WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 ||

l2 0 m l2 l2 ml% µ1m = (y)µ1(y)dy = F m Y cos y cosm ydy = F 2, m = m, l2 0 l2 % l2 l2 m % µ1m = ( y)µ1( y)dy = F m Y cos y cosm ydy = 0, m m.

l2 0 l2 % Удобно представить Xm(x) в виде m %% Xm(x) = C1msh m x + C2 ch m (l1 - x).

Из условия на левой границе Y ( y)Xm(0) = Y ( y)µ1m, m m m=0 m=m % C2 ch m l1 = µ1m, l2 F mm %% %% C2 = 0, m m, C2 =, m = m.

m ch llИз условия на правой границе получаем ' mm %% Y ( y)Xm(l1) = 0, C1 m ch m l1 = 0, C1 = 0.

m m=%% m F m В итоге имеем u2(x, y) = cos y ch (l1 - x).

% l2 ch m l1 llЗадача для u2(x, y) решена, и можно записать окончательный ответ:

% 2F 1 + 2 n u(x, y) = u1(x, y) + u2(x, y) = sin x ch n y + % % + 2 n % 2lsh l2 + 2 n l%% m F m + cos y ch (l1 - x).

% l2 ch m l1 llКонтрольная работа №Функция точечного источника. Решение уравнения теплопроводности на прямой и полупрямой.

I. Функция точечного источника.

( x- )4a2t Показать, что функция G(x,,t) = e удовлетворяет 2 a2t уравнению теплопроводности. Изобразить графики G(x,,t) как функции переменной x при различных значениях и t :

a) = 0, t =1; = 0, t =10; b) =1, t = 0.1; =1, t = 2;

c) =-2, t =100; =-2, t = 5; d) = 3, t = 20; = 3, t = 0;

e) = 5, t = 2; = 5, t =1000.

Объяснить свойства функции G(x,,t).

II. Решение уравнения теплопроводности на прямой и полупрямой.

1). В бесконечно тонком длинном однородном теплопроводящем стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована, начальное распределение температуры задано функцией (x). Найти распределение температуры u(x,t) в стержне в произвольный момент времени t > 0.

a) (x) = Te- x2, > 0; b) (x) = Acos x, > 0;

A, x < 0, c) (x) = Bsin x, > 0; d)(x) = B, x > 0;

e) (x) = e- x2 cos x, > 0; f) (x) = e- x2 sin x, > 0.

Пример решения типового задания В тонком бесконечно длинном однородном теплопроводящем стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована, начальное распределение температуры равно (x) = e- x2 sin x. Найти распределение температуры при t > 0.

Имеем задачу Коши:

ut = a2uxx, u = e- x2 sin x.

t=Получаем x( )+ - 4a2t u(x,t) = e sin d.

2 a2tРассмотрим вспомогательный интеграл x( )+ - - +i 4a2t I = ed.

2 a2tПреобразуем показатель экспоненты следующим образом:

x ( - ) 22 - 2 (x + 2ia2t) + (1+ 4a2t) = + - i = 4a2t 4a2tx 1 (x + 2ia2t)=- 2(x + 2ia2t) + (1+ 4a2t) + 4a2t 1+ 4a2t 4a2tx2 - 4ia2tx + 4a4 t+= 1+ 4a2t 1 x + 2ia2t x2 - i x + a2 t =- 1+ 4a2t +.

4a2t 1+ 4a2t 1+ 4a2t Подставив последнее выражение в исходный интеграл, получим 1 x+2ia2t x2 -i x+a2 t + - - 1+4a2t 4a2t 1+4a2t 1+4a2t I = e e d = 2 a2t 1+ 4a2t x + 2ia2t x2 -i x+a2 t s = -, + 1+4a2t 1 e 2 a2t 2 a2t 1+ 4a2t == e-s ds.

1+ 4a2t 2 a2t ds.

d = 1+ 4a2t С учетом того, что + e-s ds =, получаем x2 -i x+a2 t - x2 +a2 t 1+4a2t e x x cos.

1+4a2t I == e + isin 1+ 4a2t 1+ 4a2t 1+ 4a2t Решение исходной задачи определяется равенством x2 +a2 t x 1+4a2t u(x,t) = Im I = e sin.

