемость («больше — лучше, чем меньше», предпочтительность набора, содержащего больший объем любого блага без уменьшения объемов остальных);

4) непрерывность;

5) выпуклость множества наборов, предпочтительных по отношению к любому данному.

Если система предпочтений потребителя задана функцией полезности, то аксиомы 1 и 2 тем самым выполняются. Аксиома 4 выполняется, если функция полезности непрерывна. Во всех вариантах а) — в) функции полезности непрерывны, так что требования аксиом 1, 2 и 4 можно считать выполненными.

Аксиома 3 выполняется, если функция полезности возрастает по каждому аргументу. Функция варианта а), очевидно, удовлетворяет этому требованию, варианта в) — нет, она является убывающей по каждому аргументу. Так как 1 1 x + y + =, x y xy т. е. значения функций б) и в) — взаимно обратные величины, функция б) является возрастающей (в чем можно убедиться и любым иным способом).

Аксиома 5 требует, чтобы каждая кривая безразличия ограничивала снизу выпуклую область. Это означает, что предельная норма замены MRS должна убывать с ростом xy x и возрастать с ростом y. Функция а) этому требованию не отвечает: соответствующие кривые безразличия — 90-градусные дуги окружностей с центром в начале координат.

Для функции б) 2 y x U / x = ; U / y =, x + y x + y Потребление и спрос. так что U / x y MRSxy = =.

U / y x Таким образом, функция б) удовлетворяет всем аксиомам предпочтений.

Ответ:

а) нет; б) да; в) нет.

Решение Задачи № Если единица блага x замещается a единицами блага y с сохранением уровня полезности, то единица блага y замещается 1/a единицами блага x. Поэтому MRS = 1/MRS.

yx xy Если к тому же единица блага y замещается b единицами блага z при том же условии, то единица блага x замещается ab единицами блага z и поэтому MRS MRS = MRS.

xy yz xz Это позволяет найти все неизвестные предельные нормы замещения по известным MRS и MRS.

xy xz Комментарий.

Более формализованный подход связывает предельные нормы замены с производными функции полезности:

U / x и т. п., MRSxy = U / y откуда следуют приведенные выше соотношения. Заметим, что система предпочтений определяет функцию полезности неоднозначно: если функция U(x, y, …) описывает предпочтения данного потребителя, то точно так же их описывает функция U1(x, y, …) = (U(x, y, …)), где — произвольная монотонно возрастающая функция. Но U1 / x (d / dU) (U / x) U / x = =, U1 / y d / dU) (U / y) U / y так что отношение частных производных зависит не от количественной шкалы, в которой отображаются полезности, а лишь от предпочтений индивида.





24 Часть II.

Ответ:

а) 0.5; б) 1.25; в) 0.4; г) 2.5.

Решение Задачи № а) Прежде всего, определим предельную норму замены как функцию x и y:

Ux 3y U = 3x2y2; U = 2x3y, отсюда MRS = =.

x y xy Uy 2x При ценах благ px, py в точке оптимума потребителя соотношение цен px/py равно предельной норме замены, так что px 3y =, py 2x или pxx =.

pyy Заметим, что pxx и pyy — это расходы потребителя соответственно на первое и второе блага. Отсюда ясно, как данный потребитель распределяет свой бюджет: долю 0.своего дохода он должен потратить на покупку первого блага, долю 0.4 — на покупку второго. Если его доход равен I, то объемы спроса на первое и на второе благо равны:

I I x = 0.6 ; y = 0.4.

px py Каждое из приведенных равенств описывает функцию спроса на соответствующее благо.

б) Те же рассуждения применительно к более общему случаю приводят к соотношению:

pxx =, pyy откуда:

I I x = ; y =.

+ px + py Комментарий.

В приведенных задачах объем спроса на каждое благо зависел от дохода и от цены данного блага и не зависел Потребление и спрос. от цены другого блага, а доля расходов на данное благо в величине дохода зависела только от параметров функции полезности и не зависела ни от дохода, ни от цен.