1+ 4a2t 2). В бесконечно тонком полуограниченном (слева в точке x = 0 ) однородном теплопроводящем стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована, начальное распределение температуры задано функцией (x), а на конце x = 0 поддерживает нулевая температура.

Найти распределение температуры u(x,t) в стержне в произвольный момент времени t > 0.

a) (x) = Te- x2, > 0; b) (x) = Asin x, > 0;

c) (x) = Te- x2 sin x, > 0.

Пример решения типового задания Решить задачу об остывании бесконечно длинного однородного теплопроводящего полуограниченного ( x 0 ) стержня, боковая поверхность которого теплоизолирована, а начальное распределение температуры равно (x) = T0. На конце x = 0 поддерживается нулевая температура.

Данный процесс описывается задачей с граничным условием Дирихле:

ut = a2uxx, x > 0, t > 0, u = T0, t= u x=0 = 0, решение которой определяется формулой x- x+ ( )2 ( )+ -4a2t 4a2t T0d.

u(x,t) = e - e 2 a2t Вычислим интеграл x x s = - x( )+ 2a t, 4a2t 2a t I1 = e d = = e-s ds.

2 a2t d =-2a td. Рассмотрим функцию ошибок x - yerf(x) = e dy.

Таким образом, получаем x 0 2a t I1 = e-s ds + e-s ds.

- С учетом того, что erf(-) = -1, имеем x I1 = 1+ erf 2a t.

Аналогично x + s = x+ ( )+ +, 4a2t 2a t I2 =- e d = =- e-s ds = 2 a2t d = 2a td. x 2a t x + 2a t 1 x =- e-s ds - e-s ds =1- erf.

2a t В итоге, получаем x u(x,t) = T0 I1 - I2 = T0 erf ( ).

2a t 3). В бесконечно тонком полуограниченном (слева в точке x = 0 ) однородном теплопроводящем стержне, боковая поверхность и конец x = 0 которого теплоизолированы, начальное распределение температуры задано функцией (x). Найти распределение температуры u(x,t) в стержне в произвольный момент времени t > 0.

a) (x) = Te- x2, > 0; b) (x) = Acos x, > 0;

c) (x) = Bsin x, > 0; d) (x) = e- x2 cos x, > 0;

e) (x) = e- x2 sin x, > 0.

Пример решения типового задания В бесконечно длинном однородном теплопроводящем полуограниченном ( x 0 ) стержне боковая поверхность и конец x = теплоизолированы, начальное распределение температуры равно T0, 0 < x l, (x) = Найти распределение температуры при t > 0.

0, x > l.

Рассматриваемый процесс описывается начально-краевой задачей с граничным условием Неймана ut = a2uxx, x > 0, t > 0, u = T0, 0 < x l, t=0, x > l, u = 0.

x x=Решение этой задачи ищем по формуле x- x+ ( )2 ( )l -4a2t 4a2t u(x,t) = e + e T0d.

2 a2t Рассмотрим интегралы x x s = - x( )l 2a t, 4a2t J1 = = e-s ds = e d = 2a t 2 a2td =-2a td. l-x 2a t x 0 2a t 1 1 - x l x = e-s ds + e-s ds = erf + erf, 2a t 2a t l-x 2a t и x+l x + s = x+ ( )l 2a t, 4a2t J2 = e-s ds = e d = 2a t = 2 a2td = 2a td. x 2a t x+l x 2a t 2a t 1 1 l + x x = e-s ds - e-s ds =- erf erf.

2a t 2a t Таким образом, получаем T0 - x l + x l u(x,t) = T0 J1 + J2 = erf + erf ().

2a t 2a t Контрольная работа №Распространение электромагнитных волн в волноводах.

I. Прямоугольный волновод.

Рассмотреть процесс распространения электромагнитной волны для r r составляющих типа Enm и Hnm в прямоугольном волноводе с линейными размерами l1 и l2 заполненного веществом с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью µ. Определить минимальную циклическую частоту min, с которой может распространяться электромагнитная волна в данном волноводе. Найти критическую частоту кр и длину волны кр, значения фазовой vф и r r групповой vгр скоростей для указанных компонент, если Enm и Hnm имеют циклическую частоту nm = 2min. Объяснить свойства волны при переходе частоты и длины волны через критические значения кр и кр.

Примечание: n соответствует l1, m соответствует l2.

µ l1, см l2, см n m а) 1 1 1 1 0 б) 1,5 1,5 1,02 0,99 1 в) 2 2 1,03 0,98 2 г) 2,5 2,5 1,04 1,01 3 Пример решения типового задания Рассмотрим процесс распространения электромагнитной волны для r r составляющих типа E22 и H22 в прямоугольном волноводе с линейными размерами l1 = 0.01 м, l2 = 0.01 м заполненного веществом с =1.04, µ =1.01. Требуется определить минимальную циклическую частоту min, с которой может распространяться электромагнитная волна в данном волноводе. Найти критическую частоту кр и длину волны кр, значения r фазовой vф и групповой vгр скоростей для указанных компонент, если Er и H22 имеют циклическую частоту 22 = 2min.

1 Для определения min воспользуемся условием k > +, где l12 l k =. Вычислим скорость электромагнитной волны a c 2.99792458108м/с a = = = 2.92512108м/с.

µ 1.04*1.1 1 1 Из условия k > + получаем > a +. Следовательно, 2 l12 l2 l12 l1 1 1 min = a + = 3.14159* 2.92512108м/с* + = l12 l2 0.012м2 0.012м=1.29960 1011с-1.

Соответствующая минимальная частота min равна min 1.299601011с-min = = = 2.068381010с-1.

2 2*3. Из формулы кр = с учетом 2 0µ0µ n2 m22 2 % % 00 = 0, nm = nm = +n =1,2,...,, m =1,2...,, l12 l2, r r вычислим критическую частоту для компонент E22 и H22. Получаем 2.99792458108м/с* + 22с 0.012м2 0.012м2 4.136741010с-1.

кр == = 2 µ 2 1.04*1.a Согласно условию = имеем кр кр 2.92512 108м/с = = 0.00707м.

кр 4.136741010с-Частота 22 равна 22 min 1.299601011c-22 = = = = 4.136761010c-1.

2 3.Из формул 2 d a -( ) кр a d vф = и vгр = = = a 1- d1 d кр 1 получаем a 2.92512108м/с vф == = 9.406851010м/с, кр 4.136741010с-1- 1 4.136761010c- 2 кр 4.13674 1010с-vгр = a 1- = 2.92512108м/с* 1- = 909584м/с.

22 4.13676 1010c- Для краевого условия Дирихле на прямоугольнике имеем собственные функции n m 1nm(x, y) = z nm sin xsin y n =1,2,...,, m =1,2,...,., l1 l2, следовательно n2 m k2 - + 2 z n m l1 l Ez (x, y, z) = Az e in x y Az = onst.

nm l1 sin l2, nm n=1 m= Компонента Ez 22(x, y, z) равна 22 2 4 i - + 2 2 a2 l1 l2 z Ez 22(x, y, z) = z 22e sin xsin y = l1 l (1) = Az 22e2.34452 z in 200 x sin 200 y, Az 22 = onst.

() () Для краевого условия Неймана на прямоугольнике имеем собственные функции m n %% % = Az, = Az cos l2 y = An0 cos l1 x, 200 00 20m 0m, 2n = Az cos n xcos m y n =1,2,...,, m =1,2,...,, % 2nm nm l1 l2, следовательно m i k2 - z m %% l %% H (x, y, z) = Az 00eikz + cos y + z A e z 0m lm= n2 m n i k2 - + i k2 - z 2 z n l1 l1 l%% m %Aznme n % + cos x + cos x y A e znl1 l1 cos l2, n=1 n=1 m= % % Aznm = const.

Имеем 22 2 4 i - + 2 2 % a2 l1 l2 z % H (x, y, z) = Az 22e cos x y = z l1 cos l2 (2) %% %% = Az 22ei2.34452z cos 200 x cos 200 y, Az 22 = const.

() () Вычислим производные H % z % =-200 Az 22ei2.34452z sin 200 x cos 200 y, () () x 2Ez z = 468.904iz 22ei2.34452z sin 200 x cos 200 y.