Постоянство доли расходов (независимость от дохода) означает, что оба блага занимают пограничное положение между необходимыми и роскошными благами. Независимость объема спроса на каждое благо от цены другого блага означает, что блага независимы в потреблении.

Доли расходов на каждое благо зависели не от абсолютных значений параметров и, а лишь от их соотношения.

Так, решение в п. а) не изменилось бы, если бы показатели степени равнялись не 3 и 2, а, скажем, 15 и 10 или 0.3 и 0.2. Последнее обстоятельство связано с тем, что функции полезности, связанные монотонно возрастающим преобразованием, представляют одну и ту же систему предпочтений (порядковая концепция полезности). Пусть x — вектор, представляющий набор благ, U1(x) и U2(x) — функции полезности, причем U2(x) = (U1(x)), где — монотонно возрастающая функция. В этом случае если U1(x1) > U1(x2), то и U2(x1) > > U2(x2), т. е. набор, оцениваемый функцией U1 как более предпочтительный, так же оценивается и функцией U2. Возведение в положительную степень — монотонно возрастающее преобразование, и функция x15y10 = (x3y2)5 описывает ту же систему предпочтений, что и функция в задании a). Тот же результат дает и, например, логарифмирование:

U3(x) = 3 ln x + 2 ln y = ln(x3y2).

В заданиях потребитель ограничивался двумя благами, но выводы остаются справедливыми при произвольном числе благ. Пусть x = (x1, x2, …, x ) и n n i U(x) =, (1) x i i=причем без потери общности можно считать, что n = 1.

(2) i i=26 Часть II.

Будем использовать обозначения для предельных полезностей, U j iU i Ui = = ixi -1, i = 1, …, n.

x = j xi xi ji Отсюда получаем выражение для пред ельных норм замены:

Ui i xj MRSij = =, Uj j xi Полученное выражение позволяет при заданных ценах выразить расходы на все потребляемые блага через расходы на какое-нибудь одно, например первое:

p1 1 xi откуда:

MRSij = =, pi i xi pixi = p1x1. (3) Теперь бюджетное ограничение можно представить в виде 1 2 n p1x1 + +... + = I, 1 1 так что с учетом равенства (2) p1x1 = 1I, а равенство (3) показывает, что аналогичные выражения справедливы для всех благ: pixi = iI. Таким образом, если функция полезности имеет вид (1), то доли расходов на отдельные блага в общей сумме не зависят ни от величины дохода, ни от цен.

Они представляют собой постоянные величины, пропорциональные параметрам i, а если эти параметры нормированы в соответствии с равенством (2), то доли совпадают с параметрами. Объем спроса на каждое благо равен xi = iI/pi.

Решение Задачи № Нетрудно заметить, что U1(x, y) = ln U2(x, y). Логарифм — возрастающая функция. Если первый потребитель предпочитает набор (x1, y1) набору (x2, y2), т. е. если U1(x1, y1) > U1(x2, y2), то U2(x1, y1) > U2(x2, y2), а это означает, что второй потребитель также предпочитает первый набор второму. В рамках порядковой теории полезности предпочтения потребителей неразличимы.

Потребление и спрос. Комментарии.

1. По формульной записи функций полезности далеко не всегда легко догадаться, что одна из них является функцией от другой. Но это всегда можно выяснить, сравнив предельные нормы замены: если предельные нормы замены совпадают при любых комбинациях благ, то они выражают одну и ту же систему предпочтений индивидов. При решении задачи 2 определена предельная норма замены для первого индивида:

y MRS1 (x, y) =.

xy x Для второго индивида U2 1 1 y U2 1 1 x = - = ; = - =, x x x + y x(x + y) y y x + y y(x + y) так что U2 / x y MRS2 (x, y) = =.

xy U2 / y x Таким образом, для любых комбинаций (x, y) предельные нормы замены для обоих индивидов совпадают, следовательно, совпадают и их предпочтения.

2. Концепция порядковой полезности служит основой теории потребительского выбора при отсутствии риска.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.