() () zy Подставив вычисленные производные в формулу iµµ0 H 1 2Ez z z Ey =+, x zy получим Ey22(x, y,z) = i % 468.904 - 400Az22minµµ0 ei2.34452z % = sin 200x cos 200 y = (3) ( ) () z 4 + 2 l1 l = y22ei2.34452z sin 200x cos 200 y, ( ) () где µ0 =1.2566370610-6Гн/м.

Аналогично, с учетом (1) и (2) имеем Ez = 200 z 22ei2.34452 z sin 200 x cos 200 y, () () y 2H % z z % =-468.904iAz 22ei2.34452 z sin 200 x cos 200 y.

() () zx С учетом вычисленных производных из формулы i0 Ez 1 2H z z H =+, x y zx получим Hx 22(x, y,z) = i % 400 min0 - 468.904Az ei2.34452z % = sin 200 x cos 200 y = (4) () () z 22 4 + 2 l1 l % % = Ay22ei2.34452z sin 200 x cos 200 y, () () 1250i %% 5.%% где Ax 22 = 0z 22 - 468.904Az 22, 0 = 8.854210-12Ф/м.

С учетом (1) и (2) вычислим H % z % =-200 Az 22ei2.34452z cos 200 x sin 200 y, () () y 2Ez z = 468.904iz 22ei2.34452z cos 200 x sin 200 y.

() () zx Используя вычисленные производные, из формулы iµµ0 H 1 2Ez z z Ex =- +, y zx получим Ex22(x, y,z) = i % 400A minµµ0 - 468.904z ei2.34452z % = sin 200x cos 200 y = (5) () () z 22 4 + 2 l1 l = x22ei2.34452z cos 200x sin 200 y, () () где Ax 22 =-Ay 22.

Из (1) и (2) имеем Ez = 200 z 22ei2.34452 z cos 200 x sin 200 y, () () x 2H % z z % =-468.904iAz 22ei2.34452 z cos 200 x sin 200 y.

() () zy Отсюда с учетом i0 Ez 1 2H z z H =- + y x zy получаем H (x, y, z) = y -i % % = 468.904Az 22 + 400z 22min0 (6) 4 + l12 l % % ei2.34452z cos 200 x sin 200 y = Ay 22ei2.34452 z cos 200 x sin 200 y, () () () () 1250i %% %% где Ay 22 =- 468.904z 22 + 5.4063410130Az 22.

Таким образом, формулы (1)–(6) определяют компоненты векторов r r E22 и H.

II. Круглый волновод.

Рассмотреть процесс распространения электромагнитной волны для r r % составляющих типа a) Enm или b) Hnm в круглом волноводе радиуса R заполненного веществом заполненного веществом с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью µ. Определить минимальную циклическую частоту min, с которой может распространяться электромагнитная волна в данном волноводе. Найти критическую частоту и критическую длину волны, значения кр кр фазовой vф и групповой vгр скоростей для соответствующей компоненты r r Enm или Hnm, если она имеет циклическую частоту 4min. Объяснить свойства волны при переходе частоты и длины волны через критические значения кр и кр.

Примечание: n – порядок функции Бесселя, m – номер корня функции Бесселя.

% µ R, см n m а) 1 1 1 0 б) 1,5 1,02 0,99 1 в) 2 1,03 0,98 2 г) 2,5 1,04 1,01 3 Пример решения типового задания Рассмотрим процесс распространения электромагнитной волны для r % составляющей типа E12 в круглом волноводе радиуса R =1м заполненного веществом с =1, µ =1. Требуется определить минимальную циклическую частоту min, с которой может распространяться электромагнитная волна в данном волноводе; найти критическую частоту и длину волны кр, значения фазовой vф и групповой vгр скоростей кр r для компоненты E12, если она имеет циклическую частоту 12 = 4min.

Имеем c a = = с = 2.99792458108м/с.

µ 1 µ0 µИз условия k > получаем > a. Следовательно, % % R R µ0 2.min = a = 2.99792458108м/с* =7.20941108с-1.

% R 1м Соответствующая минимальная частота min равна min 7.20941108с-min = = =1.14741108с-1.

2 2*3. Из того, что кр = с учетом 2 0µ0µ m µn nm =, n = 0,1,2,...,, m =1,2,...,, % R m n % и nm =, n = 0,1,2,...,, m =1,2,...,, % R r для E12 имеем 12с 2.99792458108м/с*7. == = 3.34738108с-1, кр 1м*2*3.2 µ a Согласно = имеем кр кр 2.99792458108м/с = = 0.89534м.

кр 3.34738108с-Частота 12 равна 12 = = 4min = 4.58954108c-1.

Из формул 2 d a -( ) кр a d vф = и vгр = = = a 1- d1 d кр 1 получаем a 2.99792458108м/с vф == = 4.38203108м/с, 3.34738108с-кр 11- 4.58954108c- 3.34738108с-кр vгр = a 1- = 2.99792458108м/с* 1- = 4.58954108c- = 2.05100108м/с.

Для условия Дирихле на круге имеем собственные функции m 1nm(r,) = Jn(µn r) Аz nm cosn + Bz nm sin n, ( ) znm, Bznm = const, n = 0,1,2,...,, m =1,2,...,, следовательно m µn i k2 % z - R m Ez (r,, z) =, e Jn(µn r) Аz nm cosn + Bz nm sin n n=0 m= znm, Bznm = const.

Компонента Ez12(r,, z) равна 12 2 µ i - z % Ez12(r,, z) = ea R J1(µ1 r) Аz12 cos + Bz12 sin = ei6.58107 zJ1(7.01559r) Аz12 os + Bz12 in Az12,Bz12 = nst.

, Найдем компоненты E12(r,, z) и Er12(r,, z). Имеем 2 % % R H 1 2Ez z Riµµ0 H 2Ez z z z E =+m - + и Er =.

m µn iµµ0 r r z µn r zr Учитывая, что m n i k2 % z - R %% % % m %% % % H (r,, z) = z e Jn(n r) Аz nm cosn + Bz nm sin n, Аz nm, Bz nm = const, ( ) n=0 m=компонента H (r,, z) равна zi k2 - z % R %% % % %% % % H (r,, z) = e J1(1 r) Аz12 cos + Bz12 sin, Аz12, Bz12 = const.

z12 ( ) Отсюда i k2 - z % % R R % % % % E12 = iµµ0e 1 J1(12r) Аz12 cos + Bz12 sin + ( ) µ 2 2 % R i 1 i k2 % z R %% % % %% % % + 2 k2 - J1(12r) -Аz12 sin + Bz12 cos, Аz12, Bz12 = const, e ( ) % µ1 rR % R iµµ0 i k2 % z 2 % R % % % Er12 =- 2 eJ1(1 r) -Аz12 sin + Bz12 cos + ( ) µ1 r 2 2 % R 1 i k2 % z 2 2 %% % R %% % % % + 2 i k2 -e 1 J1(1 r) Аz12 cos + Bz12 sin, Аz12, Bz12 = const.

( ) % µ1 R Подставив числовые значения параметров, получим % % % % E12 = 392,58864i ei8,00654zJ1(5,33144 r) Аz12 cos + Bz12 sin + ( ) i %% % % %% % % + 0,16269 ei8,00654zJ1(5,33144 r) -Аz12 sin + Bz12 cos, Аz12, Bz12 = const, ( ) r 73,63651i % % % % Er12 =- ei8,00654zJ1(5,33144 r) -Аz12 sin + Bz12 cos + ( ) r %% % % %% % % +0,86739 i ei8,00654zJ1(5,33144 r) Аz12 cos + Bz12 sin, Аz12, Bz12 = const.

( ) Библиографический список 1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.

М., 1972., 736 стр.

2. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике.

Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1998., 350 стр.

3. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики.

Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов. — М.: Наука, 1969, — 290с.

4. Очан Ю.С. Методы математической физики. — М. Высшая школа, 1965. — 384с.

5. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн.— М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1978. — 544с.

6. Кузаев Г.А., Назаров И.В. Электродинамика и техника сверхбыстрой обработки сигналов. Ч. II. Микроволновая техника.

— М.: МИЭМ, 2001, 154с.

7. Руднев В.Ю. Методы решения задач математической физики. — Учебное пособие, МИЭМ, М., 2009, 114с.

Учебное издание СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ» Составители: РУДНЕВ Вадим Юрьевич КРЕТОВ Вадим Игоревич Московский государственный институт электроники и математики.

109028, Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3.

Pages:     | 1 | 2 ||






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